Вычисление интегралов в Mathcad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание на курсовую работу

f(x)=

1. Задание 1. 1.1. Постройте и отформатируйте график функции f(x) на заданном отрезке.

1.2 Найти (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции f(x).

1.3. Найти нуль функции на заданном отрезке (решили уравнение f(x)=0).

1.4. Найти первую производную функции f'(x) и построили ее график на заданном отрезке.

1.5. Найти вторую производную функции f”(x) и построили ее график на заданном отрезке.

1.6. Найти значение первой производной функции f'(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

1.7. Найти значение второй производной функции f”(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Задание 2.

1.1. Постройте график функции f(x).

Задайте отрезок для исследования и точку Х0.

1.2. Постройте и отформатируйте график функции f(x) на заданном отрезке.

1.3. Найти (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции f(x).

1.4. Найти нуль функции на заданном отрезке (решили уравнение f(x)=0).

1.5. Найти первую производную функции f'(x) и построили ее график на заданном отрезке.

1.6. Найти вторую производную функции f”(x) и построили ее график на заданном отрезке.

1.7. Найти значение первой производной функции f'(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

1.8. Найти значение второй производной функции f”(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

А)f(x)= B)

Задание 3.

3.1. Вычислить неопределенный интеграл

Задание 4. Вычислите определенный интеграл

Решить в программной среде Exel.

Фирма решила открыть линию по производству шоколада и карамели.

Спрос на шоколад не превышает 200 кг. В неделю, а карамели- не менее 30 кг. В неделю.

Определить оптимальный объем выпускаемой продукции, обеспечивающий максимальный доход от продаж.

сырье	расход сырья на произв.(ед. прод)		поставки сырья в нед.,кг.
	шоколад	карамель
сырье 1	20	18	3000
сырье 2	13	10	1200
оптовая цена р./кг.	700	560

Mathcad -- система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).

Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии -- использует символьное ядро MuPAD.

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get -- «что видишь, то и получаешь»).

Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий .NET иXML позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Количество пользователей в мире -- около 1.8 млн.

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами и интегрирование.

Интегрирование

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным. Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Оператор интегрирования

Интегрирование, дифференцирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7> (или символа "&", что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями (рис. 1), в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести - (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Рис. 1. Оператор интегрирования

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенствили символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD. Конечно, символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций.

Результат численного интегрирования - это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. Поумолчанию TOL=O.OOI. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить меньшее значение TOL.

Отдавайте себе отчет в том, что при вводе в редакторе MathCAD оператора численного интегрирования, вы, фактически, создаете самую настоящую программу. Пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:

1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.

2. В появившемся контекстном меню выберите один из четырех численных алгоритмов (рис. 2).

Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые, как показано на рис. 2, флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

Рис. 2. Выбор алгоритма численного интегрирования

Разработчиками MathCAD 2001 запрограммированы четыре численных метода интегрирования:

- Romberg (Ромберга) - для большинства функций, не содержащих особенностей;

- Adaptive (Адаптивный) - для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;

- Infinite Limit (Бесконечный предел) - для интегралов с бесконечными пределами ();

- Singular Endpoint - для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Старайтесь все-таки оставить выбор численного метода за MathCAD, установив флажок AutoSelect (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.

Если подынтегральная функция "хорошая", т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро и не обращается на нем в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов. Приведем основные идеи итерационного алгоритма Ромберга, который применяется для большинства таких функций.

- Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f (x). В качестве первой итерации полиномы вычисляются по 1, 2 и 4 интервалам. Например, первый полином, построенный по 1 интервалу, - это просто прямая линия, проведенная через две граничные точки интервала интегрирования, второй - квадратичная парабола и т. д.

- Интеграл от каждого полинома с известными коэффициентами легко вычисляется аналитически. Таким образом, определяется последовательность интегралов от интерполирующих полиномов: ii, i₂, . . .

- Из-за интерполяции по разному числу точек вычисленные интегралы ii, 1₂,... несколько отличаются друг от друга. Причем чем больше точек используется для интерполяции, тем интеграл от интерполяционного полинома ближе к искомому интегралу, стремясь к нему в пределе бесконечного числа точек. Поэтому определенным образом осуществляется экстраполяция последовательности ii, I₂, it,,., до нулевой ширины элементарного интервала. Результат этой экстраполяции j принимается за приближение к вычисляемому интегралу.

- Осуществляется переход к новой итерации с помощью еще более частого разбиения интервала интегрирования, добавления нового члена последовательности интерполирующих полиномов и вычисления нового (м-го) приближения Ромберга J^N.

- Чем больше количество точек интерполяции, тем ближе очередное приближение Ромберга к вычисляемому интегралу и, соответственно, тем меньше оно отличается от приближения предыдущей итерации. Как только разница между двумя последними итерациями | J^N-j""¹1 становится меньше погрешности TOL или меньше TOL-|J^N|, итерации прерываются, и J^N появляется на экране в качестве результата интегрирования.О расходящихся интегралах

Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор MathCAD может выдать сообщение об ошибке, выделив при этом оператор интегрирования, как обычно, красным цветом. Чаще всего ошибка будет иметь тип "Found a number with a magnitude greater than 10^Л307" (Найдено число, превышающее значение 10³⁰⁷) или "Can't converge to a solution" (Не сходится к решению), как, например, при попытке вычислить интеграл [- dx Тем не менее, символьный процессор справляется с этим Jo Vx интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

Кратные интегралы

Для того чтобы вычислить кратный интеграл:

1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.

2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3. На месте ввода подынтегральной функции введите еще один оператор интегрирования.

4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла, а вычислительный определяет его приближенно и выдает в виде числа3,142.

