Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение в курсе геометрии 7 - 9-х классов

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение в курсе геометрии 7 - 9-х классов

Логическое мышление и развитие при обучении математике. Психолого-педагогическая характеристика личности. Интеллектуальное развитие в подростковом возрасте. Анализ учебников по геометрии основной школы. Методика обучения решению задач, этапы построения.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 08.12.2011
Размер файла 1,7 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Особенно благоприятные возможности для межличностного общения детей и взрослых создает их совместный труд.

Сложная в психолого-педагогическом плане ситуация, связанная с самовоспитанием, возникает тогда, когда школьники сталкиваются с проблемой нравственного самосовершенствования.

В 7 - 9 классах подростки начинают систематически заниматься самовоспитанием. Они любят приключенческие, романтические фильмы и литературу, так как их героям присущи качества мужественности, смелости и силы воли . [17]

В старшем подростковом возрасте многие мальчики начинают заниматься развитием у себя волевых качеств личности через занятия спортом. Общая логика развития всех волевых качеств может быть выражена так: от умения управлять собой, концентрировать усилия, выдерживать большие нагрузки к способности управлять своей деятельностью, добиваться в ней высоких результатов.

Возникает противоречие: с одной стороны - стремление к романтизму, рыцарству и приключениям, навеянные соответствующей литературой и фильмами; с другой - столкновение с прагматизмом, порожденным экономическими условиями жизни.

Если романтический идеал требует от личности аскетизма и скромности в своих притязаниях. То, прагматический идеал, напротив, диктует стремление к материальному благополучию. Романтическая ориентация предполагает уединение, прагматическая - активное общение. Первой свойственна покорность судьбе, второй - борьба.

Одной из самых важных задач педагога-воспитателя является демонстрация детям того, что в действительности прагматические и романтические ценности вполне совместимы друг с другом. [16]

2.2 Интеллектуальное развитие в подростковом возрасте

С переходом из младших классов в средние, изменяется положение детей в системе деловых и личных отношений с окружающими людьми. Все большее место в их жизни начинают занимать серьезные дела. Все меньше времени отводится на отдых и развлечения. Возрастают требования к интеллекту. Учителя и родители переходят на новый стиль общения с подростками. Больше склоняясь к их разуму и логике, чем к чувствам.

Активно идет процесс познавательного развития. Науке до сих пор недостаточно известно, что происходит с сознанием детей в этот возрастной период, как меняется их восприятие, внимание и воображение. За совершенствованием таких познавательных процессов, как память. Речь и мышление, наблюдать легче, и о них можно сказать больше.

В 7 - 9 классах в психологическом поведении школьников происходят важные процессы связанные с перестройкой памяти. Активно развивается логическая память, но замедляется развитие механической памяти, что связано с увеличением объема информации. У учащихся могут возникать проблемы с памятью. Наряду с этим появляется интерес к способам улучшения запоминания.

В этом возрасте активное развитие получат чтение, монологическая и письменная речь. Письменная речь улучшается в направлении от способности к письменному изложению до самостоятельного сочинения на заданную или произвольную тему.

Подростки уже могут мыслить логически, способны к теоретическим рассуждениям и самоанализу. Они относительно свободно размышляют на нравственные, политические и другие темы, практически недоступные интеллекту младшего школьника. [16]

Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трем направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект, внутренний план действий.

Развитию мышления может способствовать риторика, понимаемая как умение планировать, составлять и произносить публичные речи, вести дискуссии, грамотно отвечать на вопросы.

Школьники средних и старших классов должны не механически заучивать и повторять определения научных понятий, а, прежде всего, понимать их смысл и логику. Это ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у подростков.

Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста - умение оперировать гипотезами. Можно говорить о формировании у подростков теоретического, или словесно-логического, мышления. [25]

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи.

Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное - всегда готов отыскать решение в практическом плане, из любой ситуации может найти выход.

Экономность состоит в том, что человек в состоянии найти такой способ действий, который с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидеть последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Умение оперативно решать поставленные задачи - это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Его можно и нужно развивать и формировать у учащихся, начиная с первых классов, причем не только в школе, но и дома. Основные направления развития перечисленных свойств практического интеллекта:

1) предприимчивость - через ученическое самоуправление в классе и в школе;

2) экономность - через побуждение детей самостоятельно производить расчеты материальных затрат на интересующие их дела.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, желанием развивать, демонстрировать свои способности, получать высокую оценку со стороны, а также характерен стремлением к самообразованию.

Наблюдается интеллектуализация всех остальных познавательных процессов. Заметны рост сознания и самосознания, углубление знаний о себе, о людях, об окружающем мире.

Развитие самосознания находит выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда, а также продолжается развитие способностей детей на базе ведущих видов деятельности: учения, общения и труда.

В обучении формируются и развиваются коммуникабельные способности учащихся, включающие умение вступать в контакт с незнакомыми людьми, добиваться их расположения и взаимопонимания, достигать поставленных целей. В труде идет активное становление тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей.

Те виды деятельности, которые прежде выполняли ведущую роль, например игра, постепенно отодвигаются на второй план. Начинается новая стадия психического развития.

В подростковом возрасте активно совершенствуются самоконтроль деятельности. Вплоть до юношеского возраста у многих подростков еще отсутствует способность к предварительному планированию деятельности, но вместе с тем можно выделить стремление саморегулированию.

Также в этом возрасте у учащихся начинает формироваться мировоззрение, как основной мотив и регулятор поведения, а процесс усвоения знаний способствует развитию внимания, восприятия, памяти и мышления.

Внимание становится управляемым, и учащиеся этого возраста могут длительное время концентрировать его при решении абстрактных задач. Восприятие, память, воображение и другие психические процессы все больше приобретают черты произвольности [17].

Одна из задач школьного обучения состоит в развитии навыков и умений решения задач на построение, и при этом геометрия вносит большой вклад в развитие познавательных процессов. Здесь происходит осознание основных свойств геометрических фигур, а также теоретического материала почти по всем разделам курса планиметрии. У учеников вырабатываются конкретные геометрические представления, т.к. создается наглядная модель изучаемых свойств [29].

Развивающие функции задач на построение способствуют развитию конструктивных умений у школьников, и их алгоритмической культуры, пространственного и логического мышления

У учащихся 7-9 классов ведущей деятельностью является деятельность общения в процессе обучения, при этом преимущественно развивается личностная или, как ее еще называют, потребностно - мотивационная сфера психики.

Одним из методов повышения эффективности обучения подростков является целенаправленное формирование мотивов учения. Так как одной из потребностей ученика данного возраста является познавательная деятельность, то при ее удовлетворении у него формируются устойчивые познавательные интересы, которые в свою очередь определяют положительное отношение к учебным предметам. Для подростка очень важно осознание и осмысление жизненного значения знаний и, прежде всего их значение для развития личности.

Решая планиметрические задачи на построение, школьники встречаются с серьезными требованиями выражать свои мысли в сжатой форме. И при этом учащиеся должны полноценно аргументировать каждый шаг. [18]

Физиологические исследования показывают, что подростки оперируют представлениями, образами на стадии наглядно-образного мышления. Хотя они в этот период и переходят на стадию словесно-логического мышления, основной упор нужно делать на наглядно-образную основу.

Психологами установлено еще одна закономерность. При встрече с трудностями у подростка возникает сильное чувство противодействия, которое приводит к тому, что подросток может не довести до конца начатое дело, уничтожить уже сделанное и т.п. В то же время подросток может быть настойчивым, выдержанным, если деятельность вызывает сильные положительные чувства. Вот почему очень важно давать подросткам посильное задание, вооружать их соответствующими знаниями, умениями и навыками, способами деятельности.

При этом у школьников по-прежнему возрастают возможности усвоения новых знаний, фактов, информации. Поэтому объем и сложность содержания обучения должны плавно возрастать, но темпы нарастания объема и сложности учебных задач должны в определенной мере учитывать темпы нарастания учебно-познавательных возможностей обучающихся, не допуская как перегрузки, так и недогрузки школьников. [16]

Анализ литературы по психологии и физиологии позволил сформулировать психологические условия формирования и представления изображений у учащихся 7-9 классов:

-во-первых, обучение должно происходить на наглядно-образной основе, а значит, формирование пространственных представлений идет от конкретного к абстрактному;

- во-вторых, опираться надо на ведущую сферу деятельности подростков - личностно-мотивационную.

В результате исследования психологической литературы можно сделать вывод: 7-9 классов возможно формирование умений решения задач на построение и конструктивных навыков, но для доступности этого материала учащимся необходимо разработать отдельные методики обучения.

§ 3. Анализ литературы по теме исследования

3.1 Анализ учебников по геометрии основной школы

В курсе математики 5-11 классов выделяются три ступени обучения 5-6, 7-9, 10-11 классы, На первой из них изучается один предмет математического цикла «математика». Целью изучения этого курса является подготовка учащихся к изучению систематического курса геометрии. В ходе изучения курса учащиеся знакомятся с геометрическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.

На первой ступени обучения, в геометрическом материале циркуль и линейка применяются лишь для того, чтобы построить отрезок заданной величины и окружность с заданным радиусом, т.е. учащиеся должны приобрести навык использования чертежных инструментов.

Анализ учебников [12], [13], [14] и [15] по математике вынесен в приложение 1.

На второй ступени обучения математический цикл представлен двумя предметами «Алгебра» и «Геометрия». Целью изучения геометрии в 7-9 классах является систематическое изучение геометрического материала и, как следствие, развитие логического мышления.

В перечне учебных пособий для общих средне образовательных учреждений на 2008-2009 учебный год Министерством образования Российской Федерации рекомендованы следующие учебники [36]:

Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9».

Погорелов А.В. «Геометрия 7-9».

Смирнова И.М. и др. «Геометрия 7-9».

4) Шарыгин И.О. «Геометрия 7-9».

Проанализировав тематическое планирование по учебникам «Геометрия 7-9»
на наличие тем, содержащих задачи на построение, представлен анализ учебников по следующим критериям:

· В каких классах основной школы рассматривается тема: «Задачи на построение» и сколько часов отводится на изучение данной темы.

· После какой темы вводятся задачи на построение

· Выделены ли задачи на построение от остальных задач

· В каком классе рассматривается задачи на построение с полной схемой решения

· Какие методы решения задач на построение рассматриваются, а какие отсутствуют

· Количество задач на построение

1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]

а) 7 класс: содержит четыре главы. Тема “Задачи на построение” изучается в конце главы 2 “Треугольники”. В этом параграфе содержатся пункты “Окружность”, “Построения циркулем и линейкой” и “Примеры задач на построение”. Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 - отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).

В главе 3 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи).

В главе 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.

В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.

б) 8 класс: содержит пять глав. В главе 5 “Четырехугольники” после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.

В главе 7 “Подобные треугольники” рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 - сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников.

В начале главы 8 “Окружность” в пункте “Касательная к окружности” решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 - дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях.

В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.

в) 9 класс: содержит четыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 - расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках.

В главе 13 “Движения” изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 - познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом.

Тематическое планирование по учебнику Атанасяна Л.С. и др. [7] показывает, что задачи на построение присутствуют при изучении материала на каждом году обучения учащихся. В 7-ых классах изучается простейшие геометрические построения и задачи на построение ГМТ, хотя в данном учебнике это понятие не вводится. Данное понятие заменяется формулировками «расстояние от точки до прямой», «равноудаленная от ...» и т.д. на эти задачи в 7 классе отводится 7 часов.

В 8-ых классах 1 час отводится на построение методом ГМТ четырехугольников. И 2 часа задачи на построения изучаются как практические приложения подобия треугольников (метод геометрических преобразований). В рассматриваемом учебнике отсутствует тема «Гомотетия», поэтому задачи на построение, решаемые методом гомотетии не изучаются

В 9-ых классах задачи на построение применяются при решении задач на движение и решаются методом вращения. Так же в этом классе учащиеся знакомятся с полной схемой решения задач на построение и рассматриваются задачи по полной схеме.

Проанализировав учебник Атанасяна Л.С. и др. можно выделить некоторые его особенности:

Тема: «Задачи на построение» рассматривается на протяжении всего курса, это позволяет учащимся лучше усваивать материал;

* Задачи на построение выделены от всех остальных задач;

* Рассматриваются задачи с полной схемой решения уже в 7 классе;

* Отсутствует понятие ГМТ;

* Не рассматриваются задачи решаемые методом гомотетии.

2) А.В. Погорелов [5]

а) 7 класс: содержит пять параграфов. В §1 “Основные свойства простейших геометрических фигур” рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как построить перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” содержит пункт “Что такое задачи на построение”, где рассказывается о чертежных инструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты “Геометрическое место точек”, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; а также “Метод геометрических мест”, который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основная цель §5 - решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

б) 8 класс: содержит пять параграфов. В конце §6 “Четырехугольники” содержится задача на построении четвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель §6 - дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах. В §9 “Движение” изучаются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §9 - познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований.

в) 9 класс: в §11 “Подобие фигур” изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §11 - усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения. В §13 “Многоугольники” рассматриваются построения некоторых правильных многоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный n-угольник. Основная цель §13 - расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.

В учебнике Погорелова А.В. [5] тема о геометрических построениях рассматривается в конце 7 класса в § 5 «Геометрические построения». На эту тему по программе отводится 6 часов. В данном параграфе рассматриваются построения методом ГМТ. Начинается тема с введения понятий: окружность (определение которой подводит учащихся к сложному определению ГМТ), ее элементов (диаметр, хорда), так же понятий окружность описанная около треугольника и вписанная в треугольник. Задачи на построение начинаются с введения основных положений, т.е. в чем состоит решение задачи на построение, в каком случае задача считается решенной, какие построения можно сделать с помощью циркуля и линейки. Далее идет рассмотрение простейших задач. После этого вводится понятие ГМТ, приводится в пример окружность и доказывается теорема: « ГМТ, равноудаленных от двух точек, есть прямая перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, проходящая через его середину». Суть метода ГМТ рассматривается на одной из задач.

В 8 классе при изучении темы «Четырехугольники» в список задач входят задачи, требующие построить параллелограмм, ромб и трапецию. В теме «Движение» рассматриваются задачи на построение, решаемые метолом симметрии и вращения.

В 9 классе рассматривается тема «Подобие фигур» и при ее изучении учебник содержит блок задач на построение, решаемых методом подобия, а также методом гомотетии.

Особенности данного учебника:

* Приведено большое количество задач на метод ГМТ;

* Задачи на построение методом геометрических преобразований не выделяется в отдельный класс, что не дает полного представления о данном методе.

3) В учебнике Смирновой И.М. [28] изучение задач на построение начинается в 7 классе с введения понятия ГМТ, также как и в рассмотренных выше учебниках, на примере окружности. Доказывается две теоремы и предлагается большой список задач на построение методом ГМТ, следом рассматривается раздел, изучающий понятия задач на построение и простейших геометрических построений. В конце курса предложены темы: «Эллипс» и «Гипербола», где также предлагается решить несколько задач на построение методом ГМТ, данные темы не являются обязательными для общеобразовательных классов.

В 8 классе рассматриваются задачи, требующие построить параллелограмм, ромб, треугольник, у которого заданы только середины сторон. В теме «Движение» рассматривается очень мало задач на построение методом вращения. На метод подобия задачи отсутствуют.

В 9 классе темы, изучающие задачи на построение не рассматриваются.

Особенности данного учебника:

* Изучение темы только в 7 и 8 классах;

* Небольшое содержание задач на ГМТ;

* Не рассматриваются задачи, решаемые методом подобия и гомотетии.

4) В учебник Шарыгина И.Ф. [32] тема геометрические построения рассматриваются в конце 7 класса в разделе 4 «Виды геометрических задач и методы их решения». В этом разделе сразу вводится понятия ГМТ на примере окружности, затем следует введение понятия задачи на построение, вводятся основные положения (в чем состоит решение задачи на построение, когда задача считается решенной и какие построения можно провести с помощью циркуля и линейки), далее идет рассмотрение простейших задач на построение.

В 8 классе в начале учебного года автор опять возвращается к задачам на построение и ГМТ лишь для того, чтобы предложить учащимся более короткие пути решения задач, уже рассмотренных в 7 классе. Затем предлагается рассмотреть большой блок задач, на использование метода ГМТ в задачах на построение. Далее рассматривается еще один метод решения задач на построение методом подобия, рассматриваются такие задачи, как «построение отрезка по формуле», «построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника» и т.д.

В 9 классе последняя встреча с задачами на построение проходит после изучения темы «Преобразования плоскости» и рассматриваются несколько задач на использование метода вращения и гомотетии.

Так же в учебнике представлены темы, для необязательного изучения, т.е. для математических классов. Такие темы, как «Одно важное геометрическое место точек» и «Окружность Аполлония».

Особенности данного учебника:

*Тема рассматривается на протяжении всего курса;

*Задачи на построение выделены от остальных задач; *Выделен каждый раздел, содержащий задачи на построение;

*Разобрано большое количество задач на ГМТ.

Анализ учебников[6] и [8] вынесен в приложении 1.

Вывод: Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет.

В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) - по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.

В приложение 1 представлен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках [5], [6] и [7].

Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников уже развито логическое и пространственное мышление, сформированы графические умения и навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с его интерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы, ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, где самостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация является тем самым “лучом света в темном царстве”, которого так иногда не хватает школьнику при изучении математики.

3.2 Анализ учебно-методической литературы

1) И.Ф. Шарыгин “Задачи по геометрии (Планиметрия)” [31]

Книга, состоящая из двух частей, включает более 600 задач по планиметрии. Вторая часть содержит параграф, посвященный теме геометрических мест точек. Задач предлагается немного, они достаточно сложные, предназначенные по большей мере для специализированных классов, для студентов. Задачи сопровождаются указаниями и подробными решениями. В некоторых других параграфах второй части, таких как, например, “Треугольник” и “Окружности и касательные”, также встречаются задачи на нахождение геометрического места точек.

2) В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии ” [22]

В этот сборник включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными знаниями уровня. Для всех задач прилагаются решения. Книга состоит из двух частей. Первая содержит классические темы планиметрии, вторая - геометрические преобразования и задачи на олимпиадную и кружковую тематику.

Всего 29 глав. За основу классификации задач приняты методы решения геометрических задач. Одна из глав посвящена методу ГМТ, которая содержит достаточное количество задач на построение разного уровня сложности, в которых применяется данный метод. Применяются как основные ГМТ, так и более сложные.

Есть глава, посвященная геометрическим построениям треугольников, четырехугольников, окружностей с помощью различных методов, включает в себя разнообразный набор задач на построение. Кроме того, в этой главе рассматриваются построения с помощью одной линейки, одной двусторонней линейки, с помощью одного прямого угла. Также здесь приводятся необычные построения (например, деление угла на n равных частей).

Имеются отдельные главы, посвященные методам параллельного переноса, центральной симметрии, осевой симметрии, поворота, гомотетии, в которых также хорошо отражена суть методов и содержится хороший набор задач разного уровня на применение каждого метода. Даются основные понятия к каждой главе.

3) Я.П. Понарин “Элементарная геометрия (в двух томах)” [20] [21]

Книга предназначена для более углубленного изучения элементарной геометрии. Для учащихся школ, лицеев, гимназий с математической специализацией и студентов. Первый том посвящен планиметрии и преобразованиям плоскости, второй - стереометрии и преобразованиям пространства.

В данном пособии уделено много внимания методу геометрических преобразований, в связи с тем, что чисто геометрические методы в последнее время отходят на второй план и данный метод до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Как пишет автор, его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предполагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне. В книге расширен материал школьных учебников, добавлены многие геометрические факты. Теория геометрических построений вынесена за рамки пособия. В систематическом виде изложен теоретический и задачный материал по методу геометрических преобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многие геометрические задачи. Большую часть пособия составляют задачи различной степени трудности, к большинству из них даны ответы или краткие указания.

Первый том содержит две части. Вторая часть посвящена преобразованиям плоскости. В частности две первые ее главы описывают движения плоскости и методы решения задач на построение (центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).

Второй том также содержит две части. В первой части четвертая глава посвящена ГМТ. Здесь рассматриваются различные ГМТ плоскости, а также ГМТ пространства: разность квадратов расстояний, сумма квадратов расстояний, сфера Аполлония. Применение метода ГМТ для решения стереометрических задач. Вторая часть посвящена преобразованиям пространства аналогично второй части первого тома. Две первые ее главы описывают движения пространства и методы решения задач на построение (центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).

В книге отдельно не выделяется применение метода ГМТ для планиметрических задач, а также не рассмотрен алгебраический метод.

4) И.И. Александров “Сборник геометрических задач на построение с решениями” [1]

Книга насчитывает более 600 задач на построение, что представляет учащимся и преподавателям огромный выбор. В основном книга посвящена решению задач на построение при помощи циркуля и линейки, но последний раздел посвящен решению задач одним циркулем, двусторонней линейкой, прямого или острого угла, односторонней линейкой с применением вспомогательной окружности Штейнера.

Сборник можно разделить на три части, включающие: 1) основные построения; 2) задачи, приучающие к построениям; 3) задачи на различные методы решения (метод ГМТ, метод геометрических преобразований, алгебраический метод). Представлен очень хороший набор задач различной степени сложности, на применение различных методов, и приведены решения. Каждый метод подробно описан, приведены примеры. Также в книге рассмотрена тема: “Применение тригонометрии к решению геометрических задач на построение”.

Вывод: Во всех книгах достаточно хорошо рассмотрены те или иные методы решения задач на построение, приведены решения задач. В книге [31] представлены задачи только на метод ГМТ. Сборник [22] содержит отдельные главы, посвященные различным методам (кроме алгебраического метода). Включенные в него задачи имеют несколько повышенный по сравнению со школьными знаниями уровень. Наиболее оптимальным из рассмотренных книг, по нашему мнению, является сборник [1], он содержит много задач на применение различных методов. Причем только в нем рассматривается алгебраический метод. Кроме того, достаточно хорошими книгами являются пособия [20], [21]. В них наилучшим образом, по нашему мнению, представлена тема геометрических преобразований и только здесь рассматривается ГМТ пространства.

§4. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике

Отметим, что развитие логического мышления непосредственно связано с процессом обучения математике. При этом многие исследователи отмечают, что одной из важнейших задач обучения, в том числе и математике, в школе являются:

* формирование навыков учащихся осуществлять логические операции;

* обучение их различным приемам логического мышления,

* вооружение знаниями логики и выработки у школьников умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности.

В результате правильно организованного обучения математике школьники весьма быстро приобретают навыки логического мышления, в частности, умение обобщать, классифицировать, а также аргументировано обосновывать свои выводы.

Вместе с тем нет единого подхода к решению вопроса, как организовать такое обучение математике. Одни считают, что логические приемы являются неотъемлемой частью математики как науки, основы которой включены в содержание образования, поэтому у учащихся при изучении математики автоматически развивается логическое мышление на основе заданных образов (В.Г. Бейлинсон, Н.Н. Поспелов, М.Н. Скаткин).

Другой подход выражается во мнении части исследователей о том, что развитие логического мышления только через изучение учебных предметов, в том числе и математики, является малоэффективным. Такой подход не обеспечивает полноценного усвоения приемов логического мышления и поэтому необходимы специальные учебные курсы по логике (Ю.И. Веринг, Н.И. Лифинцева, В.С. Нургалиев, В.Ф. Паламарчук).

Еще одна группа ученых (Д.Д. Зуев, В.В. Краевский) считают, что развитие логического мышления учащихся должно осуществляться на конкретном предметном содержании учебных дисциплин через акцентуацию, выявление и разъяснение встречающихся в них логических операций.

Но каков бы ни был подход к решению этого вопроса, большинство исследователей сходятся в том, что развивать логическое мышление в процессе обучения математике это значит:

- развивать у учащихся умение сравнивать наблюдаемые предметы, находить в них общие свойства и различия;

-вырабатывать умение выделять существенные свойства предметов и отвлекать (абстрагировать) их от второстепенных, несущественных;

- учить детей расчленять (анализировать) предмет на составные части в целях познания каждой составной части и соединять (синтезировать) расчлененные мысленно предметы в одно целое, познавая при этом взаимодействие частей и предмет как единое целое;

- учить школьников делать правильные выводы из наблюдений или фактов, уметь проверять эти выводы; прививать умение обобщать факты;

- развивать у учащихся умение убедительно доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения;

- следить за тем, чтобы мысли учащихся излагались определенно, последовательно, непротиворечиво, обоснованно. [18]

Решение задач на построение, несомненно, развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.

Задачи на построение играют важную роль в развитии логического мышления учащихся. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной, определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура. Этим мы устраняем формализм в знаниях.

Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования - все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. [10]

Между тем заметим, что процесс формирования логического мышления, как компонента общего образования, должен быть целенаправленным, непрерывным и связанным с процессом обучения математике на всех ее ступенях.

В связи с этим, рассмотрим задачи преподавания геометрии в школе:

- систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;

- изучение пространственных форм;

- развитие пространственного воображения;

- воспитания правильного логического мышления;

- привитие практических навыков, включая сюда и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики. [34]

Основной здесь является задача развития в учащихся трех качеств: пространственного воображения, практического понимания и логического мышления.

При этом основой для развития пространственного воображения и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.

4.1 Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе

Не вся получаемая информация осознается человеком, зачастую она лишь заполняет память человека, но не преобразовываться им, не используется для получения новых знаний логическим путем, с помощью рассуждений. Эти знания будут изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в качестве исходного материала для получения новых знаний. Вот почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информация была упорядочена.

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые учащиеся должны уметь выполнять, для того чтобы их знания находились в определенной системе и не были бы изолированными и несвязанными между собой.

Перечень умений может быть упорядочен следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

¦ формулировать определения понятий с использованием различных связок и кванторов;

¦ приводить примеры понятий, подводить объекты под определения различных логических конструкций;

¦ строить отрицание определений различных логических конструкций;

¦ понимать отношения между двумя понятиями;

¦ проводить классификацию известных понятий;

¦ понимать свойства конкретных отношений - рефлективность, симметричность, транзитивность - без употребления соответствующей терминологии;

¦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

¦ выделять условия и заключения теоремы;

¦ строить отрицание утверждений различной структуры;

¦ различать свойства и признаки понятий;

¦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

¦ уметь проводить полученное доказательство;

¦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

¦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

¦ использовать отдельные методы доказательства - метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

¦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.[3]

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

4.2 Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся

Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

II. Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определение, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний. Отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.

II. Уровень частичной логической организации изученного материала. Понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний характеризуется пониманием целостности системы знаний, пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного материала. [18]

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:

- Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равны, называется равнобедренным?

- Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

- Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?

- Какими могут быть неравносторонние треугольники?

- Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. Понимание терминов свойство и признак понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки - когда необходимо подвести под понятие.

По сути дела свойство понятия, объекта - это все то, что можно сказать об объекте, изучая его. Признаки - это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника.

Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие по парного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой, показателем, признаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Для того чтобы различать термины свойство и признак, необходимо понимать, как строится теория понятия. Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств. [26]

Эффективность формирования понятий у учащихся, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.

Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у них умения вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия задачи. В. И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям».

Чертежи и рисунки - эффективное средство формирования умения учащихся подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений.

При обучении решению геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или причастных оборотов.[18]

Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. Приведем три задания, которые фактически нацеливают учащихся на поиск контр. примеров.

1. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?

2. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые, является прямоугольником»?

3. Изобразите на чертеже случай, для которого неверно высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь идет о двух прямых.).

В пропедевтическом курсе геометрии важно воспитывать у школьников понимание необходимости того, чтобы изучаемые факты доказывались. Целесообразно показывать школьникам что у людей нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его логическим путем. «Самые тщательные измерения - может сказать учитель,-- все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно, что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию». [18]

Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно - индуктивного преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивному методу в основном курсе геометрии.

Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи), которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в качестве ведущих) функции, направленные на формирование у школьников элементов творческого математического мышления.

В качестве таких задач могут выступать, например, задачи, при постановке которых или в процессе решения которых:

учащимся мотивируется целесообразность изучения нового материала, разумность определений геометрических понятий, полезность изучения тех или иных теорем;

учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта, к обоснованию того или иного положения, к установлению возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;

учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установлению новых связей между известными им геометрическими понятиями;

у учащихся формируются умения использовать ведущие методы научного познания (опыт, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и т. д.) как методы самостоятельного изучения геометрии, понимание роли и места индукции, аналогии дедукции в процессе познания;

учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими предметами, устанавливают содержательные и структурные связи между различными вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические знания к решению нематематических задач;

учащиеся приобщаются к самостоятельным поисковым исследованиям (посредством изучения результатов решения задач, изменения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно удовлетворяет заданным условиям, и т. п.). [18]

Всё это поможет развить в учащихся важные качества мышления, в частности качества логического мышления, а именно: активность, гибкость, глубину, критичность, доказательность и т. п.; умение выражать свою мысль ясно и точно.

Вывод: Логическое мышление - вид мышления, сущность которого в ориентировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики, т.е. мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Развитие логического мышления - это формирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработка умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности. Этот процесс непосредственно связан с процессом обучения математике, правильная организация которого обеспечивает наиболее эффективное развитие логического мышления. При этом ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и логического мышления, как задачи на построение. Ведь именно при решении задач на построение учащиеся должны осуществлять все логические операции мышления: анализ, синтез, обобщение и абстракция. Здесь, как нигде, у учащихся формируются такие качества мышления как: гибкость, глубина, критичность, доказательность и т. п. Но для достижения определенных результатов должна быть разработана соответствующая методика по обучению решению задач на построение, которая бы способствовала активному развитию логического мышления учащихся

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены