Керування та стабілізація руху нескінченновимірних механічних систем з пружними елементами

За допомогою варіаційного принципу Гамільтона - Остроградського виведено диференціальні рівняння просторового руху керованого робота-маніпулятора, що складається з твердих тіл та пружних ланок. Розглянуто випадок телескопічного зсуву ланок під впливом керуючих сил, а також модель гнучкого маніпулятора, у якого сусідні ланки зв'язані шарнірами. Такі шарніри реалізують пружні моменти, що спрямовані на сполучення центральних ліній ланок. Окремо розглянуто моделі балок Ейлера - Бернуллі та Тимошенка для опису деформацій ланок маніпулятора.

Для маніпулятора з однією гнучкою ланкою у вигляді балки Ейлера - Бернуллі запропоновано редукцію лінеаризованих рівнянь руху з частинними похідними до системи двох диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі, що відповідають коливанням системи у горизонтальному і вертикальному напрямках. Для кожного з цих рівнянь запропоновано керування зі зворотним зв'язком, що забезпечує стійкість за Ляпуновим відповідного стану рівноваги. Доведено сильну асимптотичну стійкість підсистеми зі зворотним зв'язком, що відповідає коливанням у вертикальній площині.

Запропоновано явну схему зведення скінченновимірної моделі механічної системи з пружною балкою до стандартної канонічної форми (форми Бруновського). Таке зведення дозволило конструктивно визначити керування, що переводить систему з будь-якого початкового стану до наперед заданого при довільній кількості узагальнених координат N. Цей результат є остаточним, оскільки доведено, що нелінійне збурювання розглянутої моделі не зводиться до такої канонічної форми. Одержано оцінку розв'язків нескінченновимірної системи при використанні оптимального керування, що відповідає підсистемі зі скінченим числом узагальнених координат. Доведено, що запропоноване сімейство керувань дозволяє розв'язати задачу наближеної керованості нескінченновимірної моделі коливань твердого тіла з пружною балкою Ейлера - Бернуллі.

Для моделей маніпулятора у вигляді балок Ейлера - Бернуллі та Тимошенка побудовано наближені за Гальоркіним системи звичайних диференціальних рівнянь. Параметри наближених систем визначаються в термінах власних значень та власних функції відповідної задачі Штурма - Ліувілля. Вперше здійснено повний аналіз асимптотичного розподілу власних значень для довільних параметрів однорідної балки Тимошенка, що з'єднана з твердим тілом. Цей результат може бути застосовано для оцінки невідомих механічних параметрів системи за наявною інформацією про власні частоти коливань.

Отримано умови локальної керованості для систем Гальоркіна в околі стану рівноваги. Доведено стабілізовність стану рівноваги і запропоновано явну схему синтезу керування зі зворотним зв'язком. Отримано умови спостережуваності системи щодо вихідного сигналу у вигляді кута нахилу та компоненти тензора напруження в фіксованій точці балки. Для моделі балки Тимошенка запропоновано схему стабілізації положення рівноваги моделі за допомогою зворотного зв'язку за станом системи-спостерігача. Доведено, що такий підхід забезпечує асимптотичну стійкість незбуреного розв'язку системи Гальоркіна при довільній кількості ступенів волі. Результат чисельного інтегрування рівнянь руху ілюструє ефективність знайденого керування.

Вперше запропоновано підхід до дослідження умов стабілізовності нелінійної системи зі застосуванням критичних функцій Гамільтона, що використовуються в принципі максимуму Понтрягіна для знаходження оптимальних за часом керувань. Доведено, що симетричні функції критичних гамільтоніанів (символи) визначають достатні, а також необхідні умови існування обмеженого стабілізуючого керування зі зворотним зв'язком. Цей підхід дозволив одержати нові умови розв'язності задачі стабілізації для нелінійної системи з виродними векторними полями, що розширює можливість опису класів стабілізовних систем у порівнянні з роботами провідних фахівців.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kovalev A.M. The synthesis of stabilizing control of a rigid body with attached elastic elements / A.M. Kovalev, A.L. Zuev, V.F. Shcherbak // Journal of Automation and Information Sciences. - 2002. - Vol. 34. - No. 11. - P. 1-10.

