Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прохорова О.В.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

(Курс лекций)

2004

СОДЕРЖАНИЕ

1. Математическое моделирование систем управления

1.1 Основные понятия

1.2 Математическое описание систем автоматического регулирования непрерывного действия

1.3 Аналитическое построение математической модели технического объекта

1.4 Задачи проектирования многомерных систем управления

1.5 Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции

1.6 Элементарные звенья обыкновенных линейных систем

1.7 Типовые апериодические звенья первого и второго порядка

1.8 Способы соединения элементов

1.9 Типовые воздействия

1.10 Вычисление передаточных функций

1.11 Свободное и вынужденное движение

1.12 Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа

2. Методы анализа систем управления

2.1 Понятие устойчивости систем управления

2.2 Критерий устойчивости Гурвица (алгебраический)

2.3 Критерий устойчивости Михайлова (частотный)

2.4 Корневые показатели качества

2.5 Анализ качества САУ по переходной характеристике

2.6 Анализ качества САУ по частотным характеристикам

3. Основы оптимизации и методы синтеза систем управления

3.1 Постановка задачи параметрической оптимизации

3.2 Методика решения задачи параметрической оптимизации

4. Синтез адаптивных систем управления

4.1 Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем

4.2 Процедура синтеза закона управления

4.3 Синтез адаптивного управления объектом при помощи PI регулятора

4.4 Постановка задачи оптимального управления

4.5 Аналитическое конструирование регулятора

5. Литература



1. Математическое моделирование систем управления

1.1 Основные понятия

Курс «Основы теории управления» будет посвящен общим основам теории автоматического управления и ориентирован на управление техническими объектами и процессами.

Рассмотрим бегло историю зарождения основ управления. Первая научно-техническая дисциплина этого направления - теория автоматического регулирования паровой машины - зародилась в конце девятнадцатого века в недрах прикладной механики.

С необходимостью построения регуляторов одними из первых, по-видимому, столкнулись создатели точных механизмов, в первую очередь часов. Влияние хотя и небольших, но непрерывно действующих помех накапливалось и приводило в конечном итоге к недопустимым отклонениям от нормального хода. На рубеже нашей эры арабы снабдили водяные часы поплавковым регулятором уровня. В 1675 г. Гюйгенс встроил в механические часы маятниковый регулятор хода. Бурное развитие теории регулирования началось в эпоху промышленной революции в Европе на рубеже восемнадцатого и девятнадцатого веков. Первыми промышленными регуляторами этого периода являются автоматический регулятор давления пара котла паровой машины И.И. Ползунова, центробежный регулятор скорости паровой машины Д. Уатта.

Эти регуляторы открыли путь целому потоку изобретений принципов регулирования и самих регуляторов.

В настоящее время существует большое разнообразие автоматических систем. Все автоматические системы можно разделить на два больших класса:

1) автоматы, выполняющие определенного рода однотипные операции;

2) автоматические системы, которые в течение достаточно длительного времени нужным образом изменяют или поддерживают неизмеными физические величины, например, координаты движущегося объекта, скорость движения и т.п. в том или ином управляемом процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы, следящие системы, автопилоты, некоторые вычислительные устройства, системы дистанционного управления и т.п.

Отметим, что системы автоматического регулирования (САР) являются подклассом класса систем автоматического управления (САУ).

Всякий технический процесс характеризуется совокупностью физических величин, называемых показателями, выходными величинами. Для управления и построения управляющих систем используются, во-первых, конкретные сведения о данном процессе, во-вторых, принципы и методы управления общие для самых разнообразных объектов и процессов. Конкретные сведения о процессе дают возможность установить основные цели управления. Для правильного и качественного управления процессом некоторые из его показателей (управляемые величины) необходимо поддерживать в заданных границах или изменять по определенному закону.

Совокупность технических устройств, использующих рабочие операции в ходе технологического процесса, называется объектом управления. Совокупность средств управления и объектов управления называется системой управления.

Необходимость в управлении процессом возникает тогда, когда нормальный его ход нарушается в результате различного рода возмущений, таких как изменение нагрузки, изменения внешней среды или внутренней. Рассмотрим схематично влияние воздействий на объект



Здесь приняты следующие обозначения: u - вектор управляющих воздействий, f - вектор возмущений, y -вектор управляемых параметров. Таким образом, y является функцией от u , f, то есть можно записать

y = W (u, f),

где W - оператор объекта управления, определяющий вид математической зависимости, связывающей y , u, f.

Любой объект, имеющий массу, является динамическим, поскольку под действием внешних сил и моментов со стороны объекта возникает соответствующая реакция, и его положение (состояние) не может измениться мгновенно. Изменения параметров процесса определяются совокупностью правил или математической зависимостью, называемой алгоритмом функционирования системы. Такой алгоритм направлен на выработку управляющих воздействий u.

АСУ - автоматизированная система управления, выбранная для достижения цели управления в сочетании с человеком - оператором и комплексом технических средств, спроектированных для измерения, регулирования, сбора информации, выработки решений.

САУ - система автоматического управления , она представляет собой комплекс технических средств, назначение которого управлять поведением объекта без участия человека.

