Теория принятия решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Человек наделён сознанием, существо свободное и обречено на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. Темой моей курсовой работы «Теория принятия решений». В наиболее общем смысле теория принятия решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора.

Проблема исследования - решение практических задач с применением методов теории принятия решений. Объектом исследования являются теоретические сведения и практический опыт решения задач в различных условиях. Предмет исследования - общий вид задачи теории принятия решений и наиболее распространенные методы решения задач.

Цель работы: изучить и описать постановку задач теории принятия решений и основные понятия. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Мы рассмотрим действие теории математических решений, целесообразность применения критериев Вальда, Лапласа, Гурвица, Сэвиджа, для каждого случая, научимся действовать практически разумно, найдем их плюсы и минусы, а также будет доказана суть всей работы и эффективность применения их в различных ситуациях.

Задачами этой курсовой работы заключаются:

1. Постановка задач теории принятия решений, связь теории принятия решений и теории игр;

2. Метод принятия решений в случае известных вероятностей вариантов обстановки;

3. Принятие решений в условиях неопределенности. Различные критерии принятия решений (минимаксный критерий, критерий Сэвиджа, Гурвица);

4. Последовательное принятие решений, дерево решений.

Методы исследования: анализ литературы, анализ задач решаемых методами теории принятия решений, систематизация и обобщение материала.

1. Теоретическая часть

1.1 Постановка задач теории принятия решений

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу. Искусство постановки задач постигается на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации. В первом приближении можно сформулировать следующую последовательность действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:

- установление границы подлежащей оптимизации системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ.

- определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются показатели или технологического характера.

- выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

- построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. В самом общем случае структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов [4, 63].

Как правило, решение практических задач, связанных с оценкой качества и надежности изделий лесного машиностроения, зависит не только от оперирующей стороны (допустим, конструктора), но и от действий других субъектов системы (например, технолога-лесозаготовителя). Каждая из сторон преследует собственные цели, не всегда совпадающие друг с другом. Неопределенность такого рода при принятии решений относят к классу поведенческих неопределенностей. Теоретической основой нахождения оптимального решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр. Игра - это математическая модель процесса функционирования конфликтующих элементов систем, в котором действия игроков происходят по определенным правилам, называемых стратегиями. Ее широкому распространению в последнее время способствовало как развитие ЭВМ, так и создание аналитического аппарата, позволяющего находить аналитические решения для широкого класса задач. Основной постулат теории игр - любой субъект системы, по меньшей мере, так же разумен, как и оперирующая сторона и делает все возможное, чтобы достигнуть своих целей. От реального конфликта игра (математическая модель конфликта) отличается тем, что она ведется по определенным правилам, которые устанавливают порядок и очередность действий субъектов системы, их информированность, порядок обмена информацией, формирование результата игры.

Другая особенность применения методов теории игр заключается в выборе решений, получаемых на основе анализа конфликтной ситуации. В теории игр доказывается теорема о том, что оптимальная стратегия для каждого из игроков является оптимальной и другого. Так, если решение игры получено в чистых стратегиях (имеется седловая точка), то выбор решения однозначен [12, 28].

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу. Искусство постановки задач постигается на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации [5, 273].

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного векторного показателя эффективности W_m(x), m=1,2,…, M, N-мерного векторного аргумента x=(x₁, x₂,…, x_N), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств h_k(x)=0, k=1,2…K, ограничений-неравенств g_j(x)>0, j=1,2,… J, областным ограничениям x_li<x_i<x_ui, i=1,2…N.

Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью W_m(x), h_k(x), g_j(x) и размерностью и содержанием вектора x:

· одноцелевое принятие решений - W_m(x) - скаляр;

· многоцелевое принятие решений - W_m(x) - вектор;

· принятие решений в условиях определенности - исходные данные - детерминированные;

· принятие решений в условиях неопределенности - исходные данные - случайные.

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования [3, 196].

1.2 Принятие решений в условиях неопределенности

Условиями неопределённости считается ситуация, когда результаты принимаемых решений неизвестны. Неопределенность подразделяется на стохастическую (имеется информация о распределении вероятности на множестве результатов), поведенческую (имеется информация о влиянии на результаты поведения участников), природную (имеется информация только о возможных результатах и отсутствует о связи между решениями и результатами) и априорную (нет информации и о возможных результатах). Задача обоснования решений в условиях неопределенности всех типов, кроме априорной, сводится к сужению исходного множества альтернатив на основе информации, которой располагает ЛПР. Качество рекомендаций для принятия решений в условиях стохастической неопределенности повышается при учете таких характеристик личности ЛПР, как отношение к своим выигрышам и проигрышам, склонность к риску. Обоснование решений в условиях априорной неопределенности возможно построением алгоритмов адаптивного управления. Большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным [8, 210]. Однако из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается за человеком. При решении конкретных задач с учетом неопределенностей инженер сталкивается с разными их типами. В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

· неопределенность целей;

· неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

· неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Я приведу его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений. Можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые характеристики (законы распределения и их параметры). Примером таких задач могут быть, в частности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники, система организации рубок ухода и т.д. [13, 486].

