Основы физики

dL/dt = (M_i + M_i*) = M_i = M. (7.5)

Следовательно, скорость изменения момента импульса вращающегося тела равняется суммарному моменту внешних сил, действующих на него. Уравнение (7.5) называется уравнением вращательного движения в форме моментов (уравнением моментов).

Закон сохранения момента импульса: Если на систему вращающихся вокруг оси тел не действуют моменты внешних сил (система в этом смысле замкнута) или внешние моменты взаимно уравновешиваются, то суммарный момент импульса системы относительно оси вращения с течением времени не изменяется. Таким образом, закон утверждает, что внутренние моменты сил системы не в состоянии изменить полный суммарный момент импульса системы тел, а в состоянии лишь перераспределить его. Внутри системы возможна лишь передача момента импульса от тела к телу. В аналитическом виде закон сохранения момента импульса записывается следующим образом: если M внеш = 0 , тоили так: для начального и конечного момента времени

20. Работа силы при вращении твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела

Работа и мощность при вращении твердого тела. Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена в точке , находящейся от оси на расстоянии , -- угол между направлением силы и радиус-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

.

Модуль момента силы равен:

,

тогда получим следующую формулу для вычисления работы:

.

Таким образом, работа при вращении твердого тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Кинетическая энергия вращающегося тела. Моментом инерции мат.т. наз. физ. величина численно равная произведению массы мат.т. на квадрат расстояния этой точки до оси вращения.

W_ki =m_iV²_i/2 V_i -Wr_i

Wi=miw²r²_i/2 =w²/2*m_ir_i² I_i=m_ir²_i

момент инерции твердого тела равен сумме всех мат.т

I=_im_ir²_i

моментом инерции твердого тела наз. физ.величина равная сумме произведений мат.т. на квадраты расстояний от этих точек до оси.

W_i-I_iW²/2 W_k=IW²/2.W_k =_iW_ki

момент инерции при вращательном движении явл. аналогом массы при поступательном движении.

I=mR²/2 .

21. Неинерциальные системы отсчёта. Сила Кориолиса. Силы инерции. Принцип эквивалентности. Уравнение движения в неинерциальных системах отсчёта

Неинерциальная система отсчёта -- произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система. При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной. Классическая механика постулирует следующие два принципа: время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта. Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

,

где -- масса тела, -- ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, -- сумма всех внешних сил, действующих на тело, -- переносное ускорение тела, -- Кориолисово ускорение тела. Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:-- переносная сила инерции -- сила Кориолиса .

Сила инерции -- фиктивная сила, которую можно ввести в неинерциальной системе отсчёта так, чтобы законы механики в ней совпадали с законами инерциальных систем. В математических вычислениях введения этой силы происходит путём преобразования уравнения. F₁+F₂+…F_n = ma к виду

F₁+F₂+…F_n-ma = 0

Где F_i -- реально действующая сила, а -ma -- «сила инерции». Среди сил инерции выделяют следующие: простую силу инерции;

центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от центра во вращающихся системах отсчёта; силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта; С точки зрения общей теории относительности, гравитационные силы в любой точке -- это силы инерции в данной точке искривлённого пространства Эйнштейна Центробежная сила -- сила инерции, которую вводят во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта (чтобы применять законы Ньютона, рассчитанные только на инерциальные СО) и которая направлена от оси вращения (отсюда и название).

Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции -- эвристический принцип, использованный Альбертом Эйнштейном при выводе общей теории относительности. Один из вариантов его изложения: «Силы гравитационного взаимодействия пропорциональны гравитационной массе тела, силы инерции же пропорциональны инертной массе тела. Если инертная и гравитационная массы равны, то невозможно отличить, какая сила действует на данное тело -- гравитационная или сила инерции.» Формулировка Эйнштейна. Исторически, принцип относительности был сформулирован Эйнштейном так:

Все явления в гравитационном поле происходят точно так же как в соответствующем поле сил инерции, если совпадают напряжённости этих полей и одинаковы начальные условия для тел системы.

22. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Классическая теорема сложения скоростей. Инвариантность законов Ньютона в инерциальных системах отсчёта

Принцип относительности Галилея - это принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы.Математически принцип относительности Галилея выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой -- преобразований Галилея.Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S', движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S' будут иметь вид:

x' = x - ut, у' = у, z' = z, t' = t (1),

(штрихованные величины относятся к системе S', нештрихованные -- к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта. Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:

v' = v - u, (2), a' = a.

В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:

F = ma, (3),

где m -- масса точки, a F -- равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется. Это и есть математическое выражение Галилеева принципа относительности. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ. В кинематике все системы отсчета равноправны между собой и движение можно описывать в любой из них. При исследовании движений иногда приходится переходить от одной системы отсчета ( с координатной системой ОХУZ) к другой - (О`Х`У`Z`). Рассмотрим случай, когда вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью V=соnst. Для облегчения математического описания предположим, что соответствующие оси координат параллельны друг другу, что скорость направлена вдоль оси Х, и что в начальный момент времени (t=0) начала координат обеих систем совпадали друг с другом. Используя справедливое в классической физике допущение об одинаковом течении времени в обеих системах, можно записать соотношения, связывающие координаты некоторой точки А(х,у,z) и А (х`,у`,z`) в обеих системах. Такой переход от одной системы отсчета к другой носит название преобразований Галилея):

ОХУZ О`Х`У`Z`

t = t` t`= t

х = х` + V<sub>x</sub>t х` = х - V_xt

y = y` y`= y

z = z` z` = z

_x = v`<sub>x</sub> + V<sub>x</sub> v`_x = v_x - V_x

a_x = a`<sub>x</sub> a`_x = a_x

Ускорение в обеих системах одинаково (V=соnst). Глубокий смысл преобразований Галилея будет выяснен в динамике. Преобразование скоростей Галилея отражает имеющий место в классической физике принцип независимости перемещений.

Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т.к. он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростью v и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительна Земли все равно c, а не v + c.

Рассмотрим две системы отсчета.



В системе K₀ тело движется со скоростью v₁. Относительно же системы K оно движется со скоростью v₂. Согласно закону сложения скоростей в СТО:

Если v << c и v₁ << c, то слагаемым можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей:

v₂ = v₁ + v.

При v₁ = c скорость v₂ равна c, как этого требует второй постулат теории относительности:

.

При v₁ = c и при v = c скорость v₂ вновь равна скорости c.

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v₁ и v (не больше c), результирующая скорость v₂ не превышает c. Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна. Сложение скоростей

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движутся в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта. Классическая механика. В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

.

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы.

23. Постулаты Эйнштейна для СТО. Преобразования Лоренца

В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. «Преобразования Лоренца» возникли на рубеже XIX-XX веков как формальный математический прием для согласования электродинамики с механикой и легли в основу специальной теории относительности. Согласно этим преобразованиям длины и промежутки времени искажаются при переходе из одной системы отсчета в другую. Эти эффекты получили известность как сокращение Лоренца и замедление времени. Преобразования Лоренца сложнее, чем преобразования Галилея:

.

В этих формулах x и t - положение и время в условно неподвижной системе отсчета, x? и t? - положение и время в системе отсчета, движущейся относительно неподвижной системы равномерно и прямолинейно со скоростью v. Разумеется, что при малых скоростях, много меньших скорости света c, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

24. Относительность понятия одновременности. Относительность длин и промежутков времени. Интервал между событиями. Его инвариантность. Причинность

Одновременность - существование разных событий в один и тот же момент времени. В классической физике признавалась абсолютная одновременность событий, протекающих в сколь угодно удаленных друг от друга точках мирового пространства. Это означало, что все события мироздания однозначно делятся на прошедшие, настоящие и будущие.

Подобные представления оставались общепринятыми, пока не появилась позитивистская идея о необходимости их экспериментальной проверки и обоснования. Анализ показал, что в их основе лежит только априорная уверенность в том, что одновременными являются те события, которые могут быть охвачены единым актом сознания. В реальной действительности абсолютная одновременность и однозначное деление всех событий на прошедшие, настоящие и будущие оказываются эмпирически достоверными только при условии, что взаимодействие и обмен информацией между событиями происходит с бесконечной скоростью. При любых конечных скоростях взаимодействия требование эмпирической проверяемости временных отношений между событиями приводит к появлению класса событий, между которыми не существует отношения "раньше (позже), чем", и характер временных отношений между ними оказывается неопределенным. В специальной теории относительности (СТО) одновременные пространственно удаленные друг от друга события выявляются в ходе синхронизации связанных с этими событиями часов. Предложенная А. Пуанкаре и использованная А. Эйнштейном при разработке СТО процедура синхронизации пространственно удаленных друг от друга часов сводится к следующему.

