Метод Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

• Введение
• 1 Создание С##
• 2 Постановка задачи
• 3 Метод Крамера
• 4 Блок-схема алгоритма
• 5 Программная реализации алгоритма метода Крамера
• 6 Листинг программы
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• Список литературы

Введение

На практике в большинстве случаев найти точной решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

В настоящей курсовой работе рассмотрена важная, с точки зрения прикладных задач: метод Крамера для решение линейных алгебраических уравнений.

Язык С# был создан корпорацией Microsoft для поддержки среды .NET Framework и опирается на богатое наследие в области программирования. Его главным разработчиком был Андерс Хейльсберг (Anders Hejlsberg) --известнейший специалист по программированию. С# происходит напрямую от двух самых удачных в области программирования языков: С и C++. От языка С он унаследовал синтаксис, многие ключевые слова и операторы, а от C++ -- усовершенствованную объектную модель.

1. Создание С #

линейное алгебраическое уравнение крамер

Языки программирования не существуют в пустоте. Напротив, они тесно связаны друг с другом таким образом, что на каждый новый язык оказывают в той или иной форме влияние его предшественники. Это процесс, в ходе которого свойства одного языка приспосабливаются к другому языку, полезные нововведения внедряются в существующий контекст, а устаревшие конструкции удаляются. Таким путем развиваются языки программирования и совершенствуется искусство программирования. И в этом отношении C# не является исключением. У языка программирования C# “богатое наследство”. Он является наследником двух самых удачных языков программирования: C и C++.

Создание С знаменует собой начало современной эпохи программирования. Язык С разработан Деннисом Ритчи в 1970-е годы для программирования на мини-ЭВМ DEC PDP-11 под управлением операционной системы Unix. С появился в результате революции в структурном программировании в 1960-е годы. До появления структурного программирования писать большие программы было трудно, поскольку логика программы постепенно вырождалась в так называемый «макаронный» код - запутанный клубок безусловных переходов, вызовов и возвратов, которые трудно отследить. В структурированных языках программирования этот недостаток устранялся путем ввода строго определенных управляющих операторов, подпрограмм с локальными переменными, и других усовершенствований. Благодаря применению методов структурного программирования сами программисты стали более организованными, надежными и управляемыми.

И хотя в то время существовали и другие структурированные языки программирования, именно в С впервые удалось добиться удачного сочетания эффективности, изящества и выразительности. Благодаря своему краткому, но простому синтаксису в сочетании с принципом, ставившим во главу угла программиста, а не сам язык, С быстро завоевал многих сторонников. Сейчас уже нелегко представить себе, что С оказался своего рода «струей свежего воздуха», которого так не хватало программистам. В итоге С стал самым распространенным языком программирования в 1980-е годы.

Но даже у такого достойного языка, как С, имелись свои ограничения. К числу самых труднопреодолимых его ограничений относится неспособность справиться с большими программами. Как только проект достигает определенного масштаба, язык С тут же ставит предел, затрудняющий понимание и сопровождение программ при их последующем разрастании. Конкретный предел зависит от самой программы, программиста и применяемых инструментальных средств, тем не менее, всегда существует «порог», за которым программа на С становится неуправляемой.

К концу 1970-х годов масштабы многих проектов приблизились к пределам, с которыми уже не могли справиться методики структурного программирования вообще и язык С в частности. Для решения этой проблемы было открыто новое направление в программировании - так называемое объектно-ориентированное программирование(ООП). Применяя метод ООП, программист мог работать с более крупными программами. Но главная трудность заключалась в том, что С, самый распространенный в то время язык, не поддерживал ООП. Стремление к созданию объектно-ориентированного варианта С в конечном итоге привело к появлению С++.

