Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Машиностроительный факультет

Кафедра "Информационные технологии"

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине "Информатика"

на тему: "Исследование математической модели механической колебательной системы"

Исполнитель: студент гр. ТМ-21

И.В.Корж

Гомель 2012

Содержание

Введение

1. Компьютерное моделирование технического объекта

1.1 Принципы компьютерного моделирования

1.2 Применяемые численные методы в моделировании динамических систем

1.3 Применение системы MathCAD в компьютерном моделировании

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных данных

2.4 Графическая схема алгоритма решения, ее описание

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

3.3 Выводы по результатам исследований

Заключение

Список используемой литературы

компьютерный моделирование математический mathcad

Введение

Компьютерное моделирование является одним из наиболее мощных средств исследования, в частности, сложных динамических систем. Как и любое компьютерное моделирование, оно дает возможность проводить вычислительные эксперименты с еще только проектируемыми системами и изучать системы, натурные эксперименты с которыми, из-за соображений безопасности или дороговизны, не целесообразны. В тоже время, благодаря своей близости по форме к физическому моделированию, это метод исследования доступен более широкому кругу пользователей.

В настоящее время, когда компьютерная промышленность, предлагает разнообразнейшие средства моделирования, любой квалифицированный инженер, технолог или менеджер должен уметь уже не просто моделировать сложные объекты, а моделировать их с помощью современных технологий, реализованных в форме графических сред или пакетов визуального моделирования.

Таким образом, мы можем сделать вывод об актуальности рассматриваемой проблемы. Этим обуславливается выбор темы для данной дипломной работы.

Объектом исследования являются динамические системы типа хищник-жертва.

Предметом исследования данной курсовой работы является компьютерное моделирование динамических систем.

Моделирование является одним из наиболее эффективных методов исследования. Оно заключается в построении и изучении специальных объектов (моделей), свойства которых подобны наиболее важным, с точки зрения исследователя, свойствам исследуемых объектов (оригиналов). В широком смысле моделирование представляет собой научную дисциплину, в которой изучаются методы построения и использования моделей для познания реального мира.

В данной курсовой работе произведем исследование системы, состоящей из двух элементов, связанных между собой пружиной-жесткостью С. Это исследование может быть полезно при исследовании колебательных движений в теоретической механике.

1. Компьютерное моделирование технического объекта

1.1 Принципы компьютерного моделирования

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения физических систем. Часто компьютерные модели проще и удобнее исследовать, они позволяют проводить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или может дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемых объектов, исследовать отклик физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Компьютерное моделирование требует абстрагирования от конкретной природы явлений, построения сначала качественной, а затем и количественной модели. За этим следует проведение серии вычислительных экспериментов на компьютере, интерпретация результатов, сопоставление результатов моделирования с поведением исследуемого объекта, последующее уточнение модели и т.д.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся: постановка задачи, определение объекта моделирования; разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия; формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы; планирование и проведение компьютерных экспериментов; анализ и интерпретация результатов.

Различают аналитическое и имитационное моделирование. Аналитическими называются модели реального объекта, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Принципы моделирования состоят в следующем:

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об объекте построить модель невозможно. При наличии полной информации моделирование лишено смысла. Существует уровень информационной достаточности, при достижении которого может быть построена модель системы.

2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования за конечное время.

3. Принцип множественности моделей. Любая конкретная модель отражает лишь некоторые стороны реальной системы. Для полного исследования необходимо построить ряд моделей исследуемого процесса, причем каждая последующая модель должна уточнять предыдущую.

4. Принцип системности. Исследуемая система представима в виде совокупности взаимодействующих друг с другом подсистем, которые моделируются стандартными математическими методами. При этом свойства системы не являются суммой свойств ее элементов.

5. Принцип параметризации. Некоторые подсистемы моделируемой системы могут быть охарактеризованы единственным параметром: вектором, матрицей, графиком, формулой.

Компьютерное моделирование систем часто требует решения дифференциальных уравнений. Важным методом является метод сеток, включающий в себя метод конечных разностей Эйлера. Он состоит в том, что область непрерывного изменения одного или нескольких аргументов заменяют конечным множеством узлов, образующих одномерную или многомерную сетку, и работают с функцией дискретного аргумента, что позволяет приближенно вычислить производные и интегралы. При этом бесконечно малые приращения функции f = f(x, y, z, t) и приращения ее аргументов заменяются малыми, но конечными разностями.

