Вступ

MathCad - програмний засіб, середовище для виконання на комп'ютері різноманітних математичних і технічних розрахунків, що надають користувачу інструменти для роботи з формулами, числами, графіками і текстами, оснащене простим в освоєнні графічним інтерфейсом.

MathCad містить:

· велику бібліотеку вбудованих математичних функцій;

· інструменти створення графіків різних типів;

· засоби створення текстів;

· конструкції, схожі на програмні.

Звичайно, MathCad не єдиний з пакетів свого класу. Достатньо згадати також універсальні математичні пакети Maple, MathLab, Mathematica. Але особливістю саме пакету MathCad є використання традиційного для математичної літератури запису функцій і виразів, причому інтерфейс пакету відповідає принципу WYSIWYG (What You See Is What You Get - що ви бачите - те і одержуєте).

Одним з розділів математики, де використання пакету MathCad особливо ефективне, є теорія ймовірностей. Особливістю теорії ймовірностей є здійснення трудомістких розрахунків, використання функцій дуже складного виду, часто заданих таблично (функція Лапласа, Г-функція і т.д.), потребу у побудові графіків. MathCad може стати дуже зручним інструментом як при вивченні теоретичного матеріалу, так і при розв'язуванні багатьох практичних задач.

Темою даної розробки є використання пакету MathCad при вивченні теорії ймовірностей. Використовувана версія пакету - MathCad 2000 Pro. За основу взятий класичний підручник А.И. Плис, Н.А. Сливина “MathCad: Математический практикум”, з внесенням змін, спричинених використанням сучаснішої версії пакету.

1 Розподіл випадкової величини

Дискретна випадкова величина x, що приймає значення x₁<x₂<…<x_i<… з ймовірностями p₁, p₂,…,p_i,… може бути задана розподілом - таблицею виду

x	x1	x2	…	xi	…	xn
p	p1	p2	…	pi	…	pn

Кожна випадкова величина повністю визначається своєю функцією розподілу.

Якщо x - випадкова величина, то функція F(x)=F_x(x)=P(x<x) називається функцією розподілу випадкової величини x. Тут P(x<x) - ймовірність того, що випадкова величина x приймає значення, менше за x.

Функція розподілу будь-якої випадкової величини має такі властивості:

Ё F(x) визначена на всій числовій прямій

Ё F(x) - неспадна функція, тобто коли x₁x₂, то F(x₁)F(x₂)

Ё F(-)=0 і F()=1

Ё F(x) неперервна зліва

Якщо функція розподілу F_x(x) неперервна, то випадкова величина x називається неперервною випадковою величиною. Якщо функція розподілу F_x(x) неперервно диференційована, то наочніше уявлення про випадкову величину дає густина ймовірності випадкової величини p_x, яка зв'язана з функцією розподілу F_x(x) формулами:

і

Звідси випливає, що для будь-якої випадкової величини

Ймовірність того, що значення випадкової величини x попадає в інтервал (a,b) обчислюється для неперервної випадкової величини за формулою

P(a<x<b)=F_x(b)-F_x(a)=

а для дискретної випадкової величини - за формулою

P(a<x<b)=

Повернемося до заданої на початку розділу випадкової величини.

Функція розподілу випадкової величини з заданим розподілом має вигляд:

F(x)=

Завдання 1.1. Скласти робочий документ MathCad з визначенням розподілу випадкової величини, її функції розподілу і графіком функції розподілу для випадкової величини з розподілом:

x	0	0,1	0,5	1	1,1
p	0,1	0,2	0,45	0,2	0,05

При створенні документу використовуються такі інструменти MathCad:

1. Розподіл випадкової величини збережений у матриці А. А_1,I - значення випадкової величини, А_2,I - відповідні ймовірності. Для створення матриці використовується панель Матриці

2. Функцію розподілу, задану різними виразами на різних інтервалах, визначаємо так: розкриваємо панель програмних елементів

і панель знаків відношень

Вводимо ім'я функції F(x) і знак присвоювання : , клацаємо по кнопці Add Line панелі програмних елементів, вводимо в поміченій позиції відповідне значення, клацаємо по кнопці if панелі програмних елементів і вводимо нерівність, що визначає інтервал зміни аргументу. Символ можна ввести, використовуючи панель елементів матаналізу.

