Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський унiверситет iмені Тараса Шевченка

Проскура Наталiя Олександрiвна

УДК 165 : 51

Математичне пізнання в естетичному аспекті

09.00.09. - фiлософiя науки

Автореферат дисертацiї на здобуття наукового

ступеня кандидата фiлософських наук

Київ-1998р.

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник - доктор фiлософських наук, професор Соловей Леонiд Антонович, Українська Академія зовнішньої торгівлі, професор кафедри гуманітарної підготовки.

Офіційні опоненти: доктор філософських наук, професор Попович Мирослав Володимирович, завідувач відділу інституту філософії імені Г.С.Сковороди НАН України, член-кореспондент НАН України;

кандидат філософських наук Арутюнов В'ячеслав Хуршудович, доцент кафедри філософії Київського Національного Економічного Університету.

Провідна установа - Центр гуманітарної освіти НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться "30" листопада 1998 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.01.37 для захисту дисертацій на здобуття наукового ступеня доктора (кандидата) наук у Київському університеті імені Тараса Шевченка, за адресою: 252017, м. Київ, вул. Володимирська, 60, ауд. 328.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий "___" жовтня 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради П.І.Скрипка

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Проблема взаємодiї математики та естетики є однiєю з малодослiджених пробл__ем у сучасній фiлософiї математики. Майже вiдсутнi спецiальнi монографiчнi та дисертацiйнi дослiдження, якi би були спрямованi на вивчення естетичних питань математичної творчостi.

Основна iдея даного дослiдження може бути висловлена наступною тезою: звернення до iдеї прекрасного, - яке характеризує як предмет та об'єкт математичної науки, так і суб'єкт наукової діяльності, тобто особистість науковця, - сприятиме подоланню односторонностi позитивiстсько-сцiєнтистської методологiчної орiєнтацiї у сферi математичної науки.

Найвагоміші результати в історії філософії та історії науки, які заторкували вказану проблему, на нашу думку, представлені в працях видатних вчених:

- в античностi - здобутками Пiфагорiйської школи ("числова гармонiя", "теорiя пропорцiй", "музика сфер"); Академiї Платона (дiалектика числа у взаємодiї "ейдосів" та "речей"); класичного Арiстотелiзму (сутнiснi ознаки прекрасного у математицi);

"Начала" Евклiда (краса аксіоматичного принципу систематизації знань у геометрії); Архімеда, Діофанта, Паппа (краса математичних рiвнянь, доведень за допомогою математичного руху та методу вичерпування);

- в перiод Копернiканської революцiї - Т.Браге, Г.Галiлея, Д.Бруно, I.Кеплера, М.Копернiка (виявлення «першоформ гармонiйних спiввiдношень», що призвели до встановлення математичних законiв «небесної механiки», математичного вiдкриття та випередження експерименту, краси сиолiчних математичних форм, що складають мову експериментальної науки та самої природи);

- в науцi ХVII-ХIХ ст. - Н.Абеля, Ф.Вiєта, Е.Галуа, Дж.Кардано (принцип краси та зручностi алгебраїчних символiчних структур в теорiї груп); Ф.Бекона, Р.Декарта, Г.Ф.Лейбнiца, I.Ньютона, Б.Паскаля, (краса та єднiсть математичних принципiв пiзнання, унiверсальнiсть методу, взаємозв'язок принципiв істини-краси-простоти);

- в естетичних концепцiях Г.Гегеля, I.Канта, П.Флоренського;

- в науцi ХIХ-ХХст. - Я.Больяйа, К.Гауса, Ф.Клейна, М.Лобачевського, Б.Рiмана (краса, істинність та несуперечливiсть «уявних геометрiй»); Ж.Адамара, Ж.Бiркгофа, Г.Вейля, В.Гейзенберга, Д.Гiльберта, А.Пуанкаре, (краса та ефективнiсть принципу симетрiї, спiввiдношення iнтуїцiї, iстини та краси в математичний творчостi);

- в класичнiй фiлософiї науки та в сучасних течiях зарубiжної фiлософiї - Е.Гуссерля, В.Дiльтея, Е.Кассірера, В.Куайна, Т.Куна, I.Лакатоса, А.Уайтхеда;

- в досвiдi викладання естетичних проблем математики в провiдних сучасних унiверситетах та коледжах свiту - П.Еббса, Л.Рейда, Е.Сторра, М.Тiппета (природа естетичного та її значення для людини).

Основнi результати сучасних українських та російських дослiджень:

- розробка загальних проблем естетики, iсторико-фiлософського процесу, науки та освіти, фiлософських проблем математики, спiвставлення iдеалiв та норм науки з iдеалами художньої творчостi, алгоритмiв та творчостi у математицi, варiацiї симетричних перетворень та їх iнварiанти, iнформацiйно-синергетичнi аспекти взаємозв'язку науки та мистецтва (В.Х.Арутюнов, Ю.Л.Афанасьєв, Л.Б.Баженов, О.Г.Барабашев, Е.І.Березкіна, Є.К.Бистрицький, I.А.Бондарчук, М.О.Булатов, М.С.Бургін, В.I.Вернадський, Б.В.Гнеденко, І.С.Добронравова, Л.Я.Жмудь, В.І.Жог, В.П.Зінченко, І.А.Зязюн, Г.І.Iдліс, Е.В.Ільєнков, А.С.Канарський, В.А.Карпунін, О.I.Кедровський, А.М.Колмогоров, О.Е.Коломєйцев, П.В.Копнін, В.О.Копцик, С.Б.Кримський, З.А.Кузічев, В.І.Кузнєцов, В.І.Купцов, Л.Т.Левчук, А.М.Лой, О.Ф.Лосєв, В.С.Лукьянець, В.В.Налімов, М.І.Панов, В.Я.Пермінов, Т.Д.Пікашова, М.В.Попович, Б.В.Раушенбах, В.А.Рижко, М.О.Розов, Г.I.Рузавін, В.I.Самохвалова, Л.І.Сидоренко, Л.А.Соловей, В.С.Стьопін, Ю.О.Храмов, В.I.Шинкарук, Е.П.Шудря, А.П.Юшкевич, С.О.Яновська, А.I.Яценко).

