Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Пензенский государственный университет

Кафедра "Технология машиностроения"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

"Математическое моделирование процессов в машиностроении"

на тему:

"Построение математической модели и проверка ее адекватности с использованием современных вычислительных средств"

Пенза 2014 г.



Реферат

МОДЕЛЬ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЭКСПЕРИМЕНТ, МНОГОФАКТОРНОЕ, ПЛАНИРОВАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, КРИТЕРИЙ ФИШЕРА, ТОКАРНАЯ ОБРАБОТКА.

В данной работе было проведено исследование влияния режимов резания на шероховатость обработанной поверхности вала. Задача решалась с помощью метода рототабельного униформ-планирования второго порядка, с числом фактором, равным трем.

В результате работы выявлены коэффициенты уравнения регрессии и составлена математическая модель, позволяющей прогнозировать влияние входных факторов (скорость вращения шпинделя, подача, глубина резания) на шероховатость поверхности.

резание шероховатость вал математический



Содержание

• 1. Описание условий и методика проведения натурного эксперимента
• 1.1 Технологическое оборудование
• 1.2 Методика обработки результатов экспериментов
• 2. Составление таблиц выходных данных и уровней варьирования факторов
• 3. Составление матрицы ротатабельного планирования эксперимента
• 4. Определение коэффициентов уравнения регрессии
• 5. Определение дисперсии параметров оптимизации и дисперсии воспроизводимости
• 6. Проверка адекватности модели
• Заключение
• Список использованных источников


1. Описание условий и методика проведения натурного эксперимента

На качественные характеристики в исследуемом способе обработке оказывает влияние целый ряд технологических факторов. На основе анализа результатов ранее проведенных теоретических и экспериментальных исследований, технологию аналогичных способов обработки и предлагаемого способа, можно выделить следующие технологические факторы, определяющие эффективность обработки:

Скорость вращения шпинделя станка V_;

Подача S;

Глубина резания t;

Ни одна физическая модель не может полностью заменить реального эксперимента. К тому же учесть все факторы, влияющие на исследуемый процесс не возможно. Поэтому проведение экспериментальных исследований необходимо для оценки значимости, влияния технологических факторов на рассматриваемый процесс, а также для проверки адекватности разработанных математических моделей.

1.1 Технологическое оборудование

Для проведения экспериментальных исследований процесса точения вала на токарно-винторезном станке 1А625.

Технические характеристики токарно-винторезного станка 1А625

Наибольшая длинна обрабатываемой детали, мм…… 1000-2000

Наибольший диаметр точения над станиной, мм ……500

Наибольший диаметр точения над суппортом, мм ……290

Наибольшая длинна обрабатываемого прутка, мм……54



1.2 Методика обработки результатов экспериментов

Для оценки влияния наиболее значимых факторов на эффективность обработки была использована методика многофакторного планирования эксперимента, позволяющая значительно сократить количество опытов и повысить их эффективность. Кроме того, был проведен ряд однофакторных экспериментов для получения дополнительной информации о процессе обработки.

Количественная оценка результатов эксперимента определялась как среднее арифметическое параллельных измерений образцов одной партии:

,(1.1)

где - среднее арифметическое параллельных измерений,

m -количество параллельных измерений,

i-номер параллельного измерения.

y_i- значение отклика при i^-м измерении.

Отклик оценивался по критерию Стьюдента:

,( 1.2 )

где t(P,m)-критерий Стьюдента,

P- доверительная вероятность,

S - оценка стандартного отклонения погрешностей эксперимента:

.(1.3)



Если условие 1.2 выполняется отклик является значимым, в противном случае проводится повторный эксперимент для получения значимых результатов.



2. Составление таблиц выходных данных и уровней варьирования факторов

Многофакторные эксперименты проводились с использованием методик многофакторного регрессионного анализа на основе центрального композиционного ротатабельного униформ планирования. В качестве ядра плана использовалась матрица полного факторного эксперимента 2^k, где k -количество исследуемых факторов.

Опыты проводились в случайной последовательности в соответствии с данными таблицы 1 равномерно распределенных случайных чисел.

Для каждого фактора определяются уровни варьирования.