1.3 Различные критерии принятия решений

Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем «нижняя цена игры с природой»:

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным [6, 194].

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

· вероятность появления состояния V_j известна и не зависит от времени;

· принятое решение теоретически допускает бесконечно большое

· количество реализаций;

· допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант [15, 108].

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

где

r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

При r =1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r =0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r =0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

· о вероятности появления состояния V_j ничего не известно;

· с появлением состояния V_j необходимо считаться;

· реализуется лишь малое количество решений;

· допускается некоторый риск [7, 138].

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

· о вероятности появления состояния V_j ничего неизвестно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

· принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций; допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.

Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию, соответствующую позицию крайней осторожности.

и

где - оценочная функция Минимаксного критерия.

Поскольку в области технических задач построение множества Е вариантов уже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с различных точек зрения. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать, возможно, более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта [9, 128].

Правило выбора решения в соответствии с этим критерием можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_ir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты E_io, в строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия F_j ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже . Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь [10, 62].

1.4 Последовательное принятия решений

Естественным является желание разбить сложную задачу принятия решения на несколько, чтобы воспользоваться возможностью решать их по очереди.

Пример 1. Простейшим вариантом является дихотомическая схема для наглядного представления возможных решений. Например, необходимо решить задачу: «Как встречать новый год?» На первом шаге надо выбрать одно из двух возможных решений:

остаться дома;

уехать.

В каждом из двух случаев возникает необходимость принять решения второго уровня. Так, в первом случае:

1.1) пригласить гостей:

1.2) не звать гостей.

Во втором случае:

2.1) уехать к родственникам или знакомым;

2.2) уехать в общедоступные места (отправиться в путешествие, пойти в клуб или ресторан и т.п.).

После двух шагов получили четыре возможных решения. Каждое из них, вообще говоря, предполагает дальнейшее деление. Так, например, вариант «пригласить гостей» приводит к дальнейшему обсуждению их списка. При этом могут сопоставляться различные варианты. Например, что предпочесть - гастрономические утехи за телевизором в хорошо знакомой компании или бурное обсуждение злободневных проблем или нравов далеких стран с интересными людьми, с которыми давно не встречались?

Вариант «остаться дома и не звать гостей» также имеет свои варианты. Можно проводить новогоднюю ночь в семейном кругу, и одна из решаемых при этом задач, - какую программу телевидения смотреть. А можно лечь спать вскоре после полуночи, например, в случае болезни или после долгой тяжелой работы.

Вариант «уехать к родственникам или знакомым» также требует дальнейших решений. Поездка связана, прежде всего, с поддержанием родственных отношений или с желанием получить удовольствие? Какую пищу, Вы предпочитаете - физическую или духовную (гастрономические утехи или интересную беседу)?

Оставшийся четвертый вариант «уехать в общедоступные места» предполагает еще больше возможностей выбора. Можно остаться в своем городе, отправиться в другой город (например, из Москвы в Смоленск), выехать на природу (на горнолыжную базу, на курорт), пересечь границу. А тут возможностей масса - все страны, все континенты, можно покататься на слоне в Таиланде, искупаться в Атлантическом океане или побродить по Парижу.

Итак, рядовая задача принятия решения «Как встречать новый год?» при проработке превращается в выбор из невообразимого количества вариантов. При этом нет необходимости доходить до перечня конкретных вариантов (выехать 28 декабря таким-то поездом туда-то), поскольку решения, очевидно, принимаются последовательно, и решение «остаться дома» делает ненужным рассмотрение всех туристических маршрутов.

Что дает нам декомпозиция решений? Пример 1 демонстрирует, как несколько принятых друг за другом решений позволяют справиться с многообразием вариантов. При принятии решений может использоваться весь арсенал теории принятия решений, такие понятия, как цели, критерии, ресурсы, риски и др., однако довольно часто решения принимаются на интуитивном уровне, без введения в обсуждение перечисленных понятий.

