Деление бинарных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Деление бинарных чисел

1. Двоичная система счисления

Системы счисления, в которых алгоритмические числа образуются сложением узловых, называются аддитивными.

В числах десятичной, двоичной, восьмеричной и др. системах применен аддитивно-мультипликативный способ.

Системы счисления делят на позиционные и непозиционные.

Система счисления, в которой значение базисной цифры определяется ее положением в разрядах числа, называется позиционной.

Например, в десятичной системе счисления в числе 222 первая цифра справа означает две единицы, вторая - два десятка, третья - две сотни.

Позиционная система счисления определяется своим основанием.

Основание q позиционной системы счисления определяется количеством знаков, используемых для отображения числа в данной системе.

Непозиционная система счисления - система, в которой значения базовых знаков не зависит от их местоположения в числе, разрядности.

Римскую систему счисления называют непозиционной системой, хотя она и содержит некоторые элементы позиционной. Так, например, в числах VX и XV знак V= 5 принимает два значения ± 5 и зависит от своего местоположения относительно X.

Если q целое положительное число, то позиционная система счисления называется естественная.

2. Деление чисел с фиксированной запятой с восстановлением остатка

Деление выполняется по алгоритму с восстановлением остатка на сумматоре дополнительного кода в следующей последовательности:

- определяется знак частного по формуле

Sg_C= Sg_AЕSg_B;

- представление делимого и делителя в машинных кодах, когда делимое всегда, независимо от его знака, берется в прямом коде с положительным знаком, а делитель всегда, независимо от его знака, берется в дополнительном коде с отрицательным знаком;

- устранение дробной части в делителе, путем переноса запятой вправо на n разрядов (по аналогии с десятичной системой счисления). Чтобы дробь не изменилась, в делимом также переносят вправо запятую на n разрядов;

- начиная со старших разрядов, к делимому прибавляют делитель в дополнительном коде, что равносильно вычитанию из делимого делителя и анализируют знак промежуточного остатка:

1) если знак промежуточного остатка 00 (положительный), то в регистр частного РгС записывается 1, начиная со старшего разряда. Остаток сдвигается на один разряд влево (просто знаковую точку перенести вправо на один разряд), сносится последующий разряд делимого не участвующий до этого в делении. После этого, промежуточный остаток подготовлен к последующему прибавлению делимого в дополнительном коде;

2) если знак промежуточного остатка 11 (отрицательный), то в регистр частного РгС записывается 0, начиная со старшего разряда. Остаток восстанавливается путем прибавления к нему делителя в прямом коде с положительным знаком. Восстановленный остаток сдвигается влево на один разряд (точку, отделяющую знак, перенести вправо на один разряд), сносится последующий разряд делимого не участвующий до этого в делении;

- действия пункта 4 повторяются до получения машинного нуля или заданной точности вычисления (количество разрядов дроби после запятой целой части числа). Запятая дроби устанавливается в частном после сноса последнего разряда целой части делимого.

- результат деления представлен в регистре частного в прямом коде. Знак результату присваивается в соответствии с пунктом 1.

Пример. Разделить числа А= - 0.100111 и В= - 0.11. Разрядность е, регистров =6.

Решение: 1. Определяем знак частного: Sg_C=lЕ?l=0. Знак положительный.

2. Записываем машинные изображения чисел.

А^м_пр. = 00.100111; В^м_пр. = 11.11; В^м_доп.= 11.01;

3. Выполнить последовательность действий над числами по методу алгоритма с восстановлением остатка.

В таблице вертикальными стрелками показаны сносы последующих разрядов делимого в промежуточные остатки. Горизонтальные стрелки отражают разряды записи результата в регистр частного Рг.С. Единицы переполнения, получаемые после суммирования, пропадают, т.к. используется сумматор дополнительного кода. Вместо выполнения операции левого сдвига остатков, переносится на один разряд вправо точка, отделяющая знак числа, при этом, первый разряд знака пропадает. Что равносильно сдвигу.

3. Коды бинарных чисел

· Обратный код числа

Обратным кодом числа N_M = 1, a₁, a₂,…, a_n называется такое машинное изображение числа, для которого a_i = 0, если оно равнялось «1» и наоборот, а_i = 1, если оно равнялось «0».

Иначе, обратным кодом двоичного числа является инверсное изображение этого числа, т.е. все разряды исходного бинарного числа, принимают обратное значение.

Например: N = - 0,101110 то N_o6 = 1,010001.

Обобщая правила образования обратного кода на все основания систем счисления можно считать, что обратный код отрицательного числа получается при вычитании из (q-1) цифр по каждому разряду числа за исключением знаковых разрядов, которые заменяются значением (q-1) т.е.

Например: -0,286357_(10)пр=9,713642_(10)обр

-0,1010111101_(2)пр=1,0101000010_(2)обр

Особо обратить внимание.

Если в знаковом разряде машинного представления находится (q-1), то все цифры числа, исключая знаковый, заменяются вычетом из (q-1) значения разряда; если в знаковом разряде находится нуль, то преобразование не производятся.

Ниже приведены примеры для различных систем счисления:

двоичный счисление позиционный алгоритм

· Переход от обратного кода к прямому

Переход от обратного кода к прямому производится по аналогичному правилу. Из значения (q-1) вычитается значение по каждому разряду, кроме знаковых. Для бинарной системы счисления (просто счастливый случай), можно перейти к прямому коду простым инвертированием разрядов обратного кода, кроме разрядов знаков

· Дополнительный код числа

Дополнительный код числа N= - 0, a₁a₂..a_n - такое машинное представление , в котором число записывается обратным кодом с прибавлением в младшем разряде 1.

Правило перевода из прямого кода в дополнительный код следующее:

- если в знаковом разряде находится (q -1), то все цифры числа, кроме разрядов знаков, заменяются вычетами из (q-1) значения разряда, а затем к цифре последнего младшего разряда добавляется единица;

- если в знаковом разряде находится 0 (или 00), то преобразование цифр не происходит.

Например:

1. 9.243476_(10)пр = 9.756523 обр. + 0000001 = 9.756524_(10)доп

2. 1.0111000111_(2)пр = 1.1000111000 обр. + 0.0000000001 = 1.1000111001_(2)доп

3.

4. -0,101110 = 1.101110 = 1.010001 + 0.000001 = 1.010010

5. 0.425736_пр = 0.425736_доп

Таким образом, для положительных чисел прямой и дополнительный код совпадают, для отрицательного числа они различны. Для положительного числа, в разряде знака всегда устанавливают нуль (или 00), а отрицательного (q-1).

Обобщая, получаем математическую формулу перевода чисел в дополнительный код.

Отсюда N_доп = q + (-N), т.е. дополнительный код является математическим дополнением числа до основания системы счисления.

Пример: 0,275936_(10)пр = 0,275936_(10)доп

Пример: -0,275936_(10)пр=10,000000₍₁₀₎+(-0,275936_(10)доп) = 9,724064_(10)доп.

Размещено на Allbest.ru