Методика использования объектных моделей при изучении курса планиметрии в 7-9-ых классах средней школы

Конечно, в младших классах наглядность в обучении применяется больше, чем в старших, однако наглядность и в старших классах в ряде случаев может в значительной мере облегчить понимание учащимися материала.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил:

· ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;

· обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;

· показать предмет (по возможности) в его развитии;

· предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;

· использовать средства наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

Следовательно, умелое применение средств наглядности в обучении всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном случае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять наглядность в процессе обучения, так как от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся.

Лекция 2. Классификация и характеристика наглядных средств в обучении математике

Литература

1. Дорф, П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения в средней школе [Текст]: пособие для учителей / П.Я. Дорф. - М.: Учпедгиз, 1960. - 160 c.

2. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин. [и др.]; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

3. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст] / Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

4. Фридман, Л.М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст] / Л. М. Фридман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.

5. Хабиб, Р.А. О новых приемах обучения планиметрии [Текст] / Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1969. - 158 с.

План лекции

1. Виды наглядности.

2. Объектные модели как наглядность в обучении математике.

3. Виды моделей

4. Динамические модели и методика работы с ними.

5. Изготовление моделей.

Виды наглядности

В педагогике виды наглядности классифицируют по степени возрастания их абстрактности и подразделяют на следующие виды:

1) естественную наглядность (предметы объективной реальности);

2) экспериментальную наглядность (опыты, эксперименты);

3) объемную наглядность (макеты, фигуры и т.п.);

4) изобразительную наглядность (картины, фотографии, рисунки);

5) звуковую наглядность (магнитофон);

6) символическую и графическую наглядность (графики, схемы, формулы).

Наглядность применяется и как средство познания нового, и для иллюстрации мысли, и для развития наблюдательности, и для лучшего запоминания материала.

В методике обучения математике к вопросу типологизации видов наглядности обращались разные авторы. Так Р. С. Черкасов, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, О. Б. Епишева виды наглядности различают по характеру отражения окружающей действительности на:

1) натуральную наглядность, то есть реальные предметы или процессы (объекты и явления, раздаточный материал и др.);

2) изобразительную наглядность (фотографии, художественные картины, рисунки, учебные картины, подвижные пособия и др.);

3) символическую наглядность (чертежи, графики, схемы, таблицы, диаграммы, простейшие графы, символы и др.).

При обучении планиметрии используются практически все из перечисленных видов наглядности. Однако анализ методической литературы по проблеме обучения планиметрии, разработки конкретных уроков геометрии в 7-9-ых классах показал, что наиболее часто применяются на уроках такие средства как приборы, модели, шаблоны; печатные материалы; экранные средства.

Использование различных наглядных средств, в том числе возможностей компьютера при изучении курса планиметрии рассмотрим на следующих лекциях.

Объектные модели как наглядность обучении геометрии

Работа с моделями не только помогает ученику представить форму, но развить пространственное мышление. После работы с моделями учащиеся лучше строят и конструируют на плоскости.

Слово «модель» происходит от латинского «modelus», что означает «мера».

Психолог В.В. Давыдов понимал «модель» как образ (в том числе условный или мысленный) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя».

Все модели наглядны для их создателя, для тех, кто их построил, разработал, обладают свойством наглядности. Они наглядны и для тех, кто понимает их, понимает, что они являются моделью определенного объекта.

Материальные объекты наглядны потому, что, во-первых, они чувственны, воспринимаемы, ибо представляют собой объективно существующие предметы или конструкции, аппараты или реальные явления, живые существа, во-вторых, человек, выбравший или сконструировавший ту или иную модель, предварительно создал у себя наглядный образ.

Анализ методической литературы по проблеме обучения планиметрии, разработки конкретных уроков геометрии в 7-9 классах показали, что самыми распространенными средством обучения планиметрии в школе являются различные модели плоских и пространственных фигур

Виды моделей

В преподавании достаточно широко используются планиметрические модели, стереометрические модели (каркасные, стеклянные, деревянные, картонные), стереометрический набор, тригонометрический круг, стереометрический ящик.

Изучив методическую литературу, можно выделить следующие виды.

Модели можно поделить на две большие группы: статические (неподвижные) и динамические (действующие). Главной особенностью статических моделей состоит в том, что они имеют постоянную форму. Например модели треугольников имеющие две соответственно равные стороны, позволяют преподавателю осуществить наложение одного треугольника на другой и показать возможные случаи расположения основных элементов треугольника. При изучении планиметрии применяются преимущественно:

1) Плоскостные модели - модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольников и т. п.

2) Пространственные модели - модели куба, призмы, усеченной пирамиды, конуса, и так далее. Они применяются при изучении пропедевтического курса геометрии так и для выделения на них какого-нибудь геометрического образа (например, в прямоугольном параллелепипеде выделяют конкретные образы: точки, отрезка, прямого угла), или при непосредственном измерении (например, при определении площади).

Особенностью динамической модели состоит в том, что при помощи их можно легко показать многие частные случаи фигуры, одного и того же свойства фигуры( например, углов или сторон параллелограмма), предельные случаи(например, преобразования трапеции в треугольник). В динамических моделях можно выделить следующие виды:

1) Подвижные модели. Это подвижные модели углов, параллельных прямых, и так далее (сделанных из картона и бумаги).