3. Графік функції F(x) будуємо, використовуючи панель графічних елементів:

а саме першу її кнопку Декартів графік. Задавши компоненту графіка, проставимо її визначальні властивості: у центральному пункті осі Х ім'я змінної Х, у нижній лівій точці - нижню межу зміни Х -0.1, у нижній правій точці верхню межу зміни Х 1.2, у центральному пункті осі Y ім'я змінної F(X). Клацнемо за межами графіка для його побудови. Відредагувати графік, вибравши вид ліній, спосіб простановки міток і т.д. можна, двічі по ньому клацнувши.

Реалізація завдання 1.1

2 Біноміальний розподіл, геометричний розподіл, гіпергеометричний розподіл і розподіл Пуассона

При розв'язку практичних задач найчастіше використовуються дискретні випадкові величини з біноміальним, геометричним, гіпергеометричним розподілом і розподілом Пуассона.

2.1 Біноміальний розподіл (схема Бернуллі)

Нехай проводиться серія з n незалежних випробувань, кожне з яких закінчується або успіхом, або неуспіхом. Нехай у кожному випробуванні ймовірність успіху p, а ймовірність неуспіху q=1-p. З таким випробуванням можна зв'язати випадкову величину x, рівну числу успіхів у серії з n випробувань. Ця величина приймає цілі значення від 0 до n. Її розподіл називається біноміальним і визначається формулою Бернуллі.

Де

Легко переконатися, що

У MathCad для обчислення густини ймовірності і функції розподілу випадкової величини, що має біноміальний розподіл, призначені функції dbinom(k,n,p) і pbinom(k,n,p), значення яких - відповідно p_k і F(k).

Завдання 2.1.

Побудувати біноміальний розподіл для серії з 20 незалежних випробувань з ймовірністю успіху 0.4, 0.6 і 0.8. Побудувати графіки розподілу і функцій розподілу. Для p=0.4 знайти значення k, для якого величина P(x=k) максимальна. Перевірити рівність Знайти ймовірність попадання значень випадкової величини в інтервал (1,5).

При знаходженні максимуму розподілу слід виконати команди меню Формат, Графік, Слід, встановити перехрестя маркера а точці максимуму розподілу, клацнути по кнопці діалогового вікна CopyY. Вставити значення в документ. Аналогічно вставити значення аргументу, клацнувши по кнопці CopyX.

Реалізація завдання 2.1.

2.2 Геометричний розподіл

Зі схемою випробувань Бернуллі можна зв'язати ще одну випадкову величину: h -число випробувань до першого успіху. Ця величина приймає безконечне число значень від 0 до +, і її розподіл визначається формулою

p_k=P(h=k)=q^kp, k=0,1,…, 0<p<1, q=1-p

Так само, як і для біноміального розподілу,

У MathCad для обчислення густини ймовірності і функції розподілу випадкової величини, що має геометричний розподіл, призначені функції dgeom(k,p) і pgeom(k,p), значення яких - відповідно p_k і F(k).

Завдання 2.2.

Побудувати геометричний розподіл для серії з 20 незалежних випробувань з ймовірністю успіху p=0.4. Побудувати графік розподілу і функції розподілу. Перевірити рівність . Обчислити ймовірність попадання значення випадкової величини в інтервал (1,5). Знайти значення k, для якого величина P(x=k) максимальна.

Реалізація завдання 2.2.

2.3 Гіпергеометричний розподіл

Нехай в партії з N виробів наявні M (M<N) доброякісних і N-M дефектних виробів. Якщо випадковим способом зі всієї партії вибрати контрольну партію з n виробів, то число доброякісних виробів в цій партії буде випадковою величиною, яку позначимо x. Її розподіл має вигляд:

і називається гіпергеометричним. Для будь-яких значень параметрів, що входять в розподіл,

У MathCad для обчислення густини ймовірності і функції розподілу випадкової величини, що має гіпергеометричний розподіл, призначені функції dhypergeom(k,M,N-M,n) і phypergeom(k,M,N-M,n), значення яких - відповідно p_k і F(k).

