Із шостого рівняння знаходимо

з п'ятого отримаємо ,

з четвертого - і, нарешті, з першого -

Значення менші нуля, відповідно ці реакції в дійсності спрямовані протилежно зображеним на рисунку.

Для перевірки одержаних величин реакцій опор розглянемо складену конструкцію в цілому і складемо рівняння моментів відносно точки, через яку не проходять лінії дій цих реакцій, наприклад, відносно точки Е (рис.6.10). шарнір С знову будемо вважати нерухомим.

у х

Рис. 6.10

Перевірка.

при цьому рівність нулю суми моментів сил відносно точки Е означає правильність визначених реакцій.

Приклад 2. Знайти реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції, на яку діють сили Р₁ = 6 кН, Р₂ = 10 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 1,4 кН/м і пара сил з моментом М = 15 кНм. Розміри задані на початковій схемі (рис. 6.11), кут = 60^о.

Розвязання. При розвязанні задачі другим способом будемо розглядати рівновагу стержнів ADC i BC конструкції окремо (рис.6.12 і 6.13). Побудуємо розрахункові схеми за звичайним правилом. Тут слід враховувати, що відповідно до аксіоми 4 реакції і в шарнірі С задовольняють наступним рівностям: . розподілене навантаження замінимо зосередженою силою Q = 4q, яку прикладемо в середині ділянки СВ.

2 м

Рис. 6.11

Визначимо величини сил , що діють на стержень СВ:

кН,

Q = 4q = 5,6 кН.

Складемо рівняння рівноваги стержня ВС:

y x P2y RB Q В P2x XC YC 300 С

Рис. 6.12

Далі складемо рівняння рівноваги стержня ADC:

(6)

Рис. 6.13

З отриманих шести рівнянь визначимо невідомі реакції: .

Із третього рівняння знаходимо

з першого рівняння

з другого рівняння

,

з п'ятого рівняння

з четвертого

з шостого

Для перевірки розглянемо конструкцію в цілому і складемо для неї рівняння моментів відносно точки С, через яку не проходять лінії дій визначених реакцій. Шарнір С вважаємо затверділим (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Перевірка.

Рівність нулю суми моментів сил відносно точки С означає, що задачу розв'язано правильно.

7. Тертя ковзання, кочення

Сили тертя виникають між поверхнями твердих тіл при їх взаємних рухах, між частинками рідини і газів при їх внутрішніх взаємодіях та при їх взаємодіях з поверхнями твердих тіл.

У теоретичній механіці розглядаються два види тертя твердих тіл: тертя ковзання і тертя кочення.

Реакція взаємодії контактуючих твердих тіл залежить від типу поверхонь їх стикання. У випадку ідеально гладеньких поверхонь ця реакція направлена вздовж спільної нормалі до поверхонь стиску. За величиною нормальна реакція дорівнює силі ваги тіла, коли опорна поверхня тіла горизонтальна (рис. 7.1,а), або (рис. 7.1,б) при .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Размещено на http://www.allbest.ru/

в

Рис. 7.1

Якщо поверхні стикання твердих тіл шорсткі (рис. 7.1,в), то з'являється ще одна складова реакції взаємодії, яка має ортогональну по відношенню до складової лінію дії (направлена по дотичній до означених поверхонь) і називається силою тертя . Отже, в загальному випадку реакція шорстких поверхонь дорівнює геометричній сумі нормальної реакції взаємодії твердих тіл і сили тертя: .

7.1 Сили тертя ковзання. Закон Амонтона-Кулона

Напрямок дії сили тертя було встановлено ще у 16 ст. Леонардо да Вінчі: сила тертя завжди спрямована у бік, протилежний руху тіла. Комплексні експериментальні й теоретичні дослідження сил тертя виконали Амонтон (1663 - 1705 рр.) і Кулон (1736 - 1806 рр.). Для цього використовувався особливий прилад - трибометр (рис. 7.2). Тут 1 - горизонтальна опорна плита; 2 - тіло вагою G у вигляді прямокутного бруска; 3 - блок; 4 - вантаж вагою Q; - горизонтальна реакція мотузки, що з'єднує тіло 2 з вантажем 4 (зсуваюча

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.2

сила для тіла 2). За величиною . При поступовому збільшенні ваги вантажу, починаючи від нуля, буде одночасно пропорційно змінюватися і зсуваюча сила . У випадку досягнення нею певного граничного значення брусок почне рухатись. Сила тертя, яка виникає між шорскими поверхнями стискання тіла і плити при відсутності їх взаємних рухів й зрівноважує зсуваючу силу , називається силою тертя спокою . очевидно, що вона теж змінюється від нуля до деякого граничного значення , тобто . При і = брусок перебуватиме у стані граничної рівноваги, який визначається рівністю . Подальше збільшення зсуваючої сили приведе до його руху під дією сил: і . Тертя при русі тіл, на відміну від тертя спокою називається тертям ковзання, а сила тертя - силою тертя ковзання .

Дослідженнями встановлено наступні узагальнені якісні й кількісні властивості тертя спокою і ковзання шорстких незмащених поверхонь, так званого сухого тертя, або тертя першого роду.

1. Закон Амонтона - Кулона. Максимальна величина сили тертя спокою, яка дорівнює , пропорційна силі нормального стиску поверхонь стикання тіл:

, (7.1)

де - коефіцієнт тертя спокою (статичний коефіцієнт тертя), безрозмірна величина.

Рівняння (7.1) використовують на практиці для визначення величини діючого на тіло зсуваючого зусилля в стані його граничної рівноваги.

Наведемо значення коефіцієнта для деяких матеріалів: сталь - чавун - = 0,22 - 0,28; деревина - деревина - = 0,4 - 0,7; сталь - лід - = 0,027; гума - сухий бетон - = 0,8 - 0,95.

Коефіцієнт тертя не залежить від площі стикання поверхонь тертя, ваги тіла (бруска на рис. 7.2). Він залежить від матеріалу й фізичного стану (чистота обробки, температура, вологість та ін.) поверхонь тіл і зростає при збільшенні часу їх попереднього контакту.

2. За величиною сила тертя спокою змінюється від нуля до максимального значення, рівного , тобто

,

або . (7.2)

3. Сила тертя ковзання належить загальній дотичній площині до поверхонь взаємодії стичних тіл і спрямована у бік, протилежний руху тіла.