2) Геометрический конструктор. Он состоит из набора целого ряда отдельных деталей: шарнирных палочек, шпилек, картонных моделей замкнутых фигур, из которых на уроке собирается и составляется нужная фигура. Такие конструкторы часто носят название стереометрического ящика. Например, раздвижная шарнирная модель угла, выглядит следующим

117

образом (рис. 1).

3) Модели фигур, образованных перегибанием листа бумаги. С помощью перегибания листа ровной бумаги, можно получить образ отрезка, двойным перегибанием - образ угла, смежных и вертикальных углов, тройным перегибанием можно получить образ треугольника.

При изучении курса геометрии могут и должны применятся объектные модели. Одни из этих пособий могут создаваться на самом уроке, как учителем, так и самими учащимися (пригибанием листа бумаги) и тотчас же использоваться. Другие пособия типа конструктора служат для создания той или иной фигуры или комбинации фигур тоже на уроке, но только самим учителем или одним из учащихся, для последующей демонстрации полученного пособия и проведения работы с ним.

Подвижные модели служат преимущественно для демонстрации процесса изменения формы или размеров фигуры. Такие пособия могут изготовлять и сами учащиеся (в порядке выполнении программы по практическим занятиям в учебных мастерских или домашней самостоятельной работы).

Наконец, модели фигур постоянной формы имеют наиболее широкое применение для создания отчетливого представления той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как наложение или приложение, и т.п.

Многие наглядные пособия, даже большинство их, могут быть плодотворно использованы перед изучением той или иной темы или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим содержанием темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия могут служить источником, из которого вытекает новая тема или отдельная теорема.

По окончании изучения темы или отдельной теоремы тоже иногда полезно воспользоваться наглядным пособием, чтобы на нем проиллюстрировать ту или иную теорему.

А также применятся при решении некоторых задач и при доказательстве некоторых теорем.

Рассмотрим подробно, как можно использовать динамические модели на уроках геометрии в соответствии данной типизацией.

Использование динамических геометрических моделей

Подвижные геометрические модели в настоящее время широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств. Например, для демонстрации смежных, вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма, с помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е. рассматривается один частный случай, который характеризуется определенным чертежом. В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» - застывший неподвижный чертеж. Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости. Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников.

Изображая вместо произвольной фигуры ее частный вид, ученик сам создает себе помехи в решении задач, ибо он невольно пользуется теми особенностями чертежа, которые не входят в условие задачи.

Например, изображая вместо произвольного прямоугольного треугольника равнобёдренный прямоугольный треугольник, ученик нередко использует при решении задачи навеянное чертежом дополнительное условие: острые углы треугольника равны 45°.

По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение) содействует неправильная постановка преподавания геометрии. Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях. Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам.

Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах».

У многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов. Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с ходовыми углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся.

Для развития у учащихся правильных навыков рекомендуется во время

изучения углов, построения их, вывесить в классе на небольшой срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов: 30°, 45°, 60°, 135°.

Модели могут быть двух типов: деревянные и картонные.

Ученику дома предлагается изготовить набор небольших моделей различных углов, наклеить их на листе, сделать надписи, поместить в конверт.

Интерес учащихся 7 класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Углы 1 и 3 треугольника подвижные. Для того чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели, так как показано на рис. 3.

117

При изучении темы перпендикуляр и наклонная можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки в этой прямой.

При изучении суммы углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника можно использовать модели, где имеются накладные углы , которые равны основным углам. Еще одну группу динамических моделей образует группа наглядных пособий, которая называется геометрическим конструктором.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске.

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет.

Геометрический конструктор. Как уже было сказано к ним относятся шарнирные палочки, шпильки и так далее. Шарнирные модели демонстрируют виды углов (острые, тупые, прямые; вертикальные, смежные; углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей и др.)

При знакомстве с углом существенным является представить себе правильно, что эта фигура характеризует степень отклонения угла. В частности такого угла может и не быть, в этом случаи лучи совпадают и угол равен 0. В то же время учащемуся трудно уяснить процесс непрерывного изменения угла. При использовании раздвижной шарнирной модели это явление становится наглядным и очевидным.



117

Опишем следующий порядок использование такой модели. Сперва учитель показывает некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличивает до угла больше 90⁰. Учащиеся во время демонстрации делают зарисовки в тетради и видят множество углов, среди которых, заданный является частным случаем. Полезно также показать, что удлинение стороны угла не изменяет его величины, это можно сделать, если растянуть или сдвинуть штабики (рис. 4), образующие стороны угла.

Шарнирные подвижные модели углов встречаются либо набором моделей, либо в виде отдельных пособий

Другие шарнирные модели из набора восьми моделей показывают смежные, вертикальные углы, углы при параллельных прямых и др. Эти модели также найдут себе применение для того, чтобы помочь учащимся выявить динамическую сущность вопросов.