Завдання 2.3. Побудувати гіпергеометричний розподіл для N=30, M=20, n=10. Побудувати графік розподілу і функції розподілу. Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (1,5). Перевірити рівність Знайти значення k, для якого величина P(x=k) максимальна.

Реалізація завдання 2.3.

2.4 Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона має випадкова величина m, що приймає значення k=0,1,2,… з ймовірностями

k=0,1,2,…

де l>0 - параметр розподілу Пуассона. При будь-якому l>0 .

У MathCad для обчислення густоти ймовірності і функції розподілу випадкової величини, що має розподіл Пуассона, призначені функції dpois(k,l) і ppois(k,l), значення яких - відповідно p_k і F(k).

Завдання 2.4.

Побудувати розподіл Пуассона для серії з 5 незалежних випробувань з параметром l=0.2, 0.4. Побудувати графік розподілу і функції розподілу. Перевірити рівність . Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (1,5). Знайти значення k, для якого величина P(x=k) максимальна.

Реалізація завдання 2.4.

3. Граничні розподіли для біноміального розподілу

Теорема Пуассона

При великому числі випробувань обчислення за формулою Бернуллі стають обтяжливими. Однак у ряді випадків їх можна замінити простішими асимптотичними формулами. Одна з них ґрунтується на теоремі Пуассона.

Теорема Пуассона. Якщо число випробувань n і p0 так, що npl, l>0, то

при будь-яких k=0, 1, 2,… Це означає, що при великих nі малих p замість обчислень за точною формулою

можна скористатися наближеною формулою:

тобто розподіл Пуассона, описаний у розділі 2.4, є граничним для біноміального розподілу.

Завдання 3.1 Дослідити точність асимптотичної формули Пуассона на прикладі розв'язку такої ї задачі

У корпусі 1000 лампочок. Ймовірність виходу з ладу однієї лампочки на протязі року становить 0.003. Знайдіть ймовірність того, що на протязі одного року вийдуть з ладу не менше 3 лампочок.

Реалізація завдання 3.1

Нехай x - випадкова величина, значення якої рівні числу ламп, що вийшли з ладу на протязі одного року.

Використаємо формулу

для біноміального розподілу і за наближеною формулою Пуассона

для випадкової величини m, що має розподіл Пуассона з параметром l =np=3.

Для порівняння обчислимо за формулою Бернуллі і за формулою Пуассона для l=np=2 ймовірність тієї ж події, коли в корпусі 10 лампочок і ймовірність p відмови на протязі року для одної лампочки рівна 0.2.

Документ MathCad

Локальна теорема Муавра-Лапласа

На практиці наближенням Пуассона користуються при npq<9. Якщо npq>9, то для розрахунків використовують наближення у відповідності з теоремою Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа. Нехай 0<p<1 і величина обмежена при n, тоді

Вимога обмеженості величини x_k означає, що при n величина k також повинна рости разом з величиною n. Точність формули

зростає як з ростом величин n і k, так і в міру наближення величин pі q до 0.5.

Завдання 3.2. Для n=10, 20, 50 і для p=0.5, 0.3, 0.2 обчислити ймовірність того, що випадкова величина з біноміальним розподілом приймає значення, рівне . Провести обчислення за формулою Бернуллі і за наближеною формулою Муавра-Лапласа. Порівняти результати.

Реалізація завдання 3.2

Похибка апроксимації зменшується з ростом n і при наближенні p і q до 0.5.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Нехай 0<p<1, тоді для випадкової величини, що має біноміальний розподіл з параметром p, при n для будь-яких a і b справедлива формула:

Це означає: для обчислення ймовірності того, що число успіхів у n випробуваннях Бернуллі є в межах між k₁і k₂, можна використати формулу:

де Ф(x)=функція Лапласа;

Точність цієї наближеної формули зростає разом зі зростанням n. Якщо npq порівняно невелике, краще наближення дає формула:

тобто для обчислення ймовірності того, що число успіхів у n випробуваннях Бернуллі знаходиться між k₁ і k₂, можна використати формулу:

де

,

У MathCad для обчислення значень Ф(x) призначена функція pnorm(x,0,1).

Завдання 3.3 Дослідити точність інтегральної формули Муавра-Лапласа для біноміального розподілу на прикладі розв'язку такої задачі.

Ймовірність народження хлопчика p=0.51, дівчинки q=1-p=0.49. Знайти ймовірність того, що серед 10000 новонароджених число хлопчиків буде не менше 4000 і не більше 5000. Провести обчислення за формулою Бернуллі і за наближеними інтегральними формулами Муавра-Лапласа.

Реалізація завдання 3.3

Теорема Бернуллі

Багато важливих задач, зв'язаних зі схемою Бернуллі, розв'язуються за допомогою теореми Бернуллі. Так, якщо x - число успіхів у n випробуваннях Бернуллі з ймовірністю успіху в одному випробуванні p, 0<p<1, то для будь-якого e>0

Це означає, що із зростанням числа випробувань n відносна частота успіхів наближається до ймовірності p успіху в одному випробуванні.

Визначимо, скільки треба провести випробувань, щоб відхилення відносної частоти успіхів від ймовірності p було менше e з ймовірністю, більшою чи меншою b , тобто знайдемо n, для якого виконується нерівність:

Доведено, що число n забезпечує виконання цієї нерівності, якщо воно задовольняє співвідношення

де x_b - розв'язок рівняння

.

Слід звернути увагу на такий факт: шукане значення n не залежить від p і тому формулою

слід користуватися для оцінки мінімально необхідного числа випробувань при невідомій ймовірності p. Якщо ймовірність p відома, то необхідне число випробувань визначається формулою

.

У MathCad значення кореня для рівняння Ф(x)=p дає функція qnorm(p,0,1).

Завдання 3.4

Знайти найменше число випробувань Бернуллі, необхідне для того, щоб з ймовірністю не менше 0.9 можна було твердити, щоб відносна частота успіхів відрізнялася від ймовірності успіху в одному випробуванні не більше, ніж на 0.01.

Реалізація завдання 3.4

При реалізації завдання грецькі букви вставляти з панелі грецьких букв, результат представити у потрібному вигляді (не у експоненціальному) за допомогою команди Формат/Результату/десяткове число із заданням 0 знаків після коми (за замовчуванням 3).

Отже, треба здійснити не менше 6764 випробувань

4 Неперервні випадкові величини

4.1 Рівномірний розподіл

Неперервна випадкова величина x, що приймає значення на відрізку [a,b], розподілена рівномірно на [a,b], якщо густина розподілу p_x(x) і функція розподілу випадкової величини x мають відповідно вигляд:

У MathCad значення в точці x густини розподілу і функції розподілу випадкової величини, що має рівномірний розподіл на відрізку [a,b], обчислюються за допомогою вбудованих функцій dunif(x,a,b) і punif(x,a,b).

Завдання 4.1. Побудувати у MathCad графіки густини розподілу і функції розподілу випадкової величини, що приймає значення на відрізку [0,1] і має рівномірний розподіл.

Реалізація завдання 4.1

4.2 Експоненціальний (показниковий) розподіл

Неперервна випадкова величина x має показниковий розподіл з параметром l>0, якщо густина розподілу p_x(x) має вигляд:

Звідси видно, що показниково розподілена випадкова величина приймає тільки невід'ємні значення. Функція розподілу такої випадкової величини має вигляд:

У MathCad значення в точці x густини розподілу і функції розподілу випадкової величини, що має показниковий розподіл з параметром l, обчислюються за допомогою вбудованих функцій dexp(x,l) і pexp(x,l).

Завдання 4.2. . Побудувати у MathCad графіки густини розподілу і функції розподілу випадкових величин, що мають показниковий розподіл з параметрами l=1 і l=2.

Реалізація завдання 4.2

4.3 Нормальний розподіл

Цей розподіл відіграє винятково важливу роль в теорії ймовірностей і в математичній статистиці. Випадкова величина x нормально розподілена з параметрами a і s, s>0, якщо її густина розподілу має вигляд:

Якщо випадкова величина x має нормальний розподіл з параметрами a і s, то будемо записувати це у вигляді xN(a,s).