САР - система автоматического регулирования. САР это комплекс технических средств обеспечивающий автоматическое поддержание заданного значения регулируемой величины или ее автоматическое изменение по определенному закону без участия человека. Рассмотрим функциональную схему САР:

Здесь приняты следующие обозначения: ЗУ - задающее устройство, предназначенное для задания требуемого значения или закона изменения регулируемой величины; СУ - сравнивающее устройство, предназначенное для сравнения измеренного значения регулируемой величины с требуемым; УЭ - усилительный элемент, предназначенный для усиления мощности сигнала в цепи управления, он питается энергией от внешнего источника; РГ - регулятор, это устройство, которое в зависимости от величины поступающего сигнала, в соответствии с заложенным в нем законом, вырабатывает управляющий сигнал определенной величины; ИЭ - исполнительный элемент, этот элемент воздействует на объект регулирования; ОР - объект регулирования; ИЗУ - измерительное устройство, оно измеряет или регистрирует значение измеряемого параметра. Обычно оно представляет собой преобразователь одной физической величины в другую. Рассмотрим классификацию систем управления по ряду признаков:



Таблица 1.

Признаки классификации САУ	Подразделения признаков
Принцип регулирования	- по отклонению; - по возмущению; - комбинированные; - адаптивные.
Тип контура управления	- замкнутые - с обратной связью; - разомкнутые.
Число контуров управления	- одноконтурные; - многоконтурные.
Характер функционирования во времени	- непрерывные; - дискретные.
Свойства в установившемся режиме	- статические; - астатические.
Отсутствие (наличие) вспомогательной энергии	- прямого действия; - непрямого действия.
Вид вспомогательной энергии	- электрические; - пневматические; - гидравлические; - комбинированные.
Вид уравнений, описывающих систему	- линейные; - нелинейные; - с распределенными параметрами; - с сосредоточенными параметрами; - с детерминированными параметрами.
Алгоритм управления	- стабилизирующие; - программные; - самонастраивающиеся; - логико-программного управления.

Рассмотрим принцип регулирования по отклонению регулируемой величины от заданного значения. Он основан на использовании информации о результатах управления. В представленной ниже схеме, состоящей из регулятора и объекта регулирования, показано приложение воздействий и следование сигналов:



На объект регулирования воздействует внешнее возмущение f и управляющее воздействие u с регулятора. Информация о состоянии ОР передается по цепи обратной связи на вход системы, где сравнивается с заданным значением r. Разность e = r - y воздействует на регулятор. Этот принцип регулирования является фундаментальным.

Рассмотрим следующий принцип управления - управление по возмущению. Он предусматривает измерение f и создание управляющих воздействий, компенсирующих влияние f на объект:

Возмущение, действующее на ОУ, измеряется и подается на вход системы, где суммируется с r. На основе этой информации управляющее устройство вырабатывает управляющее воздействие u, подаваемое на объект управления. К достоинствам такого принципа управления можно отнести высокое быстродействие, а к недостаткам то, что невозможно заранее учесть весь спектр возможных возмущений и воздействий, и как следствие, возможность утери устойчивости в процессе управления объектом.

Рассмотрим схему комбинированного принципа управления:

Отметим, что автоматические системы высокой точности обычно строятся по принципу комбинированного управления (по отклонению и по возмущению).

Рассмотрим принцип управления - адаптацию:

Схема состоит из обычной системы управления и контура самонастройки. Самонастраивающаяся система это система, в которой в процессе функционирования автоматически в соответствии с формируемым ЭВМ законом управления изменяются определенные параметры управления для обеспечения заданного качества управления в условиях нестационарности задающих и возмущающих воздействий. Адаптивные системы бывают самонастраивающимися и самоорганизующимися, то есть когда в процессе перенастройки системы автоматически меняется ее конфигурация.

Одной из существенных характеристик системы автоматического регулирования является зависимость значения регулируемого параметра от величины внешнего воздействия. По виду такой рабочей характеристики различают статическое и астатическое регулирование. Регулирование со статической характеристикой это регулирование, при котором в установившемся режиме имеется определенная зависимость между величиной отклонения регулируемого параметра от заданного значения и величиной внешнего воздействия. В противном случае имеет место астатическое регулирование. Система управления (СУ) называется системой прямого действия, если у нее при изменении значения управляемого параметра исполнительный элемент приходит в действие непосредственно от сигналов возникающих в чувствительных элементах без использования вспомогательной энергии. В противном случае система является системой непрямого действия. Стабилизирующей системой управления называется такая система управления, назначение которой поддерживать значение регулируемого параметра постоянным. Следящей системой управления называется такая система управления, которая изменяет величину управляемого параметра в зависимости от неизвестного заранее значения задающего воздействия. Система управления называется системой логико-программного управления, если она изменяет состояние ОУ в соответствии с требуемой последовательностью рабочих операций. Перейдем к рассмотрению математического описания процессов, происходящих в системах регулирования.