1.2 Численные методы в математическом моделировании динамических систем

При математическом моделировании исследование динамики работы оборудования осуществляется на основе изучения поведения его математической модели. Построение такой модели базируется на расчетной схеме исследуемого объекта, а также принятых ограничениях и допущениях. Большинство математических моделей динамических систем представляют собой систему дифференциальных уравнений, отражающих физические процессы в объекте .

Рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) первого порядка с одним начальным условием. Это так называемая задача Коши: найти частное решение y = y(x) ОДУ y' = f(x,y) (4.1), удовлетворяющее начальному условию :

y(x0) = y0 (1)

Эти методы легко обобщаются на системы уравнений первого порядка. Кроме того, уравнения более высоких порядков можно свести к системе ОДУ первого порядка. Например, изменяя в уравнении y"= ц(y',y,x) y на y1, а y' на y2, получим систему:

y' = y2, (2)

y'2 = ц(y2,y1,x)

Наиболее распространенными являются методы конечных разностей (МКР). В разностных методах вводится последовательность точек x0, x1,…xi и шаг hi = xi+1 - xi В каждой точке xi, называемой узлом вместо значений функции y(xi) вводят числа yi, которые аппроксимируют точное решение y на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы i=0,1,2,…, называют сеточной функцией.

Изменяя значение производной в уравнении (1) отношением конечных разностей, осуществляют переход от дифференциальной задачи (1), (2) к разностной как то сеточной функции y:

yi+1 = F(xi, hi, yi-r, yi-r+1,…, yi, yi+5). (3)

Конкретное выражение правой части (3 ) зависит от способа аппроксимации производной, и функция F определяет вычислительную схему метода.

Можно привести такую классификацию методов. Если r=0 и 0?s?1, то численный метод называется одношаговым, если r?1или s>1, то многошаговым. Многошаговые и одношаговые методы называются явными, если s=0, и неявными, если s?0.

Для решения дифференциальных уравнений также можно использовать метод Рунге-Кутта. Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:

= ?(t, X, Y,…)

= g(t, X,Y,…)

которые имеют решение:

X = X(t),

Y = Y(t),

где t - независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. - искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g - заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение - частный случай системы с одним элементом. Поэтому, как правило, речь идет для определенности о системе уравнений.

Метод может быть полезен и для решения дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, так как они могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка. Отличительная особенность метода - уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге-Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Метод Рунге-Кутта заключается в рекуррентном применении следующих формул:

Xk+1 = Xk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

Yk+1 = Yk + (m1 + 2m2 + 2m3 + m4),…, (10)

k1 = ?(tk, Xk, Yk,…)?t,

m1 = g(tk, Xk, Yk,…)?t,…,

k2 = ?(tk + , Xk +, Yk + ,…)?t,

m2 = g(tk + , Xk +, Yk + ,…)?t,…,

1.3 Использование пакета MathCAD в компьютерном моделировании динамических систем

Основным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к вычислению конечного числа арифметических действий над числами.

Использование пакета MathCAD в компьютерном моделировании основано, прежде всего на решении дифференциальных уравнений. Для последующего раскрытия этого вопроса необходимо ввести такое понятие как дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения -- это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными. В противном случае говорят об уравнениях в частных производных.

В Mathcad использован наиболее популярный алгоритм Рунге--Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем. Поэтому в большинстве случаев стоит применять функцию rkfixed. Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительна, стоит попробовать вместо rkfixed другие функции, тем более, что сделать это очень просто благодаря одинаковому набору параметров. Для этого нужно только поменять имя функции в программе. Функция Rkadapt может быть полезна в случае, когда известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо либо существуют участки медленных и быстрых его изменений. Метод Рунге--Кутта с переменным шагом разбивает интервал не на равномерные шаги, а более оптимальным способом. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений -- частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed.

Функция Odesolve, решающая дифференциальные уравнения блочным методом.

Odesolve использует для решения дифференциальных уравнений наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем.

