Решение нелинейных алгебраических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна»

Кафедра инженерной химии и промышленной экологии

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

«Методы и средства автоматизированных расчетов в экологии»

Работу выполнили

Студенты группы 3-ХД-44

Давидьянц А.С.

Санкт-Петербург 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.Нелинейные алгебраические уравнения

2.Методы решения нелинейных алгебраических уравнений

2.1 Метод деления отрезка пополам

2.2 Пример решения задачи методом деления пополам

2.3 Метод Ньютона (касательных)

2.4 Пример решения задачи методом касательных

2.5 Метод секущих

2.6 Пример решения задачи методом секущих

2.7 Метод простой итераций

2.8 Пример решения задачи методом простой итерации

2.9 Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в программе MathCAD с помощью функции root

2.10 Пример решения задачи в программе MathCAD с помощью функции root и простой итерации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

деление отрезок секущая нелинейное уравнение

ВВЕДЕНИЕ

В системе математической и компьютерной подготовки инженеров-экологов, которых выпускает кафедра инженерной химии и промышленной экологии (ИХПЭ) Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна, рассматриваются численные методы решения математических задач в приложении к химии, экологии, технологии, а также реализация этих методов в различных языках программирования. Использование же системы Mathcad в таких дисциплинах, как «Гидравлика и теплотехника», «Моделирование и оптимизация процессов инженерной защиты окружающей среды», «Надежность технических систем и техногенный риск» и других сделает решение конкретной задачи исключительно наглядным, удобным, оперативным.

1. Нелинейные алгебраические уравнения

Необходимость решения нелинейных алгебраических уравнений в расчетах по инженерной защите окружающей среды встречается достаточно часто:

· математические описания, построенные на основе тепловых и материальных балансов при работе процессов тепло- и массопереноса, в общем случае представляют собой нелинейные алгебраические уравнения;

· диаграммы состояния построены на основе нелинейных уравнений, которые необходимо решать при компьютерных расчетах;

· учет зависимости от температуры параметров процесса или, например, физико-химических свойств технологических потоков приводит к нелинейным уравнениям, которые далеко не всегда можно линеаризовать для упрощения;

· иногда удается свести системы нелинейных уравнений математического описания к решению одного уравнения (химические реакторы идеального вытеснения в случае простой химической реакции, расчет коэффициентов теплоотдачи в теплообменных аппаратах и пр.).

Как правило, математические описания технологических процессов и аппаратов достаточно громоздки, включают в себя разнородные по форме равновесные, кинетические, гидродинамические модели, в том числе полученные эмпирическими методами с некоторой погрешностью;

Точное решение большинства уравнений и систем невозможно. В этом случае решение находят приблизительными численными методами, рассмотренными в данном разделе пособия.

Поиск корня нелинейного алгебраического уравнения численными методами предполагает использование некоторого итерационного алгоритма, последовательно приближающегося к искомому корню. Здесь важна оценка погрешности и правильный выбор критерия достижения результата.

2. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений

2.1 Метод деления отрезка пополам

В соответствии с этим методом вначале необходимо приблизительно определить отрезок, на котором функция f(x) меняет знак. Для этого можно использовать графический способ, заключающийся в построении графика функции на экране компьютера и приблизительного визуального определения точек пересечения графика с осью абсцисс.

При отыскании корня методом половинного деления сначала вычисляются значения функции в точках a и b - соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки. Далее по формуле x_ср=(a+b)/2 вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(x_ср). Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка. Если функция меняет знак на отрезке [a, x_ср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть x_срстановится правой границей отрезка (b). Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [x_ср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части. Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности.

Рис. 2.1

Отметим, что здесь имеет смысл допустимой абсолютной погрешности вычисления корня.

Достоинством метода является его безусловная сходимость, если на интервале [a, b] имеется хотя бы один корень. Кроме того, метод не использует производных. К недостаткам относят медленную сходимость, т. е. достаточно большое число вычислений функции f (x) по сравнению с другими методами. Рекомендуется к использованию в тех случаях, если нет жестких требований ко времени счета.

При реализации алгоритма вычисления корня алгебраического или трансцендентного уравнения методом деления отрезка пополам удобно оформить вычисление значения функции f (x) (левой части решаемого уравнения) при произвольном значении аргумента в виде функции.