1.2 Математическое описание систем автоматического регулирования непрерывного действия

На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:

y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие;f(t) - возмущающее воздействие; e(t) - рассогласование сигналов;r(t) - задающее воздействие. Значения параметров системы в моменты времени t1, t2, ... tk дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида:

y (t) = G [ y(1), y(2), ..., y(n), f , f(1), ..., f(l), u, u(1), ... ,u(q)] (1.1)

u (t) = Q [ e, e (1), ... e (n), u(1) , ..., u(q)] (1.2)

e (t) = r (t) - y (t) (1.3)

Переменные u и e - внутрение, их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:

y = F [ y(1), ...y(n) , f, f(1) , ...f(l) , r, r(1) , ...r(m) ] (1.4)

Здесь под y(i) , f(i) , r(1) понимаются соответствующие производные. Уравнение динамики (1.4) описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру. Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия (в нашем случае в точке, характеризующей установившееся состояние). Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:

y0 = F (0, ... 0, f0, 0, ...0,r0, 0, ...0)

Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:

r = r0 + r, f = f0 + f

Тогда в системе возникает переходной процесс:

y = y0 + y.

Поскольку функция F - аналитическая, ее можно представить рядом Тейлора в окрестности точки равновесия, оставляя в разложении только линейные члены:



y = y0 + y = F (0,...0, f0,0,...0, r0,0,...0) + y + +....

Далее, учитывая, что y0 = F (0, ... 0, f0, 0, ...0,r0, 0, ...0), отметим, что в уравнения динамики входят только отклонения, но не сами переменные, и

, поскольку = const,

поэтому символ приращения можно опустить. Введем коэффициенты d, c, b, учитывающие частные производные функции F по y, r, f в точке равновесия, получим уравнение вида:

(1.5)

Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами и называется уравнением первого приближения. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях.

1.3 Аналитическое построение математической модели технического объекта

Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:

- выбираются обобщенные координаты (1.1), характеризующие объект;

- выбираются начальные условия;

- определяются физическими или химическими закономерности, которым подчиняется поведение технического объекта;

- выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;

- при наличии нелинейных характеристик уравнение линеаризуется.

Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев.

Пример 1. Моделью апериодического звена может служить пассивная R C цепь:

Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным - , и цепь считать не нагруженной, то воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи, составленными на основе уравнений Кирхгофа:

- для токов - алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;

- для напряжения - алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю,

можно записать:

Учитывая, что , обозначим ток в цепи через i и перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений, получим R * i + U = U0. Далее воспользуемся известной формулой зависимости тока на емкости от напряжения , подставим ее в уравнение, получим . Обозначим T = R * C; тогда

Пример 2. Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контур R L C.

; ; U R + U L + U C = U0;

;

T = ; = 0.5 R ;

Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени.

Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.



1.4 Задачи проектирования многомерных систем управления

Проектирование многомерных систем управления включает:

- формирование уравнений системы;

- расчет;

- анализ;

- синтез.

Чтобы приступить к автоматизированному проектированию, необходимо ввести информацию о системе управления. Обычно при вводе данных задаются коэффициенты уравнений, диапазоны изменения параметров, варьируемые параметры, начальные значения. Если блок управления будет синтезироваться, то задаются параметры объекта управления и требования к его функционированию.

При расчете линейных непрерывных систем управления обычно используется матрица передаточных функций, на ее основе получают переходные и импульсно-переходные характеристики, рассчитывают влияние разброса параметров, строят амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, определяют расположение полюсов и нулей передаточных функций.

На основе расчета проводится анализ динамических характеристик и определяются задачи дальнейшего проектирования. Обычно проектирование идет в направлении улучшения свойств системы за счет оптимальной настройки параметров. Если положительного результата добиться не удается, проектирование продолжается в направлении изменения схемы, что обеспечивает синтез. Синтез, как правило, ведется с применением методов аналитического конструирования регуляторов (синтез структур), либо в направлении синтеза оптимальных управлений.



1.5 Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции

Преобразование Лапласа связывает функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s с соответствующей функцией f(t) (оригиналом) действительной переменной t . Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей. Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f(t) соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями F(s). Оно применяется, в частности, для решения дифференциальных и интегральных уравнений. Подход заключается в преобразовании уравнения, содержащего оригиналы f(t), в эквивалентное уравнение относительно соответствующих изображений Лапласа F(s), где s = + j .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа:

- дифференцирование оригинала

- интегрирование оригинала

- линейность

- изменение масштаба

- сдвиг аргумента у оригинала

Пусть динамика системы управления описывается уравнением вида:

где y(t) - управляемый параметр, r(t) - внешнее воздействие, вызывающее реакцию системы управления. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, то есть до приложения внешнего воздействия система находится в состоянии равновесия (в установившемся состоянии). Применим к обеим частям уравнения динамики преобразование Лапласа, получим:

(d sn +...+ d ) Y ( s ) = (cm sm + ... +co) R ( s )

Проследим связь входных и выходных величин:

Введем функцию вида

(1.6)

эта функция является передаточной. Определение ее следующее: передаточной функцией называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция элементов и систем является одной из важнейших характеристик, определяющей динамические свойства. Отметим, что для всех реальных объектов степень полинома числителя передаточной функции небольше степени полинома знаменателя. Обратный переход от изображения к оригиналу может осуществляться на основе обратного преобразования Лапласа, если оно существует. В частности, для каждого t > 0, где f(t) является функцией непрерывной, справедлива формула