Після початку руху сила тертя ковзання по відношенню до сили трохи зменшується, тобто . Величина сили тертя ковзання визначається формулою

,

де - коефіцієнт тертя ковзання (динамічний коефіцієнт тертя).

Коефіцієнт тертя ковзання не залежить від відносної швидкості поверхонь стичних тіл.

На практиці величини коефіцієнтів тертя і визначаються звичайно експериментально. Їх величини для більшості відомих матеріалів наведено в технічних довідниках.

7.2 Кут тертя. Конус тертя

Розглянемо тіло, яке, спираючись на шорстку поверхню, перебуває під дією рівнодійної зовнішніх активних сил в стані рівноваги. У цьому випадку, враховуючи (7.2), буде виконуватись умова

або , (7.3)

де - дотична складова рівнодійної. У (7.3) враховано, що нормальна складова рівнодійної притискує тіло до поверхні і викликає відповідно реакцію . При цьому граничну рівновагу тіла матимемо при (випадок навантаження тіла зображено на рис. 7.3), тобто, враховуючи (7.3), коли . Але якщо буде , то тіло почне рухатись. Виразимо далі умови рівноваги тіла через кут ₀ між реакцією поверхні і її нормальною складовою , який назвемо, при = , кутом тертя ₀:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.3

. (7.4)

(7.4), враховуючи властивості коефіцієнта тертя спокою, випливає незалежність кута тертя ₀ від ваги тіла, тобто величини нормальної реакції контактуючих тіл. Крім того з виразів (7.3) і (7.4) отримаємо, що тіло перебуває у стані рівноваги, коли для кутів між рівнодійною і нормаллю , а також реакцією і тією ж нормаллю виконується нерівність

, (7.5)

а коли (7.6)

тіло буде рухатись.

Тіло, спираючись на шорстку плоску поверхню, має можливість рухатись по ній під дією рівнодійної зовнішніх активних сил в будь-якому напрямку. Залежно від напрямків дії активних сил напрямок дотичної граничної реакції буде змінюватись. При цьому вектор реакції поверхні, приймаючи його як рівнодійну, створить конічну поверхню, а його кінець при - підлогу прямого колового конуса. Прямий коловий конус, твірні якого з нормаллю до поверхні в даній точці складають кут тертя ₀, називається конусом тертя (якщо коефіцієнт тертя має у різних напрямках руху тіла різні значення, то конус тертя не буде прямим коловим).

Незалежність нерівностей (7.5), (7.6) від параметрів рівнодійної приводить до наступних умов спокою чи руху тіла стосовно конуса тертя. Якщо лінія дії рівнодійної активних сил проходить в середині конуса тертя або вздовж його твірної, то тіло перебуває в рівновазі (граничної рівноваги) при будь-яких величинах рівнодійної, а якщо лінія дії рівнодійної проходить поза конусом тертя, то тіло прийде до руху. Цю властивість використовують в техніці, наприклад, при визначенні геометричних характеристик кутів нахилу нарізки гвинтових з'єднань, що реалізують ефект самогальмування.

7.3 Тертя кочення. Коефіцієнт тертя кочення

Тертям кочення (тертям другого роду) називається опір, який виникає при коченні одного тіла по поверхні іншого. Так, при коченні циліндричного котка 1 радіуса R і вагою G по горизонтальній поверхні 2, як показує досвід, до його осі необхідно прикласти певну горизонтальну активну силу (рис. 7.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.4

При малих значеннях сили циліндр буде в рівновазі. При збільшенні F до величини F^гр у певний момент матимемо граничний стан рівноваги, а далі коток почне рухатись.

Поява сил тертя кочення пояснюється зміною форми поверхні опори, по якій циліндр котиться, в результаті її пружної деформації. Вважається, що стик поверхонь контакту циліндра і опори відбувається не в точці О, а вздовж деякої площини АВ. При дії сили інтенсивність тиску в краю В площадки зменшується, а в краю А - зростає. У результаті нормальна реакція поверхні виявляється зміщеною в напрямку дії сили на деяку відстань . За величиною . Друга складова повної реакції опори , яка прикладена до циліндра у точці А і заважає ковзанню циліндра по поверхні, є силою тертя . При рівновазі циліндра ця сила за величиною рівна активній силі і складає з нею пару сил з моментом RF, яка зрівноважується парою сил , момент якої називається моментом тертя кочення (показано на рис. 7.4 дуговою стрілкою). Плече цієї пари при граничній рівновазі циліндра, тобто коли , називають коефіцієнтом тертя кочення. він має розмірність довжини. З рівноваги моментів пар сил М і М отримаємо

,

де - зведений коефіцієнт тертя кочення (величина безрозмірна). Отож, тіло кочення буде знаходиться в рівновазі, коли виконується нерівність

,

або . (7.7)

У випадку, коли горизонтальна активна сила

, (7.8)

тіло почне котитись.

Коефіцієнти тертя кочення визначають дослідно. Їх величини наведені в довідниках. Значення коефіцієнта для деяких матеріалів такі: дерево по дереву - = (0,05 - 0,08) см; сталь по сталі (колесо по рейці) - = 0,005 см.

Дослідженнями встановлено незалежність коефіцієнта тертя кочення від кутової швидкості котка. Він залежить від матеріалу котка і опори, їх фізичного стану і площі контакту. Крім того, збільшення твердості контактуючих тіл призводить до зменшення довжини площадки контакту АВ (на рис. 7.4), зменшення відстані нормальної реакції , зменшення величини коефіцієнта тертя кочення і, відповідно до умови (7.8), зменшення величини горизонтальної активної сили , яку слід прикласти до циліндра для початку руху. Наприклад, якщо стичні тіла абсолютно тверді, то пружна деформація опори відсутня, а коефіцієнт тертя 0. У результаті отримаємо, що для кочення абсолютно твердого циліндра по абсолютно твердій горизонтальній опорі практично ніякої активної сили не потрібно.

Тертя кочення значно менше тертя ковзання через те, що в співвідношеннях граничної рівноваги (7.1) і (7.7) для більшості матеріалів контактуючих тіл виконується умова . Тому в техніці широко використовується заміна вузлів тертя-ковзання на вузли тертя-кочення (колеса, котки, роликові й кулькові підшипники та інш.).