2.2 Пример решения задачи методом деления пополам

Задача: Вариант 5. В аппарате непрерывного действия с интенсивным перемешиванием протекает обратимая химическая реакция

,

где A₁, A₂, A₃, A₄ - реагенты.

Время пребывания вещества в аппарате . Если обозначить начальные концентрации компонентов как , а конечные , константы скорости прямой реакции k₁, обратной k₂, то для расчета конечных концентраций компонентов можно использовать соотношения:



Если из первых трех уравнений выразить , и через и подставить полученные выражения в последнее соотношение, то оно превращается в нелинейное уравнение с неизвестной величиной , решить которое можно численно.

Рассчитать конечные концентрации компонентов.

Исходные данные для контрольного расчета

В Delphi напишем программу для расчета корней уравнений методом деления отрезка пополам:

{ Исходные данные}

const C01=0.9; C02=0.2; C03=0; C04=0.3;

k1=0.3; k2=0.2; T= 6;

var ck1, Ck2, Ck3, Ck4: real;

var a,b,eps: real;

{Функция для вычесления правой части решаемого уравнения f(x)=0}

function F(ck1:real):real;

begin

F:=T*(-2*k1*pow(ck1,2)*((ck1-c01)/2+c02)+2*k2*((-ck1+c01)/2+c03)*pow((-2*ck1+2*c01)/2+c04,2))-ck1+c01;

end;

procedure TForm1.ButtonMPDClick(Sender: TObject);

begin

{Чтенине параметров метода из формы}

a := StrToFloat(Form1.EditA.Text);

b := StrToFloat(Form1.EditB.Text);

eps := StrToFloat(Form1.EditE.Text);

{Решение уравнения}

mpd(ck1, a, b, eps, F);

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

{Dывод результатов в поле Memo1}

Form1.Memo1.clear ;

Form1.Memo1.Lines.Add ('Метод деления пополам');

Form1.Memo1.Lines.Add

('ck1 =' + FloatToStr(ck1));

Form1.Memo1.Lines.Add

('ck2 =' + FloatToStr(ck2));

Form1.Memo1.Lines.Add

('ck3 =' + FloatToStr(ck3));

Form1.Memo1.Lines.Add

('ck4 =' + FloatToStr(ck4));

end;

Полученные ответы:

2.3 Метод Ньютона (касательных)

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643--1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Пусть корень о уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня x_n-1. Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом. Положим

x_n = x_n-1 + h_n-1 . (2.1)

Раскладывая в ряд f(x=о) в точке x_n-1, получим

f(x_n) = f(x_n-1+h_n-1) = f(x_n-1) + f'(x_n-1)h_n-1=0

Отсюда следует

. (2.2)

Подставим (2,2) в формулу (2.1), получим

(2.3)



Рис.2.2. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой (см. рис.1).

В точке B имеем f(x₀)f''(x₀)>0. Здесь x₀=b. Проведем касательную в точке B, получим на пересечении касательной осью OX точку x₁. Далее проводим касательную в точке B₁, получим точку x₂ и т.д.

Если положить x₀=a, то в точке x₀ будем иметь f(x₀)f''(x₀)<0. Тогда касательная в точке A пересекла бы ось OX в точке x'₁, лежащей вне отрезка [a,b], то есть при таком выборе начальной точки, метод Ньютона оказывается расходящимся. Достаточные условия сходимости метода Ньютона определяются следующей теоремой.

Теорема 5. Если f(a)f(b)<0, причем f'(x) и f''(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при a?x?b, то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству

f(x₀)f''(x₀)>0 (2.4)

можно вычислить методом Ньютона (2.3) единственный корень о уравнения f(x)=0 с любой степенью точности.

Доказательство: Пусть . Согласно неравенству (2.4) в качестве точки x₀ мы должны взять ту границу отрезка, для которой f(x₀)>0, т.е. в данном случае т. b.

Итак, имеем x₀>о. Докажем, что все приближения x_n> о и следовательно все f(x_n)>0. Пусть теперь x_n-1> о. Положим о = x_n-1 + (о-x_n-1).

Применяя формулу Тейлора, получим

,

где о <c_n-1<x_n-1.