где a - абсцисса абсолютной сходимости, то есть такая величина, при которой выполняется условие:

Для рациональных алгебраических функций обычно применяется разложение Хевисайда, рассмотрим его. Если учесть, что

C( s ) = cm sm + ...+ c0, D( s ) = dn sn + ...+ d0

представляют собой полином числителя и полином знаменателя функции W(s), и если корни полинома знаменателя не кратные, то оригинал можно представить в виде:

; (t >0);

Перейдем к рассмотрению типовых звеньев систем регулирования, то есть их математических моделей в виде простых передаточных функций.

1.6 Элементарные звенья обыкновенных линейных систем

Обыкновенными называют линейные системы с постоянными параметрами. После многократного применения операции расчленения такую систему в конечном итоге можно разбить на не подающиеся дальнейшему расчлененению звенья четырех типов:

- умножающие;

- суммирующие;

- интегрирующие;

- дифференцирующие.

Из названных типов звеньев к динамическим относятся интегрирующие и дифференцирующие. Рассмотрим основные характеристики этих звеньев.

Идеальное интегрирующее звено

Здесь приняты следующие обозначения: х - входная величина, y - выходная, W(s) - передаточная функция.

Переходная и импульсная переходная функции звена при x(t) = 1(t), x(0) = 0 соответственно равны:

При выходная функция скачком принимает постоянное значение, которое и сохраняет в дальнейшем. Примером приближенной реализации интегрирующего звена может служить двигатель постоянного тока, у которого постоянная времени мала в сравнении с временем переходного процесса в системе, в которой двигатель работает.

Идеальное дифференцирующее звено

Переходная функция звена при х(t)=1(t) равна . Она представляет собой импульс типа дельта - функции с площадью T.

Возможность представления реального звена идеальным дифференцирующим определяется соотношением постояной времени звена и дифференцируемого процесса. Чем больше инерция звена, тем с большей погрешностью оно будет дифференцировать быстро изменяющиеся функции. О близости реального звена к идеальному удобно судить по частотным характеристикам. Примером звена, близкого к идеальному, может служить тахогенератор, дифференцирующий угол поворота вала машины. Выходное напряжение тахогенератора

где - угол поворота вала. Весьма близким к идеальному дифференцирующему звену является дифференцирующий усилитель с большим коэффициентом усиления. В той полосе частот, которая указана в паспорте усилителя, его передаточная функция

Выходная величина дифференцирующего звена при гармоническом воздействии пропорциональна частоте воздействия, и звено усиливает высокочастотные помехи, что сильно затрудняет его использование. Поэтому в моделирующих устройствах обычно стремятся обойтись без дифференцирующих звеньев. Это всегда возможно, если степень числителя передаточной функции моделирующего звена не выше степени знаменателя. Такую систему можно разбить на звенья только трех типов: масштабные, суммирующие и интегрирующие.

1.7 Типовые апериодические звенья первого и второго порядка

При декомпозиции схемы на элементарные звенья она обычно становится чрезмерно детальной, громоздкой и малонаглядной, поэтому в системах автоматического управления широкое применение находит декомпозиция на типовые звенья несколько более сложной структуры, чем элементарные, но более соответствующие реальным элементам.

Неидеальное интегрирующее звено

Строго говоря, любое реальное интегрирующее звено неидеально.

Иногда грубое интегрирование выполняют и с помощью статического звена, например с помощью схемы

для которой можно записать законы Кирхгофа для токов и напряжений соответственно:

Далее, учитывая определение

перепишем закон Кирхгофа дл напряжений, получим уравнение вида:

,

откуда следует

Положив T = Rс , запишем последнее уравнение в виде



Неидеальное дифференцирующее звено

Рассмотрим схему

Для этой схемы законы Кирхгофа для токов и напряжений имеют вид:

Учитывая, что

,

перепишем уравнение Кирхгофв для напряжений

.

Далее применим преобразование Лапласа и перейдем к изображениям и алгебраической переменной s. Будем иметь



Погрешность замены идеального звена не идеальным можно уменьшить, выбрав T достаточно малым, и вводя большой коэффициент усиления k:

Идеальное форсирующее звено

Введение производных в закон регулирования осуществляется обычно с помощью так называемых форсирующих звеньев. Идеальное форсирующее звено осуществляет сложение выходной величины с ее производной и имеет передаточную функцию

Устойчивое звено первого порядка общего типа

Рассмотрим звено с передаточной функцией

В таком звене при преобладает форсирование ( дифференцирование), при - инерционное запаздывание ( интегрирование). Поэтому такое звено часто называют интегрирующим. При оно превращается в часто используемое звено, называемое статическим звеном первого порядка, инерционным, апериодическим.

Колебательное звено

Такое звено имеет дифференциальное уравнение вида

.

Перейдем к изображению Лапласа, получим:

.

.

Аналогичным образом получены передаточные функции остальных типовых звеньев, результаты внесены в таблицу 2:

Таблица 2.