Аккуратнее вводите в редакторе MathCAD кратные интегралы, если они имеют различные пределы интегрирования по разным переменным. Не перепутайте пределы, относящиеся к разным переменным. В первой строке пределы интегрирования [а, Ь] относятся к переменной у, а во второй строке кпеременной X.

Дифференцирование

С помощью MathCAD можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от о-го до 5-го порядка включительно. И функции, и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцирование функций только вблизи точек их сингулярности.

Вычислительный процессор MathCAD обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Но больше всего пользователь оценит возможности символьного процессора, который позволяет с легкостью осуществить рутинную работу вычисления производных громоздких функций, поскольку, в отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций.

В MathCAD 2001 для ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций, заданных аналитически, автоматически задействуется символьный процессор

Первая производная

Для того чтобы продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке:

1. Определите точку х, в которой будет вычислена производная, например, х:=1

2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления) или введите с клавиатуры вопросительный знак <?>.

3. В появившихся местозаполнителях (рис. 3) введите функцию, зависящую от аргумента х, т. е. f (х), и имя самого аргумента х.

4. Введите оператор <=> численного или <- символьного вывода для получения ответа.

Рис. 3. Оператор дифференцирования

Производные высших порядков

MathCAD позволяет численно определять производные высших порядков, от 0-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-ГО порядка в точке х, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной, за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор N-Й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится с той же панели Calculus (Вычисления), либо с клавиатуры нажатием клавиш <Ctii>+<?>, и содержит еще два местозаполнителя, в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них. "Производная" при N=O по определению равна самой функции, при N=I получается обычная первая производная.

Частные производные

интегрирование производный компьютерный программа

С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Чтобы определить частную производную численным методом, необходимо предварительно задать значения всех аргументов

1. Задание. Построили и отформатировали график функции (x)на заданном отрезке.



Нашли (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения

заданной на отрезке непрерывной функции f(x).

Нашли нуль функции на заданном отрезке (решили уравнение f(x)=0).



На заданном интервале корни уравнения:

Нашли первую производную функции f'(x) и построили ее график на заданном отрезке.

Нашли вторую производную функции f”(x) и построили ее график на заданном отрезке.

Нашли значение первой производной функции f'(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Нашли значение второй производной функции f”(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Построили график функции f(x). Задали отрезок для исследования и точку X0.

Построили и отформатировали график функции f(x)на заданном отрезке.

Нашли (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции f(x).

Нашли нуль функции на заданном отрезке (решили уравнение f(x)=0).

На заданном интервале корни уравнения: Х1=0

Нашли первую производную функции f'(x) и построили ее график на заданном отрезке.

Нашли вторую производную функции f”(x) и построили ее график на заданном отрезке.

Нашли значение первой производной функции f'(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Нашли значение второй производной функции f”(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Построили график функции f(x). Задали отрезок для исследования и точку X0.

Построили и отформатировали график функции f(x)на заданном отрезке.

Нашли (графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции f(x).

Нашли нуль функции на заданном отрезке (решили уравнение f(x)=0).

На заданном интервале корни уравнения:

Нашли первую производную функции f'(x) и построили ее график на заданном отрезке.



Нашли вторую производную функции f”(x) и построили ее график на заданном отрезке.

Нашли значение первой производной функции f'(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Нашли значение второй производной функции f”(x) в заданной точке X0 и проверили ответ графически.

Вычислить неопределенный интеграл

Построить и отформатировать график первообразной f(x).

Вычислили определенный интеграл

Дано: Фирма решила открыть линию по производству шоколада и карамели. Спрос на шоколад не превышает 200 кг. В неделю, а карамели - не менее 30 кг. В неделю. Определить оптимальный объем выпускаемой продукции, обеспечивающий максимальный доход от продаж.

сырье	расход сырья на произв.(ед. прод)		поставки сырья в нед.,кг.
	шоколад	карамель
сырье 1	20	18	3000
сырье 2	13	10	1200
оптовая цена р./кг.	700	560

Цель работы заключается: Ручной поиск оптимального плана

Планирование вручную оптимальных объемов производства продукции, обеспечивающих максимальную прибыль от реализации продукции.

Будем искать решение этой задачи путем составления табличной модели в среде Exel и внесения в эту модель различных вариантов объема производства продукции.

1 вариант.

2вариант.

3вариант.

4 вариант

5 Вариант.

Программный поиск оптимального плана

Цель: научиться находить оптимальный план с помощью компьютерных программ оптимизации.

Оптимальное машинное решение с помощью оптимизатора Exel.

Отчет по результатам:

Ограничения: спрос на шоколад не должен превышать 200 кг. в неделю, а карамели не менее 30 кг. в неделю, количество шоколада и карамели по плану не может быть отрицательным, количество используемого сырья не должно превышать поставок сырья.

Анализ планов, найденных вручную и спомощью компьютерных программ оптимизации.

По данным таблицы выводим диаграмму в Exel.

Анализ результатов: из пяти составленных вручную планов выпуска продукции наилучшим является первый вариант плана, при этом плане объемы производств шоколада и карамели В6, С6 составляют 65 и 35 единиц продукции, соответственно прибыль составляет 65100 единиц. А при помощи оптимизатора Exel найден оптимальный план выпуска продукции, при котором план объема производства шоколада и карамели В6, С6 составляют 0 и 120 единиц продукции, соответственно прибыль при этом плане составляет 67200 единиц. Исходя из оптимального плана, предприятию нужно избавиться от запасов шоколада на складе и увеличить запасы карамели.

Список литературы

http://ru.wikipedia.org

htthttp://www.exponenta.ru

p://moodle.kubsu.ru

Размещено на Allbest.ru