Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

МУ "Комитет по образованию города Улан-Удэ"

МАОУ СОШ №42

Реферат

"Системы счисления"

Выполнил: Бохоева Л.

Проверил: Намдыкова Т.Г.

2012-2013 год

Система счисления -- символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

ь даёт представления множества чисел (целых или вещественных);

ь даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

ь отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман. Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием системы счисления.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

Ш единичная (счёт на пальцах, зарубки, узелки "на память" и др.);

Ш двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

Ш троичная;

Ш восьмеричная;

Ш десятичная (используется повсеместно);

Ш двенадцатеричная (счёт дюжинами);

Ш тринадцатеричная;

Ш шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);

Ш шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система убывания может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Примеры непозиционных систем счисления разных народов:

Ш Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр.

Ш Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э.

Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10І, 10і, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Ш Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I обозначает 1,

V - 5,

X - 10,

L - 50,

C - 100,

D - 500,

M - 1000

Например, II = 1 + 1 = 2

Здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:

VI = 6

Ш Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400. Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

Ш Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. счисление цифра нумерация

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Ш Вавилонская система счисления

Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: прямой клин v для обозначения единиц и лежачий клин < для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда.

Новый шестидесятеричный разряд начинался с появлением прямого клина после лежачего клина, если рассматривать число справа налево:

vv <vv = (60*2)+(10*1+2) = 13210

2-й 1-й разряды

Вначале нуля не было. Позже ввели обозначение для пропущенных шестидесятеричных разрядов, что соответствует появлению нуля, но в первом разряде справа этот знак не ставился, что приводило к неоднозначности записи чисел и для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения.

- пример записи числа 32.

Ш Греческая система счисления

Греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая - непозиционная система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные символы, такие как т (стигма), ? (копа) и ? (сампи).

Эта система пришла на смену аттической, или старогреческой, системе, которая господствовала в Греции в III веке до н.э.

Необходимость сохранять порядок букв ради сохранения их числовых значений привела к относительно ранней (4 век до н.э.) стабилизации греческого алфавита.

Ш Алфавитная система счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел.

Примеры смешанных систем счисления:

Ш Факториальная система счисления

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

Ш Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. При этом в коофицентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Размещено на Allbest.ru