1. Относительность одновременности событий

Принято считать, что события в точках A и B произошли одновременно, если световые сигналы, испущенные ими, приходят одновременно в точку C, находящуюся посередине между точками A и B.

Допустим, что в точке C находится покоящийся относительно A и B фотоэлемент, соединенный с осциллографом. При включении ламп световые сигналы к фотоэлементу приходят одновременно через некоторый промежуток времени , и на экране осциллографа наблюдается один всплеск.

Пусть фотоэлемент с осциллографом движется равномерно со скоростью v влево, тогда световая волна от правой лампы должна будет пройти до фотоэлемента большее расстояние (l + s), чем волна от левой лампы (l - s), где s = v?t. Это приведет к тому, что световая волна от левой лампы дойдет до фотоэлемента раньше, чем от правой, и на экране появятся два всплеска. Следовательно, события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, т.е. одновременность событий относительна.2. Относительность промежутков времени. Пусть инерциальная система отсчета K покоится, а система отсчета K₀ движется относительно системы K со скоростью v. Пусть интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке инерциальной системы K₀, равен t₀. Тогда интервал времени между этими же событиями в системе K будет выражаться формулой:

.

Это эффект замедления времени в движущихся системах отсчета. Если v << c, то величиной можно пренебречь, тогда .и никакого замедления в движущихся системах можно не учитывать.

Замедление времени позволяет, в принципе, осуществить «путешествие с будущее». Пусть космический корабль, движущийся со скоростью v относительно Земли, совершает перелет от Земли до звезды и обратно. За время t0 свет проходит путь от Земли до звезды: l₀ = c * t₀.

Продолжительность полета по часам земного наблюдателя равна:

Настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. По часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньше времени:

.

По принципу относительности, все процессы на космическом корабле, включая старение космонавтов, происходят так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле. Следовательно, к моменту возвращения на Землю космонавты постареют только на время t₀.

Если, например, t₀ = 500 лет и v²/c² = 0,9999, то формулы дают t = 1000,1 года, t₀ = 14,1 года. Космонавты возвратятся на Землю, по земным часам спустя 10 веков после вылета и постареют лишь на 14,1 года.

3. Относительность расстояний

Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета.

Обозначим через l₀ длину стержня в системе отсчета K₀, относительно которой стержень покоится. Тогда длина l этого стержня, измеренная в системе отсчета K, относительно которой стержень движется со скоростью v, определяется формулой:



.

Длина стержня зависит от того, в какой системе отсчета она измеряется. Один и тот же стержень имеет различную длину в различных системах отсчета. Максимальную длину l₀ стержень имеет в системе отсчета, в которой он покоится. В системах же, движущихся по отношению к стержню, он имеет длину тем меньшую, чем больше скорость движения. Если рассматривать движущееся тело, то сокращаются только его продольные размеры.Интервал в теории относительности -- расстояние между двумя событиями в пространстве-времени. Интервал не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, что позволяет чисто формально получить преобразования Лоренца как группу преобразований, сохраняющих интервал. Также инвариантность интервала служит основой для введения пространства Минковского, в котором смене инерциальных систем отсчета соответствуют "вращения" этого пространства. Интервал является одним из фундаментальных физических понятий. Он лежит в основе специальной и общей теорий относительности. Свойство теории сохранять интервал при смене инерциальной системы отсчета называется Лоренц-инвариантностью. Инвариантность интервала Используемые постулаты Напрямую из принципа относительности, однородности и изотропности пространства, а также однородности времени следует, что при переходе от одной ИСО (инерциальной системы отсчета) к другой ИСО интервал остается неизменным. Именно это его свойство позволяет формально вывести преобразования Лоренца и обосновывает оправданность введения пространства Минковского и неримановой метрики. Особо подчеркнем, что для приведенного доказательства инвариантность скорости света значения не имеет! Важно лишь, что максимальная скорость распространения взаимодействий существует и одинакова во всех системах отсчета. Одинаковость этой скорости следует из принципа относительности. Для краткости, в дальнейшем доказательстве под интервалом будем подразумевать интервал между двумя бесконечно близкими в пространстве и времени событиями, а под скоростью света - максимально возможную скорость распространения взаимодействий. Оказывается, что свет распространяется именно с такой скоростью, обозначаемой C.

