Формирование интуитивных представлений о пределе функции для обеспечения понимания понятия производной

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формирование интуитивных представлений о пределе функции для обеспечения понимания понятия производной

И. Н. Гуло, Ю. А. Лаппалайнен

Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка (г. Минск, Беларусь)

Раздел математики «Математический анализ» был оформлен в XVIII в. История включения данного раздела в курс школьной математике имеет свою уже 100-летнюю историю, однако до сих пор нет окончательного мнения: включать или не включать начало анализа в школьный курс, а также что должно входить в его изучение. Как сообщает В.П. Покровский, в ходе совершенствования программы с 1981 г. было принято решение вводить производную и интеграл историческим путем, то есть без теории пределов. В.П. Покровский выделяет двух педагогов - А.Г. Мордкович и Ю.М. Колягин, - которые решили оставить предел в учебной программе. А.Г. Мордович считал, что учащиеся профильных классов должны иметь представление о всех трёх видах предела. В свою очередь Ю.М. Колягин предпочел наглядно-интуитивно вводить данный материал в 11-м классе на пропедевтическом уровне с учетом продолжения изучения математики в высших учебных заведениях.Тем самым показывая расхождение в том, как преподавать начало анализа в старших классах.

В системе образования Республики Беларусь также нет единого решения: вводить ли тему «Производная» на базовом уровне обучения в 10 классах, каким образом это сделать лучше всего. На сегодняшний день с 2020-2021 учебного года в учебную программу по математике для 10 классов на базовом уровне была включена тема «Производная» [1].

При изучении различного введения понятия «Производной» ближе всего для нас является наглядно-интуитивное введение на пропедевтическом уровне, чтобы не рушить структуру действующей программы. Согласно А.Г. Мордковичу, в школе мы лишь ознакамливаем учащихся с элементами математического анализа, поэтому при изложении необходимо учесть следующее: а) фактически не противоречило математике как науке; б) было доступно школьникам. Из чего следует, что от жесткой модели - формального определения - в школе следует отказаться.А также данное изложение поддержал российский математик А.Д.Мышкис: «Преподавание элементов высшей математики в школе необходимо, если оно будет опираться на преимущественно интуитивное изложение материала; в противном случае оно нецелесообразно».

И дальше перед нами встал вопрос: как на уровне пропедевтики можно ввести понятие «предела функции», соблюдая принципы научности и доступности, и так, чтобы учащимся было понятно. Для начала нужно разобраться, что такое пропедевтика - сообщение предварительных знаний по той или иной математической теме, излагаемое в элементарной, систематизированной и сжатой форме и ведущее как к внутрипредметной, так и межпредметной интеграции школьного курса математики [2, с.172]. На IиII ступенях общего среднего образования пропедевтика используется при формировании таких понятий как, например, круг, окружность, конус, куб и так далее. В свою очередь мы не придерживаемся мнения, что в старшей школе от этого необходимо отказаться и поддерживаемлозунгов А.Г. Мордковича, что 1) меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие мозга; 2) больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга. производная функция задача программа

Перед этим необходимо сказать, что введение понятия «предел функции» может произойти как на первом уроке по теме «Производная», так и на факультативном занятии по данной теме. И теперь встает следующий вопрос: как можно излагать введение понятия «Предел функции».

Поэтому первое изложение можно рассмотреть предоставленное А.Г. Мордовичем. Он предлагает сделать с учащимися 3 чертежа: график некоторой непрерывной функции, проходящий через точку (a; b). Затем на втором - точка (a; b) «выкалывается», на третьем - «выколотая» точка занимает другое положение (a; с) (это так называемый метод вариативного чертежа).Если же точку х = а исключить из рассмотрения, то на всех трех чертежах будет представлена одна и та же математическая модель, для описания которой придумали и обозначение, и термин: обозначение , термин «предел функции при х > a ». Однако этот метод введения будет эффективен, когда у учащихся есть значительный опыт работы с кусочными функциями.

Изучая опыт других преподавателей, мы предлагаем следующее введение понятия «Предела функции». В действующих школьных учебниках по алгебре 10 класса даётся следующее определение: «Производной функции y = f (x) в точке называется число, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента , стремящемся кнулю» [3, c. 221]. Опираясь на опыт учителей математики, работающих в десятых классах, можно утверждать, что изучение данной темы вызывает определённые трудности у учащихся. Проблемы возникают по усвоению данного понятия, нахождению производных функций и применению данного понятия для решения многих задач. Учащиеся впервые встречаются в математике с ситуацией, когда переменная величина «стремится» к некоторому значению, а не принимает конкретное значение. Понятие «предела» формируется при изучении математического анализа и выходит за рамки школьной программы. Учащимся трудно понять, что значит «величина стремиться к некоторому числу». До изучения темы «Производная» они имели дело только с величинами, которые принимали точное значение. То есть происходит переход от конечных величин к бесконечным, что является очень абстрактными вещами. Поэтому предлагаем ввести понятие «Предел функции» через знакомство учащихся с парадоксом Зенона «Ахиллес и черепаха». Оттуда предел - это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизиться.

Также может быть использован более наглядный пример с помощью координатного луча: «К какому числу стремится дробь , если вместо xпоследовательно подставлять натуральные числа?».

Данный пример закрепляет у учащихся визуальное представление о стремлении величины к некоторому значению, что способствует осознанному восприятию учебного материала.

После того, как учащиеся получат представление о стремлении переменной величины к некоторому значению, можно сформулировать определение предела функции на языке последовательностей (по Гейне). Показать обозначение предела: . И записать определение производной через предел: . Для закрепления материала необходимо показать простейшие приёмы вычисления предела функции и нахождения производной некоторых элементарных функций.

Для отслеживания уровня усвоения учащимися столь сложного материала особое внимание нужно уделять рефлексии после каждого урока по теме «Производная».

Подводя итоги, мы придерживаемся мыслей А.Г. Мордковича и А.Д.Мышкис, поэтому при введении понятия «Производная функции» необходимо вводить на понятном языке и понятие «Предел функции», используя наглядно-интуитивный подход. Осознание понятия «Предел функции» способствует осмысленному пониманию учащимися понятия «производная функции в точке», готовит их к восприятию сложного раздела математического анализа «Теория пределов» в учреждениях высшего образования, избегая неофобии.