Тип звена	Передаточная функция
1. Безынерционное звено	k, k = const
2. Идеальное дифференцирующее звено	k s
3. Дифференцирующее звено с замедлением	ks / (1+Ts)
4. Идеальное интегрирующее звено	k / s
5. Интегрирующее звено с замедлением	k / (s (1 + Ts))
6. Апериодическое звено 1-го порядка	k / (Ts+1)
7. Апериодическое звено 2-го порядка	k / (T2s2+T1s+1)
8. Колебательное звено	k / (Ts2+2Ts+1)
9. Изодромное звено	k ( Ts +1) / s
10. Консервативное звено	k / ( T2 s2+ 1 )

1.8 Способы соединения элементов

Последовательное соединение

Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций входящих в соединение звеньев.

Параллельное соединение

Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций входящих в соединение звеньев.

Соединение с обратной связью

Передаточная функция обратного соединения равняется отношению передаточной функции звена в прямой цепи к произведению передаточных функций звеньев стоящих в прямой и обратной цепи, со знаком “+” для отрицательной обратной связи и со знаком “-” для положительной обратной связи, увеличенному на единицу.

1.9 Типовые воздействия

Типовые воздействия это типовые функции времени, подаваемые на вход устройства, по реакции на которые определяются динамические характеристики устройства в переходном режиме. Переходным режимом считается режим перехода технического устройства из одного состояния в другое. Считается, что состояние технического устройства в фиксированный момент времени определяется значением его обобщенных координат. Рассмотрим типовые воздействия.

Типовое воздействие типа 1 ( t )

Реакция системы управления на функцию 1(t) называется переходной функцией или переходной характеристикой.

Единичная импульсная функция



Реакция системы управления на единичную импульсную функцию называется импульсной переходной функцией, функцией веса, весовой функцией.

Отметим, что типовые воздействия 1(t) и (t) являются наиболее неблагоприятными для работы технических устройств и их элементов. Если качество удовлетворительно при типовых воздействиях, то тем более оно будет удовлетворительно при обычных режимах работы.

Гармоническая функция

gвх (t) =Aвх sin t, gвых (t) =Aвых sin ( t+)

Частотные характеристики A() и () описывают установившиеся вынужденные колебания, полученные при подаче на вход устройства гармонического воздействия. A() - амплитудно - частотная характеристика. () - фазо - частотная характеристика. Запишем формулу передаточной функции:

система управление оптимизация автоматический регулирование

Если от аргумента s = + j перейти к аргументу s = j, положив = 0, то будем иметь дело с характеристикой в виде частотной передаточной функции:

Q1 = co - c2 2 + c4 4 - ...

Q2 = c1 - c3 3 + c5 5 - ...

P1 = do - d2 2 + d4 4 - ...

P2 = d1 - d3 3 + d5 5 - ...

Меняя частоту от 0 до бесконечности можно строить частотные характеристики, по виду которых анализируется качество работы схемы. Амплитудно-фазовая характеристика имеет вид:

1.10 Вычисление передаточных функций

Рассмотрим формулу Мезона определения передаточной функции между двумя произвольными вершинами А и В графа.

,

где k - количество прямых путей между A и B; Wk - передаточная функция к -го прямого пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер; - определитель графа; k- определитель к - го минора графа, полученного путем удаления всех ребер и вершин, лежащих на к - ом пути, а также всех ребер, входящих и исходящих из этих вершин. Такой определитель вычисляется по формуле:

где Wi - передаточные функции различных контуров; Wi Wj - произведение передаточных функций несоприкасающихся пар контуров; Wi Wj Wl - произведение передаточных функций несоприкасающихся троек контуров и т.д. Под прямым путем между двумя заданными вершинами графа будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более одного раза. Под контуром будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой можно вернуться к вершине начала прохождения, причем каждая вершина внутри контура встречается не более одного раза.

1.11 Свободное и вынужденное движение

Пусть y(t) - сигнал на выходе устройства, r(t) - сигнал подаваемый на его вход. Пусть работа устройства описывается в общем виде уравнением:

Чтобы определить y(t) необходимо решить дифференциальное уравнение. Такое решение может быть записано в виде:

y(t) = y своб.(t) + y вын.(t),

где y своб (t) - решение однородного дифференциального уравнения:

.



Такое уравнение определяет свободное движение или колебания. yвын.(t) есть частное решение рассматриваемого неоднородного дифференциального уравнения. Оно определяет вынужденные движения, обусловленные внешним воздействием.

Рассмотрим принцип суперпозиции, применяемый в проектировании сложных систем управления. Пусть на техническое устройство подается несколько внешних воздействий. Тогда для такого устройства, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений, справедливо утверждение, что сигнал на выходе устройства равен сумме выходных сигналов, полученных при подаче на вход устройства одного воздействия при равенстве нулю всех остальных. Принцип наложения сигналов называется принципом суперпозиции. Рассмотрим систему автоматического управления (САУ) с несколькими управляемыми параметрами, то есть многомерную систему управления, общая схема которой может быть представлена следующим образом:

В качестве математической модели такой системы может рассматриваться система алгебраических уравнений:

записанная в векторно-матричной форме:



Yi ( s ) = Wi1(s) R1(s) + Wi2 (s) R2 (s) + . . .+ Wim (s) Rm(s).

