Использование новых информационных технологий на уроках математики

9. Выбрать инструмент «Сдвиг», навести курсор на одну из вершин и, нажав левую кнопку мыши, передвинуть вершину. Треугольник изменится, но все три перпендикуляра вновь будут пересекаться в одной точке.

Примечание: Для удобства можно все линии сделать разноцветными, что делает восприятие эффектов, возникающих при трансформации треугольников, еще более наглядным.

Пример практической работы № 3

Тема: «Многоугольник».

Цель: «Дать понятие многоугольника. Экспериментально вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника».

Оборудование:

учебник Атанасяна Л.С. « Геометрия 7-9» (М.: Просвещение.1990);

алгоритмы построения геометрических объектов на компьютере;

карточки с заданиями;

среда « Живая геометрия».

Ход работы.

1. Прочитайте текст в учебнике стр.94-95., п.39.

2.Работа с карточкой. По рис.1

Работа за компьютером.

Выполните чертежи выпуклых многоугольников. Измерьте углы и найдите сумму углов многоугольника.

а) Треугольника. Запишите сумму углов._______________________

б) Четырехугольника. Запишите сумму углов._________________

в) Пятиугольника. Запишите сумму углов.___________________

г) Шестиугольника. Запишите сумму углов.___________________

В выпуклом шестиугольнике проведите диагонали, как на рис.2

Сколько при этом образовалось треугольников ?_______________

Рис. 2

Найдите сумму углов шестиугольника, зная что сумма углов

треугольника равна 180 градусов.____________________________

4) Как можно записать формулу суммы углов выпуклого многоугольника, если обозначить за n - число вершин многоугольника С помощью курсора переместите одну из вершин многоугольника так, чтобы многоугольник стал невыпуклым.

Сделайте выводы:

Объясните как определить какой дан многоугольник (выпуклый или невыпуклый):________________________________________

Что происходит с суммой улов четырехугольника при изменении его формы:______________________________________

Оценка за практическую работу:_________________________

Практическая работа №4

Тема: «Параллелограмм»

Цель: «Дать определение параллелограмма ,элементов параллелограмма. Определить свойства параллелограмма».

Оборудование:

1) учебник Атанасяна Л.С. ГЕОМЕТРИЯ 7-9 (М.: Просвещение.1990);

2) алгоритм построения параллелограмма;

3) карточки с заданиями;

4) раздаточный материал;

5) среда "Живая геометрия".

Ход работы.

1. Прочитайте текст в учебнике стр.96-97,п.42.

2.Работа с карточкой. По рис. 3 ответьте на вопросы:

а) Определить вид четырехугольника, если прямая ДЕ параллельна АВ и прямая АС параллельна FE. Четырехугольник АFEД -

б) Назовите вершины параллелограмма_____________________

в) Назовите равные стороны параллелограмма_______________

г) Измерьте углы параллелограмма :_______________________

д) Запишите формулу вычисления периметра параллелограмма:

Работа за компьютером.

1) Выполните чертеж параллелограмма. Измерьте углы и найдите сумму углов параллелограмма.

а) Запишите результат измерения углов:______________________

1. Запишите результат измерения углов принадлежащих одной стороне параллелограмма:_________________________________

2. Найдите сумму этих углов:_______________________________

3. Как называются такие углы:______________________________

б) Переместите курсором одну из вершин параллелограмма.

1. Запишите измерения углов:_________________________________

2. Измерьте длину сторон параллелограмма.___________________

Запишите результаты:______________________________________

в) Постройте диагонали параллелограмма. Обозначьте точку пересечения диагоналей. Измерьте получившиеся отрезки

Сделайте выводы:

1. Сделайте вывод о противолежащих сторонах и углах параллелограмма:__________________________________________

________________________________________________________

2. Сделайте вывод о пересечении диагоналей параллелограмма:___________________________________________________________

Замечания по работе:_____________________________________

Оценка за практическую работу :_________________________

Пример практической работа № 3

Тема: «Трапеция».

Цель: «Дать определение трапеции. Знакомство с основными геометрическими объектами трапеции».

Оборудование:

1) учебник Атанасяна Л.С. ГЕОМЕТРИЯ 7-9 (М.: Просвещение.1990);

2) алгоритм построения трапеции на компьютер;

3) карточки с заданиями;

4) раздаточный материал;

5) среда "Живая геометрия".

Ход работы.

1. Прочитайте текст в учебнике стр.98-99, п.43.

2.Работа с карточкой. По рис.4 ответьте на вопросы:



Рис. 4.

1)Определить вид четырехугольника, если прямая FЕ параллельна АС

Четырехугольник АFEС - ________________________________

Трапецией называется____________________________________

2)Укажите основания трапеции______________________________

3)Укажите боковые стороны трапеции _______________________

4)Измерьте углы трапеции, принадлежащие к стороне АF:__________

Найдите сумму углов:____________________________________

Измерьте углы , принадлежащие к стороне ЕС:_________________

Найдите сумму углов:____________________________________

Как можно назвать углы принадлежащие боковой стороне трапеции:

Работа за компьютером.

1) Выполните чертеж трапеции используя алгоритм построения. Проведите диагонали трапеции.

а) Запишите результат измерения углов:________________

б) Найдите сумму углов трапеции:_____________________

в) Запишите результат суммы углов принадлежащих одной стороне трапеции:________________________________________

г) Как называются такие углы:________________________________

д) Измерьте длины сторон трапеции: ______________________

2) Переместите курсором одну из вершин трапеции так, чтобы боковые стороны были равны.

Запишите измерения углов трапеции:_________________________

Измерьте длины диагоналей:________________________________

3) Переместите курсором одну из вершин трапеции так, чтобы один из углов трапеции равен 90 градусов.

Запишите показания остальных углов:________________________

Как можно назвать такую трапецию:________________________

Сделайте выводы:

Сделайте вывод по пункту 2):____________________________

Сделайте вывод по пункту 3) :____________________________

Замечания по работе:_____________________________________

Оценка за практическую работу :____________________________

Пример практической работы № 4

Тема: «Прямоугольник, ромб, квадрат».

Цель: «Изучить основные свойства прямоугольника, ромба, квадрат».

Оборудование:

1) учебник Атанасяна Л.С. ГЕОМЕТРИЯ 7-9 (М.: Просвещение.1990);

2) карточки с заданиями;

3) раздаточный материал;

4) среда "Живая геометрия".

Ход работы.

1. Прочитайте текст в учебнике стр.105 - 106, п. 45, п.47.

2.Работа с карточкой. По рис. 5 из представленных четырехугольников найдите:

1)Найти четырехугольник у которого все углы равны 90 градусов:______________________________________

Записать определение:_______________________________________

2)Найти четырехугольник, у которого все стороны равны:_________

Записать определение:_____________________________________

4)Найти четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы равны:___________________________________________________

Записать определение:_____________________________________

Работа за компьютером.

1) Выполните чертеж прямоугольника используя алгоритм построения. Проведите диагонали прямоугольника .

а) Измерьте стороны прямоугольника:_________________________

б) Измерьте диагонали прямоугольника:________________________

в) Измерьте длины отрезков образованных пересечением диагоналей:

2)Переместите курсором одну из вершин прямоугольника так, чтобы стороны были равны.

Запишите измерения углов:_________________________________

Запишите измерения углов образованных пересечением диагоналей:

Измерьте длины диагоналей:_________________________________

3) Выполните чертеж параллелограмма, переместите курсором одну из вершин так, чтобы все стороны были равны.

Запишите длины сторон :_________________________________

Как можно назвать такую геометрическую фигуру? :_____________

Измерьте длины диагоналей:________________________________

Сделайте выводы:

Сделайте вывод по пункту 1):______________________________

Сделайте вывод по пункту 2) :____________________________

Сделайте вывод по пункту 3)

Замечания по работе:___________________________________

Оценка за практическую работу :___________________________

Пример практической работа № 5

Тема: «Осевая и центральная симметрия».

Цель: «Исследовать основные свойства осевой и центральной симметрии».

Оборудование:

учебник Атанасяна Л.С. « Геометрия 7-9» (М.: Просвещение.1990);

алгоритмы построения геометрических объектов на компьютере;

карточки с заданиями;

среда « Живая геометрия».

Ход работы.

Прочитайте текст в учебнике стр.106-108., п.47.

Работа с карточкой.

По рис.1 назовите геометрические фигуры

а)обладающие осевой симметрией _________________________

б) обладающие центральной симметрией __________________

в) Какие геометрические фигуры, обладающие осевой симметрией не даны на рис.6?__________________________________________

Какие геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией не даны на рис.6? _______________________________________

Работа за компьютером.

1.Постройте произвольный треугольник.

2.Постройте осевую симметрию данного треугольника.

Алгоритм построения осевой симметрии геометрической фигуры.

1)Выделить элементы треугольника (вершины, стороны) курсором.

2)Выбрать в Готовальне инструмент Прямая и построить прямую.

3)Выбрать в меню Преобразование команду Отметить ось

(прямая должна быть выделена).

4) Выбрать в меню Преобразование команду Отразить.

5)На экране появится результат построения осевой симметрии геометрической фигуры.

3.Проведите измерение сторон и углов треугольников.

Результаты измерения исходного треугольника____________

Результаты измерения построенного треугольника___________

4.Курсором переместите одну из вершин треугольника и запишите результаты измерения._____________________

Сделайте вывод о работе:_______________________________

5.Постройте центральную симметрию данного треугольника

Алгоритм построения центральной симметрии геометрической фигуры.

1)Выделить элементы треугольника (вершины, стороны) курсором.

2)Выбрать в Готовальне инструмент Точка и построить центр симметрии.

3)Выбрать в меню Преобразование команду Отметить центр

(точка должна быть выделена).

4) Выбрать в меню Преобразование команду Отразить.

5)На экране появится результат построения центральной симметрии геометрической фигуры.

3.Проведите измерение сторон и углов треугольников.

Результаты измерения исходного треугольника____________

Результаты измерения построенного треугольника___________

4.Курсором переместите одну из вершин треугольника и запишите результаты измерения._____________________

Сделайте вывод о работе:_______________________________

Оценка за практическую работу:_________________________

Пример практической работы № 6

Тема: «Площадь многоугольника».

Цель: «Исследовать свойства площади многоугольника».

Оборудование:

учебник Атанасяна Л.С. « Геометрия 7-9» (М.: Просвещение.1990);

алгоритмы построения геометрических объектов на компьютере;

карточки с заданиями;

среда « Живая геометрия».

Ход работы.

Прочитайте текст в учебнике стр.114-117,п.48.

Работа с карточкой.

А) Найдите площадь квадрата со стороной а = 4 см.

Б) Стороны двух квадратов равны 8 см. и 15 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов.

Работа за компьютером

1.Постройте произвольный многоугольник

2.Измерьте площадь многоугольник.:_________________________

Алгоритм измерения площади многоугольника.

1)Выделить все вершины многоугольника.

2)Выбрать меню Построение

3)Выбрать команду Многоугольник.

4)Выбрать меню Измерение.

5)Выбрать команду Площадь.

6)На экране появится результат измерения.

3.Проведите диагональ и измерьте площади получившихся многоугольников

4.Найдите сумму площадей этих многоугольников и сравните с первоначальным значением площади многоугольника:

5.Курсором переместите одну из вершин многоугольника

и запишите результаты измерения._____________________

Сделайте вывод о работе:_______________________________

Оценка за практическую работу:_________________________

Пример практической работы № 7

Тема: «Площадь параллелограмма».

Цель: «Исследовать площадь параллелограмма».

Оборудование:

учебник Атанасяна Л.С. « Геометрия 7-9» (М.: Просвещение.1990);

алгоритмы построения геометрических объектов на компьютере;

карточки с заданиями;

среда « Живая геометрия».

Ход работы.

Прочитайте текст в учебнике стр.120-121,п.51.

Работа с карточкой.

а) Найдите площадь прямоугольника со стороной а = 6 см.

б) Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 9 см кв, а периметр равен 12 см.

Работа за компьютером

1.Постройте параллелограмм.

Алгоритм построения параллелограмма.

1) Постройте две параллельные прямые.

2) Выделить курсором на прямых точки А и С (нажав клавишу Shift).

3) В готовальне открыть меню Линейка и задать команду Отрезок.

4) В меню Построение выбрать курсором команду Отрезок выбрать курсором.

5) Нажав клавишу Shift выделить курсором отрезок АС и точку В на прямой.

6) В меню Построение выбрать курсором команду Параллельная.



7) Нажав клавишу Shift выделить курсором прямые.

8) В меню Построение выбрать курсором команду Точка на пересечении.

9) Последовательно выделить курсором вершины параллелограмма

10) В меню Построение выбрать курсором команду Отрезок. (рис. 13).

11) Нажав клавишу Shift выделить курсором прямые.

12) В меню Вид выбрать курсором команду Спрятать прямые.

2.Измерьте площадь параллелограмма:_________________________

Алгоритм измерения площади параллелограмма.

1)Выделить все вершины параллелограмма (нажав клавишу Shift).

2)Выбрать меню Построение

3)Выбрать команду Многоугольник.

4)Выбрать меню Измерение.

5)Выбрать команду Площадь.

6)На экране появится результат измерения.

3.Проведите высоту параллелограмм, измерьте высоту параллелограмма его основание:__________

4.Вычислите площадь параллелограмма по формуле:__

5.Курсором переместите одну из вершин параллелограмма

и запишите результаты измерения._______________________________________

Сделайте вывод о работе:________________________

Оценка за практическую работу:_________________

Мой практический опыт использования программы “Живая геометрия” при индивидуальной работы с учащимися показывает, что использование компьютерного продукта влечет за собой повышение качества преподавания, так как программа позволяет усваивать метрические соотношения не догматически, а экспериментально - в том числе и учащимся с затрудненным восприятием геометрии. Поясню на примере практической работы №1 (“Треугольник. Начальные сведения”).

В данной практической работе ставится, в частности, задача убедиться, что против большего угла треугольника лежит большая сторона. Ученик строит произвольный треугольник, с помощью функций программы измеряет его стороны и углы и определяет, что против большего угла лежит сторона большей длины.

Далее он преобразует треугольник, передвинув вершину. Треугольник изменится, и на листе автоматически появятся значения углов и длин сторон нового треугольника. Выполнив эту операцию несколько раз, он убеждается, что против большего угла треугольника лежит большая сторона и делает обобщающий вывод.

Известно, что факты, открытые учащимися самостоятельно, усваиваются ими лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде. Меняется и отношение учащихся и к геометрическому объекту, созданному своими трудами, по отношению к тому, как если бы его просто дали в готовом виде или определили. Ведь он помнит весь процесс творения - с чего начинался объект, какие трудности пришлось преодолеть, прежде чем прийти к желаемому результату.

Важно, что ученик практически никогда не работает с каким-то единственным, скажем треугольником или четырехугольником, а всегда - с целым семейством. Геометрическая интуиция ребенка, который с помощью одного движения мышки может проследить за целой группой треугольников или, развивается гораздо лучше, чем у ребенка, лишенного такой возможности.

4.2 Решение математических задач в среде Excel

Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.

Пусть задана неразрывная функция Y= X2+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполнить действия:

В ячейку А2 рабочего листа нужно ввести любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;

В ячейку В2 ввести формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;

Настроить параметры инструмента Поиск решения: число итераций - 1000, относительная погрешность 0,00001.

в поле Установить целевую ячейку указывая адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установить переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки ввести адрес ячейки, содержащей Х (А2);

В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальное значение, а в ячейке В2 - минимальное значение функции.

Решение систем линейных уравнений

Встроенные функции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1).

Таблица 1.

Русифицированное имя функции	Англоязычное имя функции	Выполняемое действие
МОБР (параметр)	MINVERSE (parametr)	обращение матрицы
МОПР (параметр)	MDETERM (parametr)	вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ (список параметров)	MMULT (parametrlist)	Умножение матриц

Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например

МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).

Решение систем линейных уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение такой системы записывается в виде

X=A-1B,

Где A-1 -матрица, обратная по отношению к А.

Пример решения системы линейных уравнений:

Пусть система уравнений задана матрицами:

Для решения задачи выполните действия:

Выделите диапазон размерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А;

Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В;

Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х;

Используя список имен выделите диапазон А и введите в него значения элементов матрицы А;

Используя список имен выделите диапазон В и введите в него значения элементов вектора В;

Используя список имен выделите диапазон Х для помещения результата решения системы;

В выделенный диапазон Х введите формулу

Укажите Excel, что выполняется операция над массивами, для этого нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках диапазона Х будет получен результат: х1=2,16667, х2= - 1,33333

Чтобы выполнить проверку полученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является вектор свободных членов.

Решите систему уравнений вида AX=B и выполните проверку решения

Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

Уравнение представляется в виде функции одной переменной;

Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность отыскания корней нелинейного уравнения на примере.

Требуется найти все корни уравнения X3-0,01X2-0,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.

представим уравнение в виде функции

Y = X3-0,01X2-0,7044X+0,139104

Известно, что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью нужно табулировать функцию на отрезке [-1;+1] с шагом 0,2, следовательно, получатся табличные значения функции. Из полученной таблицы можно найти, что значение функции трижды пересекает ось Х и исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Анализ таблицы показывает, что функция меняет знак в следующих интервалах значений аргумента Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8). Поэтому в качестве начальных приближений возьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .

На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите приближения, а соответствующие ячейки столбца В формулы.

Выполнив команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления, с установленной относительной погрешность вычислений E=0,00001 и числом итераций N=1000, получится ответ: -0,209991 и 0,720002.

Размещено на Allbest.ru