Так как f''(x)>0, то имеем

и, следовательно

ч.т.д. (2.5)

Из (2.5) учитывая знаки и имеем x_n<x_n-1, то есть получаем ограниченную монотонную убывающую последовательность . Следовательно, существует .

Переходя к пределу в формуле (2.3) получим , то есть f(о)=0, и следовательно, о- корень ,ч.т.д.

Оценим скорость сходимости метода Ньютона. Из (2.3) следует

. (2.6)

Представим f(о) в виде

, откуда

. (2.7)

Подставим (2.7) в (2.6), получим

Отсюда

(2.8)

Здесь ,

Таким образом, скорость сходимости метода Ньютона квадратичная. Рис.2.3

Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

|x_n - x_n-1|<е.

Замечание. В общем случае совпадение с точностью до е двух последовательных приближений x_n-1 и x_n не гарантирует, что с той же точностью совпадет x_n и о (см. рис. 2). Поэтому целесообразно проверять кроме разности |x_n - x_n-1|<е также значение функции f(x_n): |f(x_n)|< е₁.

2.4 Пример решения задачи методом касательных

В Delphi напишем программу для расчета корней уравнений методом касательных:

{Функция вычисляющая производную от F (x)}

Function der_f(Ck1 : real) : real;

var a, b, eps : real;

begin

ck2:= c02+(ck1-c01)/2;

ck3:= c03-(ck1-c01)/2;

ck4:= c04-(ck1-c01);

der_f := t*(-2*k1*(2*ck1*ck2+sqr(ck1)*0.5)+2*k2*(-0.5*sqr(ck4))+2*ck3*ck4*(-1))-1;

end;

procedure TForm1.Button3Click (Sender: TObject);

var x0, x1, eps : real;

begin

{Чтение начального приближения и допустимой погрешности из формы}

x1 := StrToFloat(Form1.Edit4.Text);

eps := StrToFloat(Form1.EditE.Text);

{Уточнение корня по итерационной формуле Ньютона}

repeat

x0 := x1;

x1 := x0-f(x0)/der_f(x0);

until abs(x1-x0)<eps;

{Заключительные вычисления}

Ck1 := x1;

ck2:= c02+(ck1-c01)/2;

ck3:= c03-(ck1-c01)/2;

ck4:= c04-(ck1-c01);

{Вывод результатов в поле Memo4}

Form1.Memo4.Lines.Clear;

Form1.Memo4.Lines.Add('Метод касательных (Ньютона)');

Form1.Memo4.Lines.Add('Ck1 = '+FloatToStr(Ck1));

Form1.Memo4.Lines.Add('Ck2 = '+FloatToStr(Ck2));

Form1.Memo4.Lines.Add('Ck3 = '+FloatToStr(Ck3));

Form1.Memo4.Lines.Add('Ck4 = '+FloatToStr(Ck4));

end;

Получим ответ:

2.5 Метод секущих

При нахождении нулей функции f, для которой вычисление f'(x) затруднено, часто лучшим выбором, чем метод Ньютона, является метод секущих. В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами x₁ и х₂. На каждом шаге x_k+1 получают из x_k и x_k-1 как единственный нуль линейной функции, принимающей значения f(x_k) в x_k и f(x_k-1) в x_k-1. Эта линейная функция представляет секущую к кривой у = f(х), проходящую через ее точки с абсциссами x_k и x_k-1 - отсюда название метод секущих.

Пусть -- абсциссы концов хорды, -- уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты и из системы уравнений:

.

Вычтем из первого уравнения второе:

, затем найдем коэффициенты и :

, тогда

.

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

Теперь возьмем координаты и и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

.