Основнi напрями та результати сучасних зарубіжних дослiджень:

- розробка концепцій естетичного виміру в точних науках, здійснення функціонального підходу до визначення естетичної міри (Ж.Біркгофф, М.Бензе, В.Гейзенберг);

- математичне моделювання в орнаментальному мистецтвi, експериментальнi дослiдження із застосуванням комп'ютерної графiки, гештальтпсихологiї, полiгональних чисел - в прикладнiй фiзицi, "каташi" та принципу симетрiї у дослiдженнi спiввiдношень мiж логiкою та лiтературою (С.Вальцеж, I.Ватанабе, Т.Огава, С.Яблан та iнших);

- історико-фiлософський аналiз зв'язку науки та мистецтва, застосування математичних просторових структур та симетрiї для реконструювання минулого та конструювання художнiх образiв (Ж.Алонсо, Г.Дарвас, Л.Куба, М.Лейтон, А.Лоеб, Д.Надь).

Враховуючи значущість, плiдність та теоретичну цiнність зазначених дослiджень у галузi естетичних засад точних наук, ми виділяємо двi обставини, що зумовлюють конкретний аспект та контекст нашого дослiдження. Перше: естетичнi засади математики розроблялись переважно у пошуках сутнiсних ознак прекрасного та краси у математицi за допомогою окремих принципiв числової гармонiї, симетрiї, iнварiантностi математичних перетворень, ролi та функцiй в iнкубацiйнiй (пiдсвiдомiй) стадiї творчостi тощо. Аналiз частіше торкався зовнiшнiх зв'язкiв, аналогiй мiж математикою та мистецтвом, за цих обставин нерозкритим лишився сутнiсний епiстемологiчний зв'язок мiж ними, цiлiснiсть засад естетичного у математицi. На сучасному етапi цi розробки набули експериментального характеру (математичне моделювання в орнаментальному, символiчному мистецтвi, дизайн, ергономiка, комп'ютерні графiка та музика тощо), однак вони не долають обмеженостi самого тлумачення сенсу естетичного в математичнiй науцi. Друге: сутнiсть такого натуралiстичного пiдходу є наслiдком традицiйного вiдокремлення науки та філософії, зокрема, математики та філософії, що неодноразово виникало в iсторiї та є притаманним і сучасностi.

Найменш дослідженим є теоретико-пiзнавальний, епiстемологiчний контекст естетичного у математицi. Викликають науковий інтерес наступні питання: як спiввiдносяться функцiї математичної краси з логiчними критерiями iстини, з особливою природою математичної iнтуїцiї, математичних законiв, доведень, математичної уяви? Цi та iншi невирiшенi проблеми зумовили вибiр теми, мети та конкретних завдань дисертацiї.

Актуальнiсть роботи має теоретичний та практичний аспекти.

Теоретична потреба. Абстрактна метафiзика та епiстемологiя традицiйно не враховують функцiональне призначення та сутнiсть краси в науцi, в розвитку найбiльш строгих форм фундаментальної чи дедуктивної теорiї. В той час як iстина будь-якої науки, в тому числi, математичної, фiлософської, поряд з атрибутами об'єктивності, абсолютностi, вiдносностi, конкретностi, точностi, iнструментальної корисностi має і атрибут краси. Наукова краса є не розсудовою абстракцiєю, а способом повернення в духовний свiт людини у виглядi iдеалу, принципу мислення, способу постановки чи нестандартного вирiшення теоретичних задач i проблем, якi приносять задоволення творчому суб'єкту, виступаючи необхiдною умовою i передумовою самої здатностi та потреби творити нове.

В українській та російській наукових традицiях проблеми естетики науки досить успiшно розроблялись у минулому. Наприклад, використання естетичних критерiїв принципу симетрiї, iнварiантних перетворень алгебри груп у геологiї В.Вернадським, оригiнальнi концепцiї краси М.Грота, П.Флоренського (зокрема, "Стовп та утвердження Iстини", "Уявностi в геометрiї"), В.Соловйова ("Краса у природi"), С.Трубецького ("Умозiр у барвах") та iншi. Але вже майже сторiччя, як дослідження в даному напрямку уповiльнились. Потреба дослідження взаємозв'язку та взаємозалежності естетики і математики виступає актуальною проблемою філософії науки. Саме в цьому контексті можна розглядати думку М.В.Поповича: "Можна говорити і про алгебру гармонії, і про гармонію алгебри. Схоже на те, що музика звучить в небесних сферах так само, як діє там організовуючий принцип симетрії... Чи не слід розуміти слова про гармонію Всесвіту не переносно, а буквально, і чи не відчуваємо ми цю гармонію, коли знаходимо найелегантніші розв'язання абстрактних задач? Може й так. Але ніхто не прийме запропонованого вами розв'язання теоретичної проблеми на тій підставі, що воно красиве і просте і що в ньому звучить музика сфер. Ви мусите представити доказ, що, між іншим, майже завжди включатиме обрахунки".

Практична потреба. Сучасний етап розвитку України, оновлення виробництва на пiдгрунтi нових технологiй вимагають iнтенсивного розвитку точних, фундаментальних наук, пiдготовки вiдповiдних фахiвцiв в системi Вищої освiти та НАН України. Реалiї життя, як вiдомо, негативно впливають на структуру цiннiсних орiєнтацiй та професiйного вибору молодi, на її iнтерес до вивчення точних наук. Цей об'єктивний момент поєднується з недолiками суб'єктивного і часто спрощеного сприймання точної науки, що пов'язане, імовірно, значною мiрою з традицiєю викладання і розумiння науки у відокремленні її від естетичних засад та від реального процесу математичної творчості. Ці питання недостатньо відображені в сучасних теоретичних працях з естетики точних наук та у методицi їх застосування на рiзних етапах освiти. Подоланню цього недолiку певною мірою присвячене наше дослiдження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами: обраний напрям дослiдження входить як складова частина у комплексну тему "Психолого-педагогiчнi засади реформування органiзацiї i змiсту дiяльностi вищої школи України", яку розробляє лабораторiя педагогiки i психологiї вищої школи Iнституту педагогiки i психологiї професiйної освiти АПН України.