Если исследовать динамические свойства САУ при типовых режимах, то предполагается, что типовое воздействие одного вида подают на все входы одновременно, тогда выходной сигнал будет определяться по формуле:

Yi (s)= R(s) * (Wi1(s) + Wi2(s) + . . . + Wim(s)),

где Wi1+ Wi2 + . . . Wim - обобщенная передаточная функция.Число обобщенных передаточных функций многомерной САУ определяется числом управляемых (выходных) сигналов.

1.12 Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа

Передаточную функцию разомкнутой системы управления можно представить в виде:

Здесь k - числовой коэффициент, в который в качестве сомножителя входит коэффициент усиления сигнала в прямой цепи. Передаточная функция замкнутой системы управления с единичной отрицательной обратной связью определяется по формуле :

Уравнение D(s) + kC (s) = 0 называется характеристическим. Его корни называются полюсами, а корни уравнения k C(s) = 0 называются нулями. Полюса и нули могут рассматриваться в качестве динамических характеристик наряду с переходными и частотными. При изменении k от 0 до бесконечности полюсы описывают в комплексной плоскости траектории, называемые корневым годографом.

По движению полюсов вдоль траекторий судят о свойствах системы управления. Отметим несколько основных свойств корневого годографа:

- корневой годограф симметричен относительно действительной оси

- действительная ось принадлежит корневому годографу

- число ветвей корневого годографа определяется степенью характеристического уравнения.

Основное аналитическое уравнение траектории корней имеет вид алгебраического уравнения:

-



Это уравнение позволяет по задаваемому значению найти , то есть построить точки корневого годографа. Здесь приняты следующие обозначения: C(), D() - полиномы C(s) и D(s) соответственно после подстановки s = . , - производные этих полиномов. Для многомерной системы управления число характеристических уравнений будет определяться числом управляемых параметров. Если все каналы управления связаны между собой, то характеристические уравнения всех каналов будут одинаковые.



2. Методы анализа систем управления

2.1 Понятие устойчивости систем управления

Если под влиянием возмущения состояние системы управления отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия внешнего возмущения снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым, сходящимся к исходному. Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову. Пусть имеем уравнение динамики:

Его можно переписать с использованием фазовых координат:

.

,

- фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Представленное уравнение в фазовых координатах описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты в начальный момент времени t = to имеют значения: x1 = 1 (t0), x2 = 2 (t0), ... , xn = n (t0).

Решение дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно может быть записано в виде

xi = i [t, i (to)] .

Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли значения:

i*(to) = i (to) + i .

Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:

xi* = i*[t, i* (to)] .

Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение в момент времени t > t0 будет отличаться от невозмущенного движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением , будет устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 можно подобрать () > 0, чтобы при t > t0,

| i*(to) - i (to) | < ()

выполнялось условие:

| i*(t) - i (t) | .

Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается асимптотически устойчивым, если

lim | i*(t) - i (t) | = 0, t.

Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является ее приближенной моделью, и возникает вопрос - правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо. А.М. Ляпуновым был доказан ряд теорем, отвечающий на поставленный вопрос.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части, судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации нелинейные слагаемые.

Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной области, представляется выражением:

dnsn + dn-1s n-1+ ... + do = 0.

Если система управления исследуется в области фазовых координат, то характеристическое уравнение рассматривается в виде:

det [ E - A] = 0,

где A - матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная матрица; - переменная характеристического уравнения.

2.2 Критерий устойчивости Гурвица (алгебраический)

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

ao n+ a1 n-1+ ... + an = 0.

Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:

При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева - в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров матрицы Гурвица были положительными.

1 = a1 > 0; 2 = > 0; ...

Из критерия Гурвица вытекает одно важное следствие. Необходимым условием устойчивости является то, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковый знак.

2.3 Критерий устойчивости Михайлова (частотный)

Запишем характеристическое уравнение САУ при s = j с целью его рассмотрения в частотной области:

D(j) = dn (j)n + dn-1 (j)n-1+ ...+ do = A () e j () = P() + j Q() = 0.

При изменении от 0 до вектор D (j) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова.

Чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой D (j) при = повернулся, не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол n / 2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения квадрантов комплексной плоскости кривой Михайлова.

2.4 Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления считается выполнение условия:

i< 0; (si = i + ji , i=; )

где si - корни характеристического уравнения. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения на поведение системы управления во времени.

1. si = i < 0 , ( i = 1,…, n)

2. si = i +j, i < 0, ( i = 1,…, n)



3. s i = i > 0

4. s i = i + j i, i > 0,

h(t)

t

5. si = j, автоколебания

h(t)

t

Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:

si , ( = + j: -, > 0, | | || ).



Для оценки качества САУ понадобятся знания следующих характеристик:

- степени устойчивости

= | max Re(si)|, Re(si) < 0, ( i = 1,…, n).