Язык С++ был разработан в 1979 году Бьярне Страуструпом, работавшим в компании Bell Laboratories, базировавшейся в Мюррей-Хилл, штат Нью-Джерси. Первоначально новый язык назывался «С с классами», но в 1983 году он был переименован в С++. Язык С полностью входит в состав С++, а следовательно, С служит основанием, на котором зиждется С++. Большая часть дополнений, введенных Страуструпом, обеспечивала плавный переход к ООП. И вместо того, чтобы изучать совершенно новый язык, программирующему на С требовалось лишь освоить ряд новых свойств, чтобы воспользоваться преимуществами методики ООП.

В течении 1980-х годов С++ все еще оставался в тени, интенсивно развиваясь, но к началу 1990-х годов, когда он уже был готов для широкого применения, его популярность в области программирования заметно возросла. К концу 1990-х годов он стал наиболее широко распространенным языком программирования и в настоящее время по-прежнему обладает неоспоримыми преимуществами языка разработки высокопроизводительных программ системного уровня.

Важно понимать, что разработка С++ не была попыткой создать совершенно новый язык программирования. Напротив, это была попытка усовершенствовать уже существовавший довольно удачный язык. Такой подход к разработке языков программирования, основанный на уже сущетсвующем языке и совершенствующий его далее, превратился в упрочившуюся тенденцию, которая продолжается до сих пор.

Следующи важным шагом в развитии языков программирования стала разработка Java. Java представляет собой структурированный, объектно-ориентированный язык с синтаксисом и конструктивными особенностями, унаследованными от С++. Несмотря на то, что в Java успешно решаются многие вопросы переносимости программ в среде Интернета, его возможности все же ограничены. Ему, в частности, не достает межъязыковой возможности взаимодействия, называемой также многоязыковым программированием. Это возможность кода, написанного на одном языке, без труда взаимодействовать с кодом, написанным на другом языке. Межъязыковая возможность взаимодействия требуется для построения крупных, распределенных программных систем. Она желательна также для создания отдельных компонентов программ, поскольку наиболее ценным компонентом считается тот, который может быть использован в самых разных языках программирования и в самом большом числе операционных сред. Другой возможностью, отсутствующей в Java, является полная интеграция с платформой Windows.

Для удовлетворения этих и других потребностей программирования корпорация Microsoft разработала в конце 1990-х годов язык С# как часть общей стратегии .NET. Впервые он был выпущен в виде альфа-версии в середине 2000 года. Главным разработчиком C# был Андерс Хейльсберг - один из ведущих в мире специалистов по языкам программирования, который может похвалиться рядом достижений в данной области. Достаточно сказать, что в 1980-е годы он был автором очень удачной и имевшей большое значение разработки - языка Turbo Pascal, изящная реализация которого послужила образцом для создания всех последующих компиляторов.

Язык C# непосредственно связан с С, С++ и Java. И это не случайно. Ведь это три самых широко распространенных и признанных во всем мире языка

программирования. Кроме того, на момент создания C# практически все профессиональные программисты уже владели С, С++ и Java. Благодаря тому, что C# построен на столь прочном и понятном основании, перейти на этот язык из С, С++ или Java не представляло особого труда. А поскольку и Хейльсбергу не нужно было изобретать велосипед, то он мог сосредоточиться непосредственно на усовершенствованиях и нововведениях в C#.

В C# имеется немало новых средств, и самое важное из них связано со встроенной поддержкой программных компонентов. В действительности С# может считаться компонентно-ориентированным языком программирования, поскольку в него внедрена встроенная поддержка написания программных компонентов. Например, в состав С# входят средства прямой поддержки таких составных частей программных компонентов, как свойства, методы и события. Но самой важной компонентно-ориентированной особенностью этого языка, вероятно, является возможность работы в безопасной среде многоязыкового программирования.

С момента выпуска исходной версии 1.0 развитие С# происходило быстро. Вскоре после версии 1.0 корпорация Microsoft выпустила версию 1.1, в которую было внесено немало корректив, но мало значительных возможностей. Однако ситуация совершенно изменилась после выпуска версии С# 2.0.