Мета: проаналізувати естетичний змiст фундаментальних положень та принципів математичного пiзнання, визначити сенс i функцiї естетичного в контекстi пошуку та обгрунтування нових математичних знань.

Вiдповiдно до поставленої мети, вирiшуються наступнi задачi:

Дати аналіз формально-естетичного та дослідити його джерела в античній філософії.

Вiдшукати за філософськими та математичними дослідженнями особливий зміст та естетичні функції теоретико-математичних принципів впорядкованості, пропорційності, визначеності, кількісної закономірності (гармонії, iнварiантностi, симетрiї), аксiоматичної побудови теорiї, доведення, обгрунтування та істинності знань, математичного закону. Визначити естетичний сенс ідеї математичної нескінченності та її співвідношення зі скінченним.

Визначити епiстемологiчний сенс, сутнiсть та функцiї змістовно-естетичного в математичнiй творчостi, можливостi їх використання в розвитку відповідних досліджень у різних галузях сучасної науки та у практицi викладання математики та фiлософії.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертацiї запропоновано концепцiю естетико-епiстемологiчного сенсу математичного пiзнання, в якій долається традицiйний натуралiзм, що пов'язаний з аналiзом та застосуванням у практицi тiльки зовнiшньої, формальної математичної краси та емпiричної сторони естетичного у багатоманiтних проявах математичної творчостi. Сутнiсть концепцiї полягає у виявленнi змiстовно-естетичного у математицi, його особливих естетичних та епiстемологiчних функцiй у процесі пошуку та обгрунтування нових знань.

Змiст концепцiї конкретизується у наступних тезах, що виносяться на захист:

прекрасне та естетичне у математичному пiзнаннi мають два якiсно вiдмiннi рiвнi iснування та способи теоретичного буття: абстрактно-символiчне, тобто формально-естетичне та iдеально-образне, тобто змiстовно-естетичне. Тому необхiдно розрiзняти формальну математичну красу (формально-прекрасне, як красу абстрактних символiчних форм, математичних структур, образiв та конфiгурацiй, їх угрупувань, iнварiантно-симетричних або ж несиметричних перетворень) та змiстовну математичну красу (естетико-математичну iдеальнiсть), що є основою продуктивної уяви, математичної iнтуїцiї, синтетичної iнтелектуальної дiї математичних суджень;

естетичне складає атрибут творчого процесу в математичному пiзнаннi, його епiстемологiчний смисл i сутнiсть полягають в опосередковуваннi та зняттi дихотомiї: логiчне <=> iнтуїтивне; змiстовне <=> формальне; уявне (iнтелектуальне споглядання, теоретичне конструювання, продуктивна здатнiсть математичних суджень) <=> дiйсне ( доведений математичний результат, теорiя, математико-логiчна iнтерпретацiя чи емпiрична реалiзацiя у обчислювальному експериментi);

продовжено аналіз естетичного аспекту спiввiдношення скiнченного та нескiнченного в математичнiй творчостi, якi складають основу продуктивної здатностi математичних суджень i нерозривно пов'язані з сутнiстю математичного методу. Встановлено, що перехiд вiд скiнченного до нескiнченного являє собою особливу форму переносу у область iнтелектуально-естетичної уяви. В переходi до нескiнченностi протилежностi мiж змiстовним i формальним, логiчним та iнтуїтивним, уявним та теоретично-дiйсним, "знiмаються", обопільно перетворюються та обопільно вiдображуються, забезпечуючи отримування принципово нових математичних знань. Принцип математичної краси є вирiшальним та визначальним у селекцiї нових комбiнацiй iдей та математичних структур, виступаючи критерiєм вiдбору з гiпотетично-нескінченної кількості можливих - єдині (чи скiнченні), яким притаманна теоретична дiйснiсть (iстиннiсть) та кориснiсть (можливiсть емпiричної реалiзацiї).

Практичне значення одержаних результатів: використання одержаних в дисертації висновків можливе в практицi викладання та оновлення змiсту освiтнiх програм з фiлософських (естетичних), математико-естетичних дисциплiн у планi реалiзацiї державної програми "Трансформацiя гуманiтарної освiти в Українi".

Результати дослiдження використовуються в лабораторiї педагогiки i психологiї вищої школи Iнституту педагогiки i психологiї професiйної освiти АПН України у комплексному дослiдженнi за темою: "Філософські та психолого-педагогiчнi засади реформування органiзацiї i змiсту дiяльностi вищої школи в Українi (теоретико-методологiчний аспект)".

Особистий внесок здобувача полягає в обгрунтуванні концепції естетико-епістемологічного сенсу математичного пізнання, в розробці гіпотези щодо ролі та функцій змістовно-естетичного у процесі математичної творчості та проведенні відповідного прикладного дослідження.

Окремi питання та основний змiст концепцiї обговорювались на семiнарах кафедри фiлософiї та методологiї науки фiлософського факультету Київського нацiонального унiверситету iмені Тараса Шевченка, в лабораторiї педагогiки i психологiї вищої школи IПППО АПН України, на мiжнародних та всеукраїнських конференцiях та симпозiумах: "VI Аристотелевские чтения" (м.Мариуполь, 1993р.), "Ментальнiсть. Духовнiсть. Саморозвиток особистостi" (м.Київ-Луцьк, 1994), "Треті мiжнароднi Костюкiвськi читання" (м.Київ, 1994), "Математика и искусство" (г.Москва-Суздаль, 1996), "Проблема гуманiзму i духовностi в контекстi науково-технiчного поступу" (м.Вiнниця, 1996), "Етнонаціональний розвиток в Україні..." (м.Київ-Чернівці, 1997), "Математика. Компьютер. Образование" (г.Москва-Дубна, 1998) .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Структура дисертацiї вiдповiдає метi та завданням дослiдження, складається з вступу, трьох роздiлiв з підрозділами, висновків та списку використаної лiтератури. Обсяг дисертації 179 сторінок, в дисертації наведено 2 рисунки, 1 таблицю, список використаної літератури, обсягом 10 сторінок, нараховує 169 посилань.

