Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Понятие и методы анализа электрических цепей

1.1 Понятие и методы анализа электрических цепей

1.2 Системы автоматизированного анализа электрических цепей

1.3 Реализация численных методов решения дифференциальных уравнений в МathCAD

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.3 Описание математической модели

2.4 Схема алгоритма решения задачи и ее описание

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации модели электрической цепи с переменными параметрами

3.2 Описание исследований

Заключение

Список использованных источников

Введение

Тема курсовой работы: «Применение системы MathCad для исследования электрической цепи с изменяющимися во времени параметрами».

Цель курсовой работы: научиться применять современные информационные технологии для решения практических задач; изучить систему MathCad для математических расчётов.

Для успешного управления качеством технологических процессов большое значение имеет математическое моделирование. С помощью математических моделей решаются многие задачи.

Например, на предприятии рассматривается вопрос о возможности замены некоторых материалов и комплектующих другими, характеристики которых отличаются от оговоренных в технических условиях. Имея математическую модель процесса, можно предсказать последствия такой замены и еще до выполнения технологического процесса определить ожидаемые изменения выходных параметров производимого изделия, изменение вероятности выхода годных и т.д.

Различают структурное и параметрическое моделирование.

При структурном моделировании необходимо определить вид математической модели или другими словами вид уравнения, связывающего выходной параметр с влияющими на него входными.

При параметрическом моделировании вид такого уравнения считается известным и необходимо определить лишь его параметры.

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

При помощи встроенных функций системы MathCad можно определять коэффициенты различных регрессий; строить графики функций, вычислять сложные математические формулы.

1. Понятие и методы анализа электрических цепей

1.1 Понятие и методы анализа электрических цепей

При анализе электрических цепей используются различные методы (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного источника и др.), но все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа. Эти законы являются основными.

Последовательность анализа цепи методом законов Кирхгофа следующая:

Проанализировать топологию рассчитываемой цепи, то есть определить количество ветвей, количество узлов и количество независимых контуров в ней. Это необходимо для того, чтобы определить, как и сколько уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа необходимо записать для определения токов в ветвях электрической схемы.

Количество ветвей будет равно количеству неизвестных токов и, следовательно, количеству уравнений, которое следует записать для анализа цепи. Количество узлов определит количество уравнений, которые надо будет записать по 1-му закону Кирхгофа. Количество независимых контуров определит количество уравнений, которые будет необходимо записать по 2-му закону Кирхгофа.

Задать произвольные направления токов в ветвях схемы, чтобы можно было записать уравнения по законам Кирхгофа. Если выбранное направление тока не совпадет с истинным, то в решении этот ток получит знак «минус».

Задаться (иначе будет нельзя записать уравнения по законам Кирхгофа) условным положительным направлением тока, то есть принять, какое направление тока считать положительным - к узлу или от узла. Для решения это безразлично, но принятое условие необходимо соблюдать до конца решения задачи.

Записать по 1-му закону Кирхгофа количество уравнений, равное количеству узлов в схеме минус один. Для этого выбрать узлы, для которых будут записаны уравнения.

Недостающие до необходимого количества уравнения (см. п. 1) записать по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров. Для этого необходимо задаться направлением обхода каждого контура (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Решить полученную систему уравнений. Проверить выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в узлах схемы.

Определить напряжения на резисторах. Проверить выполняется ли 2-й закон Кирхгофа в контурах схемы.

8. Составить баланс мощностей и проверить правильность решения.

1.2 Системы автоматизированного анализа электрических цепей

В настоящее время существует целое множество мощных и функциональных программ по расчету и анализу электрических схем, например, такие как:

Electronic Workbench

XLab

MatLab

MathCAD

Electronics Workbench - программа для моделирования электрических схем, созданная компанией National Instruments Electronics Workbench Group. Практически вытеснена программой Multisim той же компании.

MatLab - пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MatLab используют более 1000000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris и Microsoft Windows.

MathCad - система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования.

Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам. Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов.

Но все эти программы, обладая большим потенциалом и возможностями, обла­дают также сложным и нагруженным интерфейсом. Зачастую для работы с этими программами требуется какое-то время на знакомство, освоение, а иногда и обучение работы с программой. В связи с этим, в Ивановском государственном энергетическом университете была создана автоматизированная система анализа линейных электрических цепей, которая обладает V лобным, интуитивно-понятным и простым интерфейсом.