1.5 Дерево принятия решений

Деревья принятия решений обычно используются для решения задач классификации данных или, иначе говоря, для задачи аппроксимации заданной булевой функции. Ситуация, в которой стоит применять деревья принятия решений, обычно выглядит так: есть много случаев, каждый из которых описывается некоторым конечным набором дискретных атрибутов, и в каждом из случаев дано значение некоторой (неизвестной) булевой функции, зависящей от этих атрибутов. Задача - создать достаточно экономичную конструкцию, которая бы описывала эту функцию и позволяла классифицировать новые, поступающие извне данные. Дерево принятия решений - это дерево, на ребрах которого записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в листьях записаны значения целевой функции, а в остальных узлах - атрибуты, по которым различаются случаи [16, 276].

Довольно часто удобно представить варианты графически. Обычно возможные решения представляют в виде одного из видов графов - дерева. Строго говоря, это перевернутое дерево. Корнем является исходная задача -

«Как встречать Новый год?» От него идут две ветви - к вариантам «Остаться дома» и «Уехать». От этих вариантов, в свою очередь являющихся задачами принятия решений («Что делать, оставшись дома?» и «Куда уехать?»), ветки ведут к вариантам задач принятия решений следующего порядка.

Графическая реализация приведенного примера представлена на рисунке 1.

Пример 2. Приведем начало (корень) «Дерева решений проекта», использованного в практической работе.

Задача предприятия - производить качественные изделия из стекловолокна, т. к. растет потребность в утеплителях и расширяется рынок. Необходимо сделать выбор из двух вариантов:

1) работать на существующем оборудовании;

2) провести реконструкцию цеха.

При выборе первого варианта следует иметь в виду, что мощности оборудования не столь большие, чтобы обеспечить возросшую потребность (из-за физического износа линии), а качество производимой продукции не соответствует международным требованиям (т.е. необходимо учитывать моральный износ линии). Поэтому следует ожидать, что даже в условиях предполагаемого повышенного спроса выпущенные на существующем оборудовании материалы не будут востребованы (реализация будет падать), соответственно мощность производства не будет расти [2, 163].

При выборе второго варианта решения после реконструкции производительность увеличивается в 2 раза по сравнению с существующей технологической линией, качество выпускаемой предприятием продукции будет соответствовать международным требованиям, она сможет конкурировать с главными производителями стекловаты. Повысятся основные технико-экономические показатели. Однако существует определенный риск проекта, поскольку необходимы большие капитальные вложения (большая часть которых - из заемных источников).

Дальнейшее построение дерева решений здесь достаточно очевидно. От варианта «Работать на существующем оборудовании» пойдут линии к решениям, связанным с упрощением ассортимента выпускаемой продукции, поиском ниши рынка, готовой принимать продукцию более низкого качества, и т.д. Это - линия на выживание в условиях отставания от научно-технического прогресса, вплоть до ликвидации предприятия. В некоторых условиях ликвидация предприятия - это оптимальный выход.

От варианта «Провести реконструкцию цеха» пойдут линии двух типов - сначала «технологические», а затем «финансовые». Сначала надо выбрать конкретный вариант реконструкции и подготовить бизнес-план соответствующего инвестиционного проекта. Затем необходимо обеспечить финансовые поступления для выполнения этого инвестиционного проекта, обеспечив минимальный риск для предприятия. Здесь проблема - выбор кредиторов и заемщиков, заключение с ними договоров на приемлемых условиях. Кроме последовательного принятия решений, декомпозиция задач принятия решений используется для «разделения проблем на части». При этом результатом декомпозиции является не выбор одного из большого числа вариантов, как при последовательном принятии решений, а представление решаемой задачи в виде совокупности более мелких задач, в пределе - таких задач, методы, решения которых известны [14, 42].

2. Практическая часть

На новый год в детский сад хотят поставить наборы подарков, производимых пятью фабриками. При выборе фабрики руководствуются экспертными оценками стоимости подарков, приведенными в таблице. С какой из фабрик следует заключать договор, чтобы стоимость наборов была минимальной (к= 0,5).

решение дерево принятие выгодный

Таблица 1

	U1	U2	U3	U4	U5	U6
M1	20	25	18	15	21	16
M2	25	24	18	10	24	15
M3	15	28	20	12	19	18
M4	9	21	22	18	20	17
M5	18	26	20	20	15	22

а) Критерий Лапласса-Байса

б) Критерий Вольта (min)

в) Критерий Гурвица k=0,5

*

г) Критерий Сэвиджа (табл.)