У вступi розкривається актуальнiсть теми дослiдження, аналiзуються конкретнi науковi результати, що отриманi видатними представниками iсторiї фiлософiї та iсторiї математичної науки, конкретнi естетичнi та епiстемологiчнi концепцiї, що складають методологiчну та iнформацiйно-наукову базу дисертацiї. Обгрунтовуються правомiрнiсть, теоретична та практична необхiднiсть у постановцi головної проблеми та напрямку дослiдження, ключовим та оригiнальним аспектом якого є розподiл на формально-естетичне та змiстовно-естетичне у математичнiй творчостi. Визначаються головна мета і пiдпорядкованi їй основнi задачi дослiдження, особливiсть методологiї авторського пiдходу та науковi джерела дисертацiйного аналiзу. Викладаються основнi ознаки новизни, сутнiсть опрацьованої наукової концепцiї. Вказується на практичне значення пiдсумкiв дослiдження та можливу галузь їх застосування.

У першому розділі "Сутнiсть формально-естетичного в математичному пізнанні" здійснено порiвняльний фiлософсько-епiстемологiчний аналiз трьох античних концепцiй прекрасного у математицi: пiфагореїзму, платонiзму, арiстотелiзму.

Показано, що система пiфагорiйських свiтоглядних узагальнень та iдеалiзацiй базувалася не стiльки на абстрактному розумiннi числової гармонiї, пропорцiї, кiлькiсної закономiрностi, скiльки на iдеї математичної подiбностi мiж iдеальним (закiнченим, гармонiйним, довершеним) порядком мислимих витворiв математичного розуму та можливiстю їх втiлення в новi форми прекрасного в дiйсностi (гармонiя музики, небесних сфер тощо), що i складає сутнiсть математико-споглядальної естетики пiфагореїзму.

Узагальнюючи, можна підкреслити, що, як оригiнальна та самостiйна течiя античної фiлософiї, пiфагореїзм подолав емпiричне уявлення про число та математичну закономiрнiсть, пiднiс їх до теоретичного розумiння в якостi «iдеї числа» та «iдеальної закономiрностi». Iмплiцитно в ньому мiстився новий напрям пошуку закономiрностi свiтобудови, - вже не з фiзичної «стихiї», а з «iдеї», як такої, - тобто мiстилась епiстемологiчна можливiсть Платонiзму.

Показано, що iснує безпосереднiй зв'язок мiж теорiєю iдей Платона та пiфагорiйською теорiєю чисел. Поняття "ейдосу" Платон розробляв через фiлософське узагальнення пiфагорiйської iдеї «гармонiї чисел» як моделi iдеального порядку i закономiрностi свiтобудови, але з позбавленням від фантастично-мiстичних елементiв та обмеженого розумiння сутностi закономiрностi, як такої, що має тiльки кiлькiсну природу. Для Платона був важливим аналiз взаємопереходу вiд ейдосу - через число - до форми та зворотнього взаємопереходу в поняттi, в класифiкацiї знань за родами та видами. I в першому (формоутворення речей з ейдосiв), i в другому (пiзнання, як анамнезiс формоутворення i логосу iснування речей) рiзновидах вказаного взаємопереходу має місце дiалектичний процес. Обгрунтовується, що епiстемологiчна структура цього процесу однакова, iнварiантна. Це дiалектика ейдосу-числа-форми. Змiст та сутнiсть її у прямому (ейдетичне формоутворення речей) та зворотньому (розумiючи пiзнання як визначення та уявлення, "пригадування" iстинного змiсту iдеї) взаємопереходах є якісно рiзними. В першому випадку змiст ейдосу - це iдеальний взiрець, а в другому - це абсолютна, завершена та довершена iстина. Вказані обидвi форми дiалектичного процесу поєднуються у Платона через категорiю прекрасного.

Виявлено, що у Платона прекрасне за своєю естетико-епiстемологiчною функцiєю є аналогiчним тому, як пiфагорiйцi користувались поняттям гармонiї, "складеної" з подiбностi, пропорцiйностi та спiввимiрностi. У Платона прекрасне - це засiб, естетична мiра для визначення ступеня досконалостi мiж ейдосами. Прекрасне може бути тiльки уявним, абстрактним та нескiнченним у своєму iдеальному буттi. Мiрою ж його здiйсненностi у скінченному виступає добро як реальна «границя» безмежно прекрасного. Платонiвська "гармонiя ейдосiв", на вiдмiну вiд "гармонiї чисел", постала новою вимогою та передумовою фiлософського пiзнання.

Аналiз структури математичної краси в арістотелевій концепцiї показав, що розглядаючи та узагальнюючи погляди своїх попередникiв, Арiстотель надавав категорiї прекрасного, - у поєднаннi з категорiєю добра, - самостiйної епiстемологiчної форми, вважаючи їх «началами пiзнання i руху». В знаннi цi iдеї (категорiї) повиннi бути тотожними своєму буттю, однак за способом буття добро i прекрасне є якiсно вiдмiнними. Прекрасне мiстить в собi не тiльки естетичну насолоду, а i етичний момент, бо «стає приємним» тiльки тодi, коли мiстить у собi добро. Математичне пiзнання має свiй естетичний вимiр, свою iнтелектуальну красу та своє унiкальне втiлення прекрасного. I хоча математична гармонiя не може iснувати «поза» чуттєво сприйнятними речами, вона є суто абстрактною, її можна зрозумiти лише мисленням, i неначе «бачити мисленням».

У другому роздiлі "Змiстовна естетика продуктивної уяви у математицi" аналiзується процес переходу від формального до змістовного тлумачення сутності естетичного у математичному пізнанні. Проведений аналіз змістовної естетики продуктивної уяви в математиці дає можливість зробити наступні висновки. Процес переходу від формального до змістовного тлумачення сутності естетичного у математичному пізнанні, - в галузі розробки естетичних основ математичної творчості, - розпочинається з філософської та математичної творчості Б.Паскаля. Аналіз його праць дозволив нам виділити систему основних функцій краси в дедуктивній теорії. У мистецтві відкриття істин -це селекція основоположень, начал, аксіом, дефініцій. Вказані функції краси грунтуються на зв'язку прагнення до істини з бажанням інтелектуального задоволення. У процесі доведень функція краси відображає принцип корисності доведеного знання. У процесі відмежування істини від хибного, тобто в обгрунтуванні доведень функція краси перетворює мистецтво доведення у мистецтво переконування, трансформуючи принцип інтелектуального задоволення у регулятивні принципи побудови теорії.

