Системы счисления
Понятие и назначение систем счисления как символического метода записи чисел и представления чисел с помощью знаков. Характеристика позиционные непозиционных и смешанных систем счисления. Общие способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.11.2013 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3
Контрольная работа
Системы счисления
Содержание
Введение
Системы счисления
Позиционные системы счисления
Непозиционные системы счисления
Смешанные системы счисления
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Заключение
Список использованной литературы
Условия задания № 2
Условия задания № 3
Условия задания № 4
Введение
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш. В наше время известно множество способов представления чисел. Но в любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами, символические изображения чисел - кодами, а правила их получения - системами счисления (кодирования). Что такое системы счисления и многое другое, мы рассмотрим ниже.
число знак позиционная система счисление
Системы счисления
Система счисления -- символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.
Самой распространенной системой счисления в нашем мире является, конечно же, всем известная, десятичная система счисления (система с основанием 10). И не спроста - т.к. она имеет исторические корни. Одним из суждений является то, что наши предки использовали для счета пальцы рук, а их, как известно, десять. Я думаю, что вы все о ней конечно же слышали. Каждый день мы с ней сталкиваемся, т.к. практически все числовые записи, которые мы видим день ото дня, находятся именно в ней: цены в магазинах, номера страниц в любимой книге, практически весь курс арифметики и т.д. Так как эта система счисления десятичная, то, соответственно, в ней для записи чисел используется 10 знаков (цифр), а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Самая младшая цифра - это 0, а самая старшая - это 9 и она всегда на единицу меньше, чем основание (10).
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах.
Каждая позиционная система счисления определяется некоторым натуральным числом p>1 (основание системы счисления) таким, что p единиц в каждом разряде объединяется в одну единицу следующего по старшинству разряда. Система счисления с основанием p также называется p-ичной
Число x в p-ичной счисления представляется в виде линейной комбинации степеней числа p:
Где, -- это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству , k -- порядковый номер разряда, начиная с нулевого, n - число разрядов
Каждая степень в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k. Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра в p-ичном представлении x была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его p-ичных разрядных единиц, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
Наиболее употребительными в настоящее время позиционными системами являются:
2 -- двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании).
10 -- десятичная система счисления (привычная нам система).
16 -- шестнадцатеричная (наиболее часто используется в программировании).
60 -- шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты).
Непозиционные системы счисления
Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:
· 1 -- |
· 2 -- ||
· 3 -- |||, и т. д.
Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы, из которой последовательным сложением получается необходимое число:
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания.
Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.
Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячеления до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:
· шест -- единицы,
· дуга -- десятки,
· пальмовый лист -- сотни,
· цветок лотоса -- тысячи.
Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками -- старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы -- большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей -- вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.
Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.
В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.
В качестве словесной системы номерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны в языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций вредполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.
Смешанные системы счисления
Смешанная система счисления является обобщением p-ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация:
,
где на коэффициенты накладываются некоторые ограничения. Записью числа z в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k , начиная с первого ненулевого.
Если для некоторого p , то смешанная система счисления совпадает с p-ичной системой счисления. Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению секунд.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Правила перевода целых чисел.
Результатом является целое число.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:
a. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
b. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
c. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
d. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.
Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:
Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:
Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.
Пример 3.4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления.
Имеем:
1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 1316 = 19.
Пример 3.5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:
100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 100112 = 19.
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
a. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
b. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей
Пример 3.6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:
В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116.
Тогда 100112 = 1316.
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
a. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
b. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Пример 3.7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.
По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 = 00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.
Правила перевода правильных дробей
Результатом является всегда правильная дробь.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:
a. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);
b. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;
c. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).
d. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;
e. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.
Пример 3.8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.
Имеем:
В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, 0,847 = 0,11012.
Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.
В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D2.
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.
Пример 3.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012.
Имеем: 0,11012 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
Таким образом, 0,11012 = 0,8125.
Пример 3.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Имеем: 0,D8D16 = 13*16-1 + 8*16-2 + 13*16-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0,D8D16 = 0,84692.
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
a. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;
b. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.
Пример 3.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,11012. Имеем: 0,11012 = 0,11012 В соответствии с таблицей 11012 = D16. Тогда имеем 0,11012 = 0,D16.
Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012.