Таблица 2

	25	28	22	20	24	22
M1	25-20=5	28-25=3	22-18=4	20-15=5	24-21=3	22-16=6	15
M2	25-25=0	28-24=4	22-18=4	20-10=10	24-24=0	22-15=7	10
M3	25-15=10	28-28=0	22-20=2	20-12=8	24-19=5	22-18=4	10
M4	25-9=16	28-21=7	22-22=0	20-18=2	24-20=4	22-17=5	16
M5	25-18=7	28-26=2	22-20=2	20-20=0	24-15=9	22-22=0	9 *

Ответ: По критерию Лапласа, Вольта и Гурвица видно, что следует заключать договор с фабрикой №4. По критерию Сэвиджа с фабрикой №5.

Заключение

решение дерево принятие выгодный

Применение математических методов в бизнесе и конкурентной борьбе за выживание (процветание) производства стало неотъемлемой частью российской экономике и с каждым годом становится все прогрессивнее. Мы доказали практической частью работы, что это возможно, этим надо пользоваться и научиться внедрять теории Лапласа и других в управление и способы исследования рынка сбыта и производства. Времена «простой коммерции» давно забылись и мы, будучи людьми образованными, обязаны применять свои знания и главные постулаты на практике. Математические методы применимы не только в экономике, конечно, ими удобно пользоваться и обыденных ситуациях, например в огородничестве (при выращивании какой-либо культуры).

Целью данной курсовой работы является изучение и описание постановки задач теории принятия решений.

В ходе исследования нами было представлено теоретическая часть и практическая, описаны критерии принятия решений, показаны примеры решения задач, представлен практический опыт решения задач в условиях определенности, неопределенности, риска, изучены критерии принятия решений в данных условиях. Практическая часть курсовой работы позволила представить решение конкретной задачи принятия решений на основе наиболее распространенных критериев. Также в ходе исследования была решена задача реализации алгоритмов и методов решения задач теории принятия решения с помощью программных средств, в частности с использованием объектно-ориентированной среды программирования Delphi.

Таким образом, цель данной курсовой работы достигнута, задачи реализованы.

Литература

1. Андреев, В.Н. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле [Текст]: Изд-во ун-та Йоэнсуу / В.Н. Андреев, Ю.Ю. Герасимов. - М.: Изд-во ун-та Йоэнсуу, 1999. - 200 с.

2. Бережная, Е.В. Математические методы моделирование экономических систем: Учеб. пособие. - 2-е изд [Текст]: перераб. доп. / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 232 с.

3. Береснев, В.Л. Дискретные задачи размещения и полиномы от булевых переменных [Текст]: учеб. для вузов / В.Л. Береснев. - Новосибирск: Изд-во Инст. Математики, 2005. - 258 с.

4. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы методология [Текст]: учеб. для вузов - 4-е изд., стереотип / Е.С. Вентцель - М.: Дрофа, 2006. - 206 с.

5. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст]: / Б.П. Чупрынов, М.С. Красс - М.: Издательство Дело, 2001. - 353 с.

6. Литвак, Б.Г. Разработка управленческого решения [Текст]: / Б.Г. Литвак - М.: Издательство Дело, 2004 г. -392 с.

7. Литвак, Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений [Текст]: / Б.Г. Литвак - М.: Патент, 1996. - 271 с.

8. Матевицкая, Н.Е. Решение линейных оптимизационных задач средствами ППП [Текст]: / Н.Е. Матевицкая, Н.Г. Мустафин, В.П. Пирог, А.И. Яшин - Спб.: МикроЛП, ЛЭТИ, 1998. - 193 с.

9. Могилевский, В.Д. Методология систем: вербальный подход [Текст]: / В.Д. Могилевский - М.: Экономика, 1999. - 251 с.

10. Орлов, А.И. Принятие решений. Теория и методы разработки управленческих решений. Учебное пособие [Текст]: / А.И. Орлов - М.: МарТ, 2005. - 496 с.

11. Орлов, А.И. Теория принятия решений: учебник [Текст]: / А.И. Орлов - М.: Экзамен, 2006. - 573 с.

12. Розен, В.В. Теория игр и экономическое моделирование [Текст]: / В.В. Розен - М.: МарТ, 1996. - 542 с.

13. Сараев, А.Д. Системный анализ и современные информационные технологии [Текст]: / А.Д. Сараев, О.А. Щербина - Симферополь: СОНАТ, 2006. - 342 с.

14. Севастьянов, С.В. Введение в теорию расписаний [Текст]: / С.В. Севастьянов - Новосибирск: 2003. - 173 с.

15. Турунтаев, Л.П. Теория принятия решений: Учебное пособие [Текст]: / Л.П. Турунтаев - Томск: 2007. - 197 с.

16. Хемди А. Теория игр и принятия решений [Текст]: / А. Хемди - М.: Вильямс, 2007. - 549 с.

Размещено на Allbest.ru