Засадами змістовно-естетичної концепції математичного пізнання І.Канта виступає узагальнюючий метафізичний принцип-вимога про єдність "порядку, краси і довершеності у всьому, що є можливим". Саме в цьому, на нашу думку, міститься сенс відповіді І.Канта на ним же поставлене питання "як можлива чиста теорія (математика, філософія)? ", а також доведення того, "яким чином" вони в принципі є можливими, тобто мають адекватні епістемологічні умови свого існування.

Аналізується сутнiсть (цiлком iмовiрно, що вперше) змiстовно-естетичної концепцiї математичного пiзнання Г.В.Ф.Гегеля та проведено її порiвняльне епiстемологiчне співставлення з концепцiєю I.Канта. Встановлено, що гегелiвська концепцiя виходить iмплiцитно з деяких фундаментальних принципiв та основоположень трансцендентальної естетики І.Канта. При цьому основоположення про продуктивну творчiсть теоретичної уяви було замiнено категорiєю видимiсть, остання поєднується з поняттям свободи розуму та творчого процесу в контекстi гегелiвської фiлософiї Абсолюту. Наука ж за формою позначалася категорiєю необхiднiсть (закономiрнiсть). Розрiзняються рiвнi iснування «прекрасного»: 1) у чуттєвому сприйняттi (видимiсть); 2) в мистецтвi (свобода); 3) в науцi (необхiднiсть i закономiрнiсть).

У теоретичних взаємопереходах вiд одиничної форми прекрасного в науцi (необхiднiсть i закономiрнiсть) - до всезагальної форми прекрасного (як свободи, "незмiнної всерединi себе необхiдностi", довершеностi) змiнюється також епiстемологiчний сенс математичної гармонiї. Г.В.Ф.Гегель пiдкреслював, що при цьому гармонiя з "кiлькiсного характеру" переходить в якiснi вiдмiнностi. Завдяки цьому, в свою чергу, долається абстрактнiсть та невизначенiсть символiчних форм. Отже, пошук нових еврiстичних принципiв епiстемологiчного зв'язку мiж фiлософiєю та наукою (зокрема, математикою) йшов значною мiрою "поза межами абстрактного рацiоналiзму гегелiанства", в постiйному поверненнi до iдей І.Канта та кантiанства та в розробцi нових напрямкiв розвитку фiлософiї.

Відповідно до мети нашого дослідження, проаналізовано фiлософську та математичну творчiсть П.Флоренського, виділено в ній, як синтетичну та оригiнальну, концепцiю естетизму у математицi. Основоположенням цiєї концепцiї є те, що "ми всi мислимо пiд категорiєю закону, мiрою гармонiї". Багатоманiтний змiст свiту людської духовностi в її прагненнi до розумiння Божественного, П.Флоренський намагався зробити визначеним, ясним, зрозумiлим, застосовуючи мову математичної науки, "мову теорiї множин та геометричного методу". Саме в такому напрямку розроблялась нова концепцiя уявностей у геометрiї П.Флоренського. Оригiнальна математична iнтерпретацiя неевклiдової (елiптичної) геометрiї застосовувалась для аналiзу епiстемологiчного сенсу та естетичного аналiзу шедеврiв свiтової лiтератури. Отже, маємо зразок герменевтичного аналiзу у вiтчизнянiй науцi в найбiльш строгому фiлософському та математичному розумiннi.

Розкривається епiстемологiчний сенс концепцiї естетизму у математицi, що ставить границю ототожненню iстини з її дискурсивним аспектом. Аналiзується доведення П.Флоренським того факту, що кожна наукова iстина (у тому числi - математична) має свiй духовний, культурологiчний та Божественний контекст.

Аналіз естетичної функції математичної нескінченності показав, що естетична функція ідеї нескінченності в математиці слугує основою всього теоретично-прекрасного, поєднує строгу логіку скінченного виведення зі свободою творчої уяви, яка виходить за межі скінченного, розширюючи тим самим межі інтелектуального досвіду нарощенням принципово нового знання. Інакше кажучи, продуктивна сила творчої уяви в поєднанні з ідеєю нескінченності складають основу математичної свободи, свободи інтелектуальної творчості. Символічна гра уяви опредмечується у строгих системах дедуктивно-теоретичного знання, в яких уже немає місця суб'єктивній довільності, а всі процедури виведення мають строгу доказово-логічну абстрактну форму.

У третьому розділ "Естетичний вимір у математичній творчості" показано, що процес диференцiацiї основ математичної науки, перехiд вiд «єдиної» до «багатоскладової» структури сучасного математичного пiзнання вимагає звернення до проблеми єдностi науки, до цiлiсних пiдвалин математичної творчостi. Остання вирiшується на пiдставi виявлення системних спiввiдношень мiж такими гносеологічними категоріями, як iнтуїцiя, логiка, гiпотеза та краса.

Вирiшення проблеми спiввiдношення iнтуїтивного та дискурсивного є неможливим у межах самої дедуктивної теорiї, або ж у абстрактно-метафiзичних схемах епiстемологiчної рефлексiї, що і зараз є домiнуючою традицiєю у фiлософiї математики. Розглядаючи результати рефлексивного аналiзу спiввiдношення iстини, iнтуїцiї, логiки та краси в математичнiй творчостi у працях Ж.Ж.Адамара, А.Пуанкаре та аналiз принципiв математичної творчостi, здійснено спробу систематизувати сучаснi уявлення та рiвнi епiстемологiчного сенсу математичної краси. Спiвставлення концепцiй естетичного вимiру в точних науках (Ж.Бiркгофф, М.Бензе, В.Гейзенберг) показало, що їх автори виходять з окремих аналiтичних ознак математичної краси, як мiри естетичного, що якiсно вiдрiзняються мiж собою, але є взаємодоповнюваними епiстемологiчно та естетично.

Аналіз показав, що Ж.Біркгофф, чи то не вперше, запропонував функцiональний пiдхід до визначення мiри естетичного як такий, що є прямопропорцiйним до мiри впорядкованостi математичного об'єкту та оберненопропорцiйним до мiри його складностi. Проаналiзовано ефективнiсть, доцiльнiсть та правомiрнiсть такого пiдходу, і разом з тим, вказано на його евристичну обмеженiсть, причиною якої, на нашу думку, виступає те, що з усiх ознак математично прекрасного в формальнiй та змiстовнiй естетицi математичної продуктивної уяви автор обмежився лише "впорядкованiстю" та "складнiстю" як засобами втiлення принципу простоти та засобом вiдображення гармонiї. Бiльш продуктивним, на нашу думку, виявляється iнформацiйний пiдхiд М.Бензе. Проаналiзовано введене ним поняття «естетичної iнформацiї», виявлено його епiстемологiчну продуктивність. При всiй цiнностi та значущостi розглянутих концепцiй, їх можна вважати частинними та переважно онтологiчними, де творча роль суб'єкта та структура об'єкта розглядаються на пiдставi абстрактно-символiчних схем. Бiльш продуктивною, як свiдчить проведений аналiз, є концепцiя В.Гейзенберга, у якій здiйснено спробу поєднати всi ознаки математично прекрасного вiд античностi до сучасностi саме на пiдставi цiлiсностi.

У розділі представлено деякі положення сучасних теоретичних концепцiй iнформацiйно-синергетичних аспектiв моделювання прекрасного в науцi, а також здійснено аналіз рефлексивних компонентів у науковій діяльності провідних вчених, спрямований на виявлення змісту та значення естетичних критеріїв у науковій, зокрема, математичній творчості.

Аналіз засвідчує, що сучасний стан теоретичних пiдходiв до моделювання прекрасного виявився дещо невпорядкованим, асиметричним. Причинами такого стану, на наш погляд, виступають вiдокремленiсть формально-естетичного вiд змiстовно-естетичного; вiдсутнiсть системного аналiзу та розумiння якiсної вiдмiнностi цих рiвнiв естетичного процесу; вiдсутнiсть системного категорiального визначення сенсу математичної краси та її динаміки у вiдповiдностi до кожної фази творчого процесу.

платонiзм арiстотелiзм математичній пiфагореїзм

ВИСНОВКИ

У висновках пiдводяться основнi пiдсумки дослiдження, що в узагальненому виглядi вiдображають сутнiсний змiст та систему обгрунтувань авторської концепцiї, її новизни. Враховуючи значимість досліджень у галузі естетичних засад точних наук, ми виділили дві обставини, які зумовили конкретний аспект нашого дослідження. Перша - яку ми позначили як «натуралістичний підхід» в естетиці науки, - звертає увагу, в основному, на зовнішні прояви краси. Друга випливає з традиційного відокремлення науки та філософії, зокрема, філософії та математики. За таких обставин нерозкритим залишається зв'язок математичної краси з логічними критеріями істини, з особливою природою математичної інтуїції, з особливостями математичних законів, доведень, математичної уяви, які складають підгрунтя математичної творчості.

В дисертацiї вперше здійснено спробу опрацювати концепцiю естетико-епiстемологiчного сенсу математичного пiзнання в якій долається традицiйний натуралiзм, що пов'язаний з аналiзом та застосуванням у практицi тiльки зовнiшньої, формальної математичної краси та емпiричної сторони естетичного у багатоманiтних проявах математичної творчостi. Сутнiсть концепцiї полягає у виявленнi змiстовно-естетичного у математицi, його особливих естетичних та епiстемологiчних функцiй у процесі пошуку та обгрунтування нових знань.

Здійснено аналіз сутності математико-естетичного у піфагореїзмі. Виявлено що світоглядна функція математичної естетики реалізується на рівні одиничного - у формі піфагорійської інтенції «все подібне до числа»; на рівні особливого - у формі піфагорійської гармонії світу, теорії пропорцій; на рівні всезагального - у вигляді піфагорійської картини світу, сутність якої складає математична філософія і естетика математичних символічних форм. Узагальнюючи, можна підкреслити, що піфагореїзм здобув певного теоретичного результату, що відповідає всім ознакам філософськи прекрасного у понятті та ідеї. Він подолав емпіричне уявлення про число та математичну закономірність, підніс їх до теоретичного розуміння в якості «ідеї числа» та «ідеальної закономірності». Показано, що імпліцитно в піфагореїзмі містився новий напрям пошуку закономірності світобудови, - вже не з фізичної стихії, а з «ідеї», - тобто містилась епістемологічна можливість Платонізму.

Обгрунтовується думка, що у Платона прекрасне за своєю естетико-епістемологічною функцією є аналогічним тому, як піфагорійці користувались поняттям гармонії, складеної з подібності, пропорційності та співвимірності. У Платона прекрасне - це засіб, іншими словами, естетична міра для визначення ступеня досконалості між ейдосами. Платонівський зміст «наукової краси» - це особлива сила понять, мислительних конструкцій, визначень, аксіом, що виступає джерелом збагачення їхнього змісту, точності, вишуканості, порядку, принципу простоти у теоретичному відображенні надзвичайно складних фрагментів буття. Краса у Платона виступає онтологічною і духовною передумовою самого розвитку науки в її нескінченному прагненні до нових форм довершеності, до абсолютної ідеї, до абсолютної істини.

Показано, що аналізуючи і узагальнюючи погляди своїх попередників, Арістотель надавав категорії прекрасного, - у поєднанні з категорією добра, самостійної епістемологічної форми, вважаючи їх «началами пізнання і руху». Арістотель сформулював основні ознаки прекрасного у математиці: «впорядкованість», «пропорційність» та «визначеність». У своїй єдності, як цілісна математична гармонія вони становлять особливу причину та начало пізнання: «причину в розумінні прекрасного». Структурна композиція математичної гармонії, виявленої Арістотелем, на нашу думку, в системному вигляді може бути репрезентована наступним чином: 1) впорядкованість (злагодженість): кількість - неперервність - порядок; 2) пропорційність: рівне - подібне (або схоже) - тотожне; 3) визначеність: «єдине» та «множинне» (як міра числа) і співвимірність між ними (як пропорційність). Отже, сенс математичної гармонії набув уже, окрім кількісної, також і якісної визначеності. Це дає підстави твердити, що у творчості Арістотеля є нарис епістемологічної схеми математичної естетики.