Для дальнейшего раскрытия данного вопроса необходимо более тщательно рассмотреть данные функции:

- rkfixed(y, x1, x2, p, D)-метод Рунге--Кутта с фиксированным шагом;

-rkadapt (y, x1, x2, p, D) -- метод Рунге--Кутта с переменным шагом;

где y- вектор начальных условий из k элементов (k - количество уравнений в системе);

x1 и x2 - левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ

p -- число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D - вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - сами решения. На рисунке 1.3 приведен пример решения системы ОДУ при помощи первой из функций rkfixed. Результат расчетов представлен на рис. 1.4 как содержимое матрицы. Чтобы использовать другой численный алгоритм, достаточно поменять имя функции rkfixed в последней строке листинга на другое.



Рисунок 1.3 - Решение системы двух ОДУ

Рисунок 1.4 - Результат, выдаваемый встроенной функцией в качестве решения системы ОДУ

Первая строка рисунка 1.3 представляет задание параметров модели, вторая -- начального условия задачи Коши, а в третьей строке рисунка определено число шагов, на которых рассчитывается решение. Самая важная -- это предпоследняя строка, в которой, собственно, определяется система ОДУ. Последняя строка присваивает матричной переменной и результат действия функции rkfixed. Решение системы ОДУ будет осуществлено на промежутке (0,40). Матрица, представляющая решение, показана на рис. 1.4. Размер полученной матрицы будет равен (M+i)x(N+l), т. е. 51x3. Просмотреть все компоненты матрицы и, которые не помещаются на экране, можно с помощью вертикальной полосы прокрутки.

Для решения единственного уравнения (любого порядка) необходимо использовать вычислительный блок Given/Odesolve. Строгого общепринятого математического определения жестких ОДУ нет. Будем считать, что жесткие системы -- это те уравнения, решение которых получить намного проще с помощью определенных неявных методов, чем с помощью явных методов. Примерно такое определение было предложено в 1950-х гг. классиками в этой области Кертиссом и Хиршфельдером.

Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ:

-Radau(y0,t0,t1,M,F) -- алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;

- stiffb(y0,t0,1,M,F, J) -- алгоритм Булирша--Штера для жестких систем ОДУ;

- stiffr (y0, t0, t1,M, F, J) -- алгоритм Розенброка для жестких систем ОДУ:

где у0 -- вектор начальных значений в точке to;

t0,t1 -- начальная и конечная точки расчета;

M -- число шагов численного метода;

F -- векторная функция F(t, у) размера 1xN, задающая систему ОДУ;

J -- матричная функция j(t,y) размера (N+1)xN, составленная из вектора производных функции F(t,y) no t (правый столбец) и ее якобиана (N левых столбцов).

Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение -- значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

С использованием системы MathCAD рассчитать значение функций перемещения, скорости и ускорения механической системы с двумя массами под воздействием начальных значений перемещения и скорости без учета возмущающей силы. Построить графики этих функций.

Рассчитать значение функций перемещения скорости и ускорения механической системы без воздействия начальных значений перемещения и скорости с учетом гармонической возмущающей силы F(t) = F0sin(wt). Построить графики новых функций.

Рассчитать значение функций перемещения двух масс механической системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты. Провести не менее 10 - 12 опытов, вычислить для каждой частоты значение максимальной амплитуды перемещения системы.

Построить графики функций перемещения, график амплитудно-частотной характеристики, показать явление резонанса. Сделать выводы по полученным результатам.

2.2 Описание математической модели

Имеется система,состаящая из двух элементов,связанных между собой пружиной-жесткостью С (рисунок 2.3) . На первый элемент системы,массой m1, приложена движущая сила F(t),перемещению 2-го элемента,массой m2,препятствует сопротивление трения Sm. С учетом этих сил дифференциальное уравнение движения механической системы (2.1) представлено в виде:



Преобразованное дифференциальное уравнение имеет вид (2.2),где:

Х1-перемещение 1-ого груза

Х2-перемещение 2-ого груза

Х3-скорость 1-ого груза

Х4-скорость 2-ого груза

Исходные данные представлены в таблице 2.4.

	m1,\кг	m2, кг	C КН/м	Sm КН/м/с	F0 КН	w c-1	Т с
	10	20	5	2,5	40	50 -150	140

2.3 Анализ исходных данных

Исходные данные представлены в таблице 2.4

Исходными данными для работы являются:

• К -жесткость пружины.

• m - масса груза.

• б - коэффициент демпфирования.

• F0 - амплитуда возмущающей силы.

• w - частота возмущающей силы.

