Методика обучения решению задач на построение в 7 классе с использованием математического конструктора GeoGebra

Процесс решения задачи на построение очень многообразен. Задачи на построение обладают ценными образовательными, развивающими, воспитывающими функциями.

Изучая геометрию при помощи GG важно знать основные понятия изучаемого предмета, точно знать, чего Вы хотите добиться, пользуясь этим конструктором. Программа оснащена большими возможностями в работе с геометрией и алгеброй, поэтому носит название именно математического конструктора. коммуникативный компетентность образование конструктор

2.3 Методика и организация учебной деятельности при обучении решению задач на построение в 7 классе с использованием математического конструктора GeoGebra на примере уроков

Задачи на построение - очень наглядная тема, которую ученик должен и посмотреть, и «потрогать». Математический конструктор является вещью интерактивной, но не везде есть возможность, иметь персональный компьютер на каждого учащегося. Поэтому с данной точки зрения, думаю, стоит рассмотреть несколько различных вариантов проведения уроков с использованием математического конструктора.

При прохождении данной темы, на несколько уроков такие инструменты, как циркуль и линейка, становятся лучшими друзьям для учеников. Конечно многие учителя сталкиваются с проблемой, что ученик не умеет пользоваться циркулем, а может даже и линейкой. Бывает это из-за разных причин, плохо развита моторика рук, ребенок болел при изучении данного инструмента и другое. И здесь нам придёт на помощь математической конструктор, даже не зная, как пользоваться данными инструментами, с помощью компьютера ребенок быстро освоит тему и данную программу, и ему понравится работать в ней.

Первым делом, надо рассмотреть обычный кабинет, предназначенный для изучения математики, оснащенный лишь персональным компьютером для учителя и интерактивной доской с проектором. Каждый ученик должен иметь при себе: учебник, тетрадь, дневник, карандаш, линейку (без делений), циркуль. [7]

Урок № 1

Тема урока: Построение циркулем и линейкой. Примеры задач на построение.

Цели урока:

образовательные:

· дать представление о стандартных построениях с использованием циркуля и линейки без делений;

· обучить созданию математических моделей.

развивающие:

· развитие навыков умственного труда: алгоритма деятельности, решение проблемной задачи, развитие алгоритмического, логического, творческого мышления;

· формирование навыков исследовательской, творческой деятельности при решении задач на построение.

воспитательные:

· воспитывать ответственное отношение к труду

· воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Тип урока: урок открытие нового знания, урок моделирования способов решения проблемных задач.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, учебник «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С. и др.

Структура:

1) Организационный этап

2) Постановка цели и задач

3) Актуализация знаний

4) Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

5) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

6) Рефлексия (подведение итогов занятия)

1. Организационный этап

Деятельность учителя	Деятельность ученика
Добрый день, ребята! Посмотрите друг на друга и улыбнитесь! Желаю Вам хорошей и продуктивной работы! [отмечает присутствующих, проверяет готовность учащихся к уроку]	Здороваются с учителем.

2. Постановка цели и задач

Ребята, мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертежным угольником. Оказывается, что многие построения можно выполнить только с помощью циркуля и линейки (без делений). Цель урока - рассмотреть стандартные построения, с помощью циркуля и линейки без делений.

Запишите тему урока! [Записывает на доске тему, число

«Построения циркулем и линейкой»]

Записывают в тетради тему урока.

3. Актуализация знаний

4. Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

Построить прямую по двум данным точкам А и В . (Рис.2)

· выбираем объект «Точка» на панели объектов

· отмечаем на полотне две точки А и В

· выбираем объект «Прямая» на панели объектов

· проводим прямую через данные точки (указав эти точки)

В тетрадях:

· отмечаем две точки, в тетради

· проводим прямую с помощью линейки и карандаша.

Построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. (Рис. 3)

· выбираем объект «Точка» на панели объектов (она будет являться центром)

· отмечаем точку на полотне

· выбираем объект «Отрезок с фиксированной длиной» на панели объектов

· строим отрезок (указав один из концов отрезка и задав длину)

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу»

· строим окружность указав центр окружности и задав величину радиуса (для этого можно указать название отрезка)

В тетрадях:

· чертим отрезок (любой длины) при помощи линейки и карандаша

· отмечаем в тетради точку (центр окружности)

· берём раствор циркуля равный данному отрезку

· строим окружность с центром в данной точке

Дана прямая, с помощью циркуля и линейки отложить на прямой отрезок равный данному.(Рис.4)

· выбираем объект «Прямая» на панели объектов

· строим прямую (указав две точки на полотне)

· выбираем объект «Отрезок» на панели объектов

· строим отрезок (указав концы отрезка на полотне)

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу»

· строим окружность (указав центр [любая точка на прямой] и задав радиус окружности для этого указываем название отрезка)

В тетрадях:

· чертим прямую и отмечаем на ней точку, и чертим отрезок (любой длины)

· берем раствор циркуля равный данному отрезку

· строим окружность на прямой с центром в отмеченной точке

· отрезок соединяющий центр данной окружности с любой из точек пересечения окружности с прямой, даст данный отрезок



Отложить от данного луча угол, равный данному. (Рис. 5)

· выбираем объект «Угол» на панели объектов

· строим угол (указав на полотне три точки), достраиваем угол с помощью объекта «Отрезок»

· выбираем объект «Луч» на панели объектов

· строим луч (указав начало луча и точку, принадлежащую лучу)

· выбираем объект «Окружность по центру и точке»

· строим окружность1 (указав центр окружности и точку на ней [за центр окружности возьмем вершину угла, а вторую точку отметим на одной

· выбираем объект «Пересечение» на панели объектов

· отмечаем точку пересечения окружности с второй стороной угла

· выбираем объект «Отрезок» на панели объектов

· строим отрезок* взяв за концы отрезка точки пересечения окружности с сторонами угла

· выбираем объект «Окружность по центру и радиусу» на панели объектов

· строим окружность2 (указав центром начало луча и радиус окружности равный радиусу окружности1)

· строим окружность3 (указав центром точку пересечения окружности2 с лучом, радиусом равным отрезку*

· выбираем объект «Пересечение» на панели объектов

· отмечаем одну из точек пересечения окружности2 с окружностью3 В тетрадях:

· чертим луч и произвольный угол

· проводим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла (окружность пересечет стороны угла в двух точках, которые образуют отрезок (*))

· далее, проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча (окружность пересечёт луч в точке (**))

· строим окружность с центром в точке (**) и радиусом равным отрезку (*)

· окружности пересекутся в двух точках, мы получим искомый угол Действительно, если мы будем рассматривать треугольники, в которых содержаться наши углы, то они будут равны по трём сторонам.

Далее пункты построения будут рассматриваться подробно, в том случае если объект еще не использовался.

Построение середины данного отрезка. (Рис 6.)

· построим отрезок

· построим две окружности с радиусами равными данному отрезку, с центрами являющимися концами данного отрезка

· отметим точки пересечения данных окружностей

· проведем прямую через точки пересечения окружностей

· отметим точку пересечения прямой с отрезком (она и будет являться серединой отрезка)

В тетрадях:

· чертим отрезок

· строим две окружности с радиусами равными данному отрезку, центры этих окружностей концы отрезка

· проводим прямую, через точки пересечения данных окружностей (точка пересечения данной прямой с отрезком и будет являться серединой)

Построение биссектрисы угла. (Рис.7)

· строим угол

· строим окружность1 произвольного радиуса, с центром в вершине угла

· отмечаем точки пересечения окружности с сторонами

· строим отрезок, с концами в точках пересечения окружности с сторонами

· строим окружность2 и окружность3 с радиусами равными отрезку и вершинами являющимися концами данного отрезка

· отмечаем точки пересечения окружности2 с окружностью3

· проводим луч, выходящий из вершины угла и проходящий через точки пересечения (он будет являться биссектрисой)

В тетрадях:

