Дослідження методів чисельного інтегрування

В даній курсовій роботі проведено дослідження чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь. Вирішення нелінійних рівнянь являється не тільки важливою самостійною задачею, але й частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, вирішення нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.

Можна вказати ряд властивостей, застосування яких дозволяє прискорити процес вирішення задачі.

Загальний вигляд алгебраїчного рівняння:

f (x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a_! x + a₀ = 0 (1.1)

Властивості алгебраїчних рівнянь:

Основна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння порядку n має n коренів, які можуть бути як дійсними, так і комплексними.

Кожен корінь рахується стільки раз, яка його кратність.

Якщо всі коефіцієнти а_і рівняння (1.1) дійсні, то всі комплексні корені утворюють комплексно спряжені пари.

3. Теорема Декарта. Число додатніх коренів дорівнює або менше числа зміни знаків в послідовності коефіцієнтів а_{і (}те ж твердження справедливе відносно числа від'ємних дійсних коренів при заміні в (1.1) х на (-х)).

4. Теорема Лагранжа. Верхня границя додатніх дійсних коренів визначається як:

R = 1 + ^kv (B/a₀), а₀ > 0

де а_{k -} перший від'ємний коефіцієнт;

В - найбільша абсолютна величини від'ємного коефіцієнту.

5. Теорема Гюа. Якщо рівняння (1.1) має дійсні корені і дійсні коефіцієнти, то:

a_k² > a_k-1 a_k+1,Тобто, знайшовши один корінь х₁, можна розділити рівняння на (х-х₁), тим самим понизивши його степінь. Однак ця процедура може привести до накопичування помилок в коефіцієнтах отриманих рівнянь, а відповідно, і в коренях.

Перш ніж приступити до знаходження дійсних коренів, потрібно згадати дві теореми, одна з яких дозволяє виділити корені, тобто встановити можливі тісні проміжки , в яких міститься один і тільки один корінь рівняння, я друга - оцінити степінь наближення.

Теорема 1. Якщо неперервна функція f (x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [], тобто f (<0, то всередині цього відрізка міститься по крайній мірі один корінь рівняння f (x) =0, тобто є хоча б одне число таке, що f= 0.

Теорема 2. Нехай - точний, а - наближений корені рівняння f (x) = 0, що знаходяться на одному й тому ж відрізку , причому m, .

Тоді

.

Існує ряд методів численного вирішення нелінійних рівнянь, застосування кожного з яких визначається видом рівняння, його порядком, точністю.

В даній курсовій роботі розглянуто два методи розв'язку нелінійних рівнянь: половинного ділення та Ньютона.

Метод половинного ділення. В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, що розміщені через рівні інтервали на осі ОХ. Коли f (x_n) і f (x_n+1) мають протилежні знаки, знаходять x_cp= (x_n+1 + x_n) /2 та f (x_cp).

Якщо знак f (x_cp) cпівпадає за знаком з f (x_n), то далі замість f (x_n) використовується f (x_cp). Якщо ж f (x_cp) має знак, протилежний до знаку f (x_n), тобто співпадає зі знаком f (x_n+1), то на f (x_cp) замінюється це значення. Якщо f (x_cp) досить близьке до 0, то обчислення припиняється. Відмітимо, що в цьому і в подальших методах в якості умови припинення ітераційного процесу часто користуються умовою е, де е - задана похибка знаходження кореня.

Структура алгоритму представлена на рис.1.1, а графічне його застосування проілюстровано на рис.1.2

Цей метод має малу швидкість збіжності. Порівнюючи з першим знайденим інтервалом, в якому є корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2^N раз:

X_n+1 - x_n = (x₂ - x₁) /2^N

Похибка знайденого рішення лежить в межах:

.

Метод Ньютона (дотичних). Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що в відмінності від методу половинного ділення, для визначення інтервалу, в якому є корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двом значенням функції в методі Ньютона виконується екстраполяція (передбачування) з допомогою дотичної до кривої в даній точці. Структура алгоритму представлена на рис.1.3, а графічна інтерпретація - на рис.1.4

В основі алгоритму лежить розкладення функції в ряд Тейлора:

f (x_n + h) =f (x_n) + hf' (x_n) + h²f^" (x_n) /2 +…

Члени, які містять h в другій і в вищих степенях, відкидаються. Використовується співвідношення x_n + h = x_n+1. Пропонується, що перехід від х_n до x_n+1 наближає значення функції до нуля тим, що f (x_n + h). Тоді

x_n+1 = x_n - f (x_n) /f' (x_n).

Це значення відповідає точці, в якій дотична до кривої пересікає вісь ОХ. Потім процедура повторюється, причому замість x_n використовується x_n+1. Обчислення припиняється при досягненні достатньо малого значення f (x_n+1).

Швидкість сходження в великій мірі залежить від успішного вибору початкової точки. Якщо в процесі ітерацій тангенс кута нахилу дотичної f' (x) перетворюється в нуль, то використання методу ускладнюється. Можна також показати, що в випадку дуже великого f^" (x) або кратних коренів, метод Ньютона не ефективний.

Початкове наближення х₀ вибирається із умови:

(f' (x₀)) ² >f^” (x₀) f (x₀) >0.

Похибка методу визначаються порядком відкинутих членів при розкладенні в ряд Тейлора і оцінюється як:

,

де М₂ -найбільше значення модуля другої похідної на відрізку [x₁,x₂],

т₁ - найменше значення першої похідної. [1] [2]

2. Практична реалізація