Можна стверджувати, що порівняльний аналіз розвитку ідей математичної гармонії в піфагореїзмі, платонізмі, арістотелізмі свідчить, що поміж ними існує об'єднуючий смислотворчий теоретичний процес. Його зміст полягає у сходженні від абстрактного уподібнювання - через філософську ідеалізацію «гармонії ідей» - до теоретично конкретного аналізу і розробки епістемологічної схеми математичної естетики в античній культурі. При всій вагомості отриманих в античний період теоретичних результатів у досліджуваному нами аспекті вони виявляються епістемологічно обмеженими розумінням прекрасного у математиці як абстрактної форми досконалості в ідеї (числа-ейдосу-логіки) у математичному пізнанні та його застосуванні до інших наук, всіх форм мистецтва, та довершених витворів культури. Саме тому ми позначаємо даний історичний період розробки принципу математичної гармонії як «формально-естетичне». Він становить сутність натуралістичного підходу в розумінні природи і сутності краси у математиці та способу її використання у різновидах мистецької творчості.

Проведений аналіз змістовної естетики продуктивної уяви в математиці показав, що процес переходу від формального до змістовного тлумачення сутності естетичного у математичному пізнанні розпочинається з філософської та математичної творчості Б.Паскаля. Засадами змістовно-естетичної концепції математичного пізнання І.Канта виступає узагальнюючий метафізичний принцип-вимога про єдність "порядку, краси і довершеності у всьому, що є можливим". І.Кант розкрив в своїй метафізиці нові епістемологічні рівні взаємозв'язку між математикою і філософією в новому її розумінні, тобто 1) як трансцендентальної аналітики; 2) філософії науки; 3) естетики продуктивної уяви чистого розуму.

Гегелівська концепція естетичного в науці (математиці) та філософії знімає протилежність між формально-естетичним та змістовно-естетичним, репрезентуючи їх зміст за умов чіткого відокремлення форм одиничності (формальність) та всезагальності (змістовна конкретність) у сенсі прекрасного в науці. Прекрасне в науці у формі одиничності - це «необхідність та закономірність», а у формі всезагальності - це свобода та довершеність ідеалу розуму як «вільного всередині себе». Тут під ідеалом ми розуміємо найвищу мету пізнання, наукової та духовної творчості. Формальними ознаками ідеалу виступають нескінченна діяльність духу, символічність, закономірність; змістовними ознаками виступають єдність скінченного та нескінченного, суб'єктивної ідеї та об'єктивного змісту Ідеалу. Тільки за таких умов сама форма стає змістовною і набуває вимог найдосконалішої форми гармонії духу.

Розкривається епістемологічний сенс концепції естетизму у математиці за філософськими та математичними дослідженнями П.Флоренського. Показано, що П.Флоренський розмежував у своїй концепції істину та її дискурсивний аспект: кожна наукова істина є «інтуїцією-дискурсією», а не абстрактною логічною реєстрацією деякої співвимірності, закономірності, уявного або ж відносно реального смислу деякого відкриття як «закону буття». Істина пов'язана у П.Флоренського (як у І.Канта, Г.В.Ф.Гегеля та інших попередників) не з зовнішньою красою, а саме з "софійністю краси" як знаряддям душі: коли не зовнішня для розуму і людини потреба спонукає до творчості, а "сама Істина спонукає людину шукати істину". Концепція П.Флоренського, на нашу думку, певною мірою долає раціонально-теоретичну спекулятивність гегелівської концепції прекрасного. П.Флоренський досягнув цього завдяки поєднанню у всезагальній формі прекрасного трьох самостійних аспектів: Божественного, філософського, математичного.

Проведено аналіз естетичної функції нескінченності. Показано, що вона слугує основою всього теоретично-прекрасного, поєднує строгу логіку скінченного виведення зі свободою творчої уяви, яка виходить за межі скінченного, долає визначеність та здійсненість скінченного, розширюючи тим самим межі інтелектуального досвіду нарощенням принципово нового знання.

Аргументується, що вирішення проблеми співвідношення інтуїтивного та дискурсивного неможливе в межах самої дедуктивної теорії. Для предметної постановки цієї проблеми потрібен вихід до нового способу співставлення логіки і інтуїції уже не тільки в науковій (математичній), а у трансцендентальній ідеї. Це потрібно для відшукання єдиного виміру в ідеї відношення логіка - інтуїція. Виявляється, що саме системні ознаки математично прекрасного є засобом вимірювання тотожного та відмінного в продуктах теоретичної уяви (інтуїція) та продуктивної здібності суджень (синтетичних математичних суджень на підставі доведення та логічного виведення).

Розглядаючи результати рефлексивного аналізу співвідношенні істини, інтуїції, логіки та краси в математичній творчості (А.Пуанкаре, Ж.Ж.Адамара, Д.Гільберта, Г.Вейля) та аналіз принципів математичної творчості, здійснено спробу систематизувати сучасні уявлення та рівні епістемологічного сенсу математичної краси. На рівні інтелектуального споглядання виділяється дві основні епістемологічні функції: 1) теоретичне існування краси як передумови творчого процесу у якості сформованої потреби у пізнанні, інтелектуальної насолоди та духовно-творчого натхнення; 2) теоретичне існування краси, як границі у якості обмеження витворів продуктивної уяви. На рівні продуктивної теоретичної уяви виділяється три основні функції: 1) першоінтуїція можливої (майбутньої) краси, яка формується на підставі синтезу математичних протилежностей в інтуїтивних комбінаціях продуктивної уяви на фазі формування наукових гіпотез; 2) логічна краса, яка виникає у разі доведення змісту гіпотези до досконалої абстрактно-символічної форми або ж удосконалення наявного знання; 3) краса істини.

Співставлено концепції естетичного виміру в точних науках (Ж.Біркгофф, М.Бензе, В.Гейзенберг). Показано, що в цих концепціях автори (Ж.Біркгофф, М.Бензе) виходять з окремих аналітичних ознак математичної краси, як міри естетичного. При всій цінності та значущості зазначених концепцій, їх можна вважати частинними та переважно онтологічними, де творча роль суб'єкта та структура об'єкта розглядаються на підставі абстрактно-символічних схем, спрощень природи та сутності естетичного в науковому пізнанні. Більш плідною, як свідчить проведений аналіз, є концепція В.Гейзенберга, у якій здійснено спробу поєднати всі ознаки математично прекрасного: від античності до сучасності саме на підставі цілісності. Цінність проаналізованих концепцій, на нашу думку, насамперед полягає в тому, що вони обумовили можливість моделювання та експерименту в естетиці науки.

Аналіз деяких аспектів сучасних теоретичних концепцій інформаційно-синергетичних аспектів моделювання прекрасного в науці, показав, що домінуючою тенденцією виступає залучення в математичному та кібернетичному моделюваннях принципів математичної симетрії, перетворень (варіацій та їх інваріантів, теорії подібності, пропорцій), математичної гармонії взагалі.

Природа естетичного в математичному пізнанні, як показано в дослідженні, має складну та поліфункціональну структуру. Прекрасне є присутнім, як на етапі наукового пошуку, в якості евристичного фону наукового дослідження та продуктивної сили інтелектуальної уяви, так і на етапі математичного та логічного опрацювання наукового результату у процесі доведення, виведення, систематизації знань та побудови математичних теорій у проведенні математичного експерименту не лише подумки, а і за допомогою комп'ютерних засобів.

ПУБЛІКАЦІЇ

Соловей Л.А., Проскура Н.А. Аристотель о природе прекрасного в математике Тезисы выступлений участников Международной конференции по проблемам древнегреческой философии "VI Аристотелевские чтения", Мариуполь, 1993. - «Единый космос, единый полис, единый человек». - С.183-185.

Проскура Н.О. Естетичні критерії математичного мислення. // Матеріали Третіх Костюківських читань. - Том ІІ. - "Сучасна психологія в ціннісному вимірі". - К.: 1994. - С. 239-240.

Проскура Н. Філософсько-психологічні аспекти математичної творчості. // Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції "Ментальність, Духовність, Саморозвиток особистості". - Частина І., розділ ІІ. - Київ-Луцьк, 1994. - С. 308-310.

Проскура Н.О. Місце естетичних категорій у рефлексивних компонентах наукової діяльності. // Зб. наук. пр. Етнонаціональний розвиток в Україні... - Част. ІІ. - Київ-Чернівці, 1997. - С. 470-475.

Проскура Н.А. Эстетический компонент математического образования. // Труды V Международной конференции "Математика, Компьютер, Образование". - Москва-Дубна, 1998. - Ч.1. - С. 144-148.

Проскура Н.О. Естетичний сенс ідеї нескінченності // Філософські пошуки. - 1998. - Випуск І (V). - С. 320-329.

Проскура Н.О. Естетичний вимір у математиці. // Наукові записки Київського університету ім. М.П.Драгоманова. - К.: Видавничий дім «DETID», 1998. - Вип.4. - С. 217-221.

Проскура Н.О. Гуманістичний аспект математичної освіти. // Наука і освіта. - 1998. - № 1-2. - С. 66-69.

АНОТАЦІЇ

Проскура Н.О. Математичне пізнання в естетичному аспекті. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата філософських наук за спеціальністю 09.00.09. - філософія науки. - Київський університет імені Тараса Шевченка.

Дисертацію присвячено дослідженню естетичного змісту математичного пізнання. Запропоновано концепцію естетико-епістемологічного сенсу математичного пізнання, в якій долається традицiйний підхід, що пов'язаний з аналізом та застосуванням у практицi тiльки зовнiшньої, формальної математичної краси та емпiричної сторони естетичного у багатоманiтних проявах математичної творчостi. Сутнiсть концепцiї полягає у виявленнi змiстовно-естетичного у математицi, його особливих естетичних та епiстемологiчних функцiй у пошуку та обгрунтуваннi нових математичних знань.

Ключові слова: математичне пізнання, естетичний зміст математичного пізнання, естетичні функції теоретико-математичних принципів, формально-естетичне, змістовно-естетичне.

Проскура Н.А. Математическое познание в эстетическом аспекте. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук по специальности 09.00.09. - философия науки. - Киевский университет имени Тараса Шевченко.

Диссертация посвящена исследованию эстетического содержания в математическом познании. Разработана концепция эстетико-эпистемологического смысла математического познания, в которой преодолевается традиционный подход, связанный с анализом и применением в практике только внешних, формальных проявлений математической красоты и учитванием лишь эмпирической стороны эстетического в различных проявлениях математического творчества. Сущность концепции состоит в выявлении содержательно-эстетического в математике, его особенных эстетических и эпистемологических функций в процессе поиска и обоснования новых математических знаний.

Ключевые слова: математическое познание, эстетическое содержание математического познания, эстетические функции теоретико-математических принципов, формально-эстетическое, содержательно-эстетическое.

Proskura N.O. Mathematical Cognition in Aesthetic Aspect. - Manuscript.

The thesis is submitted for the Candidate of Philosophic Sciences degree by speciality 09.00.09 - Philosophy of science. Kyiv University named after Taras Shevchenko, Kyiv, 1998.

The thesis is dedicated to the research of aesthetic content in mathematical cognition. The concept of aesthetic and epistemological sense of mathematical cognition where traditional approach preponderates. It is connected with the analysis and use in practice only «external» formal manifestation of mathematical beauty and with the analysis of empiricism only in different manifestation of mathematical creative work. The concept essence is depicted in determination of mathematical content and aesthetics, their peculiarities of aesthetic and epistemological function in the process of search and substantiation of new mathematical knowledges.

Key words: mathematical cognition, aesthetic content in mathematical cognition, aesthetic function of theoretical and mathematical principles, formal and aesthetical concept, content and aesthetical concept.

Размещено на Allbest.ur