Таблица 1 - Уровни и интервалы варьирования факторов

Факторы	Уровни варьирования факторов	Интервал
	-2	-1	0	1	+2
1 - V, об/мин	700	800	900	1000	1100	100
2 - t, мм	1	1,5	2	2,5	3	0,5
3 - S, мм/об	2	2,5	3	3,5	4	0,5

Таблица 2 - Значения опытных данных

№ опыта	Ra, мкм	Факторы
		V, об/мин	t, мм	S, мм/об
1	2,45	1000	2,5	3,5
	2,5
	2,56
2	3,7	800	2,5	3,5
	4
	4,4
3	1,4	1000	1,5	3,5
	1,6
	1,7
4	1,5	800	1,5	3,5
	1,6
	1,8
5	2,3	1000	2,5	2,5
	2,5
	2,55
6	3,7	800	2,5	2,5
	4
	4,2
7	1,5	1000	1,5	2,5
	1,6
	1,7
8	2,4	800	1,5	2,5
	2,5
	2,7
9	1,55	1100	2	3
	1,6
	1,65
10	3,6	700	2	3
	4
	4,3
11	2,4	900	3	3
	2,5
	2,7
12	1,5	900	1	3
	1,6
	1,7
13	2,3	900	2	4
	2,5
	2,55
14	2,4	900	2	2
	2,5
	2,7
15	2,2	900	2	3
	2,5
	2,7
16	2,4	900	2	3
	2,5
	2,6
17	2,45	900	2	3
	2,5
	2,65
18	2,4	900	2	3
	2,5
	2,55
19	2,4	900	2	3
	2,5
	2,6
20	2,4	900	2	3
	2,5
	2,6

Среднее значение шероховатости поверхности рассчитывается и записывается ниже приведенную таблицу.

Таблица 3 - средние значения шероховатостей из каждого опыта
№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Ra_ср_	2,5	4,03	1,56	1,63	2,45	3,96	1,6	2,5	1,6	3,9	2,533
№ опыта	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Ra_ср	1,6	2,45	2,53	2,46	2,5	2,5	2,483	2,5	2,5



3. Составление матрицы ротатабельного планирования эксперимента

С целью упрощения записи условий экспериментов и обработки экспериментальных данных, и получения нормализованной модели производилось кодирование факторов, которое осуществлялось для полиномиальной модели с помощью соотношения:

(3.1)

для экспоненциальной модели:

(3.2)

где X_i - кодированное значение i^-го фактора;

x_i - действительное значение i^-го фактора;

x_max --максимальное действительное значение i^-го фактора;

x_min - минимальное действительное значение i^-го фактора;

На первом этапе проводились эксперименты в центре плана и проверялась гипотеза об адекватности либо полиномиальной нормализованной модели вида:

(3.3)



либо экспоненциальной вида:

(3.4)

которая после логарифмирования принимает линейный вид:

(3.5)

Матрица рототабельного плана второго порядка для трех варьируемых параметров и значение параметров режимов резания.

Таблица 4 - Матрица ротатабельного униформ-планирования для к=3

№ опыта\ факторы	X1	X2	X3
1	1	1	1
2	-1	1	1
3	1	-1	1
4	-1	-1	1
5	1	1	-1
6	-1	1	-1
7	1	-1	-1
8	-1	-1	-1
9	1,682	0	0
10	-1,682	0	0
11	0	1,682	0
12	0	-1,682	0
13	0	0	1,682
14	0	0	-1,682
15	0	0	0
16	0	0	0
17	0	0	0
18	0	0	0
19	0	0	0
20	0	0	0



4. Определение коэффициентов уравнения регрессии

Определение параметров нормализованной полиномиальной линейной модели (3.7) производится по формулам

(4.1)

(4.2)

Определение параметров логарифмированной модели производится по формулам

(4.3)

(4.4)

Затем производилась оценка значимости коэффициентов, рассчитанных по зависимостям (3.10 - 3.13).

После оценки значимости коэффициентов модель экспонируется для приведения ее к действительному виду.

Затем производилась оценка значимости полученной модели.



(4.5)

Вычисляются параметры этой полиномиальной модели по зависимостям:

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

оценивается значимость коэффициентов модели и производится оценка ее адекватности.

a₀=2,62521833 a₁₃=0,04266667

а₁=-0,40137 a₂₃=0,05266667

a₂=0,35949333 a₁₁=0,19903667

a₃=-0,047675 a₂₂=0,07849333

a₁₂=0,10233333 a₃₃=0,00700833



5. Определение дисперсии параметров оптимизации и дисперсии воспроизводимости

Остаточная дисперсия (дисперсия адекватности) полученной модели определяется по формуле:

(5.1)

где f_u - значение функции отклика ( по данным эксперимента) вычисленной по полученной модели при уровнях факторов соответствующее опыту с номером u.

