Таким образом, не следует считать, что по мере развития логического мышления наглядно-действенное и наглядно-образное мышление становится рудиментарным фрагментом в общей структуре мышления человека. Продуктивность процессов мышления во многом зависит от уровня развития как логических, так и образных компонентов, а также от степени их интеграции. А.Пуанкаре, анализируя особенности образного мышления, подчеркивал, что оно является наиболее существенным свойством человеческого мышления вообще[22].

Целью нашей опытно-экспериментальной работы является выявление уровня развития пространственного мышления учащихся.

В Гимназии №1 г. Благовещенска в 2003 году ввели в курс геометрии учебник «Геометрии 5-6» В.А.Гусева. Нами была проведена серия занятий с учащимися 6-го класса. Работа велась мною с января по ноябрь 2005 года.

Мы не приводим в нашей работе описание каждого проведенного урока, лишь сделаем следующие выводы, полученные из наблюдений и на основе результатов самостоятельных работ, которые выполняли учащиеся при обучении геометрии:

В учебниках «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» В. А. Гусева достаточно понятно изложен тот обязательный базис геометрии, на котором строится дальнейшее изучение курса, что само по себе является важным. Потому что, не зная обязательного минимума, дальнейшее изучение геометрии будет затруднительным.

Этот учебник учитывает индивидуальные особенности каждого ученика, для более одаренных предоставляются задачи повышенной сложности.

С помощью большого количества иллюстраций и задач удалось мотивировать в учебниках охоту к самостоятельной работе с учебником, без команды учителя.

На основе этого учебника проводились лабораторные работы, на которых дети самостоятельно находили различные величины. Например, вычерчивая окружности с различными радиусами, учащиеся находили отношение длины окружности к диаметру и получали постоянное значение - р.

Ученикам геометрия стала нравиться больше, что говорит о высокой пригодности этого учебника для данной возрастной категории.

При решении задач школьники показали очень высокий уровень развития пространственного мышления.

С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе наблюдения за деятельностью учащихся шестого класса средней школы, нами было проведено в ноябре 2005 года сравнительное исследование седьмого класса Гимназии № 1 и седьмого класса СПОШ № 14.

На основе структуры пространственного мышления разработан ряд заданий, относящийся к разным сторонам деятельности мышления. Учитывались не только общая продуктивность выполнения задания, но и определенные - количественные и качественные критерии.

В ходе нашего исследования мы использовали оригинальную методику, созданную на основе работ З.И. Калмыковой для определения уровня сформированности мышления.

Исследование представляло следующие задания:

1. Назовите параллельные, перпендикулярные прямые? (На модели куба)

2. Сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой, можно провести из одной точки, расположенной а) на одной прямой; б) вне данной прямой?

3. Как расположены две прямые, перпендикулярные одной прямой?

4. Два угла имеют общую сторону и градусные меры 65^? и 35^?.Какой угол могут образовывать их несовпадающие стороны?

5. Какие виды углов вы знаете?

6.Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте угол, смежный: а) с углом BCD; б) с углом C₁CD; в) с углом B₁BD. Какова градусная мера построенных углов?

Качественные критерии давали возможность характеризовать процесс достижения результатов.

Эксперимент показал существенные различия в характере выполнения разных классов всех экспериментальных заданий, что выразилось в ряде не только количественных, но и качественных показателей (в точности построения чертежей, в рассмотрении различных случаев решения задач (и в пространстве, и на плоскости)).

Остановимся теперь на характеристике тех показателей, по которым мы судили при анализе мышления школьников, давая его качественную характеристику.

Самостоятельность ума мы определяли по тому, справился ли школьник с решением проблемы на основном этапе экспериментов, или ему потребовалась дополнительная помощь, предусмотренная на вспомогательном этапе, и какая именно. Было предусмотрено 4 степени помощи, от минимальной к максимальной (1 - 1-я степень - одна подсказка; 2 - 2-я степень - две подсказки; 3 - 3-я степень - более двух подсказок; 4 - 4-я степень - более четырех подсказок или полное объяснение задания).