Випадкова величина x має стандартний нормальний розподіл, якщо a=0 і s=1, xN(0,1). Густина стандартного нормального розподілу має вигляд:

а його функція розподілу - F_x(x)=Ф(x), де Ф(x) - функція Лапласа:

Функція розподілу нормальної величини hN(a,s) також виражається через функцію Лапласа

У MathCad значення в точці x густини розподілу і функції розподілу нормальної випадкової величини з параметрами a, s обчислюються за допомогою вбудованих функцій dnorm(x,a,s) і pnorm(x,a,s).

Завдання 4.3. Побудувати у MathCad графіки густини розподілу і функцій розподілу для xN(0,1) і hN(1,2).

Реалізація завдання 4.3

4.4 Розподіл хі-квадрат (c²-розподіл)

Нехай x₁,x₂, ..., x_n - незалежні випадкові величини, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл N(0,1). Складемо випадкову величину

Її розподіл називається c²-розподілом з n ступенями свободи. Густина розподілу для цієї випадкової величини:

де Г(x) - гамма-функція Ейлера:

У MathCad значення в точці x густини розподілу і функції c²-розподілу з n ступенями свободи обчислюються за допомогою вбудованих функцій dchisq(x,n) і pchisq(x,n).

Завдання 4.4. Побудувати у MathCad графіки густини розподілу і функції розподілу c² з 2,4,8 ступенями свободи.

Реалізація завдання 4.4

4.5 Розподіл Стьюдента

Нехай випадкова величина x має стандартний нормальний розподіл, а випадкова величина - c² - розподіл з n ступенями свободи. Якщо x і незалежні, то про випадкову величину кажуть, що вона має розподіл Стьюдента з числом ступенів свободи n. Доведено, що густина ймовірності цієї випадкової величини обчислюється за формулою:

.

При великих n розподіл Стьюдента практично не відрізняється від стандартного нормального розподілу.

У MathCAD значення в точці x густини розподілу і функції розподілу Стьюдента обчислюються вбудованими функціями dt(x,n) і pt(x,n).

Завдання 4.5. Побудувати у MathCad графіки густини розподілу і функції розподілу Стьюдента з числом ступенів свободи n=2,5,10. Порівняти з відповідними графіками стандартного нормального розподілу.

Реалізація завдання 4.5

4.6 F-розподіл Фішера

Нехай випадкові величини і незалежні і мають розподіл c² з n і m ступенями свободи відповідно. Тоді випадкова величина має F-розподіл з густиною ймовірності:

У MathCAD значення в точці x густини розподілу і функції F-розподілу Фішера обчислюються вбудованими функціями df(x,n,m) і pf(x,n,m).

Завдання 4.6. Побудувати у MathCAD графіки густини розподілу і функції розподілу Фішера для n=2,5 і m=5,2.

Реалізація завдання 4.6.

4.7 Квантилі

При розв'язку практичних завдань часто потрібно знайти значення x, при якому функція розподілу випадкової величини приймає задане значення, тобто потрібно розв'язати рівняння F_x(x)=p. Розв'язки такого рівняння в теорії ймовірностей називаються квантилями.

Квантиллю x_p (p-квантиллю, квантиллю рівня p) випадкової величини x, що має функцію розподілу F_x(x), називають розв'язок x_p рівняння F_x(x), називають розв'язок x_p рівняння F_x(x)=p, p(0,1).

Для деяких p рівняння F_x(x)=p може мати декілька розв'язків, для деяких - жодного. Це означає, що для відповідної випадкової величини деякі квантилі визначені неоднозначно, а деякі квантилі не існують.

Квантилі, що найчастіше використовуються в практичних задачах, мають свої назви:

Ё медіана - квантиль рівня 0.5

Ё нижня квартиль - квантиль рівня 0.25

Ё верхня квартиль - квантиль рівня 0.75

Ё децилі - квантилі рівнів 0.1, 0.2, ...,0.9

Ё процентилі - квантилі рівнів 0.01, 0.02, ...,0.99

Для тих розподілів, для яких у MathCad представлені вбудовані функції густини розподілу і функції розподілу, визначені і вбудовані функції обчислення квантилів.