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,00101012 = 0,001010102. В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16. Тогда имеем 0,00101012 = 0,2A16.
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
a. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;
b. незначащие нули отбрасываются.
Пример 3.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.
По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102. Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А16 = 0,00101012.
Заключение
Польза различных систем счисления огромна, что дало человечеству много плюсов. Например, когда были придуманы компьютеры, люди столкнулись с тем, что очень сложно записывать в компьютер различные числа десятичного формата, как раз привычного нам. Нужно было сделать так, чтобы привычные нам числа в десятичной системе (745, или 12624) хранились в памяти компьютера в последовательности нулей и единиц. Тем самым была изобретена 2-ичная система счисления. Шестнадцатеричная система (цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F) счисления используется в программировании и компьютерной документации, так как в компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, и его значения удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.
Список использованной литературы
1.http://ru.wikipedia.org/wiki/
2.http://ru.wikibooks.org/wiki/
3.http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/
4.Атрощенко В.А. и др. «Курс лекций по информатике»
Условия задания № 2
Определить значение функции с использованием электронных таблиц MS Excel. Построить график изменения функции при изменении аргумента от 1 до 10 с шагом 0,5. Ввод значения аргумента и его приращения выполнить за счет использования автозаполнения арифметической прогрессией. Определить среднее, минимальное и максимальное значения функции вывести эти данные на графике, используя команду Добавить данные из меню Диаграмма.
Условия задания № 3
Создать реляционную базу данных с использованием СУБД MS Access в соответствии с исходными данными своего варианта. Сформировать отчет, запрос и форму по полям на усмотрение студента.
Условия задания № 4
Провести расчет заданных функций цикла и ветвления в алгоритмическом языке Turbo Pascal в соответствии с заданным вариантом. Составить блок - схемы алгоритмов решения задач. Постоянные коэффициенты А, В, С ввести как переменные значения. Провести расчеты для трех значений коэффициентов А, В и С. На печать вывести текст программы и результаты расчетов.
Задание 1 (алгоритм цикла)
Задание 2 (алгоритм ветвления)
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.
курсовая работа [232,6 K], добавлен 16.01.2012Система счисления как способ записи (изображения) чисел. История появления и развития различных систем счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная. Основные принципы и правила алгоритма перевода из одной системы счисления в другую.
курсовая работа [343,1 K], добавлен 11.11.2014Понятие и классификация систем счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод правильных и неправильных дробей. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ. Навыки обращения с двоичными числами. Точность представления чисел в ЭВМ.
реферат [62,0 K], добавлен 13.01.2011Двоичный код, особенности кодирования и декодирования информации. Система счисления как совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Классификация систем счисления, специфика перевода чисел в позиционной системе счисления.
презентация [16,3 K], добавлен 07.06.2011История систем счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное кодирование в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Запись цифр в римской нумерации. Славянская нумерация, сохранившаяся в богослужебных книгах.
презентация [516,8 K], добавлен 23.10.2015Примеры правила перевода чисел с одной системы в другую, правила и особенности выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления. Перевод числа с десятичной системы в двоичную систему счисления. Умножение целых чисел в двоичной системе.
контрольная работа [37,3 K], добавлен 13.02.2009Предыстория чисел, связь названий чисел с определенной схемой счета. Системы счисления в Древнем Египте, Вавилоне, Греции, Риме, Америке, Китае, Индии, Аравии и Западной Европе. Обозначения чисел у древних евреев. Позиционные системы счисления.
реферат [34,3 K], добавлен 15.03.2013Сущность и история возникновения систем счисления: определение, разновидности, свойства. Символы и правила их использования при записи чисел. Вариации и обобщения; запись рациональных чисел. Отрицательные, нецелочисленные и комплексные основания.
реферат [150,2 K], добавлен 16.10.2013Обработка информации и вычислений в вычислительной машине. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры перевода десятичного целого и дробного числа в двоичную систему счисления. Десятично-шестнадцатеричное и обратное преобразование чисел.
контрольная работа [41,2 K], добавлен 21.08.2010Порождение целых чисел в позиционных системах счисления. Почему мы пользуемся десятичной системой, а компьютеры - двоичной (восьмеричной и шестнадцатеричной)? Перевод чисел из одной системы в другую. Математические действия в различных системах счисления.
конспект произведения [971,1 K], добавлен 31.05.2009