По степени помощи необходимой школьнику определяли его потенциальные возможности в решении проблемы.

Гибкость ума проявляется в возможности решения задачи разными способами (например, в оригинальности, их своеобразии).

Определяющее условие количественной оценки результатов экспериментов исследуемой стороны мышления - адекватность этой оценке, качественной ее характеристике.

Качественный анализ мышления школьников привел к выводу, что наиболее общим, суммарным показателем уровня его развития может служить экономичность мышления, как краткость пути к самостоятельному решению проблемы.

Результаты исследования отражены в таблицах:

7-А класс Гимназия № 1 Таблица 1

Фамилия учащегося	Время выпол. работы, в мин.	Выполненное число заданий	Степень помощи	Гибкость ума	Показатель экономичности
Акименко	20	7	-	+	1
Белобородов	25	7	-	+	1
Беляев	30	4	-	-	0,57
Борисов	30	3	2	-	0,43
Бурдиенко	23	6	-	+	0,86
Васильев	30	5	1	-	0,71
Гресько	24	7	-	+	1
Громаренко	18	7	-	+	1
Дементьева	23	7	-	+	1
Дюльдина	27	6	-	+	0,86
Журавлева	30	4	-	+	0,57
Заикина	30	3	1	+	0,43
Калашников	30	2	3	-	0,29
Каленбет	30	1	3	-	0,14
Каринов	25	5	-	+	0,71
Кожевникова	24	6	-	+	0,86
Кулинкович	25	7	-	+	1
Муссорина	30	4	1	-	0,57
Омельченко	30	5	1	-	0,71
Оспанов	26	6	-	+	0,86
Павлов	28	4	2	-	0,57
Пивень	30	6	-	+	0,86
Помогалова	30	6	-	+	0,86
Сафронова	28	5	-	-	0,71
Соседко	30	3	2	-	0,43
Тимохина	25	7	-	+	1
Тодосейчук	23	7	-	-	1

7-В класс СПОШ № 14 Таблица 2

Фамилия учащегося	Время выпол. работы	Выполненное число заданий	Степень помощи	Гибкость ума	Показатель экономичности
Абраамян	30	3	2	-	0,43
Антонова	30	3	2	-	0,43
Булигина	28	4	1	-	0,57
Воробьев	30	5	-	+	0,71
Воропаев	30	4	1	-	0,57
Гарусина	30	4	-	+	0,57
Голодненко	26	7	-	+	1
Захаров	30	2	3	-	0,29
Згирская	25	4	1	-	0,57
Зыякаева	30	4	1	+	0,57
Косицина	30	1	4	-	0,14
Коптилов	27	4	-	-	0,57
Лазовская	28	5	-	-	0,71
Мельник	30	3	1	-	0,43
Паршин	30	3	1	+	0,43
Пермякова	28	4	-	+	0,57
Петухов	30	3	2	-	0,43
Рыбакова	30	3	1	-	0,43
Соломенина	30	7	-	-	1
Суханов	30	3	-	+	0,43
Сухоненко	30	4	2	+	0,57
Ткачук	30	4	3	-	0,57
Тупик	26	6	-	-	0,86
Тяжлова	28	4	-	+	0,57
Ушакова	30	0	4	-	0
Фатькина	30	4	1	-	0,57

В определении показателя экономичности мышления при решении проблемы мы исходим из следующей гипотезы: чем раньше ученик выделит существенные признаки и будет ориентироваться на них, тем вернее он будет решать задачи. Следовательно, об уровне экономичности можно судить по совокупности баллов, начисленных за верно решенные задачи.

При вычислении показателя экономичности за верно решенную задачу начисляли 1 балл и брали отношение баллов, полученных школьником за все задачи, к их максимальному количеству, то есть за верное решение всех 7 задач.

Показатели экономичности мышления располагались в интервале от 0 до 1, мы выделили три их уровня (на основе простого деления общего интервала на 3). К низшему уровню были отнесены показатели от 0 до 0,33; к среднему от 0,34 до 0,67; к высшему от 0,68 до 1,00.

Таблица 3

Классы	Уровни экономичности
	В	С	Н
7 В класс СПОШ №14	5	20%	18	69%	3	11%
7 А класс Гимназия №1	18	67%	7	26%	2	7%

В ходе проведения эксперимента были получены следующие результаты. 18 человек (67%) из седьмого класса Гимназии № 1 (класса, в котором в дальнейшем велись уроки по учебнику В.А.Гусева) показали достаточно высокие результаты и были отнесены нами к высшему уровню экономичности мышления. По такому же принципу в седьмом классе СПОШ № 14 к высшему уровню экономичности мышления были отнесены 5 учащихся (20%). Большая часть испытуемых из двух классов была отнесена нами к среднему уровню:7 человек из седьмого класса Гимназии № 1 и 18 из седьмого класса СПОШ № 14 или соответственно 26% и 69%. Наконец, 3 человека из седьмом классе СПОШ № 14 и 2 человека из седьмого класса Гимназии № 1 были отнесены нами к низшему уровню показателя экономичности мышления (11% и 7% соответственно).

Следовательно, исходя из вышеперечисленных данных, и уровень экономичности мышления, и качественные показатели (самостоятельность, гибкость ума), и количественные показатели (время выполнения работы, общее число заданий, выполненных каждым учеником) можно считать достаточно высоким в седьмом классе Гимназии № 1, по сравнению с седьмым классом СПОШ № 14. При этом мы допускаем наличие возможных погрешностей в исполнении, обработке и трактовке данных.

2.5 Синтез и анализ - основные приемы мышления

В психологии принята трактовка механизма мышления, выдвинутая С.Л. Рубинштейном: «Процесс мышления - это, прежде всего, анализирование и синтезирование того, что выделяется анализом; это, затем, абстракция и обобщение, являющиеся производными от них. Закономерности этих процессов и их взаимоотношения друг с другом суть основные внутренние закономерности мышления» [28].

Из приведенной цитаты понятно, что «анализирование и синтезирование» следует относить к наиболее важным приемам мышления. Действительно, изучая разные источники, можно процитировать следующие характеристики для приемов «анализ» и «синтез»: две взаимосвязанные мыслительные операции; конструирующие элементы мышления; мощные средства человеческого познания; формы мышления; один из элементов диалектики; две стороны одного итого же процесса и т.д. Следовательно, рассматривая формирование мышления учащихся, необходимо в первую очередь думать о формировании приемов мыслительной деятельности, об анализе и синтезе.

Вообще мыслительная деятельность человека проявляется в понимании объектов мышления и в решении на этой основе разнообразных мыслительных задач.

Понимание - процесс проникновения мысли в сущность чего-либо. Объектом понимания может быть любой предмет, явление, факт, ситуация, действие, речь людей, произведение литературы и искусства, научная теория и т.д. Понимание может быть включено в процесс восприятия объекта и выражаться в узнавании, осознании его, оно может осуществляться и вне восприятия. Понимание является обязательным условием решения мыслительных задач.

Процесс мышления начинается с проблемной ситуации (таблица 3), которую необходимо решить, а, следовательно, с постановки вопроса, который возникает каждый раз, когда нам что-либо непонятно. Поэтому первое необходимое условие протекания мыслительного процесса заключается в умении увидеть непонятное, требующее разъяснения.

Принципиальная схема решения мыслительных задач

Осознав цель, вопрос, возникшую потребность, ученик затем анализирует условия задачи, составляет план действий и действует.

Одни задачи человек решает непосредственно, путём выполнения привычных практических и умственных действий, другие задачи решает опосредованно, путём приобретения знаний, необходимых для анализа условий задачи. Задачи последнего типа называются мыслительными.

Решение мыслительных задач проходит несколько этапов. Первый этап - осознание вопроса задачи и стремление найти на него ответ. Без вопроса нет задачи, нет вообще деятельности мышления.

Второй этап решения мыслительных задач - это анализ условий задачи. Не зная условий, нельзя решить ни одной задачи, ни практической, ни умственной.

Третий этап решения мыслительной задачи - само решение. Процесс решения осуществляется посредством различных умственных действий с использованием логических операций. Умственные действия образуют определённую систему, последовательно сменяя друг друга.

Последним этапом решения мыслительных задач является проверка правильности решения. Проверка правильности решения дисциплинирует мыслительную деятельность, позволяет осмыслить каждый шаг её, найти незамеченные ошибки и исправить их.

Умение решать мыслительные задачи характеризует ум человека, особенно, если человек может решать их самостоятельно и наиболее экономными способами.

В учебниках В.А. Гусева «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» процесс формирования приемов мыслительной деятельности осуществляется с помощью специально подобранной системы упражнений. Вопросы, задачи и задания к каждому разделу изучаемой темы объединены в шесть групп. Рассмотрим на примере двух тем: «Плоскости, точки, прямые и их взаимное расположение» и «Геометрические фигуры».

Тема 1. Плоскости, точки, прямые и их взаимное расположение

1.На рис. 1.1 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите грани этого куба. Сколько граней имеет куб?

81

2.В пространстве имеется плоскость. На сколько частей эта плоскость разобьёт пространство?

3.Посмотрите на рис. 1.2 и ответьте на следующие вопросы:

81

1.Через какие точки проходят прямые a, b и c?

2.Какие точки лежат на прямой b?

3.Какие точки не лежат на прямой c?

4.В каких точках пересекаются прямые a, b и c?

4.Прямая лежит на плоскости. Что можно сказать о точках этой прямой?

1.Что можно сказать о таком утверждении: «Поверхность стола есть плоскость»?

2.Имеется куб. 1) Как провести плоскость, чтобы куб лежал в одном полупространстве, задаваемом этой плоскостью? 2) Как провести плоскость, чтобы в каждом полупространстве, задаваемом этой плоскостью, лежало а) только по одной грани куба; б) по две грани; в) по три грани?

3.Есть прямая и точка. Как они могут быть расположены? Как могут быть расположены прямая и две точки?

4.Мы хотим провести прямую. Сколько и каких точек для этого нужно иметь?

81

5.Какое минимальное число точек необходимо для определения плоскости? Всегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость?

1.Постройте произвольную плоскость. Как она будет выглядеть?

2.Посмотрите на рис. 1.3 и скажите а) какие точки принадлежат a и b? б) какие точки не принадлежат этим прямым? в) какие точки принадлежат и прямой a, и прямой b?

3.Про прямые a и b известно, что они пересекаются. Сколько общих точек имеют эти прямые? Изобразите на рисунке пересекающиеся прямые.

4.Про прямые a и b известно, что они параллельные. Сколько общих точек имеют эти прямые? Изобразите эти прямые.

1.Изобразите плоскость б. 1) Нарисуйте несколько фигур, лежащих в этой плоскости. Существуют ли фигуры, не лежащие в этой плоскости? Изобразите несколько таких фигур. 2) Есть три точки. Как они могут быть расположены? Сколько через них можно провести прямых? Почему? (Эту задачу можно поставить для любого числа точек: 4, 5, n).

2.Даны четыре точки A,B,C,D. Каково взаимное расположение этих точек? Сколько плоскостей могут определять эти точки?

3.Начертите три прямые AB, BC, AC. На сколько частей разбивается этими прямыми плоскость?

1.Пусть фигура состоит из двух (трёх, четырёх) точек. Есть ли плоскость, разделяющая точки этих фигур так, что с каждой стороны от плоскости находится одинаковое число точек?

2.На прямой дано 10 точек. На сколько частей эти точки делят прямую? Можно ли на плоскости начертить три прямые, чтобы число их точек пересечения было равно 0; 1; 2; 3? Выполните соответствующие рисунки.

3.Два ученика играют в такую игру. Они поочерёдно отмечают какую либо вершину куба. Первый стремится к тому, чтобы какие-нибудь три последовательно отмеченные вершины лежали в одной грани. Второй стремится не допустить этого. Докажите, что при правильной игре второй всегда может выиграть.

1.На сколько частей (областей) разбивают пространство две (три) плоскости?

Можно задать более сложный вопрос: на какое наибольшее количество частей разбивают пространство две (три) плоскости?

Тема 2. Геометрические фигуры

1.Расположите перед классом модель куба. Какие грани вы видите? Какие грани вы не видите? Какие рёбра вы видите? Какие рёбра вы не видите?

2.Назовите известные вам плоские фигуры.

3.Назовите известные вам пространственные (не плоские) фигуры.

1.Можно ли расположить куб так, чтобы видеть: а) только одну грань куба; б) только две грани куба; в) только три грани куба? Опишите, как в каждом случае вы расположите куб.

2.Всегда ли три точки лежат в одной плоскости?

3.Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?

4.Лежат ли все вершины куба в одной плоскости?

5.Может ли куб лежать (стоять) на плоскости? Какая фигура в этом случае является пересечение куба и плоскости?

6.На рис. 2.1 даны различные изображения каркасного куба. Какие из этих изображений правильные?

81

1.Изобразите расположение прямой и куба, при котором их пересечением является: а) точка; б) отрезок; в) пустое множество точек.

2.Как провести плоскость сечения куба, чтобы сечение имело форму квадрата? Сколько можно провести таких сечений? Выполните необходимые построения.

3.Может ли пересечением двух квадратов быть квадрат?

1.Какие фигуры могут получиться при пересечении двух четырёхугольников? Возможно ли, чтобы при пересечении двух четырёхугольников образовались два четырехугольника? А три четырёхугольника?

2.при пересечении какой фигуры плоскостью получается сечение: а) квадрат; б) точка; в) отрезок; г) круг?

3.Какие фигуры могут получиться при пересечении куба плоскостью?

4.Возьмите в руки модель куба. Посмотрите на неё: а) слева снизу; б) справа снизу; в) справа сверху; г) слева сверху. Подумайте и отметьте те грани и рёбра, которые при этом не видны. Сделайте соответствующие рисунки в тетрадь.

1.Начертите куб, поставьте на каждом из трёх рёбер, выходящих из одной его вершины, по одной точке. Постройте плоскость, которая пересекает куб и проходит через эти три точки. Какая фигура будет пересечением куба и плоскости?

2.Можно ли считать, что на рис. 2.2 помещены верные изображения куба?

81

Взаимосвязи приемов синтеза и анализа всегда многогранны. Следует выделить, еще в учебнике В.А. Гусева такие два приема умственной деятельности - это «синтез через анализ» и «анализ через синтез», различающиеся мерой использования приема «анализ».

Итак, задачи, где мы используем как бы чистый синтез, но при этом все равно присутствует анализ, называются «синтез через анализ». Эта деятельность особенно типична для достаточно простых математических рассуждений. Составляющих основу базового образования.

И очень важный прием мышления, называемый «анализ через синтез». Более сложные задачи, требующие необходимость в анализе (например, анализ приводит к выполнению сложного дополнительного построения).

С.Л. Рубинштейн выделяет важную форму анализа это анализ, который осуществляется через синтез. Суть его заключается в том, что «объект в процессе мышления включается во все новые и новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях. Из объекта, таким образом, как бы вычерчивается все новое и новое содержание, он как бы поворачивается каждый раз другой своей стороной, в нем выявляются все новые свойства»[28].

Как отмечает А.В. Брушлинский, «в процессе мыслительной деятельности человек никогда не имеет дело с объектом, который был бы для него абсолютно незнакомым, совершенно новым, ни с чем не сопоставимым или, наоборот, целиком и полностью известным, всецело познанным… Один и тот же объект в разных системах связей выступает как старый, и как новый. Такое единство многокачественного (многоаспектного) объекта закономерно определяет общую стратегию познания этого объекта и, прежде всего, исходный механизм мышления - «анализ через синтез»[12].

В.П. Хмель пишет: «Анализ через синтез позволяет открыть новые качества, стороны и свойства предметов путем заключения их в такую систему связей и отношений, в которой обнаруживается, проявляются эти искомые свойства»[12].

Итак, выявляется очень важный прием мышления, называемый анализ через синтез. Его роль в психологии связывают с выявлением новых качеств сторон и свойств объекта, а, значит, этот прием связан с творческим процессом. Этот прием иногда называют квинтэссенцией мышления.

Рассмотрим решение задач, где используется прием «анализ через синтез».

Задача 1. Докажите, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является в то же время медианой.

Решение. Из условия задачи имеем:

1. ?ABC;

2. CD - биссектриса ?ABC;

3. CD - медиана ?ABC;

4. ?ABC - равнобедренный (требуется доказать).

Из перечисленных свойств можно получить такие следствия:

5. ACD = BCD (2);

6. AD = BD (3).

Из имеющихся свойств непосредственно ничего получить нельзя, а других данных нет. Что делать в этом случае? Возникает необходимость в анализе, причём анализ здесь достаточно труден - это нестандартное дополнительное построение.

Ставим основной вопрос: нам надо доказать, например, равенство сторон AC и BC треугольника ABC, что для этого надо знать (доказать)?

Ответ на этот вопрос для учащихся 7 классов сложен. Очень полезно доказать равенство треугольников ACD и BCD, но как это сделать? Позднее идея достроения ?ABC до параллелограмма будет достаточно типичной, но в начале 7 класса учащиеся не знают свойств параллелограмма, а поэтому приходится выполнить такое дополнительное построение: отложить на продолжении CD отрезок DE, равный отрезку CD.

План дальнейшего решения таков: доказать равенство треугольников ?EAD и ?CDB. Доказать, что ?CAE - равнобедренный, и получить нужное нам равенство AC = BC. Ясно, что такое рассуждения по силам лишь достаточно способным к математике учащимся.

Запишем эти рассуждения:

7. Продолжим отрезок CD, отложим на нём DE = CD, соединим точки A и E (построения) (рис 1, б).

Докажем равенство треугольников CDB и EDA (рис 1, б).

8. CDB = EDA (7, свойство вертикальный углов);

9. ?CAD = ?EDA (6, 7, 8, принцип равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними);

10. CB = EA (9).

Докажем, что ?EAC - равнобедренный;

11. ACD = AED (5, 9);

12. ?EAC - равнобедренный (11, признак равнобедренного треугольника);

13. AC = AE (12);

14. AC = BC (10, 13);

15. ?ABC - равнобедренный (14). ¦

Задача 2. Докажите, что если в треугольнике ABC через середину стороны BC провести перпендикуляр к биссектрисе угла A, то эта прямая образует на каждой из сторон AB и AC два отрезка, соответственно CL=(AB+AC)/2 и BK=(AB-AC)/2.

Решение. Из условия задачи имеем:

1. ?ABC;

2. AE - биссектриса угла A;

3. D - середина BC;

4. AE ₊ KL

5. CL = (AB+AC)/2, BK = (AB-AC)/2 (требуется доказать)

Из этих свойств и из чертежа можно получить ещё некоторые свойства, полезные для решения:

6. 1 = 2 (2);

7. DB = DC (3);

8. AE - высота треугольника AKL (3, 4).

Последнее свойство увидеть непросто, ещё более сложно сделать вывод:

9. AE высота и биссектриса ?AKL, значит, ?AKL - равнобедренный (2, 8, признак равнобедренного треугольника);

10. AK = KL (9).

Пока мы ещё не имеем стратегии решения задачи. Нужно вспомнить, к чему мы стремимся: нам нужно найти отрезки BK и CL. Что для этого следует доказать (получить)?

Мы уже знаем, что AK = AL, а, кроме того, видим два треугольника BKD и LCD, в которые входят интересующие нас отрезки, но эти треугольники не равны.

Возникает идея:

11. Проводим CF ¦ AB (построение) (рис. 2, б).

12. Введём обозначения различных углов как на рис. 2, б.

13. 6 = 7 (2, 4, свойство вертикальных углов).

Заметим, что свойство 13 можно было отметить выше, в самом начале решения:

14. 5 = 8 (12, свойство углов при пересечении параллельных прямых секущей);

15. ?BDK = ?CDF (3, 13, 14, признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам);

16. BD = DC (15);

17. 9 = 3 (12, свойство углов при пересечении параллельных прямых секущей);

18. 3 = 4 (9, свойство равнобедренного треугольника);

19. 9 = 4 (17, 18);

20. ?FCL - равнобедренный (19, признак равнобедренного треугольника);

21. FC = CL (20).

22. BK = AB - AK (1, 2, 3, 4);

23. CL = AL - AC (1, 2, 3, 4).

Используя соотношения между отрезками, получим нужное нам п. 5.¦

81

Теперь рассмотрим задачи, где мы используем как бы чистый синтез, но при этом все равно присутствует анализ. В этом случае мы говорим о деятельности вида синтез через анализ. Эта деятельность особенно типична для достаточно простых математических рассуждений. Составляющих основу базового образования.

Задача 1.Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Определите длину боковой стороны.

Решение. Из условия задачи имеем:

1. ?АВС - равнобедренный;

2. Р_?АВС = АВ + АС + ВС=1 м;

3. АВ = 0,4 м

4. АС = ВС = ? (требуется найти).

Из данных задачи можно написать:

5. АС = ВС (1, определение равнобедренного треугольника).

6. 0,4 + 2АС = 1 м (2,5);

7. АС = 0,3 м (6).¦

Итак, в этой задаче, получая следствия из условия, мы приходим к ответу. При этом анализ состоит лишь в том, что мы помним о том, что нам нужно найти. Это наиболее простой пример использования приема «синтез через анализ», где анализ не связан с выдвижением новой идеи.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС через концы основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке K. Доказать, что треугольники ABK и CBK равны.

Решение. ИЗ условия задачи имеем:

1. ?ABC - равнобедренный;

2. KAC = KCA

3. ?ABK = ?CBK (требуется доказать).

Возникает основной вопрос: нам надо доказать равенство 3, что для этого следует сделать (доказать)?

Ясно, что мы должны применить один из признаков равенства треугольников, в данном случае - третий (по трём сторонам).

Рассмотрим нужные нам треугольники. В них:

4. AB=CB (1, определение равнобедренного треугольника);

5. BK - общая сторона треугольников ABK и CBK (1, 2). Хорошо бы доказать, что AK = CK.

6. ?AKC - равнобедренный (2, признак равнобедренного треугольника);

7. AK = KC (5, определение равнобедренного треугольника);

8. ?ABK = ?CBK (4, 5, 6, третий признак равенства треугольников).¦

Заключение

Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:

1.Курс геометрии по учебнику В.А. Гусева в Гимназии №1 г. Благовещенска достаточно продуктивный. Нам удалось достичь основной цели данного исследования, выявить уровень развития мышления учащихся при обучении геометрии в 5-7 классах по учебникам В.А. Гусева.

2.Анализ учебного материала, предшествующий практической части работы, позволил структурировать отобранный материал наиболее логичным и приемлемым способом, в соответствии с целями исследования.

3.Результатом проведенной работы являются несколько методических рекомендаций к курсу геометрии В.А. Гусева:

В целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка новых методик использования нестандартных задач.

Систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и самостоятельности.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, анализом и синтезом, сравнениями и делать соответствующие выводы.

Целесообразно использование на уроках задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов у каждого из них, используя задания различного типа.

Таким образом, проведенное нами исследование позволяет утверждать, что работа над формированием навыков мышления учащихся дело важное и необходимое.

Список используемой литературы

1. Александров А.Д. Геометрия 10-11 классов / А.Д. Александров Учеб. пособие для уч-ся шк. и кл. с углубл. изуч. математики.- 2-е изд., дораб.-М.: Просвещение, - 1988. - 480с.

2. Александров А.Д. О геометрии / А.Д. Александров // Математика в школе. - 1980. - № 3. - С. 5-7.

3. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев - 3-е изд. - М.: Просвещение, - 1992. - 335 с.

4. Вернер А.Л., Рыжик В.И. О структуре курса геометрии основной школы / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик // Математика в школе. - 2004. - № 7. - С. 78-79.

5. Виленкин Н.Я. Математика 5 / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, - 1998. -270с.

6. Виленкин Н.Я. Математика 6 / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, - 1999. -284с.

7. Гусев В.А. Геометрия 5-6 классы / В.А. Гусев. - М.: ООО «ТИД «Русское слово - РС», - 2002. - 256 с.

8. Гусев В.А. Геометрия 7 класс / В.А. Гусев. - М.: ООО «ТИД «Русское слово - РС», - 2003. - 240 с.

9. Гусев В.А. Каким быть школьному учебнику / В.А. Гусев // Математика в школе. - 2003. - № 8. - С. 2-6.

10. Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии? / В.А. Гусев // Математика в школе. - 2002. - № 3. - С. 4-9.

11. Гусев В.А. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчишина и др.; - М.: Издательский центр «Академия». - 2004. - 368 с.

12. Гусев В.А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии / В.А. Гусев // Математика. - 2003. - № 21. - С. 11-15.

13. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. - М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», - 2003. - 432 с.

14. Гусев В.А. Программа курса «Геометрия» для 5-11 классов общеобразовательных учреждений / В.А. Гусев. - М.:ООО «ТИД «Русское слово - РС», - 2002. - 32 с.

15. Истомина Н.Б. Математика 5 / Н.Б. Истомина. - М.: Линка-Пресс, - 1998. - 240 с.

16. Истомина Н.Б. Математика 6 / Н.Б. Истомина. - М.: Ассоциация XXI век, - 1998. - 256 с.

17. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости З.И. Калмыкова. - М., - 1981. - 284 с.

18. Левитас Г.Г. Кому мешает учебник Погорелова? / Г.Г. Левитас // Математика в школе. - 2001. - № 8. - С. 60-62.

19. Маклаков А.Г. Общая психология: Учебник для вузов / А.Г. Маклаков. - СПб.: Питер, - 2005. - 583 с.

20. Математика: 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 1995. - 264 с.

21. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении / А.М. Матюшкин. - М., - 1972. - 324 с.

22. Методика преподавания математики в ср. шк.: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ун-тов. / Ф.Я. Блох, В.А. Гусев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

23. Нурк Э.Р. Тельгма А.Э. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгма - 6-е изд., стереотип. - М.: дрофа, - 2001. - 272 с.

24. Петровский А.В. Общая психология: Учебник для студентов пед. ин-тов / А.В. Петровский, А.В. Брушлинский, В.П. Зинченко и др.; - М.: Просвещение, - 1986. - 464 с.

25. Погорелов А.В. Геометрия / А.В. Погорелов. -Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, - 1992. - 383 с.

26. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. - СПб.: Питер, 2003. - 713 с.

27. Смирнова И.М. Идея фузионизма в преподавании школьного курса геометрии / И.М. Смирнова // Математика. - 1998. - № 17. - С. 1.

28. Фридман Л.М. Теоритические основы методики обучения математике / Л.М. Фридман. - Учеб. пособие изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, - 2005. - 248 с.

29. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл. / И.Ф. Шарыгин. - Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений.- 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, - 2001. - 208 с.

30. Шарыгин И.Ф. Нужна ли в школе ХХI века геометрия? / И.Ф. Шарыгин // Математика в школе. - 2004. - № 4. - С. 72-79.

31. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников / И.С. Якиманская. - Науч.-исслед. ин-т общей и пед. психологии Акад. пед. наук СССР. - М.: Педагогика, - 1980. 240 с.