Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

МГТУ ГА

Курсовая работа

по курсу “Нелинейные САУ”

на тему:

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

Реутов, 2007 г.

На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным, и содержание большинства теоретических исследований сводилось к исследованию устойчивости.

“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”, - отмечают вначале изложения теории устойчивости Ж.Ла Саль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

Устойчивостью любого явления в обиходе называют его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим собой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминологии устойчивым называют не явление, а систему, в которой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар устойчив, шар из дыма нет.)

Теорию управления интересует, однако, не эта прочностная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведомо устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же движение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойчивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе, и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим, как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим, что собой представляет круговой критерий. Пусть дана система

X = Ax + b, = c'x, (1)

где и - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим, что для некоторого , система (1), дополненная соотношением , асимптотически устойчива.

Для абсолютной экспоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей ,t), удовлетворяющих условию

t)/ (2)

достаточно, чтобы при всех выполнялось соотношение

Re{[1+W(j)]}>0. (3)

Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(( Действительно, как было показано выше, форма F(j) имеет вид

F(j Re{[1+W(jW(j)]}||

Из этой формулы после сокращения на || следует (3).

В (3) Случай, когда либо , либо рассматривается аналогично.

Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(j).

Обозначая комплексную переменную W(j) = z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

Re[(1+z(z)]0, если (4)

Re[(1+z)z]0, если (5)

Re[z(1+z)]0, если (6)

Пусть С () - область комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости . Там же изображены кривые W(j), >0 для не особого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлемого расположения характеристик W(j) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости: кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутая система была асимптотически устойчивой.

Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход и выход которого удовлетворяют для всех t неравенству

(-)(-)0 (7)

Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.

А Х ₀ У (P) Z

(-)

G(p) g

Рисунок 2

Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следующий вид:

W(p)=; (8)

W(p)=;

Алгоритм регулятора имеет вид:

y=x,

₀ = при gx>0 (9)

при gx<0,

g=(

В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

=,

=-, (10)

k при g>0

где =

- k при g<0,

g=c+; =.

Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при W(p)= в уравнениях (10) имеем:

(11)

а при W(p)= имеем:

(12)

Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение

(13)

В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p), или в виде формы Коши (10).

Дополнительно отметим, что структурная интерпретация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.

|x|=c

g y z

(-) x G(p) W(p)

Рисунок 3.

Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничением, когда |x| - var.

Далее перейдем к анализу нашего метода.

Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 достаточно, чтобы при всех , изменяющихся от до + , выполнялось соотношение:

Re{[1+W(j)]}>0,

а годограф W(j)+1 при соответствовал критерию Найквиста.

Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде (4) и (5).

На рис. 4 приведены возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(j), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.

y ^

y=g ()

|x| y=g (при =0)

>

0

“а” “б”

“в” “г”

Рисунок 4.

В рассматриваемом случае (10) при

W(p)=, когда

W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,

годограф W(j) системы на рис. 5.

j

W(j)

> <

=

=0

Рисунок 5.

В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в, г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при

> (14)

Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову

а > 0 , (t) > 0 и a > c

для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование

(t) > 0 (15)

поскольку, согласно (11) и (13) a = a = .

Докажем это, используя условия существования скользящего режима

-k(t)=ck

т.е. подставим сюда вместо коэффициентов а, с, и k их выражения через , , , тогда получим

-(t)= (16)

Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:

1) при = , (t)=0

2) при > , (t)>0

3) при < , (t)<0,

что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.

|x|=c

g z

(-) x G(p) (p)

Рисунок 6.

В данном случае считаем что:

- варьируемая величина,

=0.5,

=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),

=0.1,1 (коэффициент обратной связи),

=10,100.

Рассмотрим теперь саму функцию:

W(p)=G(p)W(p),

где G(p) - функция корректора, W(p)= (p)W(p), где

(p)=, а W(p) в свою очередь будет:

W(p)=,

где , соответственно вся функция имеет вид:

W(p)=;

Теперь заменяем p на j и имеем вид:

;

Для построения годографа выведем формулы для P(), jQ() которые имеют вид:

P()=;

jQ(;

Графики можно посмотреть в приложении 2.

Учитывая, что добротность должна быть 0.50.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюда видно, что из-за увеличения и , уменьшается, можно сделать вывод, что колебание звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.

Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как >, то можно сделать вывод, что корректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать минимальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

Минимальные значения полки нечувствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минимальном значении .

Литература

1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука, 1967.

2. Воронов А.А. Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва: “Наука”, 1979.

3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.

4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций./ Записал В.Л. Смык,-1997.

Список постраничных ссылок

1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. - М.: Мир, 1964. - 168 с.

2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.

Приложение 1

Программа для построения годографов на языке программирования Си++

#include <graphics.h>

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <string.h>

void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);

void Osi(int Xc, int Yc, int kol);

int xmax, ymax;

float Kos[]={0.1,1.0},

Ko[] ={10.0,100.0},

Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};

void main(void)

{

float P_w, Q_w, w;

int driver, mode, err;

driver = DETECT;

initgraph(&driver,&mode,"");

err = graphresult();

if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<<grapherrormsg(err);

getch();}

else {

xmax = getmaxx();

ymax = getmaxy();

int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);

for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){

cleardevice();

setviewport(0,0,xmax,ymax,0);

Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);

Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);

setcolor(7);

setlinestyle(1,0,1);

rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);

setlinestyle(0,0,1);

rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);

setcolor(15);

setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);

setfillstyle(1,0);

floodfill(5,5,7);

line(10,100,230,100);

line(125,10,125,190);

Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};

closegraph();

}

}

void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)

{

float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,

P_w, Q_w,

To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;

for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;

if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;

if (P_w<P_w_min) P_w_min = P_w;

if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;

if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;

};

};

float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,

KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;

if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if (KmasY<0) KmasY=-KmasY;

if (KmasX>=220) KmasX=150;

if (KmasY>=140) KmasY=100;

if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};

w = 0;

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w);};

setcolor(Color);

setcolor(9);

line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);

gotoxy(2,5);

printf("K2=");

printf("%f",(-1/P_w_min));

setcolor(15);

for(w=0;w<=700;w=w+0.05){

if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);

};

};

setcolor(13);

circle(Xc-KmasX,Yc,2);

circle(Xc-KmasX,Yc,1);

putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);

outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");

setcolor(15);

if (err==1){

if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");

if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");

if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");

if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");

if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");

if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");

if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");

if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}

else {

char ch=' ';

while(ch!=27&&ch!=13)

if (kbhit()!=0) ch=getch();};

};

void Osi(int Xc, int Yc, int kol)

{

setcolor(15);

rectangle(0,0,xmax,ymax);

line(Xc,10,Xc,ymax-10);

line(10,Yc,xmax-10,Yc);

line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);

line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);

line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));

line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));

settextstyle(2,0,5);

outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");

outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");

settextstyle(2,0,4);

outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");

settextstyle(0,0,0);

if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");

else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");

setcolor(15);

};

Приложение 2

Рисунок 1.1

Рисунок 1.2



Рисунок 1.3

Рисунок 1.4



Рисунок 1.5

Рисунок 1.6



Рисунок 1.7

Рисунок 1.8



Рисунок 1.9

Рисунок 1.10



Рисунок 1.11

Рисунок 1.12



Рисунок 1.13

Рисунок 1.14



Вставка 1.15

Рисунок 1.16