Появление версии 2.0 стало поворотным моментом в истории развития С#, поскольку в нее было введено много новых средств, в том числе обобщения, частичные типы и анонимные методы, которые основательно расширили пределы возможностей и область применения этого языка, а также повысили его эффективность. После выпуска версии 2.0 ''упрочилось" положение С#. Ее появление продемонстрировало также приверженность корпорации Microsoft к поддержке этого языка в долгосрочной перспективе.

Следующей значительной вехой в истории развития С# стал выпуск версии 3.0. В связи с внедрением многих новых свойств в версии С# 2.0 можно было ожидать некоторого замедления в развитии С#, поскольку программистам требовалось время для их освоения, но этого не произошло. С появлением версии 3.0 корпорация Microsoft внедрила ряд новшеств, совершенно изменивших общее представление о программировании. К числу этих новшеств относятся, среди прочего, лямбда-выражения, язык интегрированных запросов (LINQ), методы расширения и неявно типизированные переменные. Конечно, все эти новые возможности очень важны, поскольку они оказали заметное влияние на развитие данного языка, но среди них особенно выделяются две: язык интегрированных запросов (LINQ) и лямбда-выражения. Язык LINQ и лямбда-выражения вносят совершенно новый акцент в программирование на С# и еще глубже подчеркивают его ведущую роль в непрекращающейся эволюции языков программирования.

Текущей является версия С# 4.0. Эта версия прочно опирается на три предыдущие основные версии С#, дополняя их целым рядом новых средств. Вероятно, самыми важными среди них являются именованные и необязательные аргументы. В частности, именованные аргументы позволяют связывать аргумент с параметром по имени. А необязательные аргументы дают возможность указывать для параметра используемый по умолчанию аргумент. Еще одним важным новым средством является тип dynamic, применяемый для объявления объектов, которые проверяются на соответствие типов во время выполнения, а не компиляции. Кроме того, ковариантность и контравариантность параметров типа поддерживается благодаря новому применению ключевых слов in и out. Тем, кто пользуется моделью СОМ вообще и прикладными интерфейсами Office Automation API в частности, существенно упрощен доступ к этим средствам. В целом, новые средства, внедренные в версии С# 4.0, способствуют дальнейшей рационализации программирования и повышают практичность самого языка С#.

Еще два важных средства, внедренных в версии 4.0 и непосредственно связанных с программированием на С#, предоставляются не самим языком, а средой .NET Framework 4.0. Речь идет о поддержке параллельного программирования с помощью библиотеки распараллеливания задач (TPL) и параллельном варианте языка интегрированных запросов (PLINQ). Оба эти средства позволяют существенно усовершенствовать и упростить процесс создания программ, в которых применяется принцип параллелизма. И то и другое средство упрощает создание многопоточного кода, который масштабируется автоматически для использования нескольких процессоров, доступных на компьютере. В настоящее время широкое распространение получили компьютеры с многоядерными процессорами, и поэтому возможность распараллеливать выполнение кода среди всех доступных процессоров приобретает все большее значение практически для всех, кто программирует на С#.

Основным понятием С# является объектно-ориентированное программирование (ООП). Методика ООП неотделима от С#, и поэтому все программы на С# являются объектно-ориентированными хотя бы в самой малой степени. В связи с этим очень важно и полезно усвоить основополагающие принципы ООП, прежде чем приступать к написанию самой простой программы на С#.

