Понятие суждения

33

Реферат по Основам логики

На тему: СУЖДЕНИЕ

Содержание:

1. Общая характеристика суждения

2. Простое суждение

3. Сложное суждение и его виды

4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

5. Отношения между суждениями по значениям истинности

6. Деление суждений по модальности

1. Общая характеристика суждения

Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Примеры суждений: “Космонавты существуют”, “Париж больше Марселя”, “Некоторые числа не являются четными”. Если то, о чем говорится в суждении, соответствует действительному положению вещей, то суждение истинно. Указанные выше суждения являются истинными, так как в них адекватно (верно) отражено то, что имеет место в действительности. В противном случае суждение ложно (“Все растения являются съедобными”).

Традиционная логика является двузначной, потому что в ней суждение имеет одно из двух значений истинности: оно либо истинно, либо ложно. В трехзначных логиках - разновидности многозначных логик - суждение может быть либо истинным, либо ложным, либо неопределенным.

Например, суждение “На Марсе есть жизнь” в настоящее время не является ни истинным, ни ложным, а неопределенным. Многие суждения о будущих единичных событиях являются неопределенными. Об этом писал еще Аристотель, приводя пример такого неопределенного суждения: “Завтра необходимо будет морское сражение”¹.

В простом атрибутивном суждении имеются субъект, предикат, связка и кванторное слово. В суждении “Некоторые птицы являются хищными” субъектом является понятие “птица”, предикатом - понятие “хищник”, кванторным словом - “некоторые”, связка выражена словом “являются”. В суждении “Ледоколы существуют” субъектом является понятие “ледокол”, а предикатом - понятие существования предмета; он выражен словами “то, что существует”.

Субъект атрибутивного суждения - это понятие о предмете суждения. Субъект суждения обозначается буквой S (от латинского слова subjectum). Предикатом атрибутивного суждения называется понятие о признаке предмета, о котором говорится в суждении. Предикат обозначается буквой Р (от лат. praedicatum). Связка может быть выражена одним словом (есть, суть, является), или группой слов, или тире, или простым согласованием слов (“Все бабочки суть насекомые”, “Рим является столицей Италии”, “Некоторые книги не относятся к букинистическим”).

Перед субъектом суждения иногда стоит кванторное слово: “все”, или “ни один”, или “некоторые” и др. Кванторное слово указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части. Простые суждения, о которых шла речь, называются ассерторическими.

Суждение и предложение

Понятия в языке выражаются, одним словом или группой слов. Суждения выражаются в виде повествовательных предложений, которые содержат сообщение, какую-то информацию.

Например: “Светит яркое солнце”, “Ни один кашалот не является рыбой”. По цели высказывания предложения делятся на повествовательные, побудительные и вопросительные.

Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, так как в них ничего не утверждается и не отрицается и они не истинны и не ложны. Например: “Когда ты начнешь работать в саду?” или “Эффективен ли этот метод изучения иностранного языка?”. Если в предложении выражен риторический вопрос, - например: “Кто не хочет счастья?”, “Кто из вас не любил?” или “Есть ли что-нибудь чудовищнее неблагодарного человека?” (В. Шекспир), или “Есть ли человек, который смотрит в минуту раздумья на реку и не вспоминает о постоянном движении всех вещей?” (Р. Эмерсон), - то в нем содержится суждение, так как налицо утверждение, уверенность, что “Все хотят счастья” или “Все люди любят” и т. п.

Побудительные предложения выражают побуждения собеседника (читателя или других людей) к совершению действия, высказывают совет, просьбу, приказ и т. д. Побудительные предложения не содержат суждения, хотя в них что-то утверждается (“Следите за здоровьем”) или отрицается (“Не разводите костры в лесу”, “Иди не на каток, а в школу!”). Но предложения, в которых сформулированы воинские команды и приказы, призывы или лозунги, выражают суждения, однако не ассерторические, а модальные². Например-. “Берегите мир!”, “Приготовьтесь к старту!”, “Мой друг! Отчизне посвятим души прекрасные порывы” (А. С. Пушкин). Воспитанники А. С. Макаренко поместили в колонии призыв “Не пищать!”, т. е. призыв не ныть, не падать духом в трудные периоды жизни. Эти предложения выражают суждения, но суждения модальные, включающие в себя модальные слова.

Как отмечает А. И. Уемов, выражают суждения и такие побудительные предложения: “Берегите мир!”, “Не кури!”, “Выполняй взятые на себя обязательства!”.

“Перед любым приемом пищи ешьте салат из сырых овощей или сырые фрукты” и “Не вредите себе перееданием” - эти советы (призывы) знаменитого американского ученого Поля Брэгга, взятые из его книги “Чудо голодания”, являются суждениями. Является суждением и призыв: “Люди мира! Соединим усилия в решении общечеловеческих, глобальных проблем!”

Однако ряд логиков считает, что никакие побудительные предложения не содержат суждения, так как якобы не содержат утверждения или отрицания и не являются ни истинными, ни ложными.

Односоставные безличные предложения (например: “Знобит”, “Подморозило”), назывные предложения (например: “Утро”, “Осень”) и некоторые виды повествовательных предложений (например: “Он - знаменитый хоккеист”, “Атлантический океан находится от нас далеко”) являются суждениями лишь при рассмотрении их в контексте и уточнении: “Кто - он?”, “От кого -нас?”. Если этого уточнения не сделано, то нельзя установить, является ли данное суждение истинным или ложным.

В некоторых случаях субъект суждения (S) не совпадает с грамматическим подлежащим, а предикат суждения (P) - с грамматическим сказуемым. В примере “Гвоздики - цветы” совпадение полное. В примере “Злая собака выбежала мне навстречу” - совпадения нет.

2. Простое суждение

Суждения бывают простые и сложные; последние состоят из нескольких простых. Суждение “Некоторые звери делают запасы на зиму” - простое, а суждение “Наступила осень, дни стали короче, и перелетные птицы отправились в теплые края” - сложное, состоящее из трех простых суждений.

Виды простых ассерторических суждений

Это суждения, в которых один субъект и один предикат. Простые суждения бывают трех видов:

1. Суждения свойства (атрибутивные).

В них утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности. Примеры: “Мед сладкий”, “Шопен не является драматургом”. Схемы этого вида суждения: “S есть Р” или “S не есть Р”.

2. Суждения с отношениями.

В них говорится об отношениях между предметами. Например: “Всякий протон тяжелее электрона”, “Французский писатель Виктор Гюго родился позднее французского писателя Стендаля”, “Отцы старше своих детей” и др.

Формула, выражающая суждение с двуместным отношением, записывается как aRb или R(a,b), где а и b - имена предметов, а R - имя отношения. В суждении с отношением может что-либо утверждаться или отрицаться не только о двух, но и о трех, четырех или большем числе предметов, например: “Москва находится между Санкт-Петербургом и Киевом”. Такие суждения выражаются формулой R (a₁, a₂, a₃, …, a_n)

3. Суждения существования (экзистенциальные). В них утверждается или отрицается существование предметов (материальных или идеальных) в действительности. Примеры этих суждений: “Существуют атомные электростанции”, “Не существует беспричинных явлений”.

Категорические суждения и их виды (деление по количеству и качеству)

В традиционной логике все три указанных вида суждений представляют собой простые категорические суждения. По качеству связки (“есть” или “не есть”) категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные. Суждения “Некоторые учителя являются талантливыми воспитателями” и “Все ежи колючие” утвердительные. Суждения “Некоторые книги не являются букинистическими” и “Ни один кролик не является хищным животным” отрицательные. Связка “есть” в утвердительном суждении отражает присущность предмету (предметам) некоторых свойств. Связка “не есть” отражает то, что предмету (предметам) не присуще некоторое свойство.

Некоторые логики считали, что в отрицательных суждениях нет отражения действительности. На самом деле отсутствие определенных признаков также представляет собой действительный признак, имеющий объективную значимость. В отрицательном истинном суждении наша мысль разъединяет (разделяет) то, что находится разделенным в объективном мире.

В познании утвердительное суждение имеет в общем случае большее значение, чем отрицательное, ибо важнее раскрыть, каким признаком обладает предмет, чем то, каким он не обладает, так как любой предмет не обладает очень многими свойствами (например, дельфин не рыба, не насекомое, не растение, не пресмыкающееся и т. д.).

В зависимости от того, обо всем ли классе предметов, о части этого класса или об одном предмете идет речь в субъекте, суждения делятся на общие, частные и единичные. Например:

“Все соболя - ценные пушные звери” и “Все здравомыслящие люди хотят долгой, счастливой и полезной жизни” (П. Брэгг) -общие суждения; “Некоторые животные - водоплавающие” -частное; “Везувий - действующий вулкан” - единичное.

Структура общего суждения: “Все S суть (не суть) P”. Единичные суждения будут трактоваться как общие, так как их субъектом является одноэлементный класс.

Среди общих суждений встречаются выделяющие суждения, в состав которых входит кванторное слово “только”. Примеры выделяющих суждений: “Брэгг пил только дистиллированную воду”; “Смелый человек не боится правды. Ее боится только трус” (А. К. Доил).

Среди общих суждений имеются исключающие суждения, например: “Все металлы при температуре 20°С, за исключением ртути, твердые”. К числу исключающих суждений относятся и те, в которых выражены исключения из тех или иных правил русского или иных языков, правил логики, математики, других наук.

Частные суждения имеют структуру: “Некоторые S суть (не суть) Р”. Они делятся на неопределенные и определенные. Например, “Некоторые ягоды ядовиты” - неопределенное частное суждение. Мы не установили, обладают ли признаком ядовитости все ягоды, но не установили и то, что признаком ядовитости не обладают некоторые ягоды. Если мы установили, что “только некоторые S обладают признаком Р”, то это будет определенное частное суждение, структура которого: “Только некоторые S суть (не суть) Р”. Примеры: “Только некоторые ягоды ядовиты”; “Только некоторые фигуры являются сферическими”; “Только некоторые тела легче воды”. В определенных частных суждениях часто применяются кванторные слова:

большинство, меньшинство, немало, не все, многие, почти все, несколько и др.

В единичном суждении субъектом является единичное понятие. Единичные суждения имеют структуру: “Это S есть (не есть) Р”. Примеры единичных суждений: “Озеро Виктория не находится в США”; “Аристотель - воспитатель Александра Македонского”; “Эрмитаж- один из крупнейших в мире художественных и культурно-исторических музеев”.

Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристики. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие четыре типа суждений:

1. А - общеутвердительное суждение. Структура его: “Все S суть Р”. Например: “Все люди хотят счастья”.

2.I- частноутвердительное суждение. Структура его: “Некоторые S есть P). Например, “Некоторые уроки стимулируют творческую активность учащихся”. Условные обозначения для утвердительных суждений взяты от слова affirmo, или утверждаю; при этом берутся две первые гласные буквы: А - для обозначения общеутвердительного и I - для обозначения частноутвердительного суждения.

3. Е - общеотрицательное суждение. Его структура: “Ни одно S не есть Р”. Пример: “Ни один океан не является пресноводным”.

4. О - частноотрицательное суждение. Структура его: “Некоторые S не есть Р”. Например, “Некоторые спортсмены не являются чемпионами Олимпийских игр”. Условное обозначение для отрицательных суждений взяты от слова nego, или отрицаю.

Распределенность терминов в категорических суждениях

Так как простое категорическое суждение состоит из терминов S и Р, которые, являясь понятиями, могут рассматриваться со стороны объема, то любое отношение между S и Р в простых суждениях может быть изображено при помощи круговых схем Эйлера, отражающих отношения между понятиями. В суждениях термины S и Р могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным” если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределенным, если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из него. Проанализируем четыре вида суждений: А, I, Е, О (мы рассматриваем типичные случаи).

Суждение А - общеутвердительное. Его структура: “Все S суть Р”. Рассмотрим два случая.

1. В суждении “Все караси - рыбы” субъектом является понятие “карась”, а предикатом -понятие “рыба”. Квантор общности - “все”. Субъект распределен, так как речь идет о всех карасях, т.е. его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в нем мыслится только часть рыб, которые совпадают с карасями; речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.

Распределенность терминов в суждениях можно иллюстрировать с помощью круговых схем Эйлера. На рис. 10 изображено соотношение S и Р в суждении А. Заштрихованная часть круга на рисунках 10-15 характеризует распределенность (или нераспределенность) терминов.

Рис.10 Рис. 11

Если объем Р больше (шире) объема S, то Р - не распределен.

2. В суждении “Все квадраты - равносторонние прямоугольники” термины такие: S - “квадрат”, Р - “равносторонний прямоугольник” и квантор общности - “все”. В этом суждении S распределен и Р распределен, ибо их объемы полностью совпадают (рис. 11).

Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях и в выделяющих общих суждениях¹.

Суждение I - частноутвердителъное. Его структура: “Некоторые S суть Р”. Рассмотрим два случая.

1. В суждении “Некоторые подростки - филателисты” термины такие: S - “подросток”, Р - “филателист”, квантор существования - “некоторые”. Соотношение S и Р изображено на рис. 12. Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть подростков, т. е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются подростками).

Рис. 12 Рис. 13

Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.

2. В суждении “Некоторые писатели - драматурги” термины такие: S- “писатель”, Р - “драматург” и квантор существования -“некоторые”.

Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, т. е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, ибо объем предиката полностью входит в объем субъекта (рис. 13).

Таким образом, В учебнике Горского Д. П., Логика. (М., 1963. С. 109-110) этот второй случай совсем не рассматривается. Авторы некоторых учебных пособий по логике иначе трактуют распределенность терминов в суждениях А и I.

Р распределен, если объем Р меньше объема S, что бывает в частных выделяющих суждениях.

Суждение Е - общеотрицательное. Его структура: “Ни одно S не суть Р. Например: “Ни один лев не есть травоядное животное”. В нем термины такие: S- “лев”, Р- “травоядное животное” и кванторное слово - “ни один”. Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Поэтому и S, и Р распределены (рис. 14).

Рис. 14 Рис. 15

Суждение О - частноотрицатеяьное. Его структура: “Некоторые S не суть Р”. Например: “Некоторые учащиеся не являются спортсменами”. В нем такие термины: S - “учащийся”, Р -“спортсмен” и квантор существования - “некоторые”.

Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте (рис. 15).

Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р ?= S.

Распределенность терминов в категорических суждениях можно выразить в виде схемы (рис. 16), где знаком “+” выражена распределенность термина, а знаком “-” его нераспределенность. В ней же дана объединенная информация о простых суждениях.

Без знания правил распределенности терминов в категорических суждениях отпадает один из способов проверки, правильно ли построен категорический силлогизм или сделано непосредственное умозаключение.

Рис. 16

3. Сложное суждение и его виды

Исчисление высказываний

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

а	b	a^b	a b	a э b	аb	аb
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

а	в
И	Л
Л	И

Буквы а, b - переменные, обозначающие суждения; буква “И” обозначает истину, а “Л” - ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (а b) можно разъяснить на следующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых суждений: “Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)”. Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же о ложно, или b ложно, или и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т. е. учителю была дана ложная характеристика.

Суждение “Увеличение рентабельности достигается или путем повышения производительности труда (а), или путем снижения себестоимости продукции (b)” - пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказывание или формула с такой дизъюнкцией истинна в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

Строгая дизъюнкция (а э b ) - та, в которой члены дизъюнкции исключают друг друга. Ее можно разъяснить на примере:

“Я поеду на Юг на поезде (а) или полечу туда на самолете (b)”. Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух простых суждений истинно, и только одно.

Таблицу для импликации (а > b) можно разъяснить на таком примере: “Если по проводнику пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b)¹. Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе - ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т. е. суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т. е. чтобы суждение (b) было ложным.

В таблице эквиваленция (a ? b) характеризуется так: а ? b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Отрицание суждения а (т. е. в) характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а - ложно, то . в - истинно.

Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или ложности ее переменных, будет состоять из 2³ = 8 строк; при четырех переменных в таблице будет 2⁴ = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 2⁵ = 32 строки; при n переменных 2ⁿ строк.

Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, для четырех переменных а, b, с, d) таков: (см. таблицу на стр. 81);

Имеем 2⁴ = 16 строк. В столбце для а сначала пишем 8 раз “И” и 8 раз “Л”. В столбце для b сначала пишем 4 раза “И” и 4 раза “Л”, затем повторяем и т. д.

Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение “истина”. Тождественно-ложная формула -та, которая (соответственно) принимает только значение “ложь”. Выполнимая формула может принимать значения как “истина”, так и “ложь”.

а	b	с	d
и	и	и	и
и	и	и	л
и	и	л	и
и	и	л	л
и	л	и	и
и	л	и	л
и	л	л	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	и	и	л
л	и	л	и
л	и	л	л
л	л	и	и
л	л	и	л
л	л	л	и
л	л	л	л

Так как в последней колонке имеем одни истины, то формула является тождественно-истинной, или законом логики (или, как иногда ее называют, тавтологией).

Итак, конъюнкция (а ^ b) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (а э b) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (а v b ) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (а > b) истинна во всех случаях, кроме одного: когда а - истнно, b - ложно. Эквиваленция (а b) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание () истины дает ложь, и наоборот.

Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т. е. не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными).

Отрицающим являются следующие пары суждений:

1. А - О. “Все S суть Р” и “Некоторые S не суть Р”.

2. Е -1. “Ни одно S не суть Р” и “Некоторое S суть Р”.

3. “Это S суть Р” и “Это S не суть Р”.

Oперацию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных суждений. Существует два вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутреннее - указывает на несоответствие предиката субъекту (связка выражена словами: “не суть”, “не есть”, “не является”). Например: “Некоторые люди не имеют высшего образования”. Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например: “Неверно, что в Москве протекает река Нева”.

Отрицание сложных суждении

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т. е. конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его.

Имеем:

Эти четыре формулы называются законами де Моргана. Применив их, получим:

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необходимо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией), а именно:

затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например: “Если я буду иметь свободное время (а), то буду вязать (b) или посмотрю телевизор (с)”. Формула этого сложного суждения:

Противоречащее суждение будет:



Оно читается так: “У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор”.

Исчисление высказываний

I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а₁ ,а₂ ,... Эти символы называются переменными высказываниями, или пропозициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины:--, ^, , э, . Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.

3. Скобки: ( ).

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с ...).

2. Если А и В есть ППФ, то , (А^В), (АВ), (A э В), (АB) и (АВ) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не являются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: (а ^ b ; а-b; ^ а; аb; а ^ b ; а b .

Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на основании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкой всегда сопровождается заключением в скобки; то же самое можно сказать и о двух последних словах.

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем . В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b) (с ^ d ) будем писать в виде а v bс ^ d.

Однако не всякая формула может быть записана без употребления скобок. Например, в формулах а (b с), а ^ (bс) исключение скобок невозможно.

Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “*” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.

4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (а ^ b) = ( b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

“Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А. А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В”'.

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная а b и а э b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библиотеку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъюнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а э b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности:

в естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение “Я куплю масло или хлеб” эквивалентно суждению “Я куплю хлеб или масло”.

С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (А В) и эквиваленция (А~В)². (Буквами А и В обозначены переменные высказывания).

Приведем структуры и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения импликации А В (где А - антецедент, а В - консеквент):

1. Если А. то В. Если пойдет дождь, то экскурсия в лес не состоится.

2. Коль скоро А, то В. Коль скоро приближается буря, то медузы приплывают к берегу моря.

3. В случае А имеет место В.

В случае, когда наступает инфляция, имеет место снижение жизненного уровня трудящихся.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы металл расплавить, достаточно его нагреть до температуры плавления.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо увеличить усилия всех государств в борьбе за мир.

6. А (материально) влечет В.

Овладение искусством общения влечет улучшение межличностных отношений.

7. А, только если В.

Ваши коммуникации будут успешнее, только если вы займете позицию: “У меня все в порядке - у тебя все в порядке”'.

8. В, если А.

Мы поедем отдыхать в санаторий, если у нас будет путевка.

Приведем структуры и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции:

1. А, если и только если В.

Посевная пройдет успешно, если и только если вовремя будут отремонтированы сельскохозяйственные машины.

2. Если А, то В, и обратно.

“Если вы твердо уверены, что ваши аргументы убедительнее, но ваш коллега, стоящий на той же ступеньке служебной лестницы, не хочет этого замечать, то избегайте призывать на помощь вашего начальника”², и обратно.

3. А, если В, и В, если А.

Всякое число является четным, если оно делится на 2, и число делится на 2, если оно является четным.

4. Для А необходимо и достаточно В. Для того, чтобы число без остатка делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0 или 5.

5. А тогда и только тогда, когда В.

B коллективе возникает хороший психологический климат тогда и только тогда, когда будут однозначно определены задачи, ответственность и компетенция каждого сотрудника'.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, русском) средства выражения импликации и эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках².

Импликация (а 6) не совсем соответствует по смыслу союзу “если..., то” естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями а и b. В логике высказываний законом является формула: (а b) = (в b) Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз “если..., то” выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например: “Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце”. Это сложное суждение выражается формулой а^b.

В логике, кроме логических связок, для выражения общих и частных суждений используется квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности хР(x) обычно читается так: “Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р”, а запись с квантором существования хР(х} читается так: “Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р”, Например, х (х > 100) читается так: “Существуют такие х, которые больше 100”, где под х подразумевают числа. В русском языке квантор общности выражается словами: “все”, “всякий”, “каждый”, “ни один” и др. Квантор существования выражается словами: “некоторые”, “существуют”, “большинство”, “меньшинство”, “только некоторые”, “иногда”, “тот, который”, “не все”, “многие”, “немало”, “немногие”, “много”, “почти все” и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности.

Контрфактическими называют условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении. Например: “Если бы на Земле не было кислорода, то жизнь на ней была бы невозможна”; “Если бы водитель не нарушил правила, то авария бы не произошла”. В импликации аb переменная а является основанием (она называется антецедентом). Переменная b - следствием (заключением), она называется консеквентам.

Сослагательное наклонение показывает, что антецедент и консеквент в таких высказываниях ложны, т. е. не соответствуют реальному положению дел. Однако, подобно всем другим высказываниям, контрфактическое высказывание в целом может быть истинным. Оно истинно, если между его антецедентом и консеквентом имеется связь такого рода, что истинность антецедента влечет истинность консеквента. И ложно, если такой связи нет. Например, высказывание “Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы темно” истинно, а высказывание “Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы светло” ложно (для несеверных широт, так как на Севере летом бывают белые ночи). Поскольку антецедент и консеквент контрфактического высказывания оба ложны, установление их истинности связано с серьезными трудностями.

Контрфактическое высказывание имеет структуру: “Если бы а, то было бы b”. Контрфактические высказывания широко используются в научной практике. Так, например, историки для оценки событий, намерений, мотивов, политических планов и т. п. часто употребляют контрфактические предложения, говорящие, то могло бы быть, если бы дело обстояло не так, как это произошло в действительности. Контрфактичесиое предложение, изъявительные формы антецедента и консеквента которого обозначены соответственно через а и b, принято записывать как а b.

Примером сложного контрфактического высказывания является следующее истинное высказывание: “Последствия стихии могли быть тяжелее, если бы не мужество и сплоченность людей, четкая организация спасательных работ, неукоснительное выполнение всеми порученного дела”. Чтобы записать формулу этого сложного контрфактического высказывания, надо его сначала привести к четкой логической форме. Она такая: “Если бы не было мужества и сплоченности людей, четкой организации спасательных работ, неукоснительного выполнения всеми порученного дела, то последствия стихии могли бы быть тяжелее”. формула этого контрфактического высказывания такая:

(а^b^с^d) е.

Здесь а обозначает высказывание “Мужество людей отсутствовало”, b - высказывание “Сплоченность людей отсутствовала”, с - “Четкая организация работ отсутствовал”, d- “Неукоснительное выполнение всеми порученного дела отсутствовало”. Все четыре высказывания соединены знаками конъюнкции. Знак “ ” обозначает импликацию в контрфактическом высказывании, соответствующую союзу “если бы..., то было бы”. Буква е обозначает высказывание “Последствия стихии оказались тяжелее”. Следует заметить, что знак “” отсутствует в классической логике высказываний.

Контрфактические высказывания довольно часто встречаются не только в научной, но и в художественной литературе -как в прозе, так и в поэзии.

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия “необходимое условие” и “достаточное условие”. Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия). Условие называется достаточным, если; .из него вытекает заключение (следствие). Ниже предлагаются задачи, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: “необходимо”, “достаточно” или “необходимо и достаточно”.

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом ... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно делилось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х-3)*(х+2)*(х-5) было равно 0,... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... чтобы все его углы были равны.

5. Отношения между суждениями по значениям истинности

Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют общи субъект или предикат) и несравнимые. Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые.

В математической логике два высказывания р и q называйся несовместимыми, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого (т. е .р и q никогда не могут казаться одновременно истинными). “Это понятие легко распространить на любое число высказываний: высказывания р_1,p₂ ... р₁₁ называются несовместимыми, если не может оказаться, что все они являются одновременно истинными”'.

Совместимые выражают одну и ту же мысль полностью или лишь в некоторой части. Отношения совместимости: эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпадение (субконтрарность). Совместимые эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысль в различной форме (“Юрий Гагарин - первый космонавт” и “Юрий Гагарин первым полетел в космос”). Субъект здесь один и тот же, а предикаты различные по форме, но одинаковые по смыслу. В двух эквивалентных суждениях “Михаил Шолохов-лауреат Нобелевской премии” и “Автор романа “Тихий Дон” -лауреат Нобелевской премии” одинаковыми являются предикаты, а различными по форме выражения, но тождественными понятиями -субъекты.

Если два высказывания эквивалентны, то невозможно, чтобы одно из них было истинным, а другое ложным.

В сочинении, при заучивании материала, в устном изложении текста, при переводе с одного языка на другой - всюду требуется умение кратко и корректно излагать свои мысли.

Совместимые суждения, находящиеся в отношении логического подчинения, имеют общий предикат; понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, также находятся в отношении логического подчинения. Отношения между суждениями по истинности принято схематически изображать в виде “логического квадрата” (рис. 17).

Возьмем суждение “Все слоны - млекопитающие”. Это суждение А общеутвердительное (подчиняющее). Суждение! - “Некоторые слоны - млекопитающие” - подчиненное.

Для суждений А и I, а также Е и О, находящихся в отношении логического подчинения, истинность общего суждения определяет истинность частного, подчиненного суждения. Но ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределенным.

Противоположность (контрарность)

Истинность частного суждения оставляет общее суждение неопределенным (при нарушении этого правила может возникнуть логическая ошибка - “поспешное обобщение”). Ложность частного суждения обусловливает ложность общего суждения. Если истинно суждение “Ни одна хлорелла не является многоклеточной зеленой водорослью”, то будет истинным и суждение “Некоторые хлореллы не являются многоклеточными зелеными водорослями”. Умозаключение от общего суждения к логически подчиненному ему частному суждению всегда будет давать истинное заключение.

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находятся два таких совместимых суждения I и О, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству. Например, (I) “Некоторые свидетели дают истинные показания” и (О) “Некоторые свидетели не дают истинных показаний”. Оба они одновременно могут быть истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое обязательно истинно. Но если одно из них истинно, то другое неопределенно (оно может быть либо истинным, либо ложным). Например, если истинно суждение (I) “Некоторые книги этой библиотеки изданы на корейском языке”, то суждение (О) “Некоторые книги этой библиотеки не являются изданными на корейском языке” будет неопределенным, т.е. оно может быть как истинным, так и ложным.

Отношения несовместимости: противоположность, противоречие. По “логическому квадрату” в отношении противоположности (контрарности) находятся суждения А и Е. Два суждения: (А) “Все люди трудятся добросовестно” и (Е) “Ни один человек не трудится добросовестно” - оба ложны. Но А и Е не могут быть оба истинными. Если одно из противоположных суждений истинно, то другое будет ложным.

Итак, из истинности одного из противоположных суждений вытекает ложность другого, но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределенным.

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения А и О, а также Е и I. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными. Если в настоящее время истинно суждение (I) “Некоторые летчики - космонавты”, то ложным будет суждение (Е) “Ни один летчик не является космонавтом”.

Закономерности, выражающие отношения между суждениями по истинности, имеют большое познавательное значение, так как они помогают избежать ошибок при непосредственных умозаключениях, производимых из одной посылки (одного суждения).

6. Деление суждений по модальности

В логике мы до сих пор рассматривали простые суждения, которые называются ассерторическими, а также составленные из простых сложные суждения. В них утверждается или отрицается наличие определенных связей между предметом и его свойствами или констатируется отношение между двумя или большим числом предметов. Например: “Школьники - учащиеся”;

“В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т. е. а² + b² = с²; “Объем конуса равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту”; “Яблоко сладкое и красное”; “Я эту работу не выполню в срок”; “Если будет плохая погода, то мы не поедем на теплоходе” и др. Общая форма таких простых высказываний (суждений): “S есть (не есть) Р”. Из простых суждений образуются сложные, например: “Если S есть (не есть) Р, то S₁ ,есть (не есть) Р₁”.

В этих ассерторических суждениях не установлен характер связи между субъектом и предикатом. Помимо ассерторических существуют модальные суждения, в которых уточняется или квалифицируется характер связи между S и Р или характер связи между отдельными простыми суждениями в сложном суждении. Из вышеприведенных суждений можно образовать такие, например, модальные суждения: “Обязательно, что все школьники - учащиеся”; “Доказано, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”;

“Хорошо, что яблоко сладкое и красное”; “Возможно, что я эту работу не выполню в срок”; “Вероятно, что если будет плохая погода, то мы не поедем на теплоходе”. Мы видим, что модальные суждения не просто утверждают или отрицают некоторые связи, а дают оценку этих связей с какой-то точки зрения.

О предмете А можно просто сказать, что он имеет свойство В (это ассерторическое суждение). Но можно сверх того уточнить, является ли эта связь А и В необходимой или, наоборот, случайной, хорошо ли, что А есть В или это плохо, доказано, что А есть В или не доказано, а только есть предположение, и т. д. В результате таких уточнений мы получаем модальное суждение различных типов. Приведем еще примеры модальных суждений: “Возможно, на Марсе есть жизнь”; “Доказано, что в современных условиях невозможна ограниченная ядерная война”. В модальном суждении к ассерторическому суждению приписывается тот или иной модальный оператор (модальное понятие): возможно, доказано, необходимо, запрещено, обязательно, плохо и др. Структура простых модальных суждений такая:

М (S есть Р) или М (S не есть Р),

где М обозначает модальный оператор (модальное понятие).

Но как было уже сказано, модальными могут быть и сложные суждения. Если а и b - простые суждения, то из сложных ассерторических суждений: а ^ b, а b, а э b, а b, а b можно получить соответствующие сложные модальные суждения:

М(а ^ b); М{а b); M(a э b}; М(а b); М{а b).

В каждом из этих пяти типов сложных модальных суждений модальный оператор М может быть заменен его разновидностями. Например, из сложного ассерторического суждения “Если в почву внести удобрения, то урожай повысится” можно получить такие модальные суждения: “Доказано, что если в почву внести удобрения, то урожай повысится”, “Хорошо, если в почву внести удобрения, тогда урожай повысится” и др.

Проиллюстрировав многочисленными примерами, что представляет собой модальное суждение, можно дать определение понятиям “модальное простое суждение” и “модальное сложное суждение”.

Модальными простыми суждениями называют простые суждения, выражающие характер связи между субъектом и предикатом с помощью модальных операторов (модальных понятий).

Модальными сложными суждениями называют сложные суждения, выражающие характер связи между составляющими их простыми суждениями с помощью модальных операторов (модальных понятий).

Модальные высказывания изучаются в модальной логике, в которой имеются отдельные разделы (или ветви): логика норм, логика времени, деонтическая логика, логика действия, логика принятия решений и другие виды логик.

В модальной логике модальность суждений выражается различными модальными операторами (категориями модальности):

“доказуемо”, “опровержимо”, “запрещено”, “необходимо”, “невозможно” и т. п.

В настоящее время современной модальной логикой изучены многие виды модальностей, и те из них, которые сравнительно хорошо изучены, систематизированы в следующей таблице, предложенной А. А. Ивиным'. В каждую из групп модальностей входят три основных модальных понятия.

Второе из них называется слабой характеристикой, первое и третье -сильной положительной и сильной отрицательной характеристиками соответственно.

Иногда в дополнение к трем основным модальным понятиям вводится четвертое, которое может употребляться вместо них для обозначения объединения сильного положительного и нейтрального.

Логические модальности и онтологические модальности объединяются в общий вид - алогические модальности¹. Они включают такие модальные операторы, или категории модальности: необходимость и случайность, возможность и невозможность. Слова “необходимо”, “возможно”, “случайно” в обыденном языке употребляется в самых различных смыслах.

Философия изучает категории “необходимость”, “случайность”, “возможность” с их содержательной стороны. Формальная логика изучает существующие между ними определенные формальные зависимости. Всеобщность модальных категорий состоит в их приложимости к любой области действительности.

Алогические модальности обозначаются так: “?А” - “необходимо А”; “А” - “случайно А”; “А” - “возможно А”; “~А - невозможно А” (знак “~” обозначает отрицание). Иногда их обозначают так: “Lp” - “необходимо р”, “Мр” - “возможно р”.

Алогические модальности (логические и онтологические) часто содержательно истолковывают так: необходимым считают логические законы, а также законы, выявленные различными науками, и все следствия из этих законов.

Невозможным считают суждения, противоречащие этим законам, отрицание этих законов или их следствий.

Случайными считают суждения, не являющиеся законами иди их следствиями, но и не противоречащие законам или их следствиям. Возможными считают положения, не противоречащие законам или их следствиям.

Описание схем - классификаций суждений

Схема 1 (рис. 18) построена так, что дает классификацию суждений на основании выявления формы, или структуры, суждений. Две основные группы суждений - ассерторические и модальные - выделяются на основании того, что в первых не устанавливается характер связи между субъектом и предикатом или между простыми суждениями в сложном, а во вторых устанавливается характер связи между субъектом и предикатом в простом модальном суждении или характер связи между отдельными простыми суждениями в сложном модальном суждении.