25. Релятивистский закон преобразования скорости. Релятивистский импульс

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью

Составляющие скорости частицы u'_x и u'_z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

.

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:



Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K'. При х << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:

u_x = u'_x + х, u_y = 0, u_z = 0.

Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'_x = c световой импульс, то для скорости u_x импульса в системе K получим

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.Релятивистский импульсВ теории относительности импульс определяется по формуле

Величину называют релятивистской массой, измеренной и ИСО, относительно которой движется тело со скоростью х. Следовательно,

.



При х=c получим, что m₀=m^.0. Это уравнение имеет единственное решение: m₀=0. Т.е. со скоростью, равной скорости света может двигаться только тело, имеющее массу покоя, равную нулю. Это говорит о предельном характере скорости света для материальных тел.

26. Релятивистское уравнение динамики. Релятивистское выражение для кинетической и полной энергии. Взаимосвязь массы и энергии

Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для материальной точки имеет вид: Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона:

но только в СТО под понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно,

,

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы под действием постоянной силы оказывается равным

Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс. Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом

Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает пересмотреть в СТО классическое определение импульса

Р = mu = mЧdr/dt.

Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом (то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на dt_о), которое является инвариантным относительно преобразований

Лоренца. Итак, в СТО,

Р = mЧdr/dt_о,

где dt_о - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой, а dr - перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс. T. к.

dt_о = dtЧЦ(l -u²/с²) ,

то Р = mЧdr/dt_о = Р = mЧ(dr/dt_о)/Ц(l -u²/с²) = mu/Ц(l -u²/с²)

- релятивистское выражение для импульса. При u << с оно переходит в классическое Р = mu.Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой закон Ньютона будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном:

dР/dt = F,

где Р - релятивистский импульс, т. е.

Р = mu/Ц(l -u²/с²⁾;

здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением. Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависимости массы тела от скорости его движения:

m = m_о/Ц(l -u²/с²).

В последнее время от этого отходят.

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии используем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

dЕ_к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = uЧd[(mu/Ц(l -u²/с²)] = u{d(mu)/Ц(l -u²/с²) + muЧdЦ(l -u²/с²)} = u{mЧdu/Ц(l - u²/с²) + mЧuЧ(u/с²)Чdu/Ц(l -u²/с²)³} = mЧuЧdu/Ц(l -u²/с²) + mЧu³Ч(du/с²)/Ц(l -u²/с²)³ = [mЧuЧdu - mЧu³Ч(du/с²) + mЧu³Ч(du/с²)]/Ц(l - u²/с²)³ = mЧuЧdu/Ц(l -u²/с²)³ = d[mс²/Ц(l -u²/с²)] Ю Е_к = mс²/Ц(l -u²/с²) + const;При u = 0, Е_к = 0, то есть mс²/Ц(l -u²/с²) + const = 0, откуда const = - mс² и Е_к = mс²/Ц(l -u²/с²) - mс² = mс²[(1/Ц(l -u²/с²) - 1]



.При u << с, Ц(l -u²/с²) » 1 - u²/2с² и Е_к » mu²/2 переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую - E_о = mс² - энергией покоя:

Е_к = Е - Е_о.Е = mс²/Ц(l - u²/с²) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Е_о = mс², следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕ_о энергии покоя, так что DЕ_о = DmЧс² - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).Энергия связи системы.Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс исходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное количество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляющие её и разлетающиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказывается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную суммарной кинетической энергии разлетающихся частиц, деленной на с².Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Е_св, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их взаимодействие убывает до нуля:

Е_св = Sm_iс² - Мс²,

где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возведём её
в квадрат и разделим на с²:

Е = mс²/Ц(l -u²/с²) ® Е² - Е² u²/с² = m²с⁴

или, так как

Р = mu/Ц(l -u²/с²) = Еu/с² Ю Е² - Р²с² = m²с⁴ = const,

или Е²/с² - Р² = m²с² = Inv.