ООП представляет собой эффективный подход к программированию. Методики программирования претерпели существенные изменения с момента изобретения компьютера, постепенно приспосабливаясь, главным образом, к повышению сложности программ. Когда, например, появились первые ЭВМ, программирование заключалось в ручном переключении на разные двоичные машинные команды с переднего пульта управления ЭВМ. Такой подход был вполне оправданным, поскольку программы состояли всего из нескольких сотен команд. Дальнейшее усложнение программ привело к разработке языка ассемблера, который давал программистам возможность работать с более сложными программами, используя символическое представление отдельных машинных команд. Постоянное усложнение программ вызвало потребность в разработке и внедрении в практику программирования таких языков высокого уровня, как, например, FORTRAN и COBOL, которые предоставляли программистам больше средств для того, чтобы как-то справиться с постоянно растущей сложностью программ. Но как только возможности этих первых языков программирования были полностью исчерпаны, появились разработки языков структурного программирования, в том числе и С.

На каждом этапе развития программирования появлялись методы и инструментальные средства для "обуздания" растущей сложности программ. И на каждом таком этапе новый подход вбирал в себя все самое лучшее из предыдущих, знаменуя собой прогресс в программировании. Это же можно сказать и об ООП. До ООП многие проекты достигали (а иногда и превышали) предел, за которым структурный подход к программированию оказывался уже неработоспособным. Поэтому для преодоления трудностей, связанных с усложнением программ, и возникла потребность в ООП.

ООП вобрало в себя все самые лучшие идеи структурного программирования, объединив их с рядом новых понятий. В итоге появился новый и лучший способ организации программ. В самом общем виде программа может быть организована одним из двух способов: вокруг кода (т.е. того, что фактически происходит) или же вокруг данных (т.е. того, что подвергается воздействию). Программы, созданные только методами структурного программирования, как правило, организованы вокруг кода. Такой подход можно рассматривать "как код, воздействующий на данные".

Совсем иначе работают объектно-ориентированные программы. Они организованы вокруг данных, исходя из главного принципа: "данные управляют доступом к коду". В объектно-ориентированном языке программирования определяются данные и код, которому разрешается воздействовать на эти данные. Следовательно, тип данных точно определяет операции, которые могут быть выполнены над данными.

Для поддержки принципов ООП все объектно-ориентированные языки программирования, в том числе и С#, должны обладать тремя общими свойствами: инкапсуляцией, полиморфизмом и наследованием. Рассмотрим каждое из этих свойств в отдельности.

Инкапсуляция -- это механизм программирования, объединяющий вместе код и данные, которыми он манипулирует, исключая как вмешательство извне, так и неправильное использование данных. В объектно-ориентированном языке данные и код могут быть объединены в совершенно автономный черный ящик. Внутри такого ящика находятся все необходимые данные и код. Когда код и данные связываются вместе подобным образом, создается объект. Иными словами, объект -- это элемент, поддерживающий инкапсуляцию.

В объекте код, данные или же и то и другое могут быть закрытыми или же открытыми. Закрытые данные или код известны и доступны только остальной части объекта. Это означает, что закрытые данные или код недоступны части программы, находящейся за пределами объекта. Если же данные или код оказываются открытыми, то они доступны другим частям программы, хотя и определены внутри объекта. Как правило, открытые части объекта служат для организации управляемого интерфейса с закрытыми частями.

Основной единицей инкапсуляции в С# является класс, который определяет форму объекта. Он описывает данные, а также код, который будет ими оперировать. В С# описание класса служит для построения объектов, которые являются экземплярами класса. Следовательно, класс, по существу, представляет собой ряд схематических описаний способа построения объекта.

Код и данные, составляющие вместе класс, называют членами. Данные, определяемые классом, называют полями, или переменными экземпляра. А код, оперирующий данными, содержится в функциях-членах, самым типичным представителем которых является метод. В С# метод служит в качестве аналога подпрограммы. (К числу других функций-членов относятся свойства, события и конструкторы.) Таким образом, методы класса содержат код, воздействующий на поля, определяемые этим классом.