Повторять операцию следует до тех пор, пока не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

2.6 Пример решения задачи методом секущих

В Delphi напишем программу для расчета корней уравнений методом секущих:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var ck1, x0, x1, x2, eps :real;

begin

x1:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

x2:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Form1.Edite.Text);

{уточнения корня по итерационной форме}

repeat

x0:=x1;

x1:=x2;

x2:=x1-(x0-x1)*f(x1)/(f(x0)-f(x1));

until abs(x2-x1)<eps;

{Заключительные вычисления}

ck1:=x2;

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

{Вывод результатов в поле Memo}

Form1.Memo2.clear ;

Form1.Memo2.Lines.Add ('Метод деления пополам');

Form1.Memo2.Lines.Add

('ck1 =' + FloatToStr(ck1));

Form1.Memo2.Lines.Add

('ck2 =' + FloatToStr(ck2));

Form1.Memo2.Lines.Add

('ck3 =' + FloatToStr(ck3));

Form1.Memo2.Lines.Add

('ck4 =' + FloatToStr(ck4));

end;

Получим ответ:

2.7 Метод простой итераций

Метод простой итерации -- один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.

Идея метода простой итерации состоит в том, чтобы уравнение привести к эквивалентному уравнению

,

так, чтобы отображение было сжимающим. Если это удаётся, то последовательность итераций сходится. Такое преобразование можно делать разными способам. В частности, сохраняет корни уравнение вида

если на исследуемом отрезке. Оптимальным выбором является , что приводит к методу Ньютона, который является быстрым, но требует вычисления производной. Если в качестве выбрать константу того же знака, что и производная в окрестности корня, то мы получаем простейший метод итерации.

В качестве функции берут некоторую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в некоторой окрестности корня (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная обычно не зависит и от номера шага. Иногда берут и называют этот метод методом одной касательной. Формула итераций оказывается предельно простой:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .

Эта формула, а также требование совпадения знаков и легко выводятся из геометрических соображений. Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Рис 2.3. Иллюстрация последовательных приближений метода простой итерации

Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся прямые с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных, имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

На рисунке 2.3.изображены итерации при в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

2.8 Пример решения задачи методом простой итерации

В Delphi напишем программу для расчета корней уравнений методом простой итеррации:

Function fi(Ck1 : real):real;

begin

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

Fi :=T*(-2*k1 *pow(ck1,2)*((ck1-c01)/2+c02)+2*k2*((-ck1+c01)/2+c03)*pow((-2*ck1+2*c01)/2+c04,2))+c01;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

var x0, x1, eps: real;

begin

{Чтение начального приближения и допустимой погрешности из формы}

x1 := StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

eps := StrToFloat(Form1.EditE.Text);

{Уточнение корня по итерационной формуле}

repeat

x0 := x1;

x1 := 0.5*x0+0.5*fi(x0);

until abs(x1-x0)<eps;

Ck1 := x1;

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

{Вывод результатов в поле Memo3}

Form1.Memo3.Lines.Clear;

Form1.Memo3.Lines.Add('Метод простой итерации');

Form1.Memo3.Lines.Add('Ck1 = '+FloatToStr(Ck1));

Form1.Memo3.Lines.Add('Ck2 = '+FloatToStr(Ck2));

Form1.Memo3.Lines.Add('Ck3 = '+FloatToStr(Ck3));

Form1.Memo3.Lines.Add('Ck4 = '+FloatToStr(Ck4));

end;

Получим ответ:

2.9 Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в программе MathCAD с помощью функции root

Функция root. В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root, которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где - имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, - скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, - границы интервала локализации корня.

2.10 Пример решения задачи в программе MathCAD с помощью функции root и простой итерации

Root

Простой итерации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для решения нелинейных алгебраических уравнений могут быть использованы методы:

· деления отрезка пополам

· касательных (Ньютона)

· секущих

· простой итеррации

· решения с помощью функции root

При правильно составлении программ численные значения корней уравнений, полученные любым из способов, одинаковы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бусыгин, Н. Ю.Автоматизированные системы химических расчетов: решение задач в среде Mathcad [Электронный ресурс]: учебное пособие (58 Мб) / Николай Юрьевич Бусыгин.- СПб.: СПГУТД, 2009.

2.Бусыгин, Н.Ю. Информатика. Численные методы в химико-технологических расчетах.- СПб.: СПГУТД, 2001.- 76 с

3.Бусыгин, Н.Ю. Системный анализ технологических процессов. Автоматизированный расчет сложных химико-технологических систем / Н.Ю. Бусыгин, И.В. Багров.- СПб.: СПГУТД, 2002.- 142 с.

4.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%85%D0%BE%D1%80%D0%B4

5.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0

6.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8

Размещено на Allbest.ru