Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Теоретические сведения
• Задача
• Выполнение задания в среде MathCad
• Заключение

Введение

Курс математических методов обработки данных необходим для приобретения знаний и навыков в обработки экспериментальных данных, проведению эксперимента.

Исследовательская работа построена на проведение различных экспериментов и очень важно владеть методами обработки результатов и правильно их оценивать.

Целью курсовой работы является закрепление знаний, полученных на II курсе при решении задач, связанных с будущей профессиональной деятельностью студентов в области автоматизации. Курсовая работа предполагает решение студентом задачи по полученным результатам в лаборатории установить зависимость этих данных и оценить ее.

При проведении опыта целью которого, является определение зависимости одной физической величины от другой неизбежно возникают ошибки измерения, поэтому возникает задача по имеющимся экспериментальным точкам наилучшим способом воспроизвести искомую зависимость. Для решения подобных задач часто применяют метод линейной парной регрессии, именно с помощью этого метода я буду решать свою задачу.

Курсовую работу по обработке данных буду проводить с помощью программного обеспечения Mathcad.

Теоретические сведения

Линейная парная регрессия.

Задача линейного регрессионного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости

по результатам измерений

.

Уравнение (эмпирическая регрессия)

,

определяет прямую, которая является оценкой истинной линии регрессии. Необходимо вычислить точечные и интервальные оценки для параметров по результатам эксперимента и проверить значимость полученного уравнения регрессии.

Вычисление коэффициентов всегда производится с использованием метода наименьших квадратов, но этот метод фиксирует лишь "стратегию" получения эмпирических оценок, допуская различные "тактические приемы", что приводит к большому разнообразию конкретных математических постановок задач, методов и формул получения оценок даже в рассматриваемом здесь простейшем случае линейной регрессии. Отметим некоторые из них.

Коэффициенты регрессии можно вычислить

минимизируя сумму квадратов отклонений:

;

численно решая систему уравнений:

,;

решая (с использованием точных или итерационных методов) систему нормальных уравнений, предварительно сформировав ее в явном виде:

;

решая систему нормальных уравнений аналитически:

,, или

,

, , ,

или, если предварительно вычислены оценки дисперсий и коэффициента корреляции

, ,

, то

, .

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии , соответствующие доверительной вероятности , имеют вид:

,

, или

,

,

где - квантиль распределения Стьюдента, определяемый как корень уравнения

,

- функция распределения Стьюдента с степенями свободы.

Доверительная область для всей линии регрессии определяется с помощью уравнений

,

,

описывающих соответственно нижнюю и верхнюю границы области ("полосы"), в которой с доверительной вероятностью лежит истинная линия регрессии. Здесь - квантиль распределения Фишера, определяемый как решение уравнения

;

- функция распределения Фишера с и степенями свободы, - "остаточная" дисперсия, характеризующая рассеяние экспериментальных точек относительно линии регрессии

линейная парная регрессия

.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используется критерий Фишера: если

,

то уравнение регрессии адекватно (статистически значимо) описывает результаты эксперимента при () - процентном уровне значимости.

Отношение (полной и остаточной дисперсий) показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опыта лучше, чем среднее .

Необходимо помнить, что доверительная оценка отклонения эмпирической линии регрессии от теоретической существенно ухудшается по мере удаления от среднего значения . В частности, по этой причине опасна экстраполяция эмпирической регрессионной зависимости за пределы интервала , для которого она получена.

Задача

В ходе эксперимента изучалась способность углерода вызывать замедленное разрушение стали. Целью исследования являлось изучение связи между прилагаемой нагрузкой и временем выдержки. Результаты эксперимента приведены в таблице.

Найти уравнение регрессии.

Оценить адекватность зависимости.

Выполнение задания в среде MathCad

Выборка №1

Выборка №2

Заключение

В курсовой работе мне была поставлена задача по данным эксперимента проведенным в лаборатории найти уравнение регрессии и оценить ее адекватность.

Эту задачу я решал с помощью программного обеспечения Mathcad.

Мною был построен график для каждой из выборок по полученным значениям на котором наглядно видно, что коэффициент детерминации получился близким к единице, при дальнейших расчетах я установил, что для первой выборки он равен 0,791, а для второй выборки он равен 0,775 это свидетельствует о том, что модель адекватна, следовательно, установленная мною зависимость верна.

Размещено на Allbest.ru