- колебательности

= |Im (sдом) / Re (sдом)|; = arctg .

колебательность обычно имеет значение 1-2, но в отдельных случаях допускается до 3.

- времени регулирования

Tрег (1/) ln (1/).

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp (-2 / ),

демпфирование допускается в пределах 90-98%.

- переходной функции



- функции веса

В введенных формулах приняты следующие обозначения: si - корень характеристического уравнения; sдом - доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный модуль; С(s) и D(s) - полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы; n - порядок полинома D(s); - малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.

2.5 Анализ качества САУ по переходной характеристике

Склонность системы управления к колебаниям, а, следовательно, и запас устойчивости может быть охарактеризован максимальным отклонением значения регулируемой величины от установившегося значения. Рассмотрим график переходной характеристики и отметим основные показатели.



Здесь - величина перерегулирования. При анализе используют ее абсолютное или относительное значение:

.

h() - установившееся значение регулируемой величины. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если перерегулирование < 30%. В ряде случаев допускается до 70%. Быстродействие системы управления может определяться по длительности переходного процесса Tрег. Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход системы управления единичной ступенчатой функции до момента начала выполнения неравенства:

| h(t) - h() | ,

где - статическая ошибка. Иногда в качестве требования, накладываемого на работу системы управления, может задаваться допустимое число колебаний за время регулирования. Остановимся на ряде оценок качества работы системы управления:

- tзап. - время запаздывания - отрезок времени между моментом приложения входного воздействия и моментом времени, при котором величина выходного сигнала станет равной половине установившегося значения.

- tн - время нарастания - отрезок времени между точкой пересечения оси времени с касательной проведенной к кривой в точке ? h() и координатой на оси времени точки пересечения указанной касательной с горизонтальной кривой соответствующей установившемуся значению регулируемой величины h().

- время срабатывания - время между моментом приложения входного воздействия и точкой пересечения переходной характеристики с h().

2.6 Анализ качества САУ по частотным характеристикам

Для построения амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо- частотных характеристик (ФЧХ) задаются значения частот: 1, 2, ... и при каждом i по формулам A() и () рассчитывают ординаты характеристик, затем по полученным точкам строят графики. Рассмотрим графики этих характеристик и отметим некоторые их особенности.



Резонансная частота p соответствует Аmax. Полоса частот от 0 до n называется полосой пропускания. Частота среза с соответствует амплитуде равной 1. Она характеризует быстродействие. При анализе качества САУ важными показателями считаются запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Кроме того анализ часто включает построение логарифмических характеристик, а именно: логарифмической амплитудно-частотной характеристики L() = 20lg A() измеряемой в децибелах (дБ) и логарифмической фазо - частотной характеристики (). В качестве аргумента при построении логарифмических характеристик вместо используется аргумент lg, измеряемый в декадах.



Запас устойчивости по амплитуде на основе логарифмических частотных характеристик определяется следующим образом: необходимо А - точку пересечения фазовой характеристики с прямой или спроектировать на амплитудную характеристику, тогда модуль ординаты точки В определит запас устойчивости по модулю. Запас устойчивости по фазе определяется значением фазы на частоте среза, если частотная характеристика строится относительно оси . Если же она строится относительно оси , то запас устойчивости по фазе определяется величиной . Устойчивость есть необходимое условие нормального функционирования любой технической системы. Она должна иметь место не только в случае постоянства параметров, но и когда в процессе эксплуатации параметры изменяются в определенных пределах. Это может быть выполнено, если система работает не на границе устойчивости, а на некотором удалении от нее. Другими словами система управления должна обладать некоторым запасом устойчивости, обеспечивающим ее работоспособность в различных условиях эксплуатации. Рассмотрим оценку запаса устойчивости по фазе и амплитуде в комплексной области. Для этого рассмотрим характеристический полином САУ при s = j:

D(j) = Re() + j Im() ; = .

Отметим, что из двух систем управления потеряет устойчивость быстрее та, у которой запас устойчивости меньше. В комплексной области в качестве меры запаса устойчивости по фазе принимается угол между отрицательным направлением действительной оси и лучом, проведенным из начала координат через точку, лежащую на пересечении частотного годографа D(j) c окружностью единичного радиуса.

Величина H показывает расстояние от точки (-1, j0 ) до точки пересечения частотного годографа D(j) с действительной осью. Она является мерой оценки запаса устойчивости по модулю.



3. Основы оптимизации и методы синтеза систем управления

3.1 Постановка задачи параметрической оптимизации

Пусть поведение одномерной системы управления описывается дифференциальным уравнением вида:

D(p) y(t) = C(p) r(t), p = d / dt (3.1)

.