Наприклад, якщо густини розподілу і функції розподілу для стандартного нормального розподілу визначаються вбудованими функціями dnorm(x,0,1) і pnorm(x,0,1), то p-квантиль для цього розподілу є значенням функції qnorm(x,0,1).

Завдання 4.7. Обчислити у MathCad медіану, верхню і нижню квартилі і 0.95 - квантиль для стандартного нормального розподілу N(0,1).

Реалізація завдання 4.7

5 Числові характеристики випадкових величин

Кожна випадкова величина повністю визначається своєю функцією розподілу. В той же час при розв'язку практичних задач необхідно знати кілька числових параметрів, які дозволяють представити основні особливості випадкової величини у стислій формі. До таких величин відносяться в першу чергу математичне сподівання і дисперсія.

5.1 Математичне сподівання випадкової величини

Математичне сподівання - число, довкола якого зосереджені значення випадкової величини.

Якщо x - дискретна випадкова величина з розподілом

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

то її математичним сподіванням Mx називається величина

якщо число значень випадкової величини скінченне. Якщо число значень випадкової величини зліченне, то

При цьому якщо ряд в правій частині рівності розбігається або збігається умовно, то кажуть, що випадкова величина x не має математичного сподівання.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини з густиною ймовірності p_x(x) обчислюється за формулою:

При цьому, якщо інтеграл в правій частині рівності розбігається, то кажуть, що випадкова величина x не має математичного сподівання.

При обчисленні математичного сподівання корисні такі його властивості:

Ё математичне сподівання константи дорівнює цій константі, тобто Mc=c;

Ё математичне сподівання - лінійний функціонал випадкової величини, тобто при довільних сталих a і b справедлива рівність: M(ax+bh)=aMx+bMh;

Ё математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин, тобто M(xh)=Mx*Mh

Приведемо формули математичних сподівань для найвідоміших розподілів:

· біноміальний розподіл (

· геометричний розподіл (

· гіпергеометричний розподіл (

· розподіл Пуассона

· рівномірний розподіл

· експоненціальний (показниковий) розподіл

· нормальний розподіл N(a,s)

· розподіл хі-квадрат (c² -розподіл) з n ступенями свободи

· розподіл Стьюдента з n ступенями свободи ;

· F-розподіл Фішера з n і m ступенями свободи



5.2 Дисперсія випадкової величини

Дисперсія випадкової величини характеризує міру розкидування значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Якщо випадкова величина x має математичне сподівання Mx, то дисперсією випадкової величини x називається величина Dx=M(x-Mx)². Легко показати, що Dx=Mx²-(Mx)². Ця універсальна формула застосовується як для дискретних, так і для неперервних величин. Величина (Mx)² обчислюється за формулами:

для дискретних і неперервних величин відповідно.

Ще одним параметром для визначення міри розкидування значень випадкової величини є середньоквадратичне відхилення s_x, зв'язане з дисперсією співвідношенням .

Перелічимо основні властивості дисперсії:

· дисперсія будь-якої випадкової величини невід'ємна: Dx0;

· дисперсія константи рівна нулю: Dc=0;

· для довільної константи c: D(cx)=c²Dx;

· дисперсія суми (різниці) двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(xh)=DxDh.

Приведемо формули для дисперсій найвідоміших стандартних розподілів:

· біноміальний розподіл: ;

· геометричний розподіл: ;

· гіпергеометричний розподіл: ;

· розподіл Пуассона Dx=l;

· рівномірний розподіл

· експоненціальний (показниковий) розподіл: Dx=l^-2;

· нормальний розподіл N(a,s): Dx=s²;

· розподіл хі-квадрат (c² -розподіл) з n ступенями свободи: Dc²=2n;

· розподіл Стьюдента з n ступенями свободи:

· F-розподіл Фішера з n і m ступенями свободи:

Завдання 5.1-5.2

Випадкова величина h розподілена рівномірно на проміжку [1,2]. Знайти за допомогою MathCad математичне сподівання і дисперсію площі квадрата зі стороною h, тобто характеристики випадкової величини

Реалізація завдання 5.1-5.2

5.3 Моменти. Коефіцієнт асиметрії

В теорії ймовірностей і математичній статистиці, попри математичне сподівання і дисперсію, використовуються інші числові характеристики випадкових величин. Це в першу чергу початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини x називається математичне сподівання k-го степеня випадкової величини x, тобто a_k=Mx^k.