Полиморфизм, что по-гречески означает "множество форм", -- это свойство, позволяющее одному интерфейсу получать доступ к общему классу действий. Простым примером полиморфизма может служить руль автомашины, который выполняет одни и те же функции своеобразного интерфейса независимо от вида применяемого механизма управления автомашиной. Это означает, что руль действует одинаково независимо от вида рулевого управления: прямого действия, с усилением или реечной передачей. Следовательно, при вращении руля влево автомашина всегда поворачивает влево, какой бы вид управления в ней ни применялся. Главное преимущество единообразного интерфейса заключается в том, что, зная, как обращаться с рулем, вы сумеете водить автомашину любого типа.

Тот же самый принцип может быть применен и в программировании. Рассмотрим для примера стек, т.е. область памяти, функционирующую по принципу "последним пришел -- первым обслужен". Допустим, что в программе требуются три разных типа стеков: один -- для целых значений, другой -- для значений с плавающей точкой, третий -- для символьных значений. В данном примере алгоритм, реализующий все эти стеки, остается неизменным, несмотря на то, что в них сохраняются разнотипные данные. В языке, не являющемся объектно-ориентированным, для этой цели пришлось бы создать три разных набора стековых подпрограмм с разными именами. Но благодаря полиморфизму для реализации всех трех типов стеков в С# достаточно создать лишь один общий набор подпрограмм. Зная, как пользоваться одним стеком, вы сумеете воспользоваться и остальными.

В более общем смысле понятие полиморфизма нередко выражается следующим образом: "один интерфейс -- множество методов". Это означает, что для группы взаимосвязанных действий можно разработать общий интерфейс. Полиморфизм помогает упростить программу, позволяя использовать один и тот же интерфейс для описания общего класса действий. Выбрать конкретное действие (т.е. метод) в каждом отдельном случае -- это задача компилятора. Программисту не нужно делать это самому. Ему достаточно запомнить и правильно использовать общий интерфейс.

Наследование представляет собой процесс, в ходе которого один объект приобретает свойства другого объекта. Это очень важный процесс, поскольку он обеспечивает принцип иерархической классификации. Если вдуматься, то большая часть знаний поддается систематизации благодаря иерархической классификации по нисходящей. Например, сорт яблок "Джонатан" входит в общую классификацию сортов яблок, которые, в свою очередь, относятся к классу фруктов, а те -- к еще более крупному классу пищевых продуктов. Это означает, что класс пищевых продуктов обладает рядом свойств (съедобности, питательности и т.д.), которые по логике вещей распространяются и на его подкласс фруктов. Помимо этих свойств, класс фруктов обладает своими собственными свойствами (сочностью, сладостью и т.д.), которыми он отличается от других пищевых продуктов. У класса яблок имеются свои характерные особенности (растут на деревьях, не в тропиках и т.д.). Таким образом, сорт яблок "Джонатан" наследует свойства всех предшествующих классов, обладая в то же время свойствами, присущими только этому сорту яблок, например красной окраской кожицы с желтым бочком и характерным ароматом и вкусом.

Если не пользоваться иерархиями, то для каждого объекта пришлось бы явно определять все его свойства. А если воспользоваться наследованием, то достаточно определить лишь те свойства, которые делают объект особенным в его классе. Он может также наследовать общие свойства своего родителя. Следовательно, благодаря механизму наследования один объект становится отдельным экземпляром более общего класса

2. Постановка задачи

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:



Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Данная таблица n2 элементов, состоящая из n строк и n столбцов, называется квадратной матрицей порядка n. Если подобная таблица содержит nm элементов, расположенных в n строках и m столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.

Используя понятие матрицы А, систему уравнений (3) можно записать в векторно-матричном виде:

,

или, в более компактной записи,

где х и b -- вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.

3. Метод Крамера

Алгоритм Крамера, выражается формулами:

где

…,

При этом необходимым и достаточным условием существование единственного решения, является не равенство нулю главного определителя системы

.

4. Блок-схема алгоритма

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Программная реализации алгоритма метода Крамера

Основным методом класса Programm, является метод Main. С него начинается выполнение программы. В моём случае, он содержит простейший пользовательский интерфейс, по средством которого пользователь вводит размерность системы, элементы матрицы системы А и вектора правых частей b, а после необходимых вычислений на экране появляется результат - элементы вектора x.

В работе, алгоритм Крамера для большей читабельности, разбит на отдельные функции - методы:

static double det(int n, double [,]B) - метод вычисляющий определитель матрицы. Параметрами этого метода являются - количество уравнений (n), а так же матрица, в нашем случае B. Определитель матрицы вычисляется непосредственно, т.е. разложением по первой строке [3];

static void equal(int n, double [,]A, double [,]B) - метод присваивающий матрицы (), где n-размерность матриц;

static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x) - метод реализующий метод Крамера, согласно блок схеме главы 2.

В качестве языка программирования я использовал объектно - ориентированный язык С#.

6. Листинг программы

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace ConsoleApplication_Kramer

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

Console.WriteLine("Привет! назови себя =)");

string name;

name = Console.ReadLine();

Console.WriteLine();

Console.WriteLine("" + name + "! данная программа расчитана для вычесления СЛАУ методом Крамера!");

Console.WriteLine();

Console.WriteLine(" Особенности данной программы:");

Console.WriteLine(" -размерность системы от 2 до 3 линейных уравнений");

Console.WriteLine(" -определитель не должен быть равен 0");

Console.WriteLine(" -в консоль должны записываться только численные выражения");

Console.WriteLine();

Console.WriteLine(""+ name + " нажми любую клавишу для ночала работы");

Console.ReadKey();

int n; /* количество уравнений */

double[,] A = new double[3, 3]; /* матрица системы */

double[] b = new double[3]; /* вектор правых частей */

double[] x = new double[3]; /* вектор решения */

Console.WriteLine();

Console.WriteLine();

Console.Write("Введите количество уравнений 2..3 ");

n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

if (n > 3 || n <= 1)

{

Console.WriteLine("Ошибка в размерности системы (n=2,3)");

Console.WriteLine("После нажатия любой клавиши программа завершит свою работу . . .");

Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

return;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = 0; j < n; j++)

{

Console.Write("A{0}{1} -> ", i, j);

A[i, j] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

Console.Write("b{0} -> ", i);

b[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

}

if (SLAU_kramer(n, A, b, x) == 1)

{

Console.WriteLine("Система не имеет решение");

Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

return;

}

else

for (int i = 0; i < n; i++)

Console.WriteLine("x" + i + " = " + x[i]);

Console.ReadLine();

}

private

static double det(int n, double[,] B) //метод вычисляющий определитель матрицы

{

if (n == 2)

return B[0, 0] * B[1, 1] - B[0, 1] * B[1, 0];

return B[0, 0] * (B[1, 1] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 1]) - B[0, 1] * (B[1, 0] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 0]) +

B[0, 2] * (B[1, 0] * B[2, 1] - B[1, 1] * B[2, 0]);

}

static void equal(int n, double[,] A, double[,] B) //- метод присваивающий матрицы ( ), где n-размерность матриц

{

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = 0; j < n; j++)

A[i, j] = B[i, j];

}

static void change(int n, int N, double[,] A, double[] b)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

A[i, N] = b[i];

}

public

static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x) //метод реализующий метод Крамера

{

double[,] An = new double[3, 3];

double det1 = det(n, A);

if (det1 == 0) return 1;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

equal(n, An, A);

change(n, i, An, b);

x[i] = det(n, An) / det1;

}

return 0;

}

}

}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе, мною был программно реализован метод Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений. Было использовано необходимое условие существования решения, т.е. не равенство нулю главного определителя системы.

Отличительная черта этого метода заключается в неоднократном вычислении определителя матрицы. С вычислительной точки зрения это трудоемкая операция с ростом количества элементов. В работе была рассмотрена система 3-го порядка, а определители вычислялись непосредственно.

Размещено на Allbest.ru