19

Генератор, генерирующий сигналы, распределенные по закону Вейбулла-Гнеденко

со средним значением 30 минут и = 0,8.

Содержание

Введение

1. Краткая теоретическая часть

1.1 Распределение Вейбулла-Гнеденко

1.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

2. Практическая часть

2.1 Результаты исследования работы генератора

2.2 Результаты исследования работы генератора

2.3 Блок-схема алгоритма

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А

Введение

В практике моделирования систем наиболее часто приходится иметь дело с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат элементы стохастичности внешней среды. Поэтому основным методом получения результатов с помощью имитационных моделей таких стохастических систем является метод статистического моделирования на ЭВМ, использующий в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятности. Возможность получения пользователем модели результатов статистического моделирования сложных систем в условиях ограниченности машинных ресурсов существенно зависит от эффективности процедур генерации псевдослучайных последовательностей на ЭВМ, положенных в основу имитации воздействий на элементы моделируемой системы. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методом математической статистики.

Теоретической основой статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятности. Множества случайных явлений подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количество оценить некоторые средние их характеристики. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом количестве испытаний N. Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью генераторов случайных чисел. Результаты статистического моделирования существенно зависят от качества базовых последовательностей случайных чисел.

1. Краткая теоретическая часть

1.1 Распределение Вейбула-Гнеденко

Этот закон характерен для моделей с так называемым “слабым звеном”. Если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то в такой модели рассматривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений отдельных элементов: хс = min(x1; x2; … xn). Функция распределения этой величины может быть выражена следующей зависимостью:

где a и b - параметры распределения.

Примером использования распределения Вейбулла - Гнеденко является распределение ресурса или интенсивности изменения параметра технического состояния КЭ автомобиля, которые состоят из нескольких элементов, составляющих цепь.

По аналогичной схеме происходит регулирование тепловых зазоров клапанного механизма ГРМ. Некоторые изделия при анализе модели отказа могут быть рассмотрены как состоящие из нескольких элементов (участков): прокладки, уплотнения, шланги, трубопроводов, приводных ремней и т. д. Разрушение указанных изделий происходит в разных местах и при разной наработке, однако ресурс изделия в целом определяется наиболее слабым его участком, т. е. хс = min(x1; x2; … xn).

Распределение Вейбулла.

X = B*exp(ln(-ln(1-Rnd))/A), где

A - параметр формы

B - параметр масштаба

Rnd - равномерная случайная величина в интервале [0;1]

G(x) = 1- e-лxб (л > 0, б > 0)

1.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Рассмотрим одну из характеристик непрерывных случайной величины как математическое ожидание (обратная функция).

Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определённый интеграл

M(X)= x*f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то

M(X)= x*f(x)dx

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, то есть существует интеграл |x|*f(x)dx. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -, а верхнего - к +.

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [a,b], то

D(X)= [x - M(X)]*f(x)dx;

если возможные значения принадлежат всей оси x, то

D(X)= [x - M(X)]*f(x)dx;

Среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

= D(X).

Обратная функция ri = a?x f(x)dx, для нашего закона распределения:

r = f(x), x = F-1(x); л = 1/T = 2, в = 0.8

F(t) = 1- e-л0tв = r - л0tв = lnr, tв = -lnr/л0

ti = вv - lnri/л0, ri =(0 … 1).

2 Практическая часть

2.1 Проверка качества генератора

В результате эксперимента были получены следующие значения случайных чисел:

№	Значение	№	Значение	№	Значение	№	Значение
1	24.52	6	19.392	11	12.304	16	1.512
2	35.04	7	2.488	12	7.616	17	26.064
3	28.4	8	11.28	13	17.6	18	13.8
4	18.72	9	52.384	14	20.448	19	32.672
5	34.744	10	5.584	15	10.92	20	30.992

Для N = 1000 и n = 28 разбиения были получены следующие значения:

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число попаданий	88	76	78	59	65	50	48	54	38	46
№ интервал	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Число попаданий	39	36	28	32	23	22	30	22	19	20
№ интервал	21	22	23	24	25	26	27	28
Число попаданий	17	24	13	14	15	11	15	18



Рис. 2 Гистограмма закона распределения практическая

Максимальное значение величины 52.96, минимальное - 0.808, среднее - 18.5014.

Общая площадь гистограммы: 0.999000999001 условных единиц площади.

Абсолютное расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 0.886.225411 условных единиц.

Относительное расхождение: 9.44055%

При увеличении числа интервалов и чисел расхождение уменьшается. Для N = 10000 и n = 28 разбиения были получены следующие значения:

Общая площадь гистограммы: 0.9999000099 условных единиц.

Абсолютное расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 0.364.74677726 условных единиц.

Относительное расхождение: 6.82441%



Рис. 3 Гистограмма закона распределения теоретическая

2.2 Результаты исследования работы генератора

Генерацию случайных чисел распределенных по закону Вейбулла-Гнеденко методом обратной функции. Генерировалось 1000 случайных чисел, заданный отрезок разбивали на 34 интервалов. Результаты, выдаваемые программой на рисунке 4 и 5, приведены результаты работы генератора. Погрешность генератора не превышает 10%. Зависимость случайных чисел и процента погрешности приведены на рисунке 4. На рисунке 5 показана зависимость погрешности от количества интенвалов.

Рис. 4. График зависимости е(N)

Зависимость представлена в виде графика, где по горизонтальной оси отложены количество чисел, а по вертикальной оси проценты погрешности. Исследование проводилось при количестве интервалов, равному 34.

Рис. 5.График зависимости е(q)

2.3 Блок-схема алгоритма

Где p - количество чисел, q - количество интервалов, x(j) - обратная функция, F(j) - функция распределения, f(x(j)) - плотность распределения, j - номер опыта.

Заключение

В данной курсовой работе был разработан генератор, генерирующий сигналы, распределенные по закону Вейбулла-Гнеденко со средним значением 30 минут и = 0,8. Соответствие полученного закона заданному проверяется по гистограмме закона распределения. Полученное значение относительного расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения:9.44055 %. При увеличении количества чисел погрешность уменьшается.

Список использованной литературы

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения, М: Наука, 1988.

Вентцель Е.С. Исследование операций, М:Наука, 1980.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, М:Наука, 1969.

Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем, М: Высшая школа, 1985.

Советов Б.Я. Моделирование систем: Курсовое проектирование: Учеб. пособие для вузов по спец. АСУ.- М: Высш. шк., 1988. - 135с.: ил

Приложение А

Листинг программы

function generator_vg($q1_2,$q2_2,$bet,$m2,$kolint2,$kolchis,$height,$prx2,$imw,$imh)

{

$per2=0;

$i=1;

$x1=$q1_2+(0.01);

// Вычисление площади

while ($x1<=$q2_2)

{

$p=$p+($bet/$m2)*exp(0-($x1/$m2))*$prx2;

$x1=$x1+$prx2;

}

$a[0]=$q1_2;

$q=(0.0);

$x1=$q1_2;

// Получение интервалов

while ($i<$kolint2)

{

do

{

$q=$q+($bet/$m2)*exp(0-($x1/$m2))*$prx2;

$x1=($x1+($prx2));

$z=((0.045)*$p*$i);

$per2++;

}

while ($q<$z);

$a[$i]=$x1-($prx2);

$i++;

}

$j=1;

// Получение последовательности

while ($j<$kolchis)

{

mt_srand((double)microtime()*10000000);

$z1=mt_rand(1,($kolint2-2));

mt_srand((double)microtime()*10000000);

$z2=mt_rand(1,10);

$i=$z1;

$z2=$z2/10;

$y_vb[$j]=$a[$i]+$z2*($a[$i+1]-$a[$i]);

$j++;

}

$j=1;

$max=max($y_vb);

$min=min($y_vb);

echo "Распределение Вейбула-Гнеденко: Макс число/Мин число - $min / $max <br>";

while ($j<$kolchis)

{

$yf=$yf+$y_vb[$j];

$j++;

}

$yf2=$yf/$kolchis;

echo "Среднее значение случ.величины: $yf2 <br><br>";

$i=1;

$d=(($max-$min)/($kolint2-1));

while ($i<$kolint2)

{

$c[$i]=($min+($d*$i));

$i++;

}

$i=1;

while ($i<$kolint2)

{

$n[$i]=0;

$i++;

}

$i=1;

while ($i<$kolchis)

{

for ($l=1; $l<=($kolint2-1); $l++)

{

if ($y_vb[$i]<=$c[$l])

{

$n[$l]=($n[$l]+1);

break;

}

}

$i++;

}

$l=1;

while ($l<($kolint2-1))

{

$chas[$l]=$n[$l]/$n[$l+1];

$l++;

}

// Построение гистограммы

$l=1;

$im2=imagecreate($imw,$imh);

$white=imagecolorallocate($im2,255,255,255);

$black=imagecolorallocate($im2,0,0,0);

$blue=imagecolorallocate($im2,0,0,255);

$black2=imagecolorallocate($im2,0,0,0);

$red=imagecolorallocate($im2,255,0,0);

$x1=0;

$y2=($imh-10);

$xl1=10;

$yl1=100;

$yl2=$yl1;

while ($l<$kolint2)

{

$x1=$x1+10;

$x2=$x1+10;

$y1=($imh-10)-$n[$l]*$height;

if ($l==5)

{

imagefilledrectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$blue);

}

elseif ($l==15)

{

imagefilledrectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$blue);

}

elseif ($l==25)

{

imagefilledrectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$blue);

}

elseif ($l==10)

{

imagefilledrectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$red);

}

elseif ($l==20)

{

imagefilledrectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$red);

}

else

{

imagerectangle($im2,$x1,$y1,$x2,$y2,$black2);

}

$l++;

}

$qp=(0.04);

$i=1; $f=0;

while ($i<$kolint2)

{

$ql=($bet/$m2)*exp(0-($a[$i]/$m2));

$ch1=$qp/$ql;

$qp=$ql;

// Отрисовка реальной кривой распределения

$xl2=$xl1+10;

$yl2=$yl2/$ch1;

$yl3=200-$yl2;

imageline($im2,$xl1,$yl1,$xl2,$yl3,$red);

$xl1=$xl2;

$yl1=$yl3;

$spd1=$spd1+abs(($n[$i]*$height*10-(200-$yl3-3)*10));

$sp1=$sp1+$n[$i]*$height*10;

$i++;

}

$delta1=$spd1/$sp1*100;

echo "dS = $spd1, S = $sp1, Gamma = $delta1% <br><br>";

imagejpeg($im2, "out2.jpg");

return $y_vb;

}

// Задание параметров распределения

$imw=400;

$imh=200;

$prx2=(0.08);

$m2=25;

$bet=1;

$kolint2=29;

$kolchis=10001;

$q1_2=0;

$q2_2=30;

$height=abs(1000/$kolchis);

//Вызов функции

generator_vg($q1_2,$q2_2,$bet,$m2,$kolint2,$kolchis,$height,$prx2,$imw,$imh);

?>

<html>

<image src="out2.jpg"><br>

Normal<br>

</html>