• Т - время исследования системы



Рисунок 2.3

2.4 Графическая схема решения задачи

На данной графической схеме( Рисунок 2.4) представлено краткое описание решения задачи в системе MathCAD. Первым пунктом графической схемы является ввод исходных данных. Далее записываем дифференциальное уравнение.

Следующим пунктом является решение дифференциального уравнения. Строим графики перемещения, скорости и ускорения(рисунки А1,А2,А3). После выполняем те же операции, только с учетом возмущающей силы. Строим полученные графики перемещения, скорости и ускорения (приложение Б).

Изменяя величину частоты проводим 11 опытов(приложение В).

Далее строим сводный график зависимости амплитуды от времени при каждом значении частоты (рисунок Г2).

Последним этапом нашей работы является определение значения резонанса.

Графическая схема решения данной задачи приведена ниже.

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

1. Исследования будем проводить в следующем порядке:

2. Для исходной механической колебательной системы с помощью системы MathCad рассчитываем значения функций перемещения, скорости и ускорения. Для этого сначала нужно решить дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed.

3. Проделав расчеты нужно построить графики зависимостей перемещений, скоростей и ускорений от времени.

4. Для исходной механической колебательной системы с помощью системы MathCad рассчитываем значения функций перемещения, скорости и ускорения с учетом гармонической возмущающей силы. Для этого также решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed

5. Проделав расчеты строим графики новых функций.

6. Переходим к выполнению опытов.

7. В этом пункте надо рассчитать значение функций перемещения динамической системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты. Для этого требуется провести опыты. В каждом опыте нужно менять значение частоты, решая начальное дифференциальное уравнение, измеряем при этом максимальную амплитуду колебаний по графику зависимости перемещения от времени и график зависимости амплитуды от частоты.

8. На графике амплитудно-частотной характеристики, показываем явление резонанса.

3.2 Описание исследований

Сначала вводим исходные данные к задаче : массу груза, жёсткость пружины, амплитуду, коэффициент демпфирования, частоту возмущающей силы, время исследования системы.

С использованием системы MathCad решается дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed.

Строим графики зависимостей перемещений, скоростей от времени . Записываем дополнительные функции для нахождения ускорения и строим график их зависимостей от времени .Также все это проделываем для резонансной частоты.(Приложение A)

Переходим к проведению опытов. Опыт заключается в том , что используя начальные исходные данные ,мы рассчитываем значение функций перемещения динамической системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты.

Решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed . После чего строим график зависимости амплитуды колебаний от времени.

По графику определяем значение максимальной амплитуды колебания. Таким образом, проделываем 11 опытов. Далее строим результирующий график зависимости амплитуды от времени. и график зависимости амплитуды от частоты. (Приложение Г).

3.3 Выводы по проведённым исследованиям

Проделав большой объём работы можно сделать выводы по исследованиям :

По полученным графикам перемещений, скоростей и ускорений видно явное влияние частоты на амплитуду(рисунок Г2).

По опытам можно судить о том, что с изменением параметра движения колебательной системы (в моём случае частоты) меняются другие величины: перемещения, скорости, ускорения, т.е. они взаимозависимы (приложения А,Б,В).

Определили, что явление резонанса наблюдается при частоте-w=100 рад\с

Заключение

С использованием системы MathCAD было рассчитано значение функций перемещения динамической системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты, определили влияние частоты на амплитуду, нашли частоту, при которой наблюдается явление резонанса, вывели сводный график зависимости амплитуды от частоты и от времени.

Cписок используемых источников

1. Акулич И.М. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа,1993.

2. Гостко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

3. Красинский Н.П. Разина О.Л. MathCad 2000 -М.,"Высшая школа" 2000.

4. Магнус К., "Колебания", пер. с нем., Москва, Мир, 1982.

5. Маркова Л.В., Мастяница В.С. Расчеты в среде MathCAD 7.0. Мн.: МИЦ РИВШ БГУ, 1999.

6. Тарасик В.П. "Математическое моделирование технических систем". - Мн.:1997.

7. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. Пособие: для вузов.- 5-е изд.

8. Турчак Л.И. Основы численных методов М., "Наука", 1987

9. Харитонова В.И. "Математические методы решений физических задач", - Мн.: 1991 г.

10. Кожевников "Механизмы" - справочное пособие 4-e издание, переработанное и дополненное

Размещено на Allbest.ru