Мерой качества модели является остаточная сумма квадратов или общая навязка модели, минимизацией которой и получают оценки параметров. При применении методов регрессии и авторегрессии надежным показателем качества является дисперсия адекватности моделей, определяемая из условий. Далее дисперсии можно сравнить по критерию Фишера для предварительно заданной доверительной вероятности, и таким образом выбрать лучшую модель или, по крайней мере, несколько статистически сравнимых по качеству моделей.

Применение Критерия Фишера к дисперсиям адекватности, все данные приведены в таблице (жирным шрифтом обозначены расчетные значения критерия Фишера.) Только в двух случаях расчетные величины превысили соответствующие табличные значения (эти значения в таблице отмечены зеленым затенением): при сравнении модели авторегрессии второго порядка с линейной и экспоненциальной моделями, в остальных же парах не обнаружено решительного преимущества одной модели над другой. Судя по анализу остатков модель Хольта-Винтерса по крайней мере не хуже модели авторегрессии, но для нее нельзя использовать критерий однородности дисперсий, поскольку ничего невозможного сказать о ее числе степеней свободы, а значит и рассчитать дисперсию адекватности. Эта ситуация достаточно типична в прогнозировании, а потому нужны альтернативные способы.

Полученные значения дисперсии оптимизации записываются в ниже приведенную таблицу.

Таблица 5 - результаты дисперсии параметра оптимизации

Номер опыта	Дисперсия параметра оптимизации S2о
1	0,003033
2	0,123333
3	0,023333
4	0,023333
5	0,0175
6	0,063333
7	0,01
8	0,023333
9	0,0025
10	0,123333
11	0,023333
12	0,01
13	0,0175
14	0,023333
15	0,063333
16	0,01
17	0,010833
18	0,005833
19	0,01
20	0,01



6. Проверка адекватности модели

Адекватность моделей определялась с помощью критерия Фишера F.

Адекватность модели -- совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т.п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования.

Оценка адекватности модели - проверка соответствия модели реальной системе. Оценка адекватности модели реальному объекту оценивается по близости результатов расчетов экспериментальным данным.

Два основных подхода к оценке адекватности:

1) по средним значениям откликов модели и системы

Проверяется гипотеза о близости средних значений каждой n-й компоненты откликов модели Yn известным средним значениям n-й компоненты откликов реальной систем.

2) по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов систем

Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (проверяют гипотезы о согласованности), с помощью критерия согласия ?2 (при больших выборках, п>100), критерия Колмогорова- Смирнова (при малых выборках, известны средняя и дисперсия совокупности), Кохрена и др.

Критерием Фишера (F-критерием, ц*-критерием) -- называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).

Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на "степени свободы"). Чтобы статистика имела распределение Фишера необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.

Тест проводится путем сравнения значения статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости. Известно, что если , то . Кроме того, квантили распределения Фишера обладают свойством . Поэтому обычно на практике в числителе участвует потенциально большая величина, в знаменателе -- меньшая и сравнение осуществляется с "правой" квантилью распределения. Тем не менее тест может быть и двусторонним и односторонним. В первом случае при уровне значимости используется квантиль , а при одностороннем тесте ^[1].

Более удобный способ проверки гипотез -- с помощью p-значения -- вероятностью того, что случайная величина с данным распределением Фишера превысит данное значение статистики. Если (для двустороннего теста -- )) меньше уровня значимости , то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается.

Расчетный критерий Фишера:

(6.1)

Расчетное значение критерия Фишера F_N сравнивается с табличным F_Т.

Если расчетное значение критерия меньше критического то модель адекватна.



Таблица 6 - проверка адекватности модели

Анализ результатов эксперимента показал, что Fн>Fк, следовательно, модель не адекватна. Необходимо провести повторный эксперимент.

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ МОДЕЛЬ БУДЕТ ИМЕТЬ ВИД:

Y=2,65-0,4*V+0,359*t-0,047*S-0,102*V*t+0,042*V*S+0,052*t*S 0,199V²+0,078*t²-0,007*S²



Заключение

Проведено исследование влияния режимов резания на шероховатость обработанной поверхности вала методом рототабельного униформ-планирования второго порядка, с числом фактором, равным трем.

Используя данную методику, выявлены коэффициенты уравнения регрессии и составлена математическая модель, позволяющая прогнозировать влияние входных факторов (скорость вращения шпинделя, подача, глубина резания) на шероховатость поверхности.

Проверка адекватности модели показала, что модель не адекватна. Требуется произвести повторный эксперимент.



Список использованных источников

1. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий [Текст]/ Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский.- М.: Наука, 1976.

Размещено на Allbest.ru