Программный комплекс предназначен для построения, расчета и анализа линейных цепей. При работе с программой студент может интерактивно написать схему. Ввод схемы происходит пошагово, отдельно по каждой ветви качестве примера на рис. 1 представлено построение одной ветви

Указывается, от какого и к какому узлу направлена ветвь, количество сегментов в ветви, есть ли параллельно включенный источник тока, значении элементов (комплексные значения, как в показательной форме, так и в алгебраической), а также направления и взаимоиндуктивности у некоторых элементов. При этом каждая ветвь отображается графически, что позволяет избежать ряда ошибок при описании схемы. По завершению построения, о I отражается схема целиком. Ее также можно расположить в удобном виде, достаточно лишь перетащить мышкой элементы и узлы схемы. Такой интерактивное построение схемы позволит ввести данные максимально быстро, просто и поможет избежать лишних ошибок при построении схемы. Предусмотрена возможность сохранения и загрузки введенной схемы. Перед расчетом ведется первичный анализ правильности введенной схемы. Если студент ввел схему с явными ошибками, то система сообщит ему об этом. Программа использует для расчета основных параметров цепи метод узловых потенциалов.

Для использования этой системы в процессе обучения, она была интегрирована в контрольно- обучающую систему ElLab Work 2.0, которая позволяет проводить обучение и тестирование студентов по электротехническим циклам дисциплин. Разработанная система по анализу линейных электрических цепей значительно расширила потенциал ElLabWork и добавила ряд возможностей. Благодаря этой интеграции, помимо возможности расчета схемы, у студентов появилась возможность при проведении обучения использовать как схемы, заранее введенные преподавателем, так и собственные варианты линейных электрических цепей, в том числе и с использованием источников токов и взаимоиндуктивных катушек.

1.3 Реализация численных методов решения дифференциальных уравнений в МathCAD

MathCAD - система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design -- системы автоматического проектирования, или САПР). Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают обычной программы.

Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

Система MathCad имеет множество встроенных функций. Рассмотрим некоторые функции, которые необходимо использовать в курсовой работе для исследования электрической цепи.

Функция предназначена для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, разрешенных относительно производной.

Как частный случай, функция может быть использована и для решения одного уравнения первого порядка. Одно уравнение порядка при может быть решено после сведения его к системе уравнений первого порядка. Особенностью данной функции является то, что решение возвращается в виде массива с запрошенным при ее вызове количестве строк (рассчитанных точек). Каждая строка содержит значение аргумента и значения рассчитанных в этой точке искомых функций.

Форма записи функции следующая:

,

где - вектор начальных условий;

- интервал интегрирования;

- количество вычисляемых точек (не считая начальной);

- вектор-функция, вектор правых частей системы уравнений.

Рассмотрим один из способов решения системы нелинейных уравнений.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в матричной форме имеет вид . Известно, что неоднородная СЛАУ совместна (теорема Кронекера-Капелли), если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, т.е. . Совместная система имеет единственное решение, если , - размерность матрицы . Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид , где - обратная матрица к матрице .

В MathCAD для решения СЛАУ имеется встроенный решающий блок . электрический цепь математический модель

Решающий блок можно применять также и для решения систем нелинейных уравнений как в численном, так и в символьном виде. Для численного решения с помощью решающего блока нужно задать начальные значения для неизвестных величин и заключить уравнения в ключевые слова, начинающиеся со слова и закапчивающиеся словом со знаком =.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

В курсовой работе (вариант №1) необходимо:

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции сопротивления и функции напряжения.

2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на максимальное значение напряжения на конденсаторе.

3. Построить сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле.

4. Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

Электрическая цепь приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Электрическая цепь

2.2 Анализ исходных и результирующих данных

Исходные данные заданы в виде числовых значений параметров элементов электрической цепи и параметров исследований:

, А - сила тока в источнике;

, Ф - исходная емкость конденсатора;

, В - начальное значение напряжения на конденсаторе;

, мс - время, равное полупериоду изменения ;

, мс - время исследования.

Для решения дифференциального уравнения первого порядка задана функция системы MathCad .

Для построения регрессии задан вид функции: .

Результирующие данные в ходе решения поставленной задачи:

- функция напряжения на конденсаторе для заданного значения;

- график функции ;

- максимальное значение функции напряжения ;

- функции напряжения на конденсаторе для варьируемого параметра J;

- графики функций на одном поле;

- вектор максимальных значений функций напряжения ;

- вектор значений варьируемого параметра;

- коэффициенты функции регрессии для зависимости максимального значения функции напряжения от значения варьируемого параметра .

2.3 Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 1, описывается дифференциальным уравнением вида (3).

,

где - сила тока в источнике;

- функция исходного сопротивления, заданная графически;

- исходная емкость конденсатора;

- начальное значение напряжения на конденсаторе;

- время, равное полупериоду изменения ;

- время исследования;

- функция напряжения на конденсаторе.

Функция задана графически на рисунке 2.

Рисунок 2 - Функция

2.4 Схема алгоритма решения задачи и ее описание

Опишем алгоритм решения задачи:

0) Ввод исходных данных.

1) Решение дифференциальное уравнения (3) на интервале [0, T] с помощью функции odesolve. Построение графика зависимости напряжения от времени.

2) Решение дифференциального уравнения (3) для 10 значений варьируемого параметра J с шагом 2. При каждом решении уравнения определение максимального значения напряжения.

3) Построение графиков всех полученных в результате решения дифференциального уравнения (3) функций напряжения в одной графической области.

4) Задание зависимости максимального напряжения от значений варьируемого параметра J в виде двух векторов:

V1 - значения варьируемого параметра в возрастающем порядке;

V2 - соответствующие максимальные значения напряжения, полученные при выполнении второй части задания. Определение коэффициентов заданной регрессии при помощи функции пакета MathCad. Построение графиков исходной и аппроксимирующей зависимостей. Графическая схема алгоритма представлена на рисунке 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 - Графическая схема алгоритма

Таблица - 1 переменных таблица

Имя переменной в условии задачи	Имя переменной в схеме	Тип переменной	Комментарий
J	J	вещественный	Сила тока в источнике
С	С	вещественный	Исходная емкость конденсатора
Uc0	Uc0	целый	начальное значение напряжения на конденсаторе
ф	ф	вещественный	время, равное полупериоду изменения R(t)
Т	Т	вещественный	время исследования

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации модели электрической цепи с переменными параметрами

Исходные данные в системе MathCad представлены на рисунке 4. Определение функции и её график представлены на рисунке 5.

Рисунок 4 - Исходные данные в системе MathCad

Рисунок 5 - Функция и её график

Решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 6.

Рисунок 6 - Решение уравнения в MathCad

Определение векторов значений варьируемого параметра и максимальных значений функции напряжения представлено на рисунке 7.

Рисунок 7 - определение векторов экспериментальных данных

Построение аппроксимирующей зависимости представлено на рисунке 8.



Рисунок 8 - Построение аппроксимации

3.2 Описание исследований

При решении базовой модели получили функцию напряжения, график которой представлен на рисунке 9.



Рисунок 9 - График функции напряжения базовой модели

Сводный график полученных функций напряжения представлен на рисунке 10.

Рисунок 10 - Сводный график полученных функций напряжения

Результат заданной регрессии представлен на рисунке 11 в виде графика зависимости максимального значения функции напряжения от варьируемого параметра.



Рисунок 11 - Сводный график зависимости

Заключение

В курсовой работе:

- изучена среда системы MathCad и её инструменты;

- применены на практике полученные знания решения дифференциальных уравнений и построения аппроксимирующих зависимостей.

Для поставленной задачи:

- в системе MathCad заданы все исходные данные;

- функция описана как кусочно-непрерывная функция;

- построен график функции а интервале [0, T];

- решено дифференциальное уравнение (3) для заданных параметров на интервале [0, T] в системе MathCad с помощью функции ;

- построен график зависимости напряжения от времени;

- решено заданное дифференциальное уравнение для значений параметра C=4..22;

- при каждом решении дифференциального уравнения определено максимальное значение напряжения трассировкой графика;

- построены графики всех полученных в результате решения дифференциального уравнения функций напряжения в одной графической области;

- задана зависимость максимального напряжения от значений варьируемого параметра С в виде двух векторов ;

- определены коэффициенты аппроксимирующей зависимости при помощи функции для экспериментальных данных ;

- построен график исходной и аппроксимирующей зависимостей.

Курсовая работа в полной мере отражает поставленную задачу.

Список использованных источников

1. Волков Е.А. Численные методы. Уч. пос. для ВУЗов. М: Наука, 1987.

2. Горицкий Ю.А., Перцов Е.Е. Практикум по статистике с пакетами. М.: Издательство МЭИ, 1997, 84с.

3. Дьяконов В. «Mathcad 2000».

4. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979, 408с.

5. Нидерст Дж. WEB-мастеринг для профессионалов. СПб : Питер, 2001.

6. Плис А.И. Сливина Н.А. «Mathcad 2000 - математический практикум»

7. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики.\ л.и. Бородич, А.И. Герасимович, М: Высш. шк., 1986 - 194 с.

8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Уч. пос. для ВУЗов, М: Наука, 1989.

9. Смирнов Н.В., Дунин - Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965, 511с.

10. Симонович С.В. «Информатика базовый курс».

11. Туркина Е.П. Математическая обработка данных с помощью пакета MathCad: Сб. лаб. работ. Для ст. эк. спец. - Мн.: БГЭУ, 2002 -24с.

Размещено на Allbest.ru