Центральним моментом k-го порядку випадкової величини x називається величина m_k,, що визначається формулою =M(x-Mx)^k.

Математичне сподівання випадкової величини - початковий момент першого порядку, дисперсія - центральний момент другого порядку.

Існують формули, які дозволяють виразити центральні моменти випадкової величини через її початкові моменти.

Dx=Mx²-(Mx)², тобто m₂=a₂-a₁²

Якщо густина розподілу ймовірностей випадкової величини симетрична відносно прямої x=Mx, то всі її центральні моменти непарного порядку рівні 0.

В теорії ймовірностей і в математичній статистиці в якості міри асиметрії розподілу виступає коефіцієнт асиметрії, який визначається формулою:

, де m₃ - центральний момент третього порядку, s_x - середньоквадратичне відхилення.

Коефіцієнт асиметрії - безрозмірна величина, а за його знаком можна зробити висновок про коефіцієнт асиметрії.

Завдання 5.3. Випадкова величина x має нормальний розподіл N(1,3). Використовуючи пакет MathCad, знайти коефіцієнт асиметрії.

Реалізація завдання 5.3

Коефіцієнт асиметрії нормального розподілу рівний 0.

5.4 Ексцес

У теорії ймовірностей та математичній статистиці найчастіше використовується нормальний розподіл, тому він став своєрідним еталоном, з яким порівнюють інші розподіли. Одним з параметрів, що визначають відмінність порівнюваного розподілу від нормального, є ексцес.

Ексцес g випадкової величини x визначається рівністю .

У нормального розподілу g=0. Якщо g>0, то графік густини ймовірностей p_x(x) сильніше “загострений”, ніж у нормального розподілу, якщо ж g<0, то “загостреність” графіку p_x(x) менша, ніж у нормального розподілу.

Завдання 5.4. Обчислити ексцес і побудувати графіки відповідних густин ймовірностей для двох випадкових величин. Перша випадкова величина має розподіл Лапласа з густиною ймовірностей , друга розподілена рівномірно на відрізку [-1;1]. Для порівняння з графіками ймовірностей досліджуваних випадкових величин побудувати таож графік густини ймовіростей нормального розподілу N(0,0.5).

Реалізація завдання 5.4.

При реалізації завдання слід врахувати, що MathCad не справляється з обчисленням інтегралів функцй, заданих різними виразами на різних проміжках, а саме так задана функція p(x)=1/2*exp(-|x|). Тому при обчисленні моменту знайдемо інтеграл по половинному інтервалу, а потім результат помножимо на 2.

Перший розподіл має додатній ексцес, тому його графік “гостріший”, ніж у нормального розподілу. Другий розподіл з від'ємним ексцесом, навпаки, має більше “згладжений” максимум.

5.5 Середнє гармонічне і середнє геометричне випадкових величин, що приймають тільки додатні значення

Середнє гармонічне і середнє геометричне випадкової величини - числові характеристики, що використовуються в економічних обчисленнях.

Середнім гармонічним випадкової величини, що приймає додатні значення, називається величина H_x=M(x^-1)^-1. Наприклад, для неперервної випадкової величини, розподіленої рівномірно на відрізку [a,b], 0<a<b, середнє гармонічне обчислюється так:

Середнім геометричним випадкової величини, що приймає додатні значення, називається величина .

Знайдемо середнє геометричне випадкової величини, що має експоненціальний (показниковий) розподіл з параметром l.

,

де С0.577 - стала Ейлера.

Завдання 5.5. Випадкова величина x розподілена рівномірно на відрізку [2,3]. Знайти її середнє гармонічне і середнє геометричне за допомогою пакету MathCad.

Реалізація завдання 5.5