Изучение элементов математического анализа в классах с непрофильным преподаванием математики

Точно также на первом этапе вместо абстрактного символа предпочтительнее использовать словесное описание типа: производная функции в точке .

Наиболее простые задачи этого типа - задачи на поведение производной в определенной точке.

Задание полностью соответствует требованиям, приведенным в первой части данной главы: Элементарная составляющая - знак производной в точке, вычисления отсутствуют, задание аналогично заданиям ЕГЭ.

После того как учащиеся освоили решение этих задач в словесной формулировке, можно перейти к постоянному употреблению символьного обозначения производной, а так же ее положительных и отрицательных значений (, , , ).

Также как в предыдущем примере, требованиям к задачам выполняются. На этом задании повторяется базовый курс алгебры, в том числе решение неравенств.

Постепенно усложняя задание, предлагаем определить знак производной в нескольких точках. Одновременно с этим заменяем элементарные функции более сложными функциями общего вида, при этом ученики получают готовый график функции в самом задании. Благодаря этому ученики получают представление о том, как может выглядеть график функции общего вида.

Следующим этапом будет переход от задач на определения знака производной функции в конкретной точке к задачам на определение знака производной функции на интервале. Тем самым подготавливается введение понятия монотонности функции.

Освоения знака производной позволяет перейти к решению неравенств с производной. Тем самым помимо закрепления понятия производной учащиеся решают чисто алгебраические задачи, повторяя базовый курс алгебры.

Для более полного представления о производной, необходимы также задачи обратного характера: по графику производной рассказать о поведении функции в точке, на интервале.

В данном случае материал также должен подаваться от простого к сложному. Имеет смысл начать с задач, в которых производная является

Более сложными задачами этого типа - задачи, в которых производная является функцией общего вида. Это показывает учащимся, что производная - это тоже функция, и она может быть любого вида.

Очередным усложнением является определение поведения функции с помощью производной на промежутке. На самом деле в подобных заданиях определяются промежутки возрастания и убывания функции, при этом учащиеся еще не знают определения промежутков монотонности. Также как и в других задачах, здесь надо идти от простого к сложному, и начать с задачи, в которой производная будет линейной функцией.

Аналогично задачам на знак производной, следующим этапом пойдут задачи, в которых производная будет функцией общего вида.

В результате решения приведенной системы задач, учащиеся должны овладеть следующими навыками: определять наклон касательной в точке и на промежутке, определять знак производной в точке и на промежутке, по графику производной исследовать поведение функции. Параллельно с основной системой задач, учащимся можно предложить ряд текстовых задач, которые позволяют показать практическое применение производной и еще раз закрепить перечисленные навыки.

Во всех задачах будет использоваться следующая модель. Тело движется по прямой и в каждый момент времени вычисляется расстояние между началом отсчета и положением тела. Если тело удаляется от начала отсчета, то его скорость положительна, а если приближается к началу отсчета, то его скорость отрицательна.

Для учащихся задачи на скорость сложнее обычных задач с производной, поскольку эти задачи имеют не только чисто математическое, но и прикладное значение. Наглядный образ этих задач будет более сложным. Здесь также начинать нужно с самых простых задач.

Простейшей задачей этого типа будет задача на скорость тела в конкретный момент времени.

Усложненным вариантом этих задач будут задачи на скорость в различные моменты времени.

Дальнейшее усложнение задач - это задачи, по определению скорости движения тела на промежутке времени.

По аналогии с задачами про изменение знака производной в точке и на интервале, можно составить задачи про изменение знака скорости в момент времени и на промежутке времени.

Каждое из приведенных заданий позволяет на его основании создать целый класс подобных упражнений, меняя графики функций. Особенно важна в этих заданиях их прикладная направленность.

Используя задачи различной сложности из данной системы, учитель может создать свою систему задач, соответствующую уровню развития класса и каждого конкретного ученика.

Заключение

Математика бывает дискретная и «непрерывная» т. е. связанная с изучением функций, заданных на промежутке, и их свойств. Вопрос о том, как и в какой мере в общеобразовательной школе переходить от конечной дискретной математики к функциональной, является одной из принципиальных проблем методики обучения математике. В данной работе этот вопрос исследуется в применении к преподаванию элементов математического анализа в классах с непрофильной дифференциацией.

В первой главе данной работы проведен анализ и сравнение учебного материала в различных учебно-методических комплексах для учащихся, обучающихся по курсу А.

Одним из выводов является тот факт, что функциональная линия и общие представления об элементах «непрерывной» математики в том или ином виде обязательно присутствуют во всех действующих учебниках. Это отражено в образовательном стандарте среднего (полного) общего образования по математике.

Кроме того, в первой главе приведен краткий исторический обзор преподавания элементов математического анализа в отечественной школе и изложены некоторые психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов.

В частности можно сделать вывод, что преподавание элементов математического анализа в общеобразовательной школе имеет достаточно давние традиции в отечественной методике.

Классификация психологических типов учащихся является основой для предложенной методики составления задач, изложенной в следующей главе.

Первый параграф второй главы содержит основные принципы, которые на наш взгляд уместны при преподавании элементов математического анализа в классах с непрофильной дифференциацией. Изложение концентрируется вокруг темы «производная и ее геометрический смысл».

Одним из выводов является предложение о более мелком пошаговом изучении этой темы для данного контингента учащихся.

Для подготовленного ученика переход от наглядного представления о касательной к вербальному (словесному) и затем формальному (алгебраическому) способу изучения производной, как и другие возможные переходы с одного языка на другой как правило не вызывают серьезных сложностей. У учеников по выражению В.А. Крутецкого «малоспособных» к изучению математики, на каждом из этих этапов изучения производной и при каждом переходе от одной модели к другой возникают принципиальные затруднения. Одним из основных методических выводов данной работы является пошаговая работа с геометрической моделью производной, с ее словесным описанием и с различными уравнениями, неравенствами, и т.п., используя функциональную символику. На наш взгляд, преподавание элементов математического анализа для учащихся гуманитарного профиля вполне возможно и доступно при переносе акцента в изучении этой темы с формально-технических умений на наглядно-геометрические и словесные описания свойств производной и способов ее применения.

Библиография

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.М. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 365 с.; ил.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 7-е изд. М.: Просвещение, 2009. - 254 с.: ил.

3. Барсуков А. Математика в школе // БСЭ. 1-е изд. Т. 38. - М., 1938. Сбц. 402-403

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. сред. шк. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 351 с.; ил.

5. Брушлинский А.В. Субъект: мышление, учение, воображение. - М.: Изд-во «Институт практич. психологии»; Воронеж: НПО «МОДЭК», 2006. - 392 с.

6. Вернер А.Л. Учеб. пособие для 11 кл. гуманит. профиля / А.Л. Вернер, А.П. Карп. - М.: Просвещение, 2007. - 191 с.; ил.

7. Математика: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений / В.Ф. Бутузов, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2008. - 207 с.; ил.

8. Дорофеев Г.В. Математика для каждого / Предисл. Л.Д. Кудрявцева. М.: Аякс, 2009. - 292 с.

9. Калмыкова З.И. Зависимость уровня усвоения знаний от активности учащихся в обучении // Сов. педагогика. 1959. № 7

10. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. 1971. № 6; переизд.: На путях обновления школьного курса математики. М.: Просвещение, 2007; Математика в школе. 2007. № 3. С. 10-11.

11. Колягин Ю.М., акад. Отечественное образование: наша гордость и наша боль // Математика в школе. 2007. № 9; 2007. № 1.

12. Крутецкий В.А. Анализ индивидуальной структуры математических способностей у школьников // Способности и интересы: Сб. статей. М.: Изд. АПН РСФСР, 1962

13. Крутецкий В.А. К вопросу о математических способностях у школьников // Способности и интересы: Сб. статей. М.: Изд. АПН РСФСР, 1962

14. Крутецкий В.А. К психологии школьников, малоспособных к математике // Вопросы психологии способностей школьников / Под ред. В.А. Крутецкого. М.: Просвещение, 1964. С. 5-62

15. Крутецкий В.А. О природе относительной неспособности школьников к математике и некоторых путях ее преодоления // Вопросы психологии способностей школьников / Под ред. В.А. Крутецкого. М.: Просвещение, 1964. С. 63-100

16. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: Методическое пособие для учителя. - М.: Мнемозина, 2008. - 144 с.: ил.

17. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Концептуальная методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи. - М.: «Школа-Пресс», 2007 - 272 с.

18. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Учебно-методическое пособие. 2-е изд., доп. и перер. - М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование», 2008. - 336 с.: ил.

19. Мордкович А.Г. Изучение курса алгебры и начал анализа в X-XI классах общеобразовательной школы // Математика в школе. 2008. № 5. С. 12-14.

20. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения элементов математического анализа в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. № 9. С. 2-12.

21. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. 10 кл.:Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2009. - 348 с.: ил.

22. Пичурин Л.Ф. Математика - гуманитарная наука // Математика в школе. 2008. № 6. С. 8-11.

23. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков: Пособие для учителей. - М.: Гос. учебн.-пед. изд-во Мин-ва просв. РСФСР, 1956

24. Прудников В.Е. П.Л. Чебышев: ученый и педагог. - М.: Просвещение, 1964

25. Сборник постановлений и распоряжений по гимназиям и прогимназиям Московского учебного округа за 1871-1895 гг. / Сост. В. Чаликов. - М., 1895

26. Федорова Н.Е., Ткачева М.В. изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2009. - 205 с.: ил.

27. Шапкина В.Н. Семинар «Передовые идеи преподавания математики в России и за рубежом» в 2008/09 учебном году (Москва) // Математика в школе. 2009. № 6. С. 78-79.

Размещено на Allbest.ru