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, называемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическому инварианту - интервалу, объединившему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвариант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симметрии пространства и времени - их однородностью.

Закон взаимосвязи массы и энергии

Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:

_.

27. Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).



,

где ах - ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k - жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении. Выражение для циклической частоты имеет вид:,где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, т - масса. Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы -- в данном случае жесткостью k и массой т..Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

,

где F_c -- сила сопротивления, F_y -- сила упругости

F_c = ? cv, F_y = ? kx,

то есть,ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k -- коэффициент упругости в законе Гука, a -- ускорение горизонтального движения грузика.Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину щ называют собственной частотой системы, ж -- коэффициентом затухания.Тогда дифференциальное уравнение принимает вид



Сделав замену x = e^лt, получают характеристическое уравнение

,

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

.

Зависимость графиков колебаний от значения ж.В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта. Апериодичность Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают. Граница периодичности

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом -- экспоненциальное затухание. Слабое затухание Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня.



Тогда решением исходного дифференциального уравнения является:

,

Где -- собственная частота затухающих колебаний.Константы c₁ и c₂ в каждом из случаев определяются из начальных условий:

28. Физические и математические маятники

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол б (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F - одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла б. С учетом малости угла б.

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:

M = FL .

Момент инерции J в данном случае Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

,или ,(7.8)

Его решение

,

где и (7.9)



Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной. При небольших углах отклонения б (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести - сила F. Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла б. С учетом малости угла б, .Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения. . Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

,.

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е.

или

.

Из этого соотношения определяем

.

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

29. Гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных колебаний

Гармонический осциллятор -- это грузик на гладком стержне, поддерживаемый с двух концов пружинами.

В классической механике, гармонический осциллятор -- это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k -- положительная константа, описывающая жёсткость системы. Если F -- единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды. Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение -- синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения. Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания. Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

6.1. Пусть и , тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: .

6.2. При и , траекторией будет эллипс, ( рис. 6):

(x²/A²)+(y²/B²)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой. Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

где и - смещения; и - амплитуды; и - начальные фазы складываемых колебаний. Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 7.5), на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси х и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания . Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось OY, то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.



30. Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Затухающие колебания -- колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы -- идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s -- колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, д = const -- коэффициент затухания, (щ0 -- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при д =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде(7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим:



,

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением, которого является функция

u=A0cos(щt+ц).

Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

где Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Если A(t) и A(t+Т) -- амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

,

называется декрементом затухания, а его логарифм



-- логарифмическим декрементом затухания; Ne -- число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания -- постоянная для данной колебательной системы величина.Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации. Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

,

где r -- коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

,

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:



,

Колебания маятника подчиняются закону

где частота ,

Коэффициент затухания

Коэффициент ?, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени ?t = 1/?, то А₀/А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания: ,величина 1/?, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания д период затухающих колебаний растет и при д = щ0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t>?. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим. Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Добротность -- характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:f -- частота колебаний ,W -- энергия, запасённая в колебательной системе ,P_d -- рассеиваемая мощность.

31. Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Векторная диаграмма. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

Перейдем теперь к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует переменная во времени внешняя сила F(t). Такие колебания называют вынужденными, в отличие от свободных колебаний, pассмотpенных ранее. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид ,где F(t) есть внешняя сила. Уравнение движения можно переписать в виде

где мы снова ввели частоту свободных колебаний

.

Векторная диаграмма -- графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков -- векторов. Векторная диаграмма широко применяются в электротехнике, акустике и оптике.

Простые гармонические функции одного периода могут быть представлены графически в виде проекции на ось ординат Оу векторов, вращающихся с постоянной угловой скоростью щ. Длина векторов соответствует амплитудам колебаний. Сумма или разность двух и более колебаний на векторной диаграмме обозначается как геометрическая сумма или разность векторов составляющих колебаний, полученная по правилу параллелограмма, а мгновенное значение искомой величины определяется проекцией вектора суммы на ось Оу.

Воспользовавшись методом векторных диаграмм, получим, что уравнение обращается в тождество только для определенных значений A и ?.