Фигура треугольника настолько проста для представления и настолько знакома учащимся из окружающей обстановки, что не нуждается ни в другом изображении, кроме чертежа. Речь может идти иллюстрации на моделях преобразования треугольника из одного вида в другой. В этом смысле чертежи указывают лишь, очень небольшое количество образов; один вид переходит в другой разрывно, скачкообразно. На модели же форма изменяется непрерывно, и перед глазами учащихся проходит множество видов треугольников.

Большой интерес вызывают зарисовки и наблюдения движения некоторых элементов фигуры. В качестве примера можно привести демонстрацию шарнирного треугольника или треугольника, образованного резиновыми жгутами, в которых при постоянном основании перемещается вершина и изменяется высота фигуры или, наоборот, при сохранении высоты растягивается или сокращается основание, наконец, одновременно меняются оба элемента. После такого рода наблюдений функциональная зависимость периметра или площади от линейных элементов очевидна из геометрических представлений, а не только из формулы. Подобные размышления чрезвычайно способствуют математическому развитию.

Однако с демонстрацией моделей надо быть очень осторожным, так как приспособления, раскраска, разметка, могут отвлечь учащих от геометрической сущности.

Наблюдения «замечательных точек треугольника» может, происходит следующим образом. Выводы существования единых точек пересечения медиан, «биссектрис, перпендикуляров из середин сторон проводятся по отношению к некоторому треугольнику; далее из того, что треугольник берётся произвольный, следует, что полученные свойства присущи треугольникам всех видов. Такого рода обобщение учащиеся иногда принимают на веру, не будучи до конца в этом убеждены. Оказывается, если после логического доказательства подтвердить вывод демонстрацией моделей, представления получаются более осмысленными.

Многолетний опыт и отзывы учителей убеждают, что небольшая затрата времени на демонстрацию пособий окупает себя вполне.

Следует отметить еще один вид наглядных пособий, который может применятся в процессе изучения некоторых тем курса планиметрии это модели из полосок, конструирование фигур из бумаги, перегибание листа бумаги.

Конструирование из бумаги. Результаты психолого-педагогических исследований показывают; эффективное обучение невозможно без активной и сознательной деятельности самих учащихся, С целью ее активизации, формирования и развития у школьников познавательного интереса на уроках математики используются различные приемы, Один из них - конструирование фигур из бумаги. Конструирование из бумаги относится как к познавательной, так и к эстетической, художественной деятельности. Воплощая в своих работах реально существующие предметы, сказочные фигурки и т.д., дети всегда стараются украсить их, придать им необычные формы, сохраняя при этом основной образ.

Конструирование из бумаги учит детей совершать последовательные действия, концентрировать внимание, слушать и воспринимать устные инструкции учителя; способствует развитию мелкой моторики, памяти, формированию пространственного воображения и умения мысленно оперировать плоскими и объемными предметами; стимулирует развитие творческих способностей. Существуют разные техники работы с бумагой: сминание, скручивание, разрывание, разрезание, сгибание. Последние две, хотя и являются самыми сложными, наиболее распространены в педагогической практике используются на уроках математики (как на этапе изучения нового материала, так и на этапе его обобщения и повторения), делая процесс изучения предмета более доступным, занимательным и творческим.

Полоски служат моделями прямых линий, лучей отрезков. С помощью полосок можно составить угол. Из трех полосок скрепляя их в концах гвоздиками можно построить единственный треугольник. Стороны его нельзя ни сдвинуть, ни раздвинуть.

Можно задать вопрос: «Из всяких ли трех полосок можно составить

117

треугольник?» Попробуй построить треугольник из полосок, данных на рис. 5.

Как ни верти правую и левую полоски, они друг до друга не достанут. Треугольник из них не построишь. Тут возникает проблема, а когда же треугольник можно построить. Этот пример можно использовать как мотивации при изучении темы соотношение между углами и сторонами треугольника.

При изучении видов треугольника можно использовать модель, образованную из двух полосок и цветного растягивающегося шнурка. Здесь же следует обратить внимание учащихся на то, что при увеличении угла увеличивается и противолежащая сторона.

Модель ромба, образованную четырьмя равными полосками и надев на противолежащие вершины шнурки. Замечаем, что при раздвигании модели свойство ромба сохраняются.

Заслуживающим серьёзного внимания методом построения моделей геометрических фигур, является метод перегибания (складывания) листка бумаги, разработанный индийским математиком Роу Сундара.

Геометрические построения циркулем и линейкой основаны на свойстве окружности как геометрического места точек. Геометрические построения посредством перегибания листка бумаги основаны на принципе осевой симметрии.

117

Листок бумаги, сложенный вдвое и образующий прямую линию перегиба, является моделью двойной полуплоскости, каждая точка которой есть двойная точка, отстоящая от оси перегиба на единственном определённом расстоянии.

Раскроем листок: две полуплоскости превращаются в одну плоскость, а двойная точка превращается точки, лежащие на общем перпендикуляре АВ перегиба на равных от неё расстояниях, т. е. две точки, А и В, симметричные относительно перегиба (рис. 6), где линии АВ и СD линии сгиба.

Перегибая такой сложенный вдвое листок бумаги различным направлениям и образовав из рёбер перегибания фигуру, мы, расправив листок, получаем на нём две симметричные фигуры.

Складывая листок вчетверо, мы образуем на нем простейшим способом четыре прямых угла. Перегибание листка бумаги даёт простые и наглядные способы деления угла пополам, деления отрезка пополам, восставления и опускания перпендикуляров и, следовательно, проведения параллельных прямых, биссектрис, медиан и высот треугольников, построения ромба, параллелограмма и других фигур.

Приём перегибания листка бумаги удобен при демонстрации всему классу свойств геометрических фигур, а особенно углов.

Вырезая фигуры (треугольники, параллелограмм и др.), полученные перегибанием листка бумаги на бумаге, учитель может, делая дальнейшие перегибания, показать некоторые свойства геометрических фигур. Так как основные построения; деление отрезка и угла пополам восстановление и опускание перпендикуляра, посредством перегибания листка бумаги проще, чем циркулем линейкой, то демонстрации учителя сильно упрощаются и становятся более наглядными.

Демонстрацию способов вычисления площадей прямоугольного остроугольного и тупоугольного треугольников, параллелограмма, ромба и трапеции на моделях, образованных пригибанием листа бумаги. Особенно ценным при этом будут самостоятельные упражнения учащихся на своих листках. Коллективный опыт всегда более продуктивен и более убедителен, чем простое наблюдение.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске.

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет.

Особое внимание нужно уделить изготовлению наглядных пособи самим учащимся. Приведу в качестве примера высказывание известного методиста: «К наглядности надо присоединить активную деятельность самого ученика…Активность ученика достигает высшего предела тогда, когда он сам что - либо делает, когда в работе участвует не только голова, но и руки, когда происходит всестороннее (не только зрительное)восприятие материала, когда он имеет дело с предметами, которые он может по своему усмотрению перемещать, по - разному комбинировать, ставить их в определенном отношении и делать из наблюдений выводы».

Изготовление моделей

Изготовление наглядных пособий силами самих учащихся в настоящее время может широко применяться при изучении геометрии, так как в начальной школе закладывается прочный фундамент развития трудовых навыков учащихся на уроках ручного труда (работы с бумагой и картоном, с тканью, с глиной или пластилином и на учебно-опытном участке), в 5-7 классах - в учебных мастерских (по дереву и металлу). Получив задание на изготовление того или иного наглядного пособия или прибора, учащиеся могут дома или в учебной мастерской под руководством инструктора выполнить требуемую работу.

Процесс изготовления наглядных пособий имеет большое воспитательное и образовательное значение.

Чтобы работа носила творческий, учащемуся следует указать лишь название модели, которую он должен изготовить. В этом случае учащийся сначала выступает в роли конструктора, который должен вычертить заданную фигуру, сообразуясь с имеющимся материалами, рассчитать и проставить необходимые размеры на чертеже, вычертить наглядное изображение. После утверждения чертежа учителем учащийся приступает к изготовлению модели, выступая уже в роли квалифицированного рабочего, исполнителя идеи конструктора.

Итак, приемы и навыки самостоятельной работы учащихся должна вырабатывать и развивать школа на уроках геометрии. А закрепление этих навыков большей частью проводится вне класса - дома или в группах продленного дня. В последнем случае обеспечивается наблюдение за самостоятельной работой учащихся со стороны руководителя группы, который следит за выполнением задания и в необходимых случаях может оказать и помощь.

Лекция 3. Знаковая наглядность в обучении математике

Литература

1. Агеев В. «Семиотика», 2002

2. Муравин К. С. , Руденко В. Н. «Объяснительный текст к таблицам по алгебре для 6 класса», 1972

3. Перевощикова Е. Н. «Составление конспекта - таблицы во время школьной лекции»// Математика в школе №3 1988

4. Столяр А. А. «Методы обучения математике», 1966

5. Шаталов В. Ф. «Куда и как исчезли тройки», 1980

План лекции

1. Знак и символ в обучении, математическая символика.

2. Учебные таблицы, их виды и назначение.

3. Технология работы с таблицей.

4. Таблица как карта памяти.

5. Методика работы с картами памяти.

Знак и символ в обучении, математическая символика

Понятие знака является одним из основных в науке и относится к фундаментальным, предельно общим.

Термин «знак» для обозначения слова как базисной единицы языка ввел известный философ-рационалист Джон Локк. Швейцарский языковед Фрединанда де Соссюра выделил три основных аспекта изучения знака и знаковой системы (называют множество знаков): синтактику - внутренние, структурные свойства знаковых систем, правильность построения знаков, семантику - отношение знаков к обозначаемому (содержание знаков) и прагматику - полезность, ценность знака с точки зрения пользователя - интерпретатора языка. Соссюр пришел к заключению, что лингвистика может рассматриваться как составная часть науки, названной им семиологией или семиотика, целью которой является изучение природы знаков и законов, ими управляющих.

Естественный, или разговорный, язык является наиболее сложной и развитой знаковой системой, созданной человеком. Язык обладает не только исключительной сложностью строения и огромным набором знаков, но и способностью к передаче смысловой информации относительно любой области наблюдаемых или воображаемых фактов. Слово - основная единица языка, служащая для именования предметов и их свойств, явлений, отношений действительности.

Математический язык - результат усовершенствования естественного языка.

Это усовершенствование шло в различных направлениях, в частности в направлении устранения громоздкости естественного языка, его двусмысленности, в направлении расширения возможностей выражения общих закономерностей, присущих различным множествам вещей или отношений.

Математический язык в отличие от естественного называют символически хотя, и также пользуется определенной совокупностью символов - букв и знаков препинания. Однако между использованием символов в математическом и естественном языках имеется существенное различие.

В математическом языке один знак (цифра, буква, знак операции или отношения) обозначает то, что в естественном языке обозначается словом, т. е. определенной конечной последовательностью знаков, букв из алфавита этого языка. Этим достигается значительное сокращение длины языковых выражений.

Например, предложение 2 + 3 = 5 на русском языке запишется так: «два плюс три равно пяти». Записи этого предложения на математическом и на естественном языках существенно различаются по длине, таким же является различие в числе знаков, составляющих это предложение на математическом (5) и на естественном языке (19).

Язык хорошо приспособлен к точному описанию некоторого множества предметов, если в нем для каждого предмета, свойства и отношения предметов из этого множества имеется соответствующее языковое выражение (имя) и если различные предметы, свойства, отношения имеют разные имена.

Если первое из этих условий не выполняется, то язык беден, недостаточен для описания данного множества предметов, если же второе условие не выполняется, то язык не ясный, двусмысленный.

Такой двусмысленностью в силу различных исторически обусловленных причин обладают естественные языки.

Математика нуждается в точном и ясном языке, в котором каждый символ, каждое образование из символов имеет только один смысл.

Искусственный математический язык разработан с учетом этого требования (в процессе обучения оно, к сожалению, часто нарушается). Точность и ясность математического языка, адекватность его форм логической структуре выражаемых ими отношений обеспечивается также использованием кванторов и скобок.

Одно из основных различий между математическим и естественным языками состоит в применении переменных.

Благодаря использованию переменных различных типов математический язык приспособлен к выражению общих закономерностей, носящих абстрактный характер именно потому, что языковые выражения содержат не имена конкретных предметов, а переменные, играющие роль пустых мест, на которые разрешается подставлять имена любых элементов определенных множеств.

С помощью переменных на математическом языке выражаются формы, которые могут заполняться различным содержанием. Эти формы отвлечены от частного, конкретного содержания и включают то общее, что относится не к отдельному предмету или отношению, а к целому множеству предметов или отношений. Например, языковое выражение

х+у=у+х, (1)

где х и у - переменные для натуральных чисел (т. е. вместо этих букв можно подставлять в (1) имена любых натуральных чисел), представляет собой форму, которую можно заполнять различным конкретным содержанием, подставляя вместо переменных их значения. Этой формой выражается общая закономерность - коммутативность сложения в множестве натуральных чисел. Если же х и у - переменные для рациональных чисел, то (1) выражает коммутативность сложения во множестве рациональных чисел. Вообще х и у могут обозначать переменные для элементов некоторого множества (безразлично какой конкретной природы), а знак + обозначает операцию над элементами этого множества. Тогда (1) выражает коммутативность этой операции в данном множестве.

В естественных языках есть слова, которые иногда применяются как переменные для обозначения не конкретного предмета, а любого предмета из данного множества. Например, слово «стол в предложении «стол имеет крышку», слово «человек» в предложении «человек -- разумное существо», слово «кто-то» В предложении «кто-то полетит на Луну» и т. п. (в предложении же «этот стол шатается» слово «стол уже не играет роль переменной, так же как слово «человек» в предложении «этот человек умен»).

Но между словами, обозначающими в естественном языке любой элемент из данного множества, и переменными в математическом языке имеется существенное различие. Слово «стол» обозначает любой элемент определенного множества предметов и только этого множества. Этим словом нельзя обозначать другой предмет. Букву же х можно использовать в математическом языке как переменную для элементов любого множества. По существу переменная не обозначает непосредственно элементы какого-нибудь множества. Она ставится в математическом тексте на то место, которое разрешается заполнять именами элементов из некоторого (безразлично какого, но определенного) множества, составляющего область значений этой переменной. Некоторые немецкие и американские авторы предлагают применять в обучении очень выразительные термины «Platz hatter» и «Рlactholder», которые в дословном переводе на русский язык означают «местодержатель».

Переменная - важнейшее средство математического языка. Поставим перед собой задачу наметить пути разъяснения этого понятия учащимся и его более широкого применения в школьном обучении.

Совокупность символов математического языка, в частности языка изучаемой в школе элементарной алгебры (именно этот язык мы взяли здесь в качестве образца математического языка), называют алфавитом этого языка.

Так как алгебра изучает структуру определенного множества чисел (натуральных, целых, рациональных, вещественных), т. е. свойства операций над числами этого множества и отношений между ними, то естественно, что алфавит языка этой алгебры должен содержать: символы переменных для чисел из данного множества, для имен чисел из данного множества, для операций, для отношений, знаки препинания.

Переменные обычно обозначаются малыми латинскими буквами:

а,b, с, ... , х, у, z.

Имена чисел составляются из конечного числа знаков (цифр) по определенным правилам. В общепринятой сейчас десятичной системе счисления применяются десять таких знаков:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Однако иногда в качестве имен чисел используются буквы (при рассмотрении различных функций, уравнений с буквенными коэффициентами). Говоря, например, об определенном натуральном числе (при этом неважно, о каком именно), обозначаем его какой-нибудь буквой и, говоря «число а», понимаем, что а - первая буква латинского алфавита, а не число, но здесь используется для обозначения числа, в качестве имени.

Всякое такое использование буквы должно быть специально оговорено, чтобы не спутать ее с переменной, ибо здесь имеется существенное различие: буква-имя обозначает хотя и произвольное, но определенное число, буква-переменная не обозначает никакого определенного числа, она играет совершенно иную роль, о которой мы уже говорили.

Обычно буквы, используемые в качестве имен, чтобы отличить их от переменных, называют постоянными. Для постоянных обычно берут начальные буквы латинского алфавита: а, b, с, а для переменных - буквы с конца алфавита: х, у, z . Однако иногда одни и те же буквы рассматриваются как постоянные при решении одного вопроса и как переменные при решении другого вопроса. Например, решая уравнение ах+b =0, мы рассматриваем а и b сначала как постоянные, а исследуя решение х=, рассматриваем а и b как переменные (а и b называют также параметрами).

В качестве символов операции применяются известные знаки *, - , :,+. Для отношений «равно», «больше», «меньше» применяются соответственно знаки =, >, <. Роль знаков препинания играют скобки: левая скобка «(» и правая скобка «)».

Квадратные и фигурные скобки, обычно применяемые в школе, не входят в алфавит языка алгебры, но их применение методически целесообразно, так как они помогают обозревать область распространения каждой пары скобок. Об этом целесообразно сказать учащимся в старших классах при ознакомлении их с аксиоматическим построением формализованного языка.

Символы алфавита служат исходным «материалом», из которого конструируются по определенным правилам различные языковые выражения - аналоги слов и предложений естественного языка.

Всякое выражение математического языка представляет собой конечную последовательность символов из его алфавита

Однако не всякая последовательность символов является выражением математического языка, так же как не всякая конечная последовательность букв из алфавита естественного языка образует слово этого языка. Можно составить сколько угодно бессмысленных последовательностей букв. Последовательность букв составит слово, а последовательность букв и знаков препинания - предложение, если она имеет какой-то смысл, т. е. что-то обозначает.

При изучении математического языка существует такой же семантический подход для выделения среди всевозможных конечных последовательностей символов тех, которые имеют какой-то смысл. Имеется и другой, чисто синтаксический подход, при котором отвлекаются от всякого смысла языковых выражений.

Семантический подход к изучению образований математического языка отражает функциональную точку зрения, синтаксический - выявляет формализованный характер математического языка.

Оба эти подхода должны находить применение в школьном обучении. Если ограничимся одной семантикой математического языка, то учащиеся не смогут пользоваться формальным математическим аппаратом, если ограничимся синтаксисом, учащиеся не будут понимать смысл выражений математического языка, их знания окажутся формальными. Правильное сочетание двух подходов в изучении математического языка - важная педагогическая проблема, далеко еще не решенная.

Прежде всего рассмотрим вопрос о выражениях математического языка е семантической точки зрения.

Символы алфавита можем разбить на две категории. Символы первой категории имеют самостоятельный смысл. Сюда относятся буквы - переменные и постоянные - и цифры. Каждый из этих символов, взятый в отдельности, имеет смысл и представляет собой элементарное, или исходное, выражение.

Ко второй категории символов могут быть отнесены знаки операций, отношений и скобки. Каждый из этих символов, взятый в отдельности, например =, >, < (,), не имеет смысла и не составляет выражения

Множество всех выражений математического языка можем разбить на элементарные, состоящие из одной буквы или из одной цифры (или последовательности цифр), и сложные, содержащие и другие символы алфавита, кроме букв и цифр.

Определить, является ли данная последовательность символов выражением, означает, с точки зрения семантической, установить, имеет ли эта последовательность какой-то смысл, с точки зрения синтаксической, составлена ли эта последовательность по специальным правилам образования сложных выражений.

Рассмотрим сначала выражения без переменных.

По смыслу легко установить, что, например, 2 + 1 есть выражение, а последовательность символов 2 + + не является таковым. Действительно, символ + обозначает операцию над двумя числами, поэтому в выражении математического языка он может стоять только между двумя символами, представляющими собой имена чисел (или переменные для чисел).

Каков же смысл выражения 2 + 1? Это выражение представляет собой имя числа, результат сложения чисел 2 и 1, т. е. чисел, имена которых - символы 2 и 1. Но это число имеет и другое имя - 3. Тот факт, что выражения 2 + 1 и З представляют имена одного и того же числа, обозначается знаком =2 + 1=3.

Полученная последовательность символов тоже представляет собой выражение математического языка, но смысл его совершенно иной, чем смысл выражений 2 + 1 и 3. Эти последние обозначают числа, если же их соединить знаком =, получаем уже выражение высказывания (а не числа): «2 + 1 равно 3» или «выражения 2 + 1 и 3 - имена одного и того же числа.

Высказывание - понятие логическое, а не математическое. Как видно, выражения математического языка обозначают не только математические объекты, но и логические, и отделять математические объекты от логических, изучая только первые и пренебрегая вторыми, как это делается при применении традиционных методов, совершенно недопустимо, ибо таким образом мы не в состоянии понять смысл выражений математического языка, т. е. изучать этот язык, а следовательно, и саму математику.

Таким образом, рассматриваемые выражения не содержащие переменных можно разделить на две категории:

а)выражения, несодержащие знака отношения, обозначающие числа;

б) выражения, содержащие один из знаков отношений (-, или< , или>) обозначающие высказывания.

Аналогичное деление применимо и для выражений, содержащих переменные.

Рассмотрим здесь несколько примеров, иллюстрирующих возможность использования математической символики при оформлении различных математических выкладок в школьном курсе математики.

1. Формулировки теорем (или аксиом)

Обычная формулировка	На символическом языке

Замечание: там, где это очевидно, слово «если» на языке логики обычно не пишется, но всегда подразумевается и говорится.

Через две любые точки плоскости проходит единственная прямая:

2. Формулировки математических определений

Почти каждое определение математического понятия можно выразить равенством (или эквивалентностью), левая часть которого есть новый символ, а правая часть которого состоит из уже известных символов. Для выделения формул-определений иногда приме-няют особый знак, который ставят под знаком «==» или «» D_f(от французского слова definition -- определение).

Пример. Определение параллельных прямых на плоскости можно выразить такой записью:

Использование различного вида логической символики позво-ляет точно и кратко вести различного рода математические записи.

Пример. Решить уравнение Зх + 2 = х + 8.

Решение. (Зх + 2 = х + 8) (3х -х = 8 -- 2) <=> (2х = 6) (х = 3).

Прежде чем вводить в явном виде ту или иную логико-математическую символику, необходимо вообще приучить школьников к четким записям при оформлении любых математических упражнений.

Учебные таблицы, их виды и назначение

Применение таблиц на уроках позволяет учителю совершенствовать процесс обучения учащихся, лучше организовать учебную деятельность школьников, создав условия для активного овладения учащимся учебным материалом, развития у них интереса к учению.

Приведем одну из классификаций, а именно по целевому назначению таблицы можно разделить на:

1. Иллюстративные («График линейной функции », «Графики уравнений», и т. д.).

2. Таблицы - задания(«Числовые промежутки», « график движения», т. д.).

3. Справочные таблицы(«таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99»).

Приведенная классификация условна, так как одна и таже таблица может быть применена для различных заданий. Применение таблиц является хорошим средством наглядности и способствует более глубокому изучению материала. Кроме того, они организуют работу учащихся в классе, дают возможность разнообразить методические приемы обучения, и тем самым оживляют занятия.

Иллюстративные таблицы необходимы учителю, прежде всего в заключительной части изложения нового материала - при обобщении его. На последующих уроках они помогают учащимся во время ответов у доски. Все иллюстративные таблицы могут быть использованы в любой части урока для фронтальной, индивидуальной и самостоятельной работы, а также на кружковых и дополнительных занятиях.

Таблицы - задания обладают большой «учебной емкостью» то есть позволяют выполнять значительное число разнообразных упражнений. Работать по ним во время изучения темы можно многократно, каждый раз составляя новые варианты заданий. Таблицы этого вида удобно использовать также для повторения какой - либо темы и всего материала в конце учебного года. Кроме того, они экономят время урока. К некоторым из них учитель предлагает задания в устной форме, к другим - записывают кратко на доске с помощью введенных на таблице обозначений. Помимо учебных целей, некоторые таблицы можно использовать для контроля за усвоением знаний учащимся, при проведении математических диктантов, самостоятельных и контрольных работ.

Следует заметить, что таблицы могут быть применены на многих этапах урока (изложение и закрепление материала, опрос учащихся) и с самыми разнообразными целями.

Справочные таблицы можно назвать таблицами постоянного пользования. Наличие таких таблиц в классе позволит учащимся выполнить различные вычисления например возведение во вторую или третью степень.

Технология работы с таблицей

Удобно иметь таблицы, с помощью которых можно было бы проверять знания учащихся по какой - либо теме без большой затраты времени урока.

Так, в начале изучения математики в 6 классе, очевидно появиться необходимость повторения материала по теме: «Положительные и отрицательные числа».Для этого можно было изготовить следующую таблицу, которая позволит достаточно быстро проконтролировать навыки учащихся в действиях с рациональными числами.

-12	а	-6	б	-4	в	1	г
-18	д	20	е	-2	ж	-10	з
-5	и	6	к	-7	л	-30	м
24	н	0	о	-8	п	-1	р

1	а	2	б	6	в	24	г
-30	д	7	е	20	ж	12	з
-1	и	10	к	0	л	18	м
-4	н	8	о	-6	п	5	р

В таблице 16 чисел, которые могут служить ответами к разнообразным упражнения с положительными и отрицательными числами. При составления заданий обязательно следует учитывать подготовленность учащихся. На доске вывешивают обе таблицы.

Учитель диктует: «Вычислите сумму чисел: -18 и 24; 31 и -38; -53 и 48; -19 и -11;-101 и 101; 13 и -17».

Производя вычисления устно, учащиеся записывают в тетради или на отдельном листочке в буквенном виде только ответы. Тогда по первому варианту таблицы они получат «КЛИМОВ», а по второму - «ВЕРДЛН».

Запись ответов в буквенном виде позволяет быстрее проверить их, а использование двух вариантов таблиц обеспечивает большую самостоятельность выполнения задания. Содержание диктанта можно и усложнять:

.

Таблицы можно применять и для следующих заданий.

1 вариант	2 вариант
1. Расположите числа таблицы
В порядке возрастания	В порядке убывания
2. Найдите сумму первого столбца , первой строки и т.д.
3. Найдите значение выражения

Пример 2:

Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99.

Таблица иллюстрирует принцип устройства таблиц с двумя входами, который в дальнейшем будет неоднократно использоваться как в алгебре, так и в геометрии.

Она необходима уже в начале учебного года при повторении понятия степени, а потом для выполнения вычислений, связанных с возведением в степень.

Рекомендуется таблица квадратов и при изучении первой темы программы 6 класса «Употребление букв в алгебре», а также двух следующих - «Одночлены» и «Многочлены». Она, например, помогает лучшему усвоению формул сокращенного умножения, позволяя быстро выполнять преобразование квадрата двучлена в многочлен (в случае двузначных коэффициентов) или разложение на множители выражений типа:

и т. д.

В последующих классах возможности использования таблицы квадратов возрастут, особенно при изучении квадратных корней и квадратных уравнений.

Следовательно, таблица квадратов чисел - одна из тех, которые должны висеть в классе постоянно.

В работе с таблицей квадратов учитель может применять фронтальные и индивидуальные методы обучения, добиваясь от учащихся умения быстро находить квадрат данного двузначного числа, а также число по его квадрату(определение квадратного корня в 6 классе давать не следует).

Внимание учащихся полезно обратить на некоторые свойства квадратов натуральных чисел.

1. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме самих последовательных чисел (желательно, чтобы это свойство обнаружили сами учащиеся).

Действительно, пусть, например, даны два последовательных числа 22 и 23. Найдя по таблице их квадраты

ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ от 10 до 99

единицы десятки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	265	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица 1.

484 и 529, составим разность: 529-484 = 45. Но 45 = 22 + 23, значит, 23²--22²=23 + 22.

Позднее, при изучении формулы разности квадратов двух выражений, это свойство легко доказывается:

(а+1)²-а²=[(а+1)+а] * [(_а+1)-а] =(а+1)+а.

2. Квадрат натурального числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8 или одним нулем.

В справедливости свойства, которое учащиеся легко замечают по таблице, потом можно убедиться так.

Квадрат числа вида n0 оканчивается двумя нулями - 00.

3. Если квадрат натурального числа оканчивается цифрой 5, то предшествующая цифра всегда 2.

4. Если двузначное число имеет вид п5, то его квадрат содержит п(п+1) сотен и 25 единиц.

Доказательство основано на применении тождества (а+b)²=.

Таблица как карта памяти, методика работы с картами памяти

На уроках часто используются всевозможные плакаты, схемы и справочные таблицы. Они предъявляются учащимся по-разному. Одни выдаются в готовом виде (плакаты), другие оформляются постепенно, на нескольких уроках, по мере изучения определенного раздела теории. Иногда учащиеся самостоятельно составляют таблицы при выполнении домашнего задания. И наконец, таблица может быть создана на одном уроке как конспект изложенного учителем нового материала.

В.Ф. Шаталов и его последователи используют в качестве конспектов листы опорных сигналов, составленные из нескольких блоков. Некоторые математические предложения в этих конспектах заменяются ключевыми словами или рисунками, вызывающими необходимые ассоциации только у тех, кто слушал объяснение.

Приветствуя в целом идею опорных сигналов, отметим все же, что они, как и любые конспекты, предлагаемые методическими пособиями, сковывают инициативу учителя, ибо прежде всего отражают индивидуальность автора. Преподавание будет более эффективным и интересным, если учителя станут сами составлять краткие записи, отражающие основные этапы изложения нового. Попробуем высказать ряд рекомендаций по составлению таких записей к уроку, когда учитель планирует, как именно будут ученики фиксировать в своих тетрадях излагаемый им материал.

Сразу оговоримся, что речь пойдет лишь о тех уроках, где материал изучается крупным блоком, охватывающим несколько параграфов учебника. По форме это может быть лекция в общепринятом смысле, беседа или рассказ учителя.

Исходя из того что в конечном счете конспект должен стать информационно-справочной таблицей и сыграть свою роль на уроках тематического или итогового повторения, сформулируем некоторые требования к его оформлению.

Материал в конспекте должен быть разделен на несколько самостоятельных, логически связанных между собой блоков. В него желательно внести вспомогательные вопросы, с помощью которых готовится введение нового, узловые вопросы темы и ее практическое применение.

В конспекте неизбежны сокращения и некоторые произвольные обозначения-шифры. Те и другие должны быть точно оговорены. В принципе, способ шифровки материала у каждого учителя может быть свой. Но учащиеся должны четко различать, где используется общепринятая символика, а где введен произвольный шифр. Путаница в этих вещах недопустима.