D(p) - операторная функция преобразования. Аналогично можно записать операторную функцию C(p). Особого внимания заслуживает рассмотрение преобразования входного сигнала r(t) в выходной y(t):

(3.2)

- ядро операторного преобразования. Если в системе управления выделить вектор варьируемых параметров х, то последняя формула примет вид:

y(t,x) = ( x, t- ) r() d (3.3)

Пусть на качество САУ наложены ограничения вида:



| y ( x, | (3.4)

| h ( x, t > Tрег) - h ( х, t)| (3.5)

| h (x, t) - h ( х, t)| , t (0,Tрег) (3.6)

Здесь приняты следующие обозначения: - - абсолютное значение величины перерегулирования; - статическая ошибка; h (x,t) - переходная характеристика; h (х, t) - установившееся значение переходного процесса; - требуемое значение выходной (управляемой) переменной. Если от одномерной системы управления перейти к многомерной, и в качестве х рассматривать вектор варьируемых параметров, то любая компонента i вектора управляемых параметров может быть представлена формулой:

yi (x, t) = ij (x, t - ) rj() d (3.7)

Задача параметрической оптимизации для многомерной САУ, поведение которой описывается системой уравнений (3.7), состоит в определении таких значений вектора x, принадлежащих заданной области, при которых САУ будет обладать заданными характеристиками. Решение задачи сложный и трудоемкий процесс, часто с трудно разрешимыми ситуациями. «Метод проб и ошибок» в поиске рациональных параметров не является эффективным. Рассмотрим решение на основе моделирования процессов в комплексной плоскости. В качестве модели САУ будем рассматривать модель вида:

Y(x, s) = W(x,s) * R(s), (3.8)

Без рассмотрения подробностей воспользуемся доказанным утверждением. Для выполнения условий (3.4) - (3.6), налагаемых на качество системы управления во временной области, достаточно выполнение следующих условий в комплексной плоскости:

| s Y(x,s) - | (3.9)

s (3.10)

В связи с этим задача параметрической оптимизации может быть сформулирована следующим образом. Для многомерной системы управления, поведение которой описывается системой уравнений (3.8) требуется найти такое значение вектора оптимизируемых параметров х= хопт. (х- вектор неизвестных коэффициентов передаточных функций управляющей части), при котором система управления будет обладать требуемым качесвом (3.9) - (3.10) за счет максимального приближения к эталонной системе управления, чтобы целевая функция F(x), характеризующая такое приближение, принимала минимальное значение

.

3.2 Методика решения задачи параметрической оптимизации

Прежде чем перейти к решению задачи, рассмотрим влияние полюсов и нулей на статические и динамические характеристики системы управления.

Запишем выражение установившегося процесса на выходе объекта управления:

Y(x, s) = W(x,s) *R(s ) , (s = 0).



Отметим, что если нуль и полюс находятся близко друг от друга, а именно: на расстоянии менее чем 0.1 модуля, то влияние такого полюса ослабляется нулем, то есть полюс не оказывает существенного влияния на динамические характеристики системы управления. Рассмотрим пример. Пусть выходная функция Y(s) имеет вид:

, ( s1п = - 5.2, s2п = - 8, s1н = -5).

Поскольку расстояние между нулем и первым полюсом намного меньше модуля корня, то влиянием ближайшего к нулю полюса можно пренебречь, так как он оказывает несущественное влияние на динамику системы управления в целом. Пусть многомерная система управления, описываемая системой уравнений (3.8), не удовлетворяет требованиям качества, это означает, что некоторые полюсы выходят за границу области или нули оказывают отрицательное влияние на качество управления. Идеальной системой управления будем считать такую, которая имеет заданное расположение полюсов и нулей или заданный корневой годограф. Для решения задачи параметрической оптимизации введем в рассмотрение расположение идеальных полюсов и нулей. Воспользовавшись известными формулами перехода от корней алгебраического уравнения к его коэффициентам можно записать:

…

…



Эти соотношения позволяют найти обобщенные передаточные функции каналов входы - выход эталоной системы уравления вида:

, (i = 1,…,y), (3.11)

где y - число выходов системы управления. Обобщенные передаточные функци каналов оптимизируемой по параметрам системы управления представим в виде:

(3.12)

Таким образом, имеем эталоные обобщенные передаточные функции каналов входы - выход в виде (3.11) и реальные в виде (3.12). Метод параметрической оптимизации основан на приближении реальной системы управления к эталоной как можно ближе за счет оптимальной настройки параметров x. Введем в рассмотрение оптимизируемую функцию как средне - квадратичную ошибку аппроксимации по коэффициентам передаточных функций эталоной и оптимизируемой по параметрам систем управления. Целевая функция примет вид:

Здесь приняты следующие обозначения: cil(x), - соответственно коэффициенты полиномов Сi(x,s) и ; dil(x), - соответственно коэффициенты полиномов Di(x,s) и ; i - весовые коэффициенты, назначение которых разделять каналы управления по степени значимости.

Функция F(x) - алгебраическая. Для нахождения ее минимума на множестве X, заданном ограничениями вида: l(х) = 0, ( l=), воспользуемся подходом основанным на введении неопределенных множителей Лагранжа , что предполагает решение системы уравнений вида:

Ф(x,) = F(x)+ (3.13)

где k - размерность вектора х. Первые уравнения вытекают из приравнивания к нулю производных функции Ф(x, ) по переменным вектора . Минимум функций F(x) и Ф(x, ) будет достигнут в точке x = xопт, найденной из решения (3.13), если в этой точке будет выполнено условие положительности квадратичной формы: