Методика преподавания комплексных чисел при углубленном изучении математики в средней школе

При проведении занятий предполагается использование теоретического материала, предложенного в первой главе и дидактических разработок, которые содержатся в приложениях данной работы.

Для общеобразовательных школ предлагается провести факультативный курс ознакомительного характера по исследуемой теме в одиннадцатых классах с использованием теоретических материалов изложенных в данной дипломной работе. В этот курс рекомендуется включить первые два модуля и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

В этом случае предлагается следующая последовательность изложения материала и соответствующее тематическое планирование для факультативного курса, предполагающего пять занятий по теме [20].

Таблица №2

Вид занятия	Тема	Часы
Факультативы 1-2	Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Решение задач.	2
Факультативы 3-4	Тригонометрическая форма комплексного числа. Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно. Формулы Муавра. Решение задач.	2
Факультатив 5	Решения алгебраических уравнений. Целые корни уравнения. Разложение многочлена на множители. Решение задач.	1
Итого		5

2.4 Методические рекомендации к преподаванию темы «Комплексные числа» в математических классах

Тема «Комплексные числа» развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Ввиду ограниченности объема многие приложения комплексных чисел в курсе не рассматриваются.

Характеризуя приложения комплексных чисел и алгебры многочленов, следует подразделить их на два типа. Первый тип - это задачи, решение которых в принципе невозможно без использования комплексных чисел (например, задача о разложении многочленов с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители).

Ко второму типу относятся задачи, решение которых можно получить, не выходя за рамки поля действительных чисел, с помощью весьма искусственных индивидуальных приемов и хитроумных рассуждений. Решение же таких задач с использованием комплексных чисел оказывается очень простым и естественным.

В соответствии с выбранной технологией модульного обучения теоретический и практический материал по данной теме разбивается на самостоятельные модули. Структура модуля выбрана следующим образом:

1. Название модуля.

2. Теоретические занятия.

3. Практические занятия.

4. Самостоятельная работа учащихся.

Так весь материал, предлагаемый учащимся, представляет собой один модуль с названием «Комплексные числа». Комплексные числа включают в себя несколько смысловых блоков, которые представлены в виде модулей.

Модуль 1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Модуль 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Модуль 3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Модуль 4. Корни и степени комплексных чисел.

Модуль 5. Алгебраические уравнения, основная теорема алгебры.

Модуль 6. Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим подробнее изучение каждого модуля.

Модуль 1. Основные понятия этого модуля: развитие числовых множеств, возникновение множества комплексных чисел, число i, мнимые числа, действительные числа как часть множества комплексных чисел.

При рассмотрении этого блока (как вводного) необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала для мотивации познавательной деятельности учащихся. Тема «Комплексные числа» - одна из ведущих и прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники и радиотехники.

Таким образом, в первом блоке сформулированы задачи и проблемы, решение которых трудно или невозможно получить, оставаясь в рамках теории действительных чисел. Тем самым создается проблемная ситуация, выходом из которой является построение новой теории.

Главная методическая особенность этого модуля состоит в том, что комплексные числа определяются как формальные выражения вида , где a и b - действительные числа. Говоря о формальных выражениях, сначала не приписываем никакого смысла знакам + и i, при помощи которых они составляются.

Эти выражения являются совершенно новыми объектами, следовательно, необходимо определить понятие равенства комплексных чисел и действия над ними.

Завершая рассказ о действиях над комплексными числами, следует подчеркнуть, что четыре основных действия (сложение, вычитание, умножение и деление) обладают теми же свойствами, что и действия над действительными числами.

Рассматривая выражение вида , мы убеждаемся в том, что их арифметика совпадает с арифметикой действительных чисел.

В самом деле, вычисляя сумму и произведение чисел и , получим: и , откуда видно, что сумме чисел соответствует сумма действительных чисел , произведению - произведение ас. Поскольку соответствие между комплексными числами вида и действительными числами взаимно однозначно, то можно число считать равным соответствующему ему действительному числу .

В результате такого отождествления множество R действительных чисел становится частью множества С комплексных чисел.

После введения понятия мнимой единицы, такой, что , вводится понятие чисто мнимого числа вида , где , а затем и выражения вида , которые можно рассматривать как сумму комплексных чисел и , умноженного на мнимую единицу , т.е.

Необходимо уделить внимание вычислению степеней мнимой единицы и вывести формулы:

Важно отметить, что операции сложения и умножения комплексных чисел выполняются по тем же правилам для обычных многочленов, но при этом следует, где представляется возможным, заменять на .

После вывода формулы для частного комплексных чисел целесообразно ввести понятие числа, сопряжённого данному комплексному числу. Т.е., если - произвольное комплексное число, то число - сопряжённое ему число. Сопряжённые числа отличаются только знаком мнимой части.

Следует обратить внимание учащихся на соотношения

,

часто помогающие при решении задач [20].

Основные типы задач используемых в первом модуле:

1) представление выражений в комплексного числа в алгебраической форме записи;

2) решение уравнений и систем уравнений с действительными и комплексными переменными;

3) вычисление выражений, содержащих степени комплексных чисел;

4) извлечение корней степени (при ) из комплексных чисел, используя формулы сокращённого умножения.

Заметим, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются. Записи вида и им подобные лишены всякого смысла, то есть комплексные числа не сравнимы между собой по величине. Это объясняется тем, что соответствующие им точки не лежат на одной оси (как действительные). Может идти речь только о сравнимости комплексных чисел по модулю. Об этом рассказывается во втором смысловом блоке - «Геометрическая интерпретация комплексных чисел».

Модуль 2. Основные понятия второго модуля: комплексная плоскость, точки и векторы, изображающие комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексному числу ставится в соответствие точка (a; b) координатной плоскости. Такое соответствие, очевидно, является взаимно однозначным.

Для упрощения терминологии часто называем комплексными числами сами точки плоскости. Так, мы пользуемся выражениями типа: «число лежит на прямой », «точка » и т.п.

Здесь полезно напомнить учащимся, что и при рассмотрении действительных чисел часто не различают числа и точки прямой, их изображающие. Отсюда и привычный для учащихся термин - «числовая прямая», т.е. прямая, каждой точке которой поставлено в соответствие действительное число.

Аналогично вводится термин «комплексная плоскость», то есть координатная плоскость, каждой точке которой поставлено в соответствие комплексное число.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа как радиус-вектора , т.е. вектора, исходящего из начала координат и идущего в точку . Разумеется, вместо радиус-вектора можно взять любой равный ему вектор. Это оказывается удобным для геометрической интерпретации выполняемых над комплексными числами операций, которые производятся по правилам сложения векторов. В этом случае понятие модуля комплексного числа вводится как длина радиус-вектора, соответствующего этому числу [10].

Здесь полезно отметить, что для действительных чисел модуль равен , т.е. совпадает с привычным понятием модуля действительного числа.

Чрезвычайно важным для решения задач является замечание, что расстояние между точками z и равно .

Главным аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором, изображающим данное число, отсчитываемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого определения .

Следует иметь в виду, что в литературе встречается и другое определение главного аргумента, при котором оказывается . Находится главный аргумент, как правило, не по формулам, а с помощью геометрического изображения с учетом четверти, в которой лежит данное число .

Можно привести и формулы для вычисления . Однако эти формулы неудобны для запоминания. Так, при можно записать , а при . Возможны выражения главного аргумента и через другие обратные тригонометрические функции. Полезно отметить, что (при ) [20].

Изучив геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, необходимо рассмотреть задания на определение множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих какому-либо условию, например , где - известная точка. Здесь нужно актуализировать знания понятий модуля и аргумента комплексного числа.

Основные типы задач, представленные во втором модуле:

1) отметить на комплексной плоскости комплексные числа или множества комплексных чисел удовлетворяющие каким-либо условиям;

2) вычисление модуля и аргумента комплексного числа;

3) решение систем уравнений графическим способом.

Модуль 3. Тригонометрическая форма комплексного числа z понимается как запись вида , где , а - один из аргументов этого числа.

Любое комплексное число может быть записано в тригонометрической форме. Число 0 не имеет аргумента и, следовательно, тригонометрической формы. Этому виду задания комплексного числа и посвящается третий модуль.

После объяснения темы полезно предложить учащимся записать в тригонометрической форме комплексные числа, расположенные в разных четвертях, например числа вида .

Вычисляя произведение комплексных чисел z и , заданных в тригонометрической форме, получаем возможность истолковать геометрически произведение комплексных чисел (именно здесь очень удобно использовать общее понятие аргумента комплексного числа).

В рамках изучения тригонометрической формы числа рассматриваются операции умножения и деления, которые выполняются с использованием тригонометрических преобразований, а также введённых ранее понятий модуля и аргумента комплексного числа. Выясняется при этом, что . После выполнения этих операций делается вывод, что тригонометрическая форма числа оказывается более удобной, чем алгебраическая, при выполнении умножения, деления, а также возведении в степень и извлечения корней из комплексных чисел, формулы которых будут выведены при дальнейшем изучении темы.

В четвёртом модуле (корни и степени комплексных чисел) этот случай обобщается на случай n сомножителей.

Основные типы задач, рассматриваемые в модуле:

1) представить комплексные числа в тригонометрической форме;

2) выполнить арифметические операции над комплексными числами.

Модуль 4 - «Степени и корни комплексных чисел», включает в себя формулы Муавра и их применения, в частности к задаче решения двучленного уравнения , где .

Формула Муавра может быть доказана по индукции. Её доказательство можно дать нескольким учащимся заранее для последующего доклада.

Чтобы комплексное число возвести в n-ю степень, используется первая формула Муавра: , то есть, если число задано в алгебраической форме , то его предварительно необходимо перевести в тригонометрическую, затем использовать формулу в чистом виде.

Сложнее понять для школьника вторую формулу Муавра, которая позволяет вычислять корни -й степени из комплексных чисел, также заданных в тригонометрической форме. Она выводится с помощью первой формулы Муавра из простого двучлена n-й степени .

При рассмотрении второй формулы Муавра необходимо обратить внимание на тот факт, что в отличие от действительных чисел символ обозначает множество корней, а не какое-то конкретное число. Это объясняется периодичностью функций косинуса и синуса, через которые выражается комплексное число. Важно также отметить, что в формуле Муавра

k берётся из множества , поскольку при остальных значения корней будут повторяться. Такой вывод необходимо проиллюстрировать на каком-нибудь конкретном примере [10].

Из второй формулы Муавра нетрудно получить, что если , то точки, изображающие все корни уравнения являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в точке и радиусом [20].

Основные типы задач, которые необходимо рассмотреть в практической части модуля:

1) возведение комплексных чисел в степень;

2) извлечение корней степени из комплексного числа;

3) выражение одних тригонометрических функций через другие.

Пятый модуль включает в себя сведения об алгебраических уравнениях с комплексными коэффициентами. Учителю следует разъяснить учащимся, что основные понятия, связанные с алгебраическими уравнениями с действительными коэффициентами без каких-либо изменений переносятся на уравнения с комплексными коэффициентами.

Для подтверждения этого повторяются доказательства для квадратных уравнений, считая их коэффициенты комплексными.

Все теоремы, рассмотренные в этом материале, вообще справедливы для уравнений с коэффициентами из произвольного поля, так как в их доказательствах используются только свойства алгебраических операций, имеющие место в произвольном поле.

Доказательство основной теоремы алгебры можно опустить, порекомендовав учащимся выполнить его самостоятельно. При этом целесообразно дать информацию об источниках, в которых приведено доказательство этой теоремы. Её доказательство может послужить также прекрасной темой для доклада одного или группы учеников.

Поскольку данный модуль является завершающим для всего курса изучения комплексных чисел, необходимо разобрать приведенное следствие основной теоремы, а также различные примеры, иллюстрирующие способы решений алгебраических уравнений.

В данном курсе после введения понятий и положений для уравнений и многочленов с комплексными коэффициентами рассматриваются алгебраические уравнения и многочлены высших степеней с целыми коэффициентами - именно такие обычно встречаются в школьном курсе математики [20].

Основные типы задач, которые необходимо рассмотреть в практической части модуля:

1) решение алгебраических уравнений различных степеней;

2) разложение многочленов на множители;

3) нахождение остатка от деления по данным условиям.

После каждого изученного модуля рекомендуется проводить текущий контроль в виде самостоятельных работ на двадцать минут.

По окончании изучения комплексных чисел проводится тестирование на ЭВМ, по результатам которого определяется уровень приобретённых теоретических знаний и практических навыков в период изучения темы.

Модуль 6. Изучение показательной формы комплексного числа рекомендуется отнести на факультативный курс, поскольку эта тема не является обязательной и носит лишь ознакомительный характер.

В этом блоке рассматриваются формулы Эйлера и их применение к тригонометрии. Здесь необходимо объяснить, что формулу можно рассматривать как сокращенную запись выражения . «Оправдывая» принятое обозначение (естественен вопрос: а почему , а не ), учитель может сослаться на заключительный пункт этого раздела, где сопоставлены разложения в ряды функций , и [20].

Изучая этот блок, нужно подчеркнуть, что, хотя все наши соображения и носят формальный характер, получается стройная теория показательной и тригонометрических функций, позволяющая рассматривать их как функции, определенные во всей комплексной плоскости и обладающие довольно неожиданными свойствами (периодичность функции , неограниченность и , разрешимость уравнений типа и т.д.).

2.5 Планы-конспекты уроков и факультативов по теме «Комплексные числа»

Изучение модулей можно осуществить следующим образом: на первом уроке рассматривается теоретический материал модуля с контрпримерами, а на последующих уроках, посвящённых модулю, изучается практический блок.

В этом параграфе представлено ряд разработок планов-конспектов уроков, посвящённых изучению первого учебного модуля.

Урок №1

Тип урока: изучение нового материала.

Тема урока:

Цели:

1) обучающая:

* расширить понятие числа;

* ввести понятие комплексного числа и операций над комплексными числами, заданными в алгебраической форме записи;

2) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

3) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел, предполагается также использование плакатов (см. прил. 4).

Данный урок рекомендуется начать с беседы: повторение опорных знаний о числовых множествах. После того как учащиеся будут заинтересованы, методом рассказа излагается исторический обзор. Методом объяснения вводятся понятия и определения относительно комплексных чисел. Объяснение сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя и ответами учеников и может перерасти в беседу. Ученики под руководством учителя рассуждают, решают возникшие познавательные задачи. В этом случае обучение проходит с помощью проблемного метода обучения и частично-поискового [2].

Ход урока

І. Организационный момент (приветствие, регистрация учащихся).

II. Подготовка учащихся к изучению нового материала и его изучение. Повторение с ними известных им сведений о числовых системах.

Типовые вопросы беседы:

1. Определение натуральных чисел и обозначение множества натуральных чисел. Арифметические операции, выполняемые над натуральными числами.

2. Определение и обозначение множества целых чисел. Арифметические операции, выполняемые над целыми числами.

3. Определение множества рациональных чисел и операции над ними.

4. Определение множества действительных чисел и операции над ними.

5. Вспомнить, какие операции не всегда выполнимы во множестве действительных чисел.

Если ребята не отвечают на этот вопрос, можно предложить им решить уравнение , после чего они ответят на поставленный вопрос: извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Получаем , в действительных числах решить это уравнение невозможно. Давайте предположим, что существует такое число , квадрат которого , и если подставим его вместо : , получим, что . Такого числа в действительных числах не существует, поэтому его назвали «мнимой единицей». Иногда приходится сталкиваться с выражениями вида и так далее, теперь можем их вычислять:

,

т.е. существуют такие числа, которые в общем виде можно записать как bi, где - такие числа называются чисто мнимыми. При решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля, получаем выражения вида и подобные им. Решив его с учётом нового числа , получаем выражения или , которые в общем виде можно записать так: , где . В данном примере и . Числа вида стали называть комплексными.

Тогда числа и также являются комплексными.

Рассмотрим комплексные числа , то есть у которых . Что мы можем о них сказать? Эти числа являются действительными: , так как .

Число в записи называют его действительной частью и обозначают , а число - мнимой частью, и обозначают . Числа называют чисто мнимыми числами. Таким образом, все действительные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых .

Для краткости комплексные числа обозначают одной буквой - или , и пишут: . Запись комплексного числа в виде называется его алгебраической формой. И говорят, что число задано своей алгебраической формой.

Рассмотрим два комплексных числа и . Числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, то есть и [10].

Например, , если и .

Вспомните, какие арифметические операции мы можем выполнять над действительными числами?

Ученики: - Сложение, вычитание, умножение и деление.

Учитель: - В комплексных числах выполняются все те же операции.

Например, , то есть при сложении двух комплексных чисел мы также получили комплексное число. В общем виде можем это записать как

Аналогично выполняется операция вычитания:

Также как и в действительных числах, в комплексных числах выполняется операция умножения. Если - два комплексных числа, то их произведение можно получить, умножив на по правилам умножения многочленов. Здесь в качестве переменной выступает число . Причём, где это возможно, заменяют на . В этом случае получаем:

.

Заметим, что в результате умножения комплексных чисел получаем также комплексное число.

Например: .

Два комплексных числа называются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаком мнимой части, т.е. числа и являются сопряжёнными. Если число обозначить буквой , то число сопряжённое ему обозначается .

Что же мы получим, сложив или умножив два сопряжённых числа?

Проверим: и Таким образом, сумма и произведение двух сопряжённых чисел есть действительное число, так как .

Рассмотрим операцию деления комплексных чисел. При делении комплексных чисел удобно умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, т.е. на . Тогда имеем:

.

Например: .

Заметим, что при делении комплексных чисел также получается комплексное число.

Рассмотрим свойства некоторых операций над комплексными числами.

1. Коммутативность сложения и умножения: , , для любых комплексных чисел .

2. Ассоциативность сложения и умножения: , , для любых комплексных чисел .

3. Дистрибутивный закон: , для любых комплексных чисел .

IV. Постановка домашнего задания.

Продиктовать задания:

а) Найти , если ;

б) Вычислить , если , , ;

в) Выполнить сложение трёх комплексных чисел, если

г) Вычислить: .

Домашнее задание выполнить на листках и сдать в начале следующего занятия. Если будут вопросы по решению домашнего задания, провести краткий анализ решения.

V. Подведение итогов.

Ребята, сегодня мы познакомились с понятием комплексного числа и его алгебраической записью, узнали, что такое мнимая единица, условие равенства комплексных чисел. Есть что-нибудь непонятное в этой теме?

Если есть, то учитель ещё раз повторяет непонятные положения [2].

Урок №2

Тип урока: урок изучения нового материала.

Тема урока: Алгебраическая форма записи комплексного числа и операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Цели:

1) обучающая:

* на практике применять полученные теоретические знания;

2) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

3) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел, предполагается также использование плакатов и графопроектора, с помощью которых даются основные понятия и положения, относящиеся к комплексным числам.

Урок можно начать с помощью репродуктивного метода - повторение изученного на предыдущем занятии материала.

Ход урока

І. Организационный момент (приветствие, регистрация учащихся).

II. Домашнее задание ученики сдают на листках.

а) Найти , если .

Решение.

.

Ответ: .

б) Вычислить , если .

Решение.

Ответ: .

в) Выполнить сложение трёх комплексных чисел, если

Решение.

Ответ: .

г) Вычислить: .

Решение.

1)

2)

3)

Ответ: .

III. Краткое повторение материала предыдущего урока и изучение нового материала.

Вспомнить понятие мнимой единицы; определение комплексного числа и его алгебраическую запись; операции, выполняемые над комплексными числами. Также напомнить учащимся правила возведения в степень многочленов в действительных числах; решение систем уравнений в действительных числах.

Учащиеся уже знают, что , теперь нужно показать, по каким правилам можно найти степень мнимой единицы более второго порядка. Эти формулы можно найти с помощью конкретных примеров.

Теперь предложить ребятам выявить закономерность, по которой изменяется значение степени мнимой единицы в зависимости от показателя степени. Заметим, что значения повторяются с периодом изменения степени на 4 единицы, т.е. Тогда можно сделать вывод:

Проверим полученные формулы: или Аналогично действуют остальные формулы.

Возвести в натуральную степень комплексное число можно по аналогичному правилу возведения двучленов в натуральную степень в действительных числах.

Пример.

Также можно вычислять корни из комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, с помощью уравнений с действительными переменными. То есть, чтобы найти корень -й степени из комплексного числа , необходимо решить уравнение вида Например, найти корень 3-й степени из комплексного числа

Решение. Пусть Необходимо решить уравнение или Решим Пользуясь условием равенства комплексных чисел, имеем: Решая эту систему получим следующие пары чисел и : или или , т.е. получаем 3 значения .

Следовательно, в отличие от корней из действительных чисел, где мы получаем одно значение выражения, в комплексных числах при извлечении корней мы получаем некоторое множество комплексных чисел, а именно: если извлекаем корень -й степени из комплексного числа, то получим ровно значений (комплексных чисел).

Решить задание следующего вида: найти действительные и , если .

Ученики сами могут найти способ решения данного задания, так как знают уже условие равенства комплексных чисел, но для его применения необходимо представить обе части равенства в алгебраической форме.

Решение. Представим это равенство в следующем виде: . Воспользовавшись условием равенства комплексных чисел, получаем систему решениями которой являются

Ответ: , .

Решим теперь систему линейных уравнений в комплексных числах в общем виде:

Подсказать, что системы уравнений в комплексных числах решаются по аналогии с уравнениями в действительных числах, но ответы необходимо представить в алгебраической форме. Предложить решить задание самостоятельно в качестве домашнего задания. Ученики должны получить следующие результаты: и .

IV. Домашнее задание.

1. Вычислить: а) б) .

2. Вычислить: а) б) .

3. Найти натуральные и такие, что выполняется равенство:

4. Решить систему уравнений:

IV. Подведение итогов урока: достигнуты ли поставленные в начале урока цели, анализ проведённой работы.

Урок №3

Тип урока: урок закрепления и применения знаний.

Тема урока: Алгебраическая форма записи комплексного числа и операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Цели:

4) обучающая:

* на практике применять полученные теоретические знания;

5) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

6) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел, предполагается также использование плакатов и графопроектора, с помощью которых даются основные понятия и положения, относящиеся к комплексным числам.

Ход урока

I. Приветствие, регистрация, сообщение темы и целей урока.

II. Активизация базовых знаний и решение заданий. Задания записаны на доске и каждый ученик может самостоятельно решать их и по мере выполнения показывать учителю. К доске по желанию (или по списку) вызывать учеников для решения заданий. Фронтальный опрос по следующим вопросам: определение комплексного числа, алгебраическая форма комплексного числа, действительная и мнимая части комплексного числа, условия равенства и сопряжённости комплексных чисел, степени и корни комплексных чисел в алгебраической форме, решение уравнений и систем уравнений в комплексных числах.

1. Представить число в алгебраической форме, если :

В этом задании необходимо выполнить все арифметические действия и представить полученное число в алгебраической форме.

Решение.

2. Вычислить: а) б)

Решение. Как было рассмотрено на предыдущем уроке, решением такого выражения будет множество чисел, число которых будет равно показателю степени корня. Также нужно знать, что корень из комплексного числа также есть комплексное число, т.е. . Для того, чтобы найти и нужно решить уравнение:



Пользуясь условием равенства комплексных чисел, получаем систему: Решением системы уравнений являются три пары чисел и , которые соответствуют комплексным числам:

Таким образом, получено некоторое множество чисел, которое является решением выражения.

Аналогично решая задание пункта б) получаем множество решений:

3. Вычислить:

Данное задание можно решить двумя способами. Первый из них ребята найдут сразу - непосредственно заменять слагаемые в соответствии с формулами степеней мнимой единицы, затем выявить закономерность, по которой изменяется результат суммирования нескольких первых членов.

То есть, сумма каждых 4-х последовательно взятых слагаемых даёт нам 0 и задача сводится к нахождению числа таких четвёрок входящих в 1997 и остатка: . Значит число обнуляющихся четверок - 499, при этом остаётся одно слагаемое - последнее:

Второй способ решения задачи: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем . Следовательно, сумму геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

т.е. так как

5. Пусть . Вычислить , если .

Решение. Решаем данное задание прямой подстановкой комплексного числа в данное равенство.

Аналогично .

Следовательно,

Ответ: -24.

Из примера можно выделить следующее свойство для многочленов во множестве комплексных чисел: для любого комплексного числа и многочлена выполняются следующее утверждение: и число сопряжено числу .

Решить систему уравнений:

Решение. Обе части второго уравнения умножим на и получим систему: Затем сложим первое уравнение со вторым и первое уравнение умножим на , в результате чего получаем:

В итоге имеем:

Ответ:

Вычислить:

Решение. Представим выражение в следующем виде: Теперь можем вычислить , откуда получаем .

Ответ: .

III. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.

В качестве домашнего задания выполнить:

1. Вычислить:

2. Пусть . Выразить и через и .

3. Найти действительные и , если

4. Пусть . Выразить и через и .

Сегодня на уроке были рассмотрены операции умножения и деления над комплексными числами, а также свойства этих операций. Есть для вас что-нибудь непонятное в этой теме? Подымите руку, кто не понял эту тему.

Урок №4

Тип урока: урок контроля знаний.

Тема урока: Самостоятельная работа по теме «Алгебраическая форма записи комплексного числа».

Цели:

1) обучающая:

* контроль полученных знаний, умений и навыков;

2) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

3) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел, предполагается также использование плакатов и графопроектора, с помощью которых даются основные понятия и положения, относящиеся к комплексным числам.

Ход урока

І. Организационный момент (приветствие, регистрация учащихся).

II. Постановка заданий самостоятельной работы. Задания можно записать на доске или представить в печатном виде и выдать каждому ученику. В квадратных скобках задания для второго варианта.

1. Представить число в алгебраической форме:

Решение (первый вариант).



Ответ: .

Решение (второй вариант).

Ответ: .

2. Найдите множество чисел: а) ; б) . [; б) .]

Решение (первый вариант).

а) Представим подкоренное выражение в виде куба комплексного числа следующим образом: . Тогда получаем . Из условия равенства комплексных чисел следует, что выполняется система уравнений: решениями которой будут являться пары действительных чисел и , соответствующие комплексным числам , и . Подкоренное значение можно представить в следующем виде: . Таким образом, данное выражение имеет три значения: , и .

Ответ: , и .

3. Пусть . Вычислить , если .

[Пусть . Вычислить , если .]

Решение (первый вариант).

Решаем данное задание прямой подстановкой комплексного числа в данное равенство.

Используя утверждение , получаем .

Следовательно,

Ответ: -8.

4. Вычислить:

[]

Решение. Данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем . Следовательно, сумму геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

т.е. так как и

Ответ: .

5. Решить систему уравнений: []

V. Подведение итогов урока.

Краткий анализ заданий самостоятельной работы и рассмотренных на уроке примеров.

Факультативное занятие №1

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Тема урока: Показательная форма комплексного числа.

Цели:

1) обучающая:

* расширить понятие комплексного числа с помощью его показательной формы записи;

* показать применение комплексных чисел к тригонометрии;

2) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

3) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел, плакат.

Проводится в форме беседы с помощью эвристического метода, проблемного метода и частично-поискового [5].

Структура занятия

I. Организационный момент.

II. Подготовка к изучению нового материала.

III. Изучение нового материала.

IV. Первичное осмысление и закрепление нового материала.

V. Подведение итогов занятия.

I. Приветствие, регистрация присутствующих, объявление темы и целей занятия.

II. При подготовке к изучению нового материала необходимо вспомнить тригонометрическую форму записи комплексного числа, как находятся модуль и аргумент комплексного числа.

III. На доске записана формула тригонометрической формы комплексного числа . Ребятам авторитарно даётся формула Эйлера . При этом показываем, что при подстановке в формулу тригонометрической формы комплексного числа, получаем довольно удобную и короткую форму записи: , которую называют показательной формой записи комплексного числа . На примере нужно показать, как осуществляется переход от алгебраической формы записи к показательной.

Пример 1. Представить комплексное число его показательной формой.

Решение. Найдём модуль и аргумент комплексного числа . Затем подставляем эти значения в формулу показательной формы комплексного числа, получаем: .

Затем вводятся операции умножения и деления над комплексными числами:

При этом можно вызвать сильных учащихся для выведения этих формул.

Вторую формулу Эйлера ребята получат самостоятельно, подставив в первую формулу Эйлера вместо аргумента аргумент : [15].

IV. Для закрепления материала также вызывается сильный ученик к доске и подробно с помощью учителя разбирает задание:

Вычислить с помощью формулы Эйлера .

Решение.

Ответ:

Следующее задание следует также предложить одному из сильных учеников:

Вывести из формул Эйлера и , формулы для и .

Решение. Т.е. нам необходимо решить систему, неизвестными в которой являются и .

Сложим почленно два уравнения и получим:

,

откуда выводим формулу для :

Если из первого уравнения системы вычтем второе, то получим другое выражение: т.е.

Здесь необходимо отметить, что выведенные формулы также называются формулами Эйлера. Формулы Эйлера также выполняются, если аргумент заменить на какое-нибудь комплексное число , то есть

и

Для их закрепления нужно вызвать к доске несколько учеников решать задания, при этом остальные решают его самостоятельно и сравнивают свои решения с решениями, выполненными на доске [15].

Вычислить и с помощью формул Эйлера.

Решение. а)

б)

Получили, что число действительное, причём .

V. Таким образом, на занятии узнали, как выглядит показательная форма комплексного числа, научились её применять при нахождении синуса и косинуса комплексного числа.

Факультативное занятие №2

Тип занятия: урок применения полученных знаний.

Тема урока: Показательная форма комплексного числа.

Цели:

4) обучающая:

* расширить понятие комплексного числа с помощью его показательной формы записи;

* показать применение комплексных чисел к тригонометрии;

5) воспитательная:

* прививать интерес к математике;

* воспитывать положительное отношение к процессу обучения;

6) развивающая:

* вырабатывать память учащихся;

* развивать логическое и абстрактное мышление.

Оборудование: доска, мел.

Проводится в форме беседы с помощью эвристического метода, проблемного метода и частично-поискового [5].

Структура занятия

I. Организационный момент.

II. Решение задач.

III. Подведение итогов занятия.

Ход занятия

I. Приветствие, регистрация присутствующих, объявление темы занятия.

II. Решение задач.

Для применения полученных знаний можно предложить следующую работу: класс разделить на две группы и каждой из них дать блок заданий по теме. По мере выполнения группа показывает преподавателю выполненные задания.

Задания для первой группы.

Задание №1. Представить комплексные числа в показательной форме:

а) ; б) в) при .

Задание №2. Вычислить: а) б) в) .

Задание №3. Доказать тождества:

а) ,

б) , если - комплексное число.

Задания для второй группы.

Задание №1. Представить комплексные числа в показательной форме:

а) ; б) в) , при .

Задание №2. Вычислить: а) б) в)

Задание №3. Доказать тождества:

а) ;

б) , если - комплексное число.

III. Краткий анализ и демонстрация решения заданий самостоятельной работы.

Аналогично можно построить изучение остальных учебных модулей по теме «Комплексные числа».

2.6 Разработка и применение обучающе-контролирующей программы при изучении темы «Комплексные числа»

В настоящее время образование неразрывно связано с использованием компьютерных технологий. Новые информационные технологии открывают учащимся доступ к нетрадиционным источникам информации, повышают эффективность самостоятельной работы, дают совершенно новые возможности для творчества, обретения и закрепления различных профессиональных навыков.

В рамках исследования была разработана обучающе-контролирующая программа по теме «Комплексные числа» для 11-х классов, которая может быть использована при проведении уроков, а также при педагогическом контроле знаний учащихся по данной теме учителями школ и классов с углубленным изучением математики.

Программа разработана на языке программирования Delphi, а её обучающая часть построена с помощью WEB-страниц, связанных между собой гиперссылками, позволяющими довольно легко переходить от одного параграфа к другому. Работа с обучающе-контролирующей программой осуществляется с помощью манипулятора «мыши».

При запуске программы появляется заставка, на которой помещено её название. Главное меню программы содержит опции «Теория», «Практика», «Тестирование», «Журнал», «О программе», «Выход», «Подключения», «Изменения» и «Фон».

При нажатии кнопки меню «Теория» вниманию пользователя представляется содержание теоретического материала по теме «Комплексные числа», представляющее собой WEB-страницу с гиперссылками. При щелчке по какому-либо пункту содержания появляется соответствующий материал.

Нажатие кнопки меню «Практика» влечёт за собой появление WEB-страницы с содержанием практического материала со встроенными гиперссылками.

Кнопка «Тестирование» предназначена для перехода к окну регистрации, а затем и к самому тестированию. Из окна регистрации возможно запустить практический тест, причём только после заполнения всех окон регистрации. Программа построена таким образом, что общее количество вопросов и количество предлагаемых вопросов, а также время тестирования и время выделяемое для ответа на один вопрос можно произвольно менять, предварительно установив пароль.

В данной работе описан следующий вариант тестирования. В ходе проверки учащийся должен ответить на пять предложенных вопросов из двадцати имеющихся. К каждому вопросу прилагается четыре варианта ответов, один из которых должен выбрать ученик. Вопросы, предложенные для тестирования охватывают следующие темы: 1) алгебраическая и тригонометрическая формы задания комплексных чисел и операции, выполняемые над комплексными числами, заданными в различных формах записи; б) геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа; в) применение формул Муавра при возведении в степень и извлечении корней из комплексных чисел; г) комплексные корни алгебраических уравнений (вопросы теста приведены в приложении). Результаты теста заносятся в специальную базу данных. Их можно просмотреть при выборе опции «Журнал», а изменить только при вводе пароля. При этом происходит открытие таблицы регистрации действующей базы данных.

Узнать общие сведения о программе можно выбрав пункт меню «О программе».

При запуске программы в обязательном порядке необходимо подключить базу данных. Проделать это можно при выборе пункта меню «Подключения». При этом появляется форма с пятью окнами и двумя кнопками. С помощью кнопки «обзор» можно открыть диалоговое окно для просмотра каталогов и выбора нужной базы данных. При нажатии кнопки «ОК» диалоговое окно исчезает, а полный путь к базе отображается в окне формы. Далее нужно нажать кнопку «подключить», после чего появляется стартовая форма.

Выбор опции «Изменения» позволит преподавателю перейти к форме регистрации для введения пароля, чтобы получить доступ к изменения параметров тестирования: количества выбираемых вопросов, времени для ответа на каждый вопрос или отключения таймера. От формы регистрации можно перейти к форме заполнения таблицы вопросов и ответов используемой базы данных. Здесь можно добавить вопросы к уже имеющимся в таблице или удалить старые.

Установить стандартный вид главного окна программы возможно при выборе опции «Фон».

Выход из программы осуществляется при выборе опции «Выход» в меню. Обучающе-контролирующая программа построена удобным образом для восприятия теоретического и практического материала, который будет необходим в дальнейшем при контроле знаний, умений и навыков учащихся.

2.7 Апробация предложенной методики

В рамках исследования по теме работы была апробирована методика проведения занятий и обучающе-контролирующая программа в 10-м и 11-м классах Славянской физико-математической школы в апреле - мае 2003 года.

Группу испытуемых составляли учащиеся 10-го класса в количестве одиннадцати человек и учащиеся 11-го класса в количестве семи человек.

На первом этапе необходимо было зафиксировать успеваемость детей на начальный момент апробации, что заключалось в беседе с ведущим преподавателем по математике и анализа оценок учащихся на каждом этапе обучения.

Изучая классный журнал - оценки по математике, фиксировалась успеваемость учащихся, что давало сведения об их индивидуальности, например: какие учащиеся активны на уроке, у кого оценки выше при ответе у доски, а у кого - при самостоятельной работе, какие темы усваиваются лучше, какие труднее и т.д.

Анализ показал, что в 10-м классе:

- особый интерес к математике проявляют 90% учащихся;

- умеют применять полученные знания на практике 100% учащихся;

а в 11-м классе 100% в обоих случаях.

Высокий процент, по каждому из критериев объясняется тем, что учащиеся физико-математической школы, как правило, сами заинтересованы в получении тех или иных знаний в области математики.

На втором этапе апробации с помощью технологии модульного обучения и проблемных методов у учащихся формировалось понятие комплексного числа. Теоретический и практический материал по темам уроков можно было найти, обратившись к обучающе-контролирующей программе, разработанной в рамках исследования.

По окончании курса проводились итоговая самостоятельная работа и компьютерное тестирование для оценки уровня усвоенного материала и приобретённых навыков.

Самостоятельную работу на оценку 5 в 10-м и 11-м классах выполнили по 5 учащихся; на оценку 4 выполнили в 10-м классе 5 учащихся и 11-м классе 3 учащихся; на оценку 3 выполнил один учащийся в 10-м классе.

Тестирование показало следующие результаты: на оценки 5 и 4 прошли тест 7 и 3 учащихся соответственно в 10-м классе и 6 и 1 учащийся соответственно в 11-м классе; на оценку 3 прошёл тест один ученик из 10-го класса.

Результаты самостоятельной работы и компьютерного тестирования занесены в таблицу.

Таблица №3

Классы	Самостоятельная работа	Тестирование
	Качественная успеваемость, %	Абсолютная успеваемость, %	Качественная успеваемость, %	Абсолютная успеваемость, %
10	90	100	90	100
11	100	100	100	100

Полученные результаты говорят о том, что разработанная методика может успешно применяться при рассмотрении комплексных чисел в школах и классах с углубленным изучением математики.

Заключение

В ходе выполнения работы был обобщен и систематизирован теоретический материал о числовых системах, разработаны методические положения изучения рассматриваемой темы, тематическое планирование и обучающе-контролирующая программа, тем самым были решены все поставленные в начале исследования задачи.

Содержание работы включает в себя введение, две главы, список литературы и три приложения.

В первой главе «Психолого-педагогические и методические основы изучения комплексных чисел в школах и классах с углубленным изучением математики» указаны психолого-педагогические аспекты обучения школьников старших классов, описание особенностей преподавания математики в математических классах и построения факультативных занятий.

Во второй главе «Проектирование процесса обучения старшеклассников теме «Комплексные числа» в школах и классах с углубленным изучением математики» приведено тематическое планирование, анализ учебных пособий, методические рекомендации по преподаванию рассматриваемой темы с использованием проблемных методов обучения и технологии модульного обучения. Также были предоставлены методические разработки занятий по теме модуля 1 и модуля 6: «Алгебраическая форма записи комплексного числа и операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме» и «Показательная форма комплексного числа».

В этой главе приводится описание разработанной в рамках данного исследования обучающе-контролирующей программы по теме «Комплексные числа», которая может быть использована учителями и преподавателями школ и классов с углубленным изучением математики.

После основного материала работы приведены приложения. В первом приложении находится теоретический материал, который может быть полезен при составлении обучающих модулей для проведения уроков и факультативных занятий по теме «Комплексные числа» в школах и классах с углубленным изучением математики. Во втором содержатся материалы для проведения итоговой самостоятельной работы, а в третьем представлены вопросы тестирования.

Методика проведения занятий и обучающе-контролирующая программа были апробированы в 10-м и 11-м классах Славянской физико-математической школы в апреле - мае 2003 года. В результате контроля знаний, умений и навыков после изучения комплексных чисел с использованием предложенной методики абсолютная успеваемость составила 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с самостоятельной работой. Причем качество знаний по этой теме - 90%, а это достаточно высокий показатель.

Таким образом, можно сделать вывод, что предложенная методика может быть успешно использована учителями при изучении комплексных чисел в физико-математических школах, школах с углубленным изучением математики, а также общеобразовательных школах в рамках факультативных занятий.

Литература

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. и другие. Избранные вопросы математики; 10 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1980.

2. Абрамова Г.С. Возрастная психология. - М.: Академия, 1999. - С. 505-537.

3. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.

4. Андронов И.К. Факультативные курсы по математике в средней школе. В1 - М.: Просвещение, 1974; В2 - М.: Просвещение, 1975.

5. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив - вчера, сегодня, завтра. // Математика в школе. - М.: 1987.

6. Буланова-Тоторкова М.В. Духавнева А.В. Педагогические технологии. Учебное пособие для студентов педагогических специальностей. - Ростов-на-Дону: Март -2002.

7. Буренок И.И. и др. Психолого-педагогические и методические аспекты урока математики. - Славянск-на-Кубани, 2000. - С. 3-10.

8. Виленкин И.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 кл. Учебное пособие для школ. - М.: Просвещение, 1995. - С. 335.

9. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике - С.-Пб.: 1994. - С. 185-203.

10. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии. // Математика в школе. - М.: 1996.

11. Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу. - М.: Просвещение, 1996. - С. 301-308.

12. Иванов А.П., Кондаков В.М. Математика. - Пермь: издательство Пермского университета, 1994.

13. Избранные вопросы факультативных и внеклассных занятий по математике. Под ред. В.А. Жарова - Ярославль, 1971.

14. Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики. - М.: Наука, 1969.

15. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики. Общая методика. - М.: Просвещение, 1975. - С. 360-375, С. 212-281.

16. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики. Частные методики. - М.: Просвещение, 1977. - С. 40-73.

17. Крутецкий В.А. Психология. - М.: Просвещение, 1980. - С. 78-125.

18. Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993. - С. 65.

19. Леонтьева М.Р. и др. Упражнения в обучении алгебре. - М.: Просвещение, 1985. - С. 77-87.