2. Зуев А.Л. Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами / А.Л.Зуев // Механика твердого тела.- 2004.- Вып. 34.- С. 180-188.

3. Зуев А.Л. Моделирование пространственного упругого манипулятора с телескопическим движением звеньев / А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2005. - T. 10. - С. 51-58.

4. Зуев А.Л. Управление упругим манипулятором в рамках модели балки Тимошенко / А.Л.Зуев // Прикладная механика.- 2005.- T.41. -№12.- С.107-115.

5. Zuyev A.L. Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems / A.L. Zuyev // Automatica. - 2005. - Vol. 41. - No. 1. - P. 1-10.

6. Jakubczyk B. Stabilizability conditions in terms of critical Hamiltonians and symbols / B. Jakubczyk, A. Zuyev // Systems and Control Letters. - 2005. - Vol. 54.- P. 597-606.

7. Зуев А.Л. Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела. - 2005. - Вып. 35. - С. 217-223.

8. Зуев А.Л. Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае / А.Л. Зуев // Український математичний вісник. - 2006. - Т. 3. - № 1. - С. 89-103.

9. Зуев А.Л. Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений / А.Л. Зуев // Український математичний журнал. - 2006. - Т. 58. - № 5. - С. 629-637.

10. Зуев А.Л. Стабилизация модели манипулятора с наблюдателем в цепи обратной связи / А.Л. Зуев // Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки. - 2006. - Вип. 1 - C. 33-39.

11. Зуев А.Л. Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела. - 2006. - Вып. 36. - С. 114-122.

12. Зуев А.Л. Управление упругими колебаниями с использованием канонической формы / А.Л. Зуев // Динамические системы. - 2006. - Вып. 20. - С. 27-34.

13. Зуев А.Л. О линеаризации управляемой системы с модальными координатами / А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 97-102.

14. Зуев А.Л. Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.Л. Зуев // Доповіді НАН України. - 2007. - № 2. - С. 7-12.

15. Зуев А.Л. Оптимальное управление в задаче о колебаниях упругой системы / А.Л. Зуев // Динамические системы. - 2007. - Вып. 22. - С. 37-45.

16. Zuyev A. Stabilization and observability of a rotating Timoshenko beam model / A. Zuyev, O. Sawodny // Mathematical Problems in Engineering. - 2007. - Vol. 07. - Id. 57.238. - P. 1-19.

17. Зуев А.Л. Приближенная управляемость упругой системы с обобщенными координатами / А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - С. 89-96.

18. Зуев А.Л. Об условиях приближенной управляемости в классе управлений специального вида / А.Л. Зуев // Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки. - 2007. - Вип. 1. - C. 41-45.

19. Зуєв О.Л. Стабілізація просторових коливань моделі пружної системи / О.Л. Зуєв // Вісник Київського університету ім. Т. Шевченка, Серія: фізико-математичні науки. - 2007. - Вип. 3. - С. 74-79.

20. Зуев А.Л. Асимптотические свойства траекторий в задаче об управляемых колебаниях упругой балки / А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2007. - Т. 15. - С. 70-78.

21. Зуев А.Л. Локализация предельного множества траекторий уравнения Эйлера - Бернулли с управлением / А.Л. Зуев // Український математичний журнал. - 2008. - Т. 60. - № 2. - С. 173-182.

22. Zuyev A.L. Motion planning and partial stabilization of infinite-dimensional systems / A.L. Zuyev // Proc. 2nd International Workshop on Robot Motion and Control (RoMoCo'01): 18-20 Oct. 2001. - Poznan: Poznan University of Technology, 2001.- P. 129-133.

23. Zuyev A.L. Partial stabilization of a rigid body with several elastic beams / A.L. Zuyev // Proc. 15th IFAC World Congress: 21-26 July 2002. - Barcelona: Elsevier, 2002. - Vol. D. - P. 139-144.

24. Zuyev A.L. Controllability analysis and motion planning of a planar hybrid system / A.L. Zuyev // Устойчивость, управление и динамика твердого тела (ICSCD'02): 8 Междунар. конф., 3-7 сент.2002 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАН Украины, 2002. - С. 58.

25. Zuyev A.L. Strong partial stabilization of infinite dimensional systems with application to flexible manipulators / A.L. Zuyev // Dynamical System Modeling and Stability Investigation (DSMSI-2003): XI Междунар. конф., 27-30 мая 2003 г.: тезисы докл. - Киев: Киевский национальный университет им. Т.Шевченко, 2003. - С. 385.

26. Zuyev A.L. Stabilization of a Multi-Link Flexible Manipulator by Torque Control / A.L. Zuyev // Proc. 48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium: 22-25 Sept. 2003. - Ilmenau: Technische Universitдt Ilmenau, 2003. - P. 679-684.

27. Zuyev A.L. Partial asymptotic stability and stabilization of nonlinear abstract differential equations / A.L. Zuyev // Proc. 42nd IEEE Conference on Decision and Control (CDC 2003): 9-12 Dec. 2003. - Maui (USA). - 2003. - P. 1321-1326.

28. Zuyev A. On partial stabilization of a system of the Euler - Bernoulli beam equations / Zuyev A. - Trieste: The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, 2003. - 22 p. - (Препринт / The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy; IC/2003/150).

29. Zuyev A.L. Stabilization of a space structure model with flexible beams / A.L. Zuyev // Человек и Космос: VI Межд. конф., 14-16 апр. 2004 г.: тезисы докл. - Днепропетровск: НЦАОМУ, 2004. - C. 132.

30. Zuyev A.L. Modeling and Observer-Based Stabilization of a Timoshenko Beam / A.L. Zuyev // Устойчивость, управление и динамика твердого тела (ICSCD'05): 9 Междунар. конф., 1-6 сент. 2005 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАН Украины, 2005. - С. 67-68.

31. Зуев А.Л. Теория степени отображения и существование функции Ляпунова в задаче стабилизации / А.Л. Зуев // Третья междунар. конф. по проблемам управления, 20-22 июня 2006 г.: тезисы докл. Москва: ИПУ РАН, 2006. - Т. 1.- C. 40.

32. Зуев А.Л. Критические гамильтонианы и управляемые функции Ляпунова в задаче стабилизации / А.Л.Зуев // Метод функций Ляпунова и его приложения: VIII Крымская Междунар. матем. школа, 10-17 сент. 2006 г.: тезисы докл. - Симферополь: Таврический национальный ун-т, 2006. - C. 71.

33. Зуев А.Л. Управление моделью гибкого манипулятора при неполных измерениях / А.Л. Зуев // Моделирование, идентификация, синтез систем управления: 9-й Междунар. науч.-техн. конф., 16-23 сент. 2006 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАН Украины, 2006. - С. 34-35.

34. Зуев А.Л. Локализация предельного множества и предкомпактность траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.Л. Зуев // Нелинейный динамический анализ - 2007: Междунар. конгресс, 4-8 июня 2007 г.: тезисы докл. - С.-Петербург: С.-Петерб. гос. ун-т, 2007. - C.93.

35. Зуев А.Л. Управление моделью гибридной системы с упругими элементами / А.Л. Зуев // Dynamical System Modelling and Stability Investigation (DSMSI-2007): Междунар. конф., 22-25 мая 2007 г.: тезисы докл. - Киев: Киевский национальный ун-т им. Т. Шевченко, 2007. - С. 293.

36. Зуев А.Л. Метод точной линеаризации в оптимальном управлении системой с модальными координатами / А.Л. Зуев // Классические задачи динамики твердого тела: Междунар. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАН Украины, 2007. - С. 31-32.

37. Зуев А.Л. Приближенное решение двухточечной задачи управления для класса бесконечномерных систем / А.Л. Зуев // Автоматика-2007: XIV міжнар. конф., 10-14 вер. 2007 р.: матеріали конф. - Севастополь: СНУЯЕтаП, 2007. - Ч. 1. - С. 23-24.

38. Zuyev A.L. Strong stabilization of a controlled Euler - Bernoulli equation with mixed boundary conditions / A.L. Zuyev // Nonlinear Partial Differential Equations: Междунар. конф., 10-15 сент. 2007 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАН Украины, 2007. - С. 78-79.

АНОТАЦІЇ

Зуєв О.Л. Керування та стабілізація руху нескінченновимірних механічних систем з пружними елементами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

У дисертації розв'язано проблеми стабілізації та керування рухом моделей механічних систем з пружними елементами з нескінченною кількістю ступенів волі. Введено клас узагальнених динамічних систем з багатозначним потоком розв'язків та досліджено умови часткової асимптотичної стійкості цих систем у метричних та банахових просторах. Ці результати застосовано при синтезі функціоналів керування для механічної системи, що складається з твердого тіла та довільної кількості пружних балок Ейлера - Бернуллі. Для скінченномірної моделі системи з пружною балкою запропоновано зведення до стандартної канонічної форми Бруновського. Розв'язано задачу оптимального керування та доведено наближену керованість нескінченновимірної системи. Одержано рівняння руху робота-маніпулятора з ланками у вигляді балок Ейлера - Бернуллі та Тимошенка. Для маніпулятора з однією ланкою знайдено керування, що забезпечує сильну стабілізацію в нескінченновимірному фазовому просторі. Для рівнянь руху з частинними похідними побудовано наближення за Гальоркіним та розв'язано задачі керованості, стабілізації, спостереження, стабілізації зі спостерігачем. Наведено чисельні результати, що ілюструють ефективність знайдених керувань. Запропоновано новий підхід до стабілізації нелінійної керованої системи, який ґрунтується на використанні критичних функцій Гамільтона. Ключові слова: стабілізація, стійкість, керування зі зворотним зв'язком, функціонал Ляпунова, маніпулятор з гнучкими ланками, балка Ейлера - Бернуллі, балка Тимошенка, метод Гальоркіна, ступінь відображення, напівгрупа операторів.

Зуев А.Л. Управление и стабилизация движения бесконечномерных механических систем с упругими элементами. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

В диссертации решена проблема стабилизации движения моделей управляемых механических систем с учетом бесконечного спектра упругих колебаний. Задачи устойчивости и управления рассмотрены в строгой математической постановке с использованием теории непрерывных полугрупп операторов в банаховых пространствах, прямого метода Ляпунова, методов вариационного исчисления, теории степени отображения.

Впервые получены достаточные условия частичной асимптотической устойчивости динамической системы с многозначным потоком решений на метрическом пространстве. Для динамической системы, определяемой нелинейным автономным дифференциальным уравнением в банаховом пространстве, доказано обобщение теоремы Барбашина - Красовского об асимптотической устойчивости по отношению к непрерывному функционалу. Прямой метод Ляпунова впервые использован для описания условий относительной компактности полутраекторий нелинейной системы в банаховом пространстве. Эти результаты использованы при синтезе функционалов управления с обратной связью.

Исследована модель управляемого вращения спутника с упругими антеннами в виде твердого тела с произвольным числом упругих балок Эйлера - Бернулли. В случае балок с одинаковыми механическими параметрами решена задача частичной стабилизации положения равновесия. Для системы с нерезонансными параметрами доказана приближенная управляемость в гильбертовом пространстве и построен функционал управления, который обеспечивает сильную асимптотическую устойчивость положения равновесия. Приведены результаты численного интегрирования подсистемы с пятью модами для модели с двумя балками. Предложена явная схема сведения конечномерной модели механической системы с упругой балкой к стандартной канонической форме Бруновского. Такое сведение позволяет конструктивно определить управление, переводящее систему из произвольного начального состояния в наперед заданное конечное, при любом числе обобщенных модальных координат. Получена оценка решений бесконечномерной системы при использовании оптимального управления, соответствующего подсистеме с конечным числом степеней свободы. Доказано, что предложенное семейство управлений позволяет решить задачу приближенной управляемости для модели колебаний твердого тела с упругой балкой Эйлера - Бернулли.

С использованием вариационного принципа Гамильтона - Остроградского выведены дифференциальные уравнения пространственного движения управляемого робота-манипулятора, состоящего из нескольких упругих звеньев и твердых тел. Для манипулятора с одним звеном в виде балки Эйлера - Бернулли построено управление с обратной связью, обеспечивающее устойчивость по Ляпунову положения равновесия. Для манипуляторов с балками Эйлера - Бернулли и Тимошенко методом Галеркина построены приближенные математические модели в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Параметры таких систем определяются в терминах решений соответствующей задачи Штурма - Лиувилля. Впервые проведено полное исследование асимптотического распределения собственных значений строгими аналитическими методами для модели однородной балки Тимошенко, связанной с твердым телом. Получены условия локальной управляемости для приближенных по Галеркину систем в окрестности положения равновесия, доказана стабилизируемость и предложена явная схема синтеза управлений с обратной связью, в том числе при неполных измерениях. Получены условия наблюдаемости системы по измерениям угла наклона и показаниям датчика деформаций в фиксированной точке балки. Результаты вычислений иллюстрируют эффективность предложенного управления.

Предложен новый подход к исследованию условий стабилизируемости нелинейной управляемой системы с использованием критических гамильтонианов. Получены условия стабилизируемости аффинной по управлению нелинейной системы, которая определяется двумя однородными векторными полями.

Ключевые слова: стабилизация, устойчивость, управление с обратной связью, функционал Ляпунова, манипулятор с гибкими звеньями, балка Эйлера - Бернулли, балка Тимошенко, метод Галеркина, степень отображения, полугруппа операторов.

Zuyev A.L. Motion control and stabilization of infinite dimensional mechanical systems with elastic elements. - Manuscript.

Thesis for а doctor's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

In the thesis, stabilization and control problems are solved for models of mechanical systems with elastic elements having infinite number of degrees of freedom. A class of generalized dynamical systems with the multi-valued solutions flow is introduced, and conditions of partial asymptotic stability are investigated for these systems in Banach and metric spaces. These results are applied for the synthesis of control functionals of a mechanical system consisting of a rigid body and an arbitrary number of the Euler - Bernoulli beams. The reduction scheme of a finite dimensional model of a system with elastic beam to the standard Brunovsky canonical form is proposed. An optimal control problem is solved, and the approximate controllability of the infinite dimensional system is established. The motion equations are derived for a manipulating robot with links represented by the Euler - Bernoulli and Timoshenko beams. For a single-link manipulator, a feedback control is found that ensures strong stabilization in an infinite dimensional state space. For the partial differential equations of motion, approximate Galerkin systems are constructed, and the problems of controllability, stabilization, observability and observer-based stabilization are solved. Numerical results are presented to illustrate the efficiency of the control laws proposed. A new approach for the stabilization of nonlinear control systems is proposed, based on the application of the critical Hamiltonians.

Key words: stabilization, stability, feedback control, Lyapunov functional, flexible link manipulator, Euler - Bernoulli beam, Timoshenko beam, Galerkin's method, degree of a mapping, semigroup of operators.

Размещено на Allbest.ru