На практиці наведена на рис. 7.4 механічна схема взаємодії реалізується при коченні ведених і ведучих (при вимкненому двигуні) коліс транспортних засобів (трамваїв, тролейбусів, автомобілів та ін.). При цьому опір коченню колеса під дією зовнішньої сили , яку прикладено до центра С колеса (рис. 7.5,а), або за інерцією (коли = 0), виникає завдяки пружної деформації поверхонь стискання. На рис. 7.5,а це показано наявністю відстані між точками О і А. У результаті силові фактори опору руху складаються з прикладеної в точці А сили тертя , яка протидіє ковзанню точки дотику А колеса (тому що при відсутності боксування за величиною ) вздовж опорної поверхні в напрямку діючої сили , і моменту тертя кочення , який протидіє обертаючим властивостям моменту сили відносно точки А. При цьому, оскільки реально на практиці виконується умова , тобто завжди коефіцієнт тертя кочення , точка А на рис. 7.5,а становиться миттєвим центром швидкостей колеса. Особливістю даного руху є те, що сила тертя в умовах відсутності проковзування при коченні колеса роботи не виконує, тобто гальмуючої дії на обертання колеса відносно миттєво нерухомої точки А не чинить, в даному випадку опір коченню колеса здійснює тільки момент .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Рис. 7.5

У ведучих коліс (рис. 7.5,б) зовнішній силовий фактор, що прикладається до колеса з боку пристрою двигуна, є обертаючим моментом М_об. Умова відсутності проковзування поверхонь стику тут забезпечується силою тертя, яка прикладена до колеса з боку опорної поверхні (наприклад, рейки) і спрямована у бік, протилежний напрямку можливого ковзання точки А. Цю силу називають силою зчеплення колеса з опорною поверхнею (наприклад, рейкою). Вона обмежена граничним значенням . Якщо це значення буде перевищено, то відбудеться зрив зчеплення і почнеться боксування колеса, тобто його проковзування відносно опорної поверхні (наприклад, рейки).

Виразимо силу _зч через величину обертаючого моменту М_об і радіус R колеса. Для цього перенесемо силу паралельно самій собі в точку С, додавши одночасно до колеса момент . При відсутності боксування точка А контакту колеса з опорною поверхнею, будучи миттєвим центром швидкості, є нерухомою. Тому в кожний момент руху колеса повинна виконуватись рівність

,

звідки отримаємо, що за величиною .

Прикладену до центра мас колеса силу називають колісною силою тяги транспортного засобу, вона надає центру С колеса поступального руху.

У випадку прикладання до колеса гальмуючого моменту (має напрямок, обернений до моменту М_об), наведені на рис. 7.5,б сили і змінюють свої напрямки на протилежні, що призводить до зменшення швидкості руху його (колеса) центра мас.

У першому наближенні на практиці приймають, що

,

де - гранична сила зчеплення; G - сила нормального тиску колеса на опорну поверхню; - коефіцієнт зчеплення колеса з поверхнею.

Експериментально встановлено, що сила зчеплення залежить від розмірів і площі контакту поверхонь стикання, величини сили нормального тиску, кутової швидкості колеса, фізико-механічних властивостей матеріалу контактуючих тіл. Наприклад, для трамваїв і чистих рейок = 0,16 - 0,2, для забруднених рейок = 0,12 - 0,14, при листопаді коефіцієнт зчеплення зменшується до 0,06 - 0,08.

7.4 Приклади розв'язання задач рівноваги з урахуванням сил тертя

Приклад 1. Тертя ковзання.

Механічна схема конструкції (рис. 7.6,а) включає два вантажі вагою Р₁ = 4 кН і Р₂ = 6 кН, які з'єднані тросом і розташовані на похилій шорсткій поверхні. Визначити стан системи двох тіл при f₀₁ = 0,4, f₀₂ = 0,8, = 30⁰, де f_0і - статичний коефіцієнт тертя і-го тіла.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б в

Рис. 7.6

Розв'язання.

Розглянемо рівновагу вантажу Р₁ в напрямку осі Ох (рис. 7.6,б), прийнявши :

, (7.9)

де ; Т₁ - сила натягу троса;

- сила тертя.

З рівняння (7.9) отримаємо

кН.

За величиною , отже при відсутності троса вантаж Р₁ не буде знаходитися у стані рівноваги, тому що при куті умова рівновагі тіла не виконується.

Вантаж Р₁ з'єднано тросом з вантажем Р₂, тому його стан спокою можна забезпечити за допомогою вантажу Р₂, якщо для сили тертя останнього буде виконуватись нерівність

кН.

Величину сили тертя визначимо, якщо розв'яжемо рівняння рівноваги тіла Р₂ у проекціях на вісь Ох (рис. 7.6,в):

, (7.10)

де Т₂ = Т₁; .

З (7.10) буде: (кН). Отже для заданих механічних і геометричних параметрів систем двох тіл отримано, що сила тертя вантажу Р₂ задовольняє умові його рівноваги за наявності нерівної нулю сили натягу троса від вантажу Р₁. Її величина є достатньою для забезпечення особистої рівноваги, а також утримання у спокої і тіла Р₁, тобто рівноваги системи двох тіл в цілому.

З рівнянь (7.9), (7.10) можна визначити кут , при якому матиме стан граничної рівноваги системи вантажів:

або

, або

. (7.11)

Формулу (7.11) використовують на практиці при побудові розглянутої на рис. 7.6,а механічної конструкції: визначенні геометричних і механічних параметрів опорної поверхні, вантажів та ін.

Приклад 2. Тертя кочення.

Визначити значення кута (рис. 7.7), при якому циліндр вагою Р і радіусом R = 5 см знаходиться на похилій шорсткій площині у граничній рівновазі при коченні, якщо f₀ = 0,1; а = 0,05 см.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7.7

Розв'язання

Складемо рівняння рівноваги циліндра:

(7.12)

де - нормальна складова реакції площини; - момент тертя кочення циліндра. При рівновазі циліндра буде виконуватись .

З другого рівняння системи (7.12) отримаємо . Тоді третє рівняння в умовах граничної рівноваги набуде вигляду

,

звідкиля ,

отже, .

З першого рівняння маємо . Для зображеної на рис. 7.7 механічної схеми максимальна величина сили тертя спокою

.

Отже, враховуючи, що сила тертя в умові граничної рівноваги циліндра при коченні (коли ) задовольняє нерівності , по площині циліндр ковзати не буде.

8. Розрахунок плоскої ферми

8.1 Основні визначення і припущення

Фермою називається геометрично незмінна конструкція, що складається з прямолінійних стержнів, які з'єднуються між собою за допомогою шарнірів.

Ферми являють собою досить розповсюджені складові частини промислових і цивільних споруд. Їх використовують як опори трубопроводів і ліній електропередач (рис. 8.1), радіовежі (рис. 8.2), конструкції кранів, елементи великих прольотів будівельних та спортивних споруд, елементи мостів (рис. 8.3, 8.4, 8.5) та ін.

Рис. 8.1. Опори ЛЕП

Рис. 8.2. Ейфелева вежа

(Париж, Франція)

Якщо всі стержні ферми розташовані в одній площині, ферму називають плоскою. З'єднання стержнів ферми між собою називається вузлами.

Рис. 8.3. Мостова ферма

Рис. 8.4. Елемент даху спортивного залу в Парижі (Франція)

Рис. 8.5. Залізничний міст в Единбурзі (Шотландія)

Основним завданням розрахунку ферми є визначення зусиль, що виникають у стержнях при дії зовнішнього навантаження. При цьому розрахунки виконують при наступних припущеннях:

- усі зовнішні навантаження прикладені тільки у вузлах;

- вагою стержнів і тертям у вузлах, які є ідеальними шарнірами, нехтують.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.6

Тоді на підставі першої аксіоми статики можна вважати, що стержні ферми працюють тільки на розтяг або стиск. Наведені припущення вносять певну похибку в розрахунки у порівнянні з дійсним напруженим станом стержнів, але ця похибка невелика і отримані результати можна використовувати для технічних розрахунків елементів ферми на міцність.

Найпростішим прикладом ферми є система трьох стержнів, з'єднаних між собою шарнірами (рис. 8.6).

Простою плоскою фермою називається ферма, яка може бути побудована з трикутної шляхом послідовного приєднання кожного нового вузла за допомогою двох нових стержнів (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Розглянемо зв'язок між кількістю вузлів п і кількістю стержнів k у простих фермах. Основний трикутник (рис. 8.6) має три вузли і три стержні. Для незмінного з'єднання з основним трикутником кожного з решти п-3 вузлів потрібно приєднати два стержні. Отже, загальна кількість стержнів у простої ферми з урахуванням трьох стержнів основного трикутника визначається так:

. (8.1)

Покажемо, що проста ферма статично означена, якщо число опорних реакцій дорівнює трьом. Дійсно, для кожного вузла можна скласти два рівняння рівноваги, оскільки на нього діє збіжна система сил. Таким чином, усього можна скласти 2п рівнянь рівноваги. У ці рівняння будуть входити k невідомих зусиль у стержнях і три реакції опор. З урахуванням формули (8.1) загальне число невідомих буде:

,

тобто дорівнюватиме числу рівнянь рівноваги. Таким чином, задачу розрахунку простих ферм можна розв'язати методами теоретичної механіки.

Зазначимо, що якщо число стержнів k менше, ніж підраховане за формулою (8.1), то така конструкція буде механізмом, тобто матиме можливість рухатися. Якщо число стержнів більше, ніж підраховане за формулою (8.1), або число опорних реакцій більше трьох, ферма буде статично неозначена і для її розрахунку треба застосувати методи будівельної механіки.

8.2 Порядок розрахунку простої ферми

1. Спочатку складають три рівняння рівноваги для визначення реакцій опор ферми, розглядаючи останню в цілому як тверде тіло. Після визначення реакцій бажано скласти перевірочне рівняння.

Формально умови рівноваги вузлів ферми включають у себе умови рівноваги ферми в цілому, тобто дають змогу знайти і реакції опор. Але попереднє визначення опорних реакцій суттєво спрощує розв'язання задачі.

2. Далі визначають зусилля у стержнях ферми.

Звичайно використовують два способи: вирізання вузлів і Ріттера.

а) Спосіб вирізання вузлів. Цим способом зручно користуватись, коли треба знайти зусилля в усіх стержнях ферми. Він зводиться до послідовного розгляду умов рівноваги збіжних систем сил, прикладених до кожного з вузлів. При цьому кількість невідомих зусиль у вузлі не повинна перевищувати двох.

Для визначеності припускають, що всі зусилля направлені від вузла, тобто стержні розтягнуті. Якщо в результаті розрахунків значення зусилля буде від'ємним, то це означатиме, що стержень стиснутий. Останній вузол розглядають, як правило, для перевірки.

Зусилля в окремих стержнях можуть виявитись нульовими, тобто стержні будуть ненавантаженими. Такі стержні можна визначити за допомогою кількох лем.

Лема 1. Якщо в ненавантаженому вузлі ферми збігаються два стержні (рис. 8.8), то зусилля в цих стержнях дорівнюватимуть нулю, тобто

і

Рис. 8.8

Лема 2. Якщо в ненавантаженому вузлі ферми збігаються три стержні (рис. 8.9), з яких два розташовані на одній прямій, то зусилля у третьому стержні дорівнює нулю: .

Рис. 8.9

Лема 3. Якщо до вузла, в якому збігаються два стержні, прикладена зовнішня сила у напрямку одного з стержнів (рис. 8.10), то зусилля у другому стержні дорівнює нулю: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.10

б) Спосіб Ріттера. Цим способом зручно користуватись, коли треба знайти зусилля в окремих стержнях ферми, зокрема, для перевірочних розрахунків. Згідно з цим способом ферму розподіляють на дві частини перерізом, який проходить не більше, ніж через три стержні, і розглядають рівновагу однієї з частин. Зусилля в перерізаних стержнях направляють від перерізу, тобто припускають (як і в способі вирізання вузлів), що всі стержні розтягнуті. Далі складають рівняння рівноваги так, щоб у кожне рівняння увійшло тільки одне зусилля стержня, через який пройшов переріз. Для цього складають рівняння моментів відносно точки площини (цю точку називають точкою Ріттера), через яку проходять лінії дій зусиль двох інших стержнів, які потрапили в переріз. Якщо два інших стержні перерізу виявляються паралельними, то складають рівняння проекцій сил на вісь, яка перпендикулярна до цих паралельних стержнів. Таким чином, спосіб Ріттера хдає змогу визначить зусилля в будь-якому стержні ферми незалежно від зусиль в інших стержнях.

Аналізуючи вищеназвані способи визначення зусиль у стержнях, зазначимо, що зусилля способом вирізання вузлів визначають послідовно, переходячи від одного вузла до сусіднього. Це може призвести до накопичення похибок, тому бажано значення знайдених зусиль при розгляді наступних вузлів брати якомога точнішими. Крім того, помилка у визначенні одного зусилля призведе до неправильних розрахунків усіх інших стержнів, що залишились.

Спосіб Ріттера на відміну від попереднього не призводить до накопичення похибок, бо всі зусилля визначаються незалежно одне від одного. Але одночасно це не дає можливості помітити грубі помилки, що можуть трапитись при обчисленні. У деяких фермах також не всі зусилля можуть бути визначені способом Ріттера незалежно одне від одного.

Таким чином, найкраща методика визначення зусиль у стержнях ферми полягає в поєднанні способів вирізання вузлів і Ріттера. При цьому всі зусилля визначаються за способом вирізання вузлів і деякі з них перевіряють способом Ріттера.

Приклад 1. Визначити зусилля у стержнях ферми (рис. 8.11), на яку діє задана сила = 10 кН. Зусилля у стержнях 2, 3, 4 перевірити способом Ріттера.

Рис. 8.11

Розв'язання: 1) Розглянемо рівновагу ферми (рис. 8.12) і визначимо реакції опор А і В:

Рис. 8.12

(кН)

де - модулі складових сили :

кН;

(кН).

Перевірка:

2) Визначимо зусилля у стержнях ферми методом вирізання вузлів:

а) розглянемо рівновагу вузла А (рис. 8.13):

Рис. 8.13

(кН);

Рис. 8.14

б) розглянемо рівновагу вузла С (рис. 8.14):

(кН);

(кН);

(за модулем кН);

в) розглянемо рівновагу вузла В (рис. 8.15):

Рис. 8.15

(кН);

друге рівняння можна використати для перевірки:

=

(; );

г) для перевірки розглянемо останній вузол Д (рис. 8.16):

·

Рис. 8.16

=

(; );

3) Визначимо зусилля у стержнях 2, 3, 4 ферми методом Ріттера. Для цього проведемо переріз через ці стержні і розглянемо рівновагу, наприклад, лівої частини ферми (рис. 8.17):

Рис. 8.17

=0; (кН);

(кН).

Відповідь: 1) X_A -7 кН; Y_A -7 кН; R_B=14 кН; знаки «-» означають, що справжнє направлення складових протилежне показаним на рисунках;

2) S₁ = 10 кН; S₂ = 0; S₃ = -10 кН; S₄ 14 кН; S₅ = -10 кН; стержні 1, 4 - розтягнуті; 3, 5 - стиснуті; 2 - ненавантажений.

9. Центр паралельних сил і центр ваги

9.1 Центр паралельних сил

Розглянемо дві паралельні сили и , направлені в один бік (рис. 9.1). Згідно з п. 4.4.1 така система сил зводиться до рівнодійної . При цьому виконуються співвідношення:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9.1

,

. (9.1)

Якщо сили и повернути на однаковий кут навколо точок їх прикладання А і В, то рівнодійна повернеться на той самий кут навколо точки

С, оскільки співвідношення (9.1) не зміняться. Такі ж міркування можна привести і для двох паралельних сил, направлених у різні боки.

Точка С, через яку проходить лінія дії рівнодійної системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил навколо точок їх прикладання на однаковий кут, називається центром паралельних сил.

У яких випадках існує така точка С і як знайти їх координати? На це запитання дає відповідь теорема про центр паралельних сил.

Теорема. Якщо головний вектор системи паралельних сил не дорівнює нулю, то центр паралельних сил (точка С) існує і його положення визначається за формулою

, (9.2)

де - радіуси-вектори точок прикладання сил; - радіус-вектор центра паралельних сил; - модулі паралельних сил, які відрізняються знаком для сил, направлених у різні боки.

Доведення. Розглянемо систему п паралельних сил . Якщо її головний вектор не дорівнює нулю, то, як показано у п. 5.4.4.3, така система паралельних сил зводиться до рівнодійної . Нехай точка - це якась точка лінії дії цієї рівнодійної (рис. 9.2), - відповідно радіуси-вектори точки і точок прикладання сил і відносно вибраного центра О.

Рис. 9.2

Згідно з теоремою Варіньона про момент рівнодійної (п. 5.6), отримаємо

або або

. (9.3)

Рівність (9.3) запишемо у наступній формі

. (9.4)

Введемо у розгляд одиничний вектор , паралельний лініям дії сил . Тоді кожна із заданої системи сил може бути виражена через вектор :

, (9.5)

де , якщо напрями векторів и збігаються, і , якщо ці напрями протилежні. При цьому очевидно, що

. (9.6)

Підставляючи (9.5) і (9.6) у рівняння (9.4), отримаємо:

,

або .

Остання рівність виконується при будь-якому напрямі сил (напрямі вектора ) тільки за умовою, що перший множник дорівнює нулю:

. (9.7)

Ця рівність має єдиний розв'язок відносно радіуса-вектора , який визначає точку прикладання рівнодійної. Такою точкою і є центр паралельних сил, чим доводиться його існування. Позначимо радіус-вектор центра паралельних сил як . Тоді з рівняння (9.7) отримаємо вираз:

Теорему доведено.

Формулу (9.2) можна подати у скалярній формі:

, , , (9.9)

де - відповідно декартові координати центра с паралельних сил і точок прикладання сил .

Вирази , , у формулах (9.9) називаються відповідно статичними моментами заданої системи сил відносно координатних площин уOz, xOz, xOy. Зазначимо, що коли початок координат сумістити з центром паралельних сил, то

і статичні моменти заданої системи сил дорівнюватимуть нулю.

9.2 Центр ваги твердого тіла

Розглянемо тверде тіло, яке знаходиться в полі сил тяжіння. Якщо розмірами тіла можна знехтувати порівняно з розмірами Землі, то можна вважати, що на частки цього тіла діють сили ваги , які складають систему паралельних сил (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Центром ваги твердого тіла називається центр паралельних сил ваги.

Для центра ваги тіла формули (9.9) набудуть вигляду:

, , , (9.10)

де - сила ваги (тіла); - координати точки прикладання сили ваги окремої частини тіла.

9.2.1 Центр ваги однорідного твердого тіла

Якщо тіло однорідне, то вага кожної частки тіла пропорційна його об'єму:

, (9.11)

де - об'єм елементарної частки тіла; - вага одиниці об'єму тіла.

Підставивши (9.11) у (9.10), отримаємо:

аналогічно (9.12)

де V = - об'єм тіла.

Із формул (9.12) видно, що положення центра ваги однорідного тіла залежить тільки від геометричної форми і розмірів тіла. Тому точку С, яка визначається за формулами (9.12), називають центом ваги об'єму тіла.

9.2.2 Центр ваги однорідної пластини

Пластиною називають плоске тіло, один розмір якого (товщина) набагато менше двох інших (довжини і ширини):

, (9.13)

де - площа елементарної частки пластини; - вага одиниці площі.

z y x

Рис. 9.4

Підставивши (9.13) у (9.10) і вважаючи, що координатна площина хОу збігається з площиною пластини, отримаємо:

аналогічно (9.14)

де - площа пластини.

Точку С, координати якої визначаються за формулами (9.14), називають центром ваги площі.

Вирази у чисельниках формулах (9.14) називають відповідно статичними моментами площі і відносно осей х і у:

(9.15)

9.2.3 Центр ваги однорідного стержня

Стержнем називають тіло, один розмір якого (довжина) набагато більше двох інших. У цьому випадку вага елементарної частки тіла пропорційна її довжині (рис. 9.5):

, (9.16)

де - довжина елементарної частки стержня; - вага одиниці довжини.

Рис. 9.5

Підставивши (9.16) у (9.10), отримаємо:

аналогічно (9.17)

де L = - довжина стержня.

Точку С, координати якої визначаються за формулами (9.17), називають центром ваги лінії.

9.3 Способи визначення координат центра ваги

1. Спосіб симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то його центр ваги знаходиться відповідно в площині, на осі або в центрі симетрії.

Доведемо це твердження для тіла, що має площину симетрії (рис. 9.6). Розташуємо координатну площину хОу у площині симетрії (на рис. 9.6 ця площина заштрихована). Візьмемо в тілі дві точки і , які розташовані симетрично відносно площини хОу. У цих точок збігаються координати , а координати розрізняються тільки знаком. Виділимо навколо точок , рівні елементарні об'єми . Підсумуємо додатки:

.

Рис. 9.6

Розглянувши всі елементарні об'єми, отримаємо:

= 0

і обчислимо координату центра ваги тіла за формулою (9.12):

.

Це означає, що центр ваги розглядуваного тіла знаходиться у площині симетрії.

Аналогічно можна довести твердження для тіла, що має вісь або центр симетрії.

Приклади. Розглянемо декілька прикладів.

Центр симетрії такого стержня є точка у середині стержня. Отже, центр ваги прямолінійного стержня - точка С - знаходиться у середині стержня (рис. 9.7).

Центром симетрії прямокутника є точка перетину його діагоналей. Тоді центр ваги прямокутника - точка С - також знаходиться у точці перетину діагоналей (рис. 9.8). Як відомо, діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

а) прямолінійний стержень Рис. 9.7
б) прямокутник Рис. 9.8

в) коло

Рис. 9.9

Центром симетрії, а значить і центром ваги кола є його центр (рис. 9.9).

2. Спосіб розбиття.

Якщо тіло можна розбити на скінченне число таких часток, для яких положення центрів ваги відомі, то координати центра ваги тіла можна обчислити за формулами (9.10), (9.12), (9.14) або (9.17).

Приклад 1. Визначити координати центра ваги площі (рис. 9.10).

Розв'язання. Розіб'ємо площу на два прямокутники, центри ваги яких С₁ і С₂ знаходяться в точках перетину діагоналей. Виберемо систему координат Оху. Дані про координати центрів ваги прямокутників і їх площі запишемо в табл. 9.1.

Рис. 9.10

Таблиця 9.1

k	xk	yk	Sk
1	1,5a	4a	6a2
2	2,5a	1,5a	15a2

Координати центра ваги площі знайдемо за формулами (9.14):

Значення координат точки С (2,2а; 2,2а) свідчать, що вона лежить на бісектрисі кута, проведеної з центра координат, яка є лінією симетрії площі.

3. Спосіб доповнення (або від'ємних площин). Якщо тіло має порожнину (виріз), то цю порожнину (виріз) можна розглядати як тіло з від'ємною вагою (площею) і для розрахунків використовувати спосіб розбиття.

Приклад 2. Розглянемо задачу прикладу 1.

Розв'язання. Уявимо площу як квадрат (1) зі сторонами , з якого вирізали квадрат (2) зі сторонами (рис. 9.11). Площу останнього квадрата будемо вважати від'ємною. Дані про координати центрів ваги квадратів і їх площі запишемо в табл. 9.2.

Рис. 9.11

Таблиця 9.2

k	xk	yk	Sk
1	2,5a	2,5a	25a2
2	4a	4a	-4a2

Координати центра ваги площі знайдемо за формулами (9.14):

4. Спосіб інтегрування. Якщо тіло неможливо розбити на скінченне число часток, у формулах (9.10), (9.12), (9.14), (9.17) переходять до інтегралів.

Наприклад, формули (9.14) матимуть вигляд:

, (9.18)

де інтеграли поширюються на площу .

9.4 Центри ваги простіших фігур

Розглянемо декілька простих фігур, з яких можуть складатись більш складні фігури.

Скористаємось способом роз-биття і розділимо трикутник АВД на елементарні смужки, провівши лінії, паралельні стороні АД (рис. 9.12). Кожну таку смужку можна прийняти за прямокутник, центр симетрії якого лежить у середині, тобто на медіані ВК трикутника. Розглядаючи смужки, паралельні стороні ВД, приходимо до висновку, що центр ваги трикутника має лежати на медіані AL. Отже, центр ваги трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. Ця точка, як відомо, ділить кожну із медіан у відношенні 1:2, тобто , .

а) трикутник

Рис. 9.12

б) дуга кола

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9.13

Розглянемо дугу АВ кола радіусом R з центральним кутом (рис. 9.13). Направимо вісь Ох по осі симетрії дуги, яка є бісектрисою кута . Центр ваги дуги кола лежить на осі симетрії, тобто , і залишається знайти . Для цього скористаємось формулою

, (9.19)

яка вийде, якщо у формулі (9.17) перейти до інтеграла. Для елементарної частки довжини , як виходить з рис. 9.13, , , . Тоді

. (9.20)

в) коловий сектор

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9.14

Розглянемо коловий сектор з центральним кутом і радіусом R (рис. 9.14). Направимо вісь Ох по осі симетрії сектора, яка є бісектрисою кута . Центр ваги сектора лежить на осі симетрії, тобто . Розіб'ємо коловий сектор на елементарні сектори (заштрихований на рис. 9.14), кожен з котрих можна прийняти за рівнобедрений трикутник. Отже, центр ваги кожного елементарного трикутника лежить на відстані від початку координат. Геометричним місцем центрів ваги всіх елементарних трикутників буде дуга кола радіусом . У цьому випадку можна скористатись формулою для центра ваги дуги кола (9.20):

. (9.21)

Зауваження. У формулах (9.20), (9.21) кут треба брати в радіанах.

9.5 Стійкість твердого тіла при його перекиданні

визначення положення центра ваги тіла пов'язано з розв'язанням задач на стійкість тіла при його перекиданні. Розглянемо, наприклад, тверде тіло, яке має нерухому точку О і знаходиться під дією довільної плоскої системи активних сил (рис. 9.15) у стані спокою. Візьмемо точку О за початок системи координат Оху. При зведенні системи активних сил до центра О отримаємо, що при цьому головний вектор активних сил зрівноважиться реакцією нерухомої точки, а головний момент активних сил має дорівнювати нулю:

. (9.22)

Рис.9.15

Це рівняння не містить реакцій в'язів (нерухомого шарніра) і є умовою рівноваги твердого тіла з нерухомою точкою О.

Рівняння (9.22) є також умовою стійкості твердого тіла при його перекиданні.

Розглянемо приклади задач на стійкість твердого тіла при його перекиданні.

Приклад 1. Визначити мінімальну ширину а бетонної греблі довжиною b=1 м прямокутного перерізу за умови стійкості при перекиданні, якщо висота греблі і глибина води h = 3 м, питома вага води кн/м³, питома вага матеріалу греблі кН/м³ (рис.9.16).

Розв'язання. Розглянемо бетонний паралелепіпед зі сторонами h, a і b. На нього діє зовнішня активна сила тиску води, рівнодійна якої за модулем дорівнює і прикладена на відстані 1/3h від підвалини греблі, а також сила ваги , яка прикладена у центрі ваги С греблі.

можливим перекиданням греблі буде її обертання навколо ребра О, тому умовою рівноваги буде

.

Рис. 9.16

З цього рівняння

(м²),

або (м).

Зауваження. При розгляді задач на перекидання тіла вводять поняття коефіцієнта стійкості. коефіцієнтом стійкості при перекиданні тіла називається відношення суми моментів сил, що намагаються утримати тіло від перекидання, до суми моментів сил, що намагаються перекинути тіло. Постановка задачі в прикладі 1 передбачала її розв'язання у припущенні, що коефіцієнт стійкості дорівнює 1.

Приклад 2. Визначити розміри відомої іграшки „Іван-покиван” (h, R рис.9.17), яка складається з півкулі і конуса, щоб вона була стійкою при перекиданні. Конус і півкуля виконані з одного і того самого матеріалу.

Розв'язання. Зазначимо, що точка опори О такої конструкції лежить на вертикальному радіусі АО.

Внаслідок симетрії конструкції центр її ваги (точка С) лежить на відрізку BD. Очевидно, якщо точка С лежатиме нижче точки А, то конструкція під дією сили ваги буде завжди повертатись із нахиленого положення до вертикального, тобто буде стійкою при перекиданні.

відлік координати у будемо вести від точки D. для визначення координати центра ваги об'єму використаємо спосіб розбиття. Конусу надамо індекс 1, півкулі - 2. тоді згідно з формулою (9.12)

.

Для конуса ,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.9.17

Для півкулі .

Тоді

.

Для того, щоб точка С лежала нижче точки А, повинна виконуватись умова:

,

тоді з урахуванням виразу для у_С :

,

або .

Звідси отримаємо умову

,

або

. (9.23)

При виконанні геометричної умови (9.23) розглядуване тіло буде стійким при перекиданні.

Запитання для самоконтролю

1. Що є предметом статики?

2. Дайте фізичне і геометричне визначення поняття сили, вкажіть її розмірність.

3. Яке тіло називається абсолютно твердим?

4. Які системи сил називаються статично еквівалентними? Визначте формулою системи сил, еквівалентні нулю, а також одній силі. Як називається стан тіла, що знаходиться під дією системи сил першого типу? Як називається сила, до якої приводиться система другого типу?

5. Сформулюйте і проаналізуйте аксіоми статики.

6. Чи зміниться стан тіла, якщо точку прикладання сили перенести уздовж лінії її дії?

7. Що таке двійка сил ? Чому вона еквівалентна ?

8. Дайте визначення в'язі.

9. Яке тіло називається вільним ?

10. Наведіть приклади технічної реалізації в'язів. Що таке реакція в'язі ? Покажіть реакції типових в'язів: абсолютно гладка поверхня, нитка, ідеальний стержень, циліндричний шарнір, сферичний шарнір, нерухома опора з циліндричним шарніром, рухома опора з циліндричним шарніром, жорстке защемлення.

11. У чому полягає «Принцип визволення від в'язів»? Наведіть приклад.

12. Дайте визначення системи сил, що сходиться у просторі і на площині. Що таке точка сходу системи сил?

13. Чому еквівалентна система сил, що сходяться ? Покажіть це на прикладі трьох сил.

14. Проаналізуйте на прикладі теорему про три сили (приклад задається викладачем).

15. Дайте визначення проекції сили на вісь і площину. Визначите проекції сил, що паралельні, перпендикулярні й розташовані під кутом до горизонтальної осі Ох.

16. Як формулюються умови рівноваги системи сил, що сходяться, у геометричній і алгебраїчній формах?

17. Визначте момент сили відносно точки і проаналізуйте його властивості. Що таке плече сили?

18. Як направлений вектор - момент сили відносно даної точки?

19. Запишіть векторну формулу, яка визначає модуль і напрям вектора момента сили відносно даної точки.

20. Визначите момент сили відносно осі, проаналізуйте його властивості.

21. Коли момент сили відносно точки дорівнює нулю?

22. Яка залежність між моментом сили відносно точки і моментом тієї ж сили відносно осі, яка проходить через цю точку?

23. У яких випадках момент сили відносно осі дорівнює нулю?

24. При якому напрямі сили її момент відносно даної осі є найбільшим?

25. Дайте визначення алгебраїчного моменту сили.

26. Знайдіть рівнодіючу двох паралельних сил , спрямованих в одну сторону, і точку її прикладання.

27. Знайдіть рівнодіючу двох паралельних сил, спрямованих у різні сторони, і точку її прикладання.

28. Знайдіть рівнодіючу системи рівномірно розподілених сил зао довжиною для прямокутної епюри їхнього розподілу.

29. Знайдіть рівнодіючу системи розподілених за довжиною сил для трикутної епюри їхнього розподілу при q(0) = 0.

30. Дайте визначення центра паралельних сил. Запишіть формули для визначення координат центра паралельних сил у геометричній формі в просторі й в алгебраїчній формі - у площині хОу.

31. Дайте визначення центра ваги твердого тіла. Як знайти координати центра ваги тіла.

32. Як визначаються координати ваги однорідної пластини.

33. Сформулюйте способи визначення координат центра ваги твердого тіла (площі, лінії), дайте їхню математичну інтерпретацію.

34. Що називається статичним моментом площини відносно осі?

35. Якою формулою визначається положення центра ваги площини сектора кола?

36. Як визначається положення центра ваги складеного тіла.

37. Дайте визначення парі сил. Чому пара сил не має рівнодіючої?

38. Які властивості мають пари сил? Сформулюйте теорему про перенесення пари сил у паралельну площину.

39. Чи залежить момент пари сил від її розташування у площини?

40. Складіть дві пари сил, що лежать у пересічних площинах.

41. Які пари сил називаються еквівалентними? Коли дві пари будуть еквівалентними?

42. Як формулюються умови рівноваги системи пар сил у геометричній і алгебра їчній формах?

43. Сформулюйте лему про паралельне переносення сили.

44. Дайте визначення головного вектора системи сил.

45. Що називається головним моментом системи сил?

46. Чому дорівнюють головний момент і головним момент відносно даної точки довільної системи сил.

47. Що мають спільного і чим відрізняються головний вектор системи сил і рівнодійна?

48. До яких двох силових факторів можна звести довільну систему сил у просторі?

49. Які можливі випадки зведення просторової системи сил?

50. Що називається динамою (силовим гвинтом)?

51. У чому суть необхідних і достатніх умов рівноваги твердого тіла?

52. Як змінюється головний вектор системи сил при перенесенні центра зведення?

53. Якою властивістю володіє головний момент системи сил при перенесенні центра зведення?

54. Коли плоска довільна система сил приводиться тільки до пари сил?

55. Сформулюйте умови зведення плоскої довільної системи сил тільки до однієї сили (рівнодіючої).

56. Як орієнтовані в просторі головний вектор і головний момент плоскої довільної системи сил? Наведіть їх механічну схему.

57. Чому рівні головний вектор і головний момент плоскої довільної системи сил, що за визначенням еквівалентна нулю?

58. Сформулюйте геометричні й алгебраїчні умови рівноваги твердого тіла.

59. Скільки рівнянь рівноваги в алгебраїчній формі для довільної просторової системи сил? Запишіть їх.

60. Наведіть плоску довільну систему сил до найпростішого вигляду з використанням теореми Пуансо.

61. Сформулюйте теорему Варіньона для плоскої довільної системи сил.

62. Сформулюйте першу форму умов рівноваги для плоскої довільної системи сил.

63. Сформулюйте другу форму умов рівноваги плоскої довільної системи сил.

64. Сформулюйте третю форму умов рівноваги довільної системи сил у площині.

65. Дайте механічне поняття сил тертя спокою, ковзання і кочення.

66. Що таке трибометр?

67. Сформулюйте і дайте формульне визначення закону Амонтона - Кулона. Якими властивостями володіють сили тертя ковзання?

68. Що таке коефіцієнт тертя спокою і тертя ковзання? Укажіть розмірності зазначених коефіцієнтів.

69. Що таке кут тертя і конус тертя?

70. Якими властивостями володіє коефіцієнт тертя катання? Укажіть його розмірність.

71. Укажіть цифрові значення для коефіцієнтів тертя спокою і кочення для типових кінематичних пар.

72. Для чого і чому в техніці при конструюванні вузлів машин прагнуть перейти від коефіцієнта тертя ковзання до коефіцієнта тертя кочення?

73. Дайте поняття ферми як технічної конструкції. Наведіть приклади статично визначених плоских ферм,

74. Сформулюйте принцип розрахунку плоскої ферми методом вирізання вузлів.

75. Як розраховують плоскі ферми методом Ріттера? Чим він відрізняється від методу вирізання вузлів?

76. Дайте поняття стійкості твердого тіла при його перекиданні. Дайте приклади.

Розділ ІІ. Кінематика

Кінематика вивчає переміщення тіл в просторі з плином часу без з'ясування причин, які викликають рух. В кінематиці рух тіл вивчається з чисто геометричної точки зору. Якщо в задачі кінематики можна знехтувати розмірами та формою тіла, то тіло замінюють точкою. Траєкторією називається лінія, яку описує точка в процесі руху. До основних кінематичних характеристик відносяться: траєкторія, координати (положення), швидкість та прискорення точки і кутова швидкість та кутове прискорення твердого тіла.