Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Таврійський державний агротехнологічний університет

Контрольна робота №1

з курсу «Алгоритмічні мови та програмування»

Мелітополь, 2012

Системы счисления

Система счисления -- это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7*10² + 5*10¹ + 7*10⁰ + 7*10^-1 = 757,7.

компьютер двоичный система счисление

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления -- это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число -- два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры - 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 - замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел -- от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10 - я 2 - я 8 - я 16 - я 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9	10 - я 2 - я 8 - я 16 - я 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например,

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Пpи переводе правильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения.

Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод.

В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:



Ответ: 0,35₁₀ = 0,01011₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆ .

Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеpы:

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах -- десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую.

Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:



На этом рисунке использованы следующие обозначения:

· в кружках записаны основания систем счисления;

· стрелки указывают направление перевода;

· номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел

Таблица 4.1.



Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны -- это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом.

Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе	Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616	Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316	Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3*8² + 1*8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2-¹ = 141,5;

215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8-¹ = 141,5;

8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16-¹ = 141,5.

Упражнения

4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть x -- искомое основание системы счисления.

Тогда

100_x = 1 · x² + 0 · x¹ + 0 · x⁰,    21_x = 2 · x¹ + 1 · x⁰, 24_x = 2 · x¹ + 4 · x⁰.

Таким образом,

x² = 2x + 2x + 5 или x² - 4x - 5 = 0.

Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.

Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:

а) 20 + 25 = 100;

б) 22 + 44 = 110?

4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 10110112;	е) 5178;	л) 1F16;
б) 101101112;	ж) 10108;	м) ABC16;
в) 0111000012;	з) 12348;	н) 101016;
г) 0,10001102;	и) 0,348;	о) 0,А416;
д) 110100,112;	к) 123,418;	п) 1DE,C816.

4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125₁₀; б) 229₁₀; в) 88₁₀; г) 37,25₁₀; д) 206,125₁₀.

4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,01112;	г) 1011110011100,112;
б) 1110101011,10111012;	д) 10111,11111011112;
в) 10111001,1011001112;	е) 1100010101,110012.

4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE₁₆; б) 9F40₁₆; в) ABCDE₁₆; г) 1010,101₁₆; д) 1ABC,9D₁₆.

4.13. Выпишите целые числа:

а) от 101101₂ до 110000₂ в двоичной системе;

б) от 202₃ до 1000₃ в троичной системе;

в) от 14₈ до 20₈ в восьмеричной системе;

г) от 28₁₆ до 30₁₆ в шестнадцатеричной системе.

Вариант N 1 (все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную: 1 1 0 1 1 0 1 (в столбик)

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную: 2 9

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:E 5 F 3 D

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 4 5 8

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 B 3

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

ABCD 1 2 3

+ 7 8 9A BCD

7 Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

ABCD 1 2 3- 7 8 9A BCD

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

0 1 0 1 1 1 1

+ 1 0 1 1 1 0 1

9 Выполнить вычитание двоичных чисел: 87 - 42 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 2 (все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 0 1 1 0 0 1 1

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную:3 9

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:A 2 D 3 5

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 5 2 9

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 A D

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

BC DF 3 4 5 + 6 7 8A BCD

7 Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

BC DF 3 4 5

- 6 7 8A BCD

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

1 1 1 0 1 0 1

+ 0 1 1 1 1 0 1

9 Выполнить сложение двоичных чисел: 59 + 41 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 3 (все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 0 0 1 1 1

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную:5 7

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:A 7 D 6 E 5

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 5 8 4

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 A B

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

BCDF 9 8 7

+ AAABBBB

7 Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

BCDF 9 8 7

- AAABB BB

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

0 1 0 1 1 1 1

+ 1 1 0 1 1 1 0

9 Выполнить умножение двоичных чисел: 53 * 12 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 4 (все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 1 0 0 0 1

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную:5 5

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:F 6 D 5 C 4 3 2

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 5 1 1

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 F A

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

BC AF 2 4 6

+ 3 5 7A BCD

7 Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

BC AF 2 4 6

- 3 5 7A BCD

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

0 0 1 1 1 0 0

+ 1 1 1 1 1 1 0

9. Выполнить вычитание двоичных чисел: 78 - 36 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 5(все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 0 1 1 1 0

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную:6 1

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:C 7 E 6 F 5 4 3

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 5 0 3

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 E B

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

AFBE 2 4 7

+ 9 EDF 5 7 8

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

AFBE 2 4 7

- 9 EDF 5 7 8

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

1 0 1 1 1 0 1

+ 1 0 0 1 1 1 1

9. Выполнить сложение двоичных чисел: 65 + 36 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 6 (все решения выполнить графически в столбик)

1 Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 0 1 1 0 0 1 1

2 Перевести из десятиричной системы в двоичную:3 9

3 Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:A 2 D 3 5

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 5 2 9

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 A D

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

BC DF 3 4 5

+ 6 7 8A BCD

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

BC DF 3 4 5

- 6 7 8A BCD

8 Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

1 1 1 0 1 0 1

+ 0 1 1 1 1 0 1

9. Выполнить умножение двоичных чисел: 38 * 11. (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 7 (все решения выполнить графически в столбик)

1. Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 1 1 0 1 1 0

2. Перевести из десятиричной системы в двоичную:4 1

3. Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:E 3 A 7 D 4 2

4. Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 4 9 3

5. Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:2 A D

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

B 9 D 7 E 8 F

+ A A AB F 9 B

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

B 9 D 7 E 8 F

- A A AB F 9 B

8. Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

0 1 1 1 1 0 1

+ 1 1 0 1 1 1 1

9. Выполнить вычитание двоичных чисел: 68 - 45. (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 8 (все решения выполнить графически в столбик)

1. Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 1 1 0 1 1

2. Перевести из десятиричной системы в двоичную: 7 8

3. Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:

E 3 D 7 B 4 C 2

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 3 9 5

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:2 C E

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

E F A B 9 8 BC

+ B C D 9 8 7 E D

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

E F A B 9 8 BC

- B C D 9 8 7 E D

8. Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

0 1 0 1 1 1 1

+ 1 0 1 1 1 1 0

9. Выполнить сложение двоичных чисел: 15 + 12 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 9 (все решения выполнить графически в столбик)

1. Перевести из двоичной системы в десятиричную:

1 0 1 1 0 0 0 1

2. Перевести из десятиричной системы в двоичную:7 1

3. Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:

C 7 E 3 F 1 B 4

4 Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 4 3 7

5 Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:2 E D

6 Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

1 B C D 9 8 7

+ E F C A B9

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

1 B C D 9 8 7

- E F C A B9

8. Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

1 0 1 1 1 0 1

+ 1 1 0 1 1 1 0

9. Выполнить умножение двоичных чисел: 69 * 36. (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Вариант N 0 (все решения выполнить графически в столбик)

1. Перевести из двоичной системы в десятиричную:1 0 1 1 1 0 1

2. Перевести из десятиричной системы в двоичную:6 3

3. Перевести из шестнадцатиричной системы в двоичную:

E 4 F 7 D 3 2 1

4. Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную, затем из шестнадцатиричной - в двоичную: 3 9 9

5. Перевести из шестнадцатиричной системы в десятиричную:1 C E

6. Выполнить сложение в шестнадцатеричной системе счисления:

B C D F A 9 9 8 7

+ E B C D F A9 9

7. Выполнить вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

B C D F A 9 9 8 7

- E B C D F A9 9

8. Выполнить сложение в двоичной системе счисления:

1 1 1 0 1 1 1 1

+ 0 1 1 1 0 1 1 1

9. Выполнить вычитание двоичных чисел: 57 - 42 (перевести в двоичную систему, решить выражение, перевести результат в десятичную, проверить правильность)

Размещено на Allbest.ru