Методические основы школьного курса преподавания математики

Вообще с неравенствами ученики знакомятся в начальной школе. Они сравнивают числа, устанавливают знаки: больше или меньше между числовыми выражениями. Такого же типа задания преобладают в V-VI классах.

Например:

a) отметить на координатном луче натуральное число, удовлетворяющее неравенству х < 3;

b) отметить на координатной прямой число, удовлетворяющее неравенству -2 < х < 5;

c) сравнить дроби и т.д.

Т.е. все задания носят практический характер.

В учебнике для VII касса под редакцией С.А. Теляковского в §11 п.26 изучаются числовые неравенства. В этом пункте дается определение: число а больше числа b, если разность а - b - положительное число; число а меньше числа Ь, если разность а -- b - отрицательное число. Если разность а - b равна нулю, то число а равно числу b. Это определение согласуется с тем, которое было принято в курсе V класса: из двух чисел а и b меньшим становится то, которое изображается на координатной прямой точкой, лежащей левее, и большим считается то, которое изображается точкой, лежащей правее. Ученики должны очень хорошо усвоить это определение для выполнения практических заданий, а также различать строгие и нестрогие неравенства для правильной записи ответа.

При записи ответа ученику необходимо понимать что значит «объединение» решений.

Далее в этом учебнике изучаются свойства числовых неравенств:

1. Если а < b и b < с, то а < с.

2. Если а < b и с - любое число, то а + с < b + с.

3. Если а < b и с - отрицательное число, то ас > bc.

Ученики должны понимать, что является решением неравенства. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Неравенство вида ах > b или ах < b, где а и b - некоторые числа, называется линейным неравенством с одной переменной.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Затем изучаются системы неравенств с одной переменной. Для усвоения этой темы, учитель решает вместе с учениками задачу на составление системы неравенств.

Неравенства играют важную роль для изучения свойств функции, а именно: промежутки, в которых функция сохраняет знак; возрастание и убывание. Также изучается функция вида: у = ее свойства. Основное содержание темы, как и при изучении уравнений:

1. Алгебраический способ решения.

2. Графический способ решения.

3. Исследование числа решений.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

f(x), если f(x)>0

|f(x) |=

-f(x), если f(x)<0.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Также существуют дробно-линейные неравенства. В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость заменить одно выражение другим, более простым или более удобным, для решения рассматриваемой задачи. Иначе говоря, приходится совершать тождественные преобразования выражений. Важное место занимают тождественные преобразования и в школьном курсе математике. При решении уравнений и неравенств, при исследовании функций (как элементарными средствами, так и с помощью производной), при выводе ряда форму алгебры и геометрии и многих других вопросов постоянно приходится выполнять те или иные тождественные преобразования. Можно сказать, что тождественные преобразования составляют одну из основных линий, которая пронизывает весь школьный курс математики, начиная с младших классов.

Сейчас я рассмотрю различные подходы к понятию тождества. При всем многообразии словесных формулировок понятий тождества, тождественного равенства двух выражении, тождественного преобразования выражений, можно выделить лишь 3 подхода, которые характеризуются следующими определениями:

Определение 1: равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Выражения, связанные знаком тождественного равенства, называют тождественно равным.

Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием этого выражения.

Определение 2: равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством.

Под допустимыми значениями переменных здесь подразумеваются все значения переменных, при которых имеет смысл левая и правая части рассматриваемого равенства.

Тождественное равенство двух выражений, тождественное преобразование одного выражения в другое определяется аналогично тому, как и в первом случае.

Определение 3: равенство, верное при любых значениях переменной (пар значений переменных, троек значений переменных и т.д.), принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называют тождественным преобразованием этого выражения на указанном множестве.

Из определения тождества на множестве непосредственно следует, что отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями является отношением эквивалентности. Это означает, что оно определяет разбиение всех выражений, определенных на заданном множестве М, на классы эквивалентности, т.е. на классы выражений, тождественно равных друг другу на данном множестве М. Тождественное преобразование выражения на данном множестве с этой точки зрения состоит в замене одного выражения другим из того же класса, второго - третьим и т.д.

Тождественные преобразования выражений, вообще говоря, и производится с той целью, чтобы данное выражение заменить другим, ему тождественно равным (т.е. из того же класса эквивалентности), но более удобным для решения рассматриваемой задачи. При переходе к понятию тождества, выраженным определением 3, проводится теоретико-функциональная точка зрения. Эта точка зрения хорошо раскрывает смысл тождественно равных выражений: два выражения с одной переменной тождественно равны на данном множестве М, если при любом значении переменной, принадлежащих множеству М, равны их соответствующие значения. При таком подходе легко доказать, что два выражения А(х) и B(x) на указанном множестве М не являются тождественно равными. Для этого достаточно найти такое х₀?М, при котором A(x₀) ? B(x₀). Например, выражения x² + х² и х⁴ не являются тождественно равными на множестве R, так как при х=1 значения этих выражении не равны: 1² + 1² =1⁴. Доказать же, что два выражения являются тождественно равными на некотором бесконечном множестве, опираясь на теоретико- функциональную точку зрения на понятие тождества, невозможно.

Для этого пользуются некоторыми исходными тождествами, выражающими свойства операций, истинность которых принимается в качестве аксиом:

1. а + (b + с) = (а + b) + с,

2. а + b - b + а,

3. 0 + а = а,

4. а + (-а) = 0,

5. а + (b + c)ab + ас.

6. а(bс) = (аb)с;

7. ab = bа;

8. 1 * а = а;

Опираясь на эти тождества, выводятся новые тождества, которые выражают правила тождественных преобразований, изучаемые в школьном курсе алгебры. Например, тождество (а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd, (1) выражающее правило умножения многочлена на многочлен, выводится на основании распределительного закона умножения с использованием правила подстановки: вместо любой переменной или выражения, принимающих значения из множества М, можно всюду, где эта переменная или выражение входят в тождество, подставлять одно и тоже выражение, принимающее значения из М, и при этом получится снова тождество. Обозначим двучлен а + b буквой х; тогда выражение (а + b) (c + d) примет вид х(с + d). Раскрыв скобки (тождество 5), получим тождество. x (с + d) = хс + xd. (2)

Подстановка в тождество (2) вместо переменной л: выражения а+b приводит к новому тождеству: (а + b)(с + d) = (а + b)с + (а + b)d. (2')

Применяя к каждому слагаемому правой части тождества (2') распределительный закон и пользуясь транзитивностью отношения тождественного равенства, получим тождество (1).

При выводе новых тождеств используются также некоторые определения. Например, по определению полагают, что х⁵ = х * х * х *х * х; а⁰ = 1, если а? 0.

Различают числовые и алгебраические выражения, поэтому можно говорить о тождественных преобразованиях числовых выражений и алгебраических выражений.

Ученики начальной школы знают, что такое числовое выражение (- это число, которое получается в результате вычисления выражения). Вычисление - это процесс последовательных тождественных преобразований данного выражения. Сам термин «вычислить» здесь не употребляется. Здесь рассматриваются примеры такого вида:

1) найдите значения выражения;

2) упростить выражение и найти его значение;

Т.е. термин «преобразовать» выражения выступает в виде двух выражений: упростить и найти значение.

В V классе добавляются упражнения вида: составить числовое уравнение к задаче. Например: купили 5 тетрадей по 14 рублей и 3 по 18 рублей. Сколько стоит вся покупка?

В начальной школе у обучающихся выработаны твердые навыки вычислительных алгоритмов, т.е. порядок действии. Желательно, чтобы ученики знали теоретическую основу преобразований числовых выражении, т.е. умножая два многозначных числа, они должны понимать, что используют распределительный закон при последовательном умножении на единицы разрядов множителей. Ученики должны понимать, что используют позиционную систему исчисления, т.е. сдвиг влево обозначает умножение на 10, что суммируя, мы применяем сочетательный закон и т.д. затем ученики знакомятся с буквенными выражениями не называя их.

В курсе алгебры VI класса вводится понятие степени с натуральным показателем, изучаются свойства степеней и соответствующие тождественные преобразования выражений со степенями. Лишь после этого вводятся термины «тождественно равные выражения на данном множестве», «тождество на множестве», «тождественное преобразование выражении». Продолжается изучение тождественных преобразовании рациональных выражении (целых и дробных).

Вводится новый термин в VII классе «выражение с переменной», а не буквенное выражение как раньше. Буква называется переменной, а также появляется термин «преобразование выражения», как свойство действительных чисел.

Выделим несколько определении подводящих к понятию тождественных преобразовании.

Определение 1. Два выражения называются тождественно-равными, если при любых значениях переменной соответствующие значения этих выражении равны.

Определение 2. Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.

Определение 3. Замена выражения другим ему тождественно-равным называется тождественным преобразованием.

Следует помнить, что в VII классе кроме тождественных преобразований есть еще равносильные преобразования, которые связаны с понятием уравнения.

Определение 4. Равенство, содержащее переменную, называется уравнением (если переменных несколько, то это формула).

Определение 5. Число, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Определение 6. Уравнение, имеющее одинаковые корни, называются

равносильными.

Процесс получения уравнения равносильного данному - это равносильные преобразования.

Равносильных преобразований два:

1) перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

2) умножение или деление обеих сторон уравнения на число, отличное от нуля, обеих сторон уравнения.

Из выше сказанного следует, что, чтобы ученики усвоили разницу между тождественными и равносильными преобразованиями, они должны знать, что тождество - это преобразование выражении, а равносильность - это преобразование уравнении и формул, но эти преобразования связаны между собой. И в формуле, и в уравнении можно выделить выражение стоящее и в левой, и в правой части, и применить к ним тождественные и равносильные преобразования. Достаточно с учениками хорошо разобрать один пример, чтобы они усвоили разницу между тождественными и равносильными преобразованиями.

Пример: Зх + 3(2,5 - 2х) = 13(2 - х).

1 шаг: тождественное преобразование - раскрытие скобок;

3х + 7,5 - 6х = 26 - 13х;

2 шаг: тождественное преобразование - привести подобные слагаемые;

-3х + 7,5 = 26 - 13х;

3 шаг: равносильное преобразование - перенос слагаемого;

-3х + 13х = 26 - 7,5;

4 шаг: тождественное преобразование - привести подобные слагаемые;

10х = 18,5;

5 шаг: равносильное преобразование - делим на 10;

х = 1,85.

Учитель должен следить за речью обучающихся, т.е. за терминами: «преобразуем выражение, стоящее в правой части», «заменим уравнение равносильным» и т.д.

И все же основой VII класса, а значит основой всех тождественных преобразовании в целом является формула сокращенного выражения. Это:

(а ± b)² = а² ± 2ab + b²;

а² - b² = (а - b) (а +b );

(а ± b)³ = а³ ± 3а²b + 3ab² ± b³;

а³ + b³ = (а + b) (а² - аb + b²);

а³-b³ = (а-b)(а² + аb + b²).

При изучении этих формул основную роль играют хорошо продуманный цикл упражнений, который состоит из двух частей:

1 группа: по уяснению и закреплению данного тождества, т.е. овладение данным математическим понятием.

2 группа: упражнения по применению тождества в различных задачах, т.е. тождества как аппарат для решения математических задач.

Рассмотрим типы уравнений для разности квадратов: а² -b ². I группа: на закрепление.

1) Преобразовать в виде произведения с² -- 5² = (с - 5)(с + 5).

Здесь устанавливаются связи данного тождества с числовыми множителями. Ученики усваивают, что роль «а» или «b» может играть число.

2) Раскрыть скобки

(x-y)(x-y )= х2 - ху - ух + у2.

Здесь формируются навыки использования тождества в обратном направлении.

3) Упростить

(2 - х)² + (2 + х)² = 4 - 2х + х² + 4 + 2х + х² = 8 + 2х².

Здесь ученики должны увидеть, что роль «а» или «b» может играть выражение, содержащее сумму или разность.

4) Разложить на множители

9х² - 25у² = (3х)² - (5у)² = (3х - 5у) (3х + 5у).

Здесь ученики должны увидеть квадрат в коэффициенте.

5) Вычислить

(10² - 2²)(10² + 2²) = (10 - 2)(10 + 2) = 8 * 12 = 96

применение тождества для устного счета.

Решить уравнение

х³ - 4х = 0;

х(х² - 4) = 0;

х=0 и х²-4=0;

x² = 4;

x = ±v4;

x = 2;

x = -2.

Ш группа упражнений: на применение тождества. Решается в более старших классах.

Всякое тождественное преобразование выражения осуществляется с определенной целью. Такими целями могут быть: отыскания значения данного выражения при указанных значениях переменных; решение уравнения или неравенства; исследование функции, заданной формулой и т.п. При этом всякий раз приходится решать задачу, к какому виду целесообразнее в каком случае привести исходное выражение.

При изучении тождественных преобразований, так же как и при изучении других вопросов школьного курса алгебры, серьезное внимание должно уделяется формированию понятий.

Прежде всего, учащиеся должны хорошо усвоить основные вопросы этой темы. К ним относятся: понятие тождественного равенства двух выражений; понятие одночлена, многочлена, степени и т.д. Усвоение содержания таких вопросов осуществляется как через изучение теоретического материала, так и через систему упражнений. Следует иметь в виду, что к формированию навыков в тождественных преобразованиях выражений целесообразно приступить лишь тогда, когда учащиеся усвоят содержание изучаемых вопросов и познакомятся с основными приёмами преобразований, которые подлежат изучению. При этом важно, чтобы учитель давал учащимся такие указания, которые бы служили им руководством к действию в разнообразных ситуациях.

Например, чтобы сократить дробь (или обучающийся,

который комментирует решение) дает указание о том, что для этого следует ее числитель разложить на множители, выделив у них общий множитель. Такая рекомендация годится не только к этой дроби, но и к любой другой. В то же время указание о том, что для сокращения дроби числителе и знаменателе ее вынести общий множитель за скобки, носит частный характер и может оказаться неприемлемым в другом случае (например, по отношению к дроби

Более того, указание о вынесении общего множителя за скобки - это рекомендации о способе разложения выражения на множители, а не о самом факте разложения.

Многие учителя математики серьезное внимание уделяют содержательной стороне при изучении тождественных преобразований, а не ограничиваются только формированием навыков. Это содействует тому, что обучающиеся лучше и легче усваивают материал и при этом поучают достаточно хорошие навыки в выполнении тождественных преобразований.

В X-XI классах добавляются новые виды тождественных преобразований, основанные на свойствах логарифмов и степеней, на новых формулах тригонометрии, на правилах дифференцирования и интегрирования.

К концу школы у учащихся должна быть сформирована целостная система навыков тождественных преобразований, которая включает в себя:

1) умение правильно раскрыть скобки и выносить общий множитель за скобки;

2) умение привести многочлен к стандартному виду и привести подобные слагаемые;

3) навыки разложения квадратного трёхчлена на множители;

4) умение привести сумму рациональных выражений к общему знаменателю;

5) умение применять тождества сокращенного умножения;

6) умение увидеть закон, по которому составлено то или иное выражение.

Размещено на Allbest.ru