· начертим произвольный угол

· построим произвольную окружность с центром в вершине данного угла (окружность пересечет стороны угла в двух точках, которые образуют отрезок (*))

· проведем две окружности радиусом, равным данному отрезку (*) и с центрами в концах этого отрезка (*) (они пересекутся в двух точках, одна их точек будет лежать внутри угла)

· проведём прямую (она и будет являться биссектрисой)

Построение перпендикулярных прямых. (Рис. 8)

· проводим прямую и отмечаем на ней точку

· строим на прямой два равных отрезка с началом в данной точке (по разные стороны от неё)

· построим окружность1 и окружность 2 с радиусом равном сумме наших отрезков и вершинами в концах отрезков

· отметим точки пересечения данных окружностей

· проводим прямую через начало отрезков и точки пересечения окружностей

В тетрадях:

· чертим прямую и отмечаем на ней точку

· отложим два равных отрезка от этой точки (по разные от нее стороны)

· построим две окружности с центрами в концах отрезков и радиусом равным сумме этих отрезков (они пересекутся в двух точках)

· проведем прямую через эти точки и изначальную точку (они образовали прямой угол)

Итак, мы вспомнили основные, стандартные построения. Мы будем ими пользоваться в дальнейшем.

5. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению



6. Рефлексия (подведение итогов занятий)

Содержит самостоятельную работу, в которой ученик при помощи циркуля и линейки выполняет построения. Пример задания (Рис.9): Проведите все возможные прямые по данным точкам.

Следующий урок проводится в кабинете информатики. Каждый ученик имеет персональный компьютер, так же, как и учитель, в данном случае интерактивная доска также служит средством демонстрации, при этом дети параллельно и самостоятельно работают в математическом конструкторе GeoGebra.

Урок № 2 Тема: Решение задач на построение Цель:

1) научиться решать задачи на построение при помощи математического конструктора GeoGebra

2) закрепить пройденный материал

Тип урока: закрепление знаний и формирование ЗУН

Оборудование: интерактивная доска, проектор, персональный компьютер на каждого ученика и учителя, учебник «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С. и др.

Структура:

1) Организационный этап

2) Постановка цели и задач

3) Актуализация знаний

4) Открытие нового знания, усвоение и закрепление новых знаний

5) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

6) Рефлексия (подведение итогов занятия)

1. Организационный этап

2. Постановка цели и задач стандартными построениями, это наши кирпичики для решения последующих задач.

Сегодня же мы приступим к решению задач потруднее.

Но решать задачи мы будем очень интересным способом с помощью компьютера. Спросите, как? Нам на помощь придет математический конструктор, который сделает практически все построения за вас, но ему тоже понадобится помощь, именно ваша! У каждого из Вас на рабочем столе программа GeoGebra, пожалуйста откройте ее!

3. Актуализация знаний

Данные задания состоят в следующем. Ученику предлагается достроить уже начатое именно, стандартное построение, то что он доказывал дома, и то что строил с помощью циркуля и линейки. В данном случае он пробует это в программе, в файле, вот как он выглядит (Рис.10).

При этом каждому ученику, предлагается подсказка, в случае, если он не справится. В GG можно скрывать объект, что и сделано в данных заданиях, то есть ребенок в любой момент можно открыть «Панель объектов» (Рис.11) и посмотреть, какой же шаг он должен был выполнить.

Как он это поймет? В GG все довольно просто, тот объект, который не отмечен синим кружочком значит и «спрятан». (Рис. 12)

4. Усвоение и закрепление новых знаний



На каждой карточке записана задача, что дано, и то что нужно построить.

Первые две задачи решаются фронтально, всем классом обсуждаются и выполняются. Третья задача для самостоятельного выполнения, на оценку. Учащиеся сохраняют все три файла в своей папке, после чего отсылают данную папку учителю на проверку (то есть на уроке учитель не проверяет решение третьей самостоятельной задачи).

Задача. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

	Дано: два отрезка AB и CD, равные сторонам искомого треугольника угол ?GFE, равный углу между сторонами Построить: треугольник по заданным данным
Построение: Строим прямую Выбираем точку на прямой, от нее откладываем отрезок равный одному из данных отрезков Строим угол, равный данному (вершиной которого будет выбранная точка, т.е. одна сторона угла лежит на прямой) Откладываем отрезок равный второму данному отрезку на другой стороне угла Соединяем концы отрезков



	Дано отрезок AB, равный стороне угла два угла, прилежащих к стороне угла: ?CDE и ?FGH Построить: треугольник по заданным данным
Строим прямую Выбираем точку на прямой и откладываем от неё отрезок равный данному (отмечаем концы отрезка) Строим угол равный одному из данных углов с вершиной в одном из концов отрезка Строим угол равный второму из данных углов с вершиной во втором конце отрезка Отмечаем точку пересечения сторон треугольника (она будет являться третьей вершиной искомого треугольника)

Задача. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.



Задача. Построить треугольник по трём сторонам.

	Дано: три отрезка, равные сторонам искомого треугольника AB, CD, EF Построить: треугольник по заданным данным
Построение: Строим прямую Выбираем точку на прямой и откладываем от неё отрезок равный одному из данных (отмечаем концы отрезка) Строим окружность1 с центром в одном из концов отрезка и радиусом равным второму из данных отрезков Строим окружность2 с центром в другом конце отрезка и радиусом равным третьему из данных отрезков Отмечаем точку пересечения окружностей 1 и 2 (она является третьей вершиной искомого треугольника) Достраиваем треугольник с помощью объекта «Отрезок»

Самостоятельное решение



Итак, следующая задача решается при помощи «Метода вспомогательного треугольника». Суть данного метода состоит в то что мы должны свести данную задачу к ранее уже известной, решенной задаче на построение треугольника по основным элементам. Очень важно, чтобы научиться решать задачи на построение, и другие геометрические задачи осознать, что задачу надо решать с конца. Подумать о том, к чему мы должны прийти в конце и что же для этого требуется. Тогда учащийся сам, не замечая того, проведет анализ данной задачи.

Рассмотрим такую задачу: «Построить остроугольный равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведенной к ней высоте». Нам даны не только основные элементы, но и вспомогательные (высоты, медианы, биссектрисы, периметр и т.д.) в данном случае высота. На этом этапе никаких записей от детей требовать не надо, главное сказать формулировку задачи и начертить рисунок (Рис. 13).

Им надо объяснить, что мы хотим получить треугольник по этим данным. Наша задача увидеть, а какой треугольник на чертеже мы уже умеем строить? И важный момент дети должны проговорить алгоритм.

Рассмотрим эту задачу более подробно.

Итак, наша задача построить остроугольный равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведенной к ней высоте. Рассмотрим рисунок к которому в итоге мы должны будем прийти. Метод вспомогательного треугольника предполагает, что мы должны увидеть и свести задачу к построению уже раннее решенной задачи. Очевидно, что по гипотенузе и катету мы можем построить треугольник. А далее нам остаётся достроить треугольник до искомого, для этого нужно обратить внимание на то, что искомый треугольник равнобедренный. Следовательно, останется продлить сторону, чтобы она равнялась другой стороне и соединить концы сторон для получения третьей стороны треугольника. Задача сводится к ранее решенной задаче: построение треугольника по гипотенузе и катету, и достроению его до искомого треугольника.

Построение:

Для начала мы должны построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Пусть QR и TN данные отрезки. QR > TN - так как является гипотенузой (Рис. 14)).

Мы должны построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной отрезку QR и катетом, равным отрезку TN

· Строим прямую (a)

· Отмечаем на прямой точку (А)(Рис. 15)



· Откладываем отрезок (AB), равный (TN)(Рис. 16)

· Проводим прямую (b), перпендикулярную к (AB) через точку A(Рис.15)

· Строим окружность радиуса (QR) с центром (B)(Рис.16)

Так как BA=TN <QR, то расстояние от точки B до прямой меньше (b) меньше радиуса этой окружности, поэтому прямая (b) и построенная окружность пересекаются.

· Отмечаем одну из точек пересечения окружности с прямой (b) - С(Рис. 17)

· Достраиваем треугольник с помощью отрезков (Рис. 18, 19)

Мы построили прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе, нам осталось достроить треугольник до искомого. Какой же треугольник мы должны получить? Конечно, равнобедренный.

Строим окружность радиуса (CB) (Рис. 20)



· Отмечаем точку (D) пересечения окружности с прямой (b)(Рис. 21)

· Достраиваем треугольник с помощью отрезков(Рис. 22, 23)

У программы или как мы его называем математического конструктора GG есть две версии офлайн и онлайн, конечно лучше каждому учащемуся дома установить эту программу на свой компьютер, так как она даёт больше возможностей. Поэтому обратная связь и организована с детьми посредствами почты, чтобы учитель мог проверять файлы GG.

5. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

6.Рефлексия (подведение итогов)



Заключение

Были решены следующие задачи:

Рассмотрены и проанализированы основные положения ФГОС ООО и ПОП ООО предметной области математика и информатика. В основной школе и государственном стандарте общие учебные умения, навыки и способы предполагают повышенное внимание для развития математического образования. Важно опираться на каждый компонент, который помогает достигнуть повышенных результатов учебной деятельности.

Проанализированы возрастные особенности учащихся 7 класса. Рассмотрены такие понятия как мышление, внимание, восприятие, память. Выявлен ведущий вид деятельности в данном возрасте. Сделаны выводы о самом надежном способе повышения эффективности обучения. Рассмотрены особенности возраста со стороны биологических и физиологических систем.

В данном возрасте происходят существенные сдвиги в развитии, и достигнутая степень развития позволяет систематично изучать основы, сравнивать, делать выводы и обобщения.

Описана методика обучения решению задач на построение в 7 классе при помощи математического конструктора GeoGebra. Разработаны и апробированы уроки и дидактические материалы для реализации данной методики.



Список литературы

1. Блинков А.Д. Геометрические задачи на построение / Блинков А.Д., Блинков Ю.А.// 2-е изд., стер. - М.: 2012 - 152 с.

2. Смирнов В.А Наглядная геометрия / Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.// - М.: МЦНМО, 2013.- 272 с.

3. Жданов С.А. Концепция эффективного использования средств ИКТ и ЭОР на уроках математики и информатики, [электронный ресурс]: Материалы_для_ВКР(СА_Жданов).pdf (не опубликовано)

4. Шаповаленко И.В. Возрастная психология (Психология развития и возрастная психология) / Шаповаленко И.В.// -М.: Гардарики, 2005.-349 с.



Приложение

Тест «Геометрические фигуры».

Вставьте пропущенное слово, чтобы определение имело смысл.

1. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки называется

2. Прямая ограниченная двумя точками называется

3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее

4. Хорда, проходящая через центр окружности, называется

5. Геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки, называется

6. Прямая имеющая начало, но не имеющая конца называется

7. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется

Луч, отрезок, угол, диаметр, окружность, радиус, хорда

Тест «Геометрические фигуры». Предполагаемый результат. Вставьте пропущенное слово, чтобы определение имело смысл.

1. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки называется о кр ужно стью.

2. Прямая ограниченная двумя точками называется отрезком.

3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой .

4. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

5. Геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки, называется угол.

6. Прямая имеющая начало, но не имеющая конца называется лучом.

7. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется диаметром.

1. Проведите все возможные прямые по данным точкам.

2. Постройте угол равный данному

3. Постройте отрезок равный данному

Предполагаемый результат.

1. Проведите все возможные прямые по данным точкам.



2. Постройте угол равный данному.



3. Постройте отрезок равный данному.

Предполагаемый результат.

Задание 1. Построить угол равный данному



Задание 2. Построить биссектрису угла.

Задача №1.

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Задача №2.

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача №3. Самостоятельное решение. Построить треугольник по трём сторонам

Предполагаемый результат. Задание 1.



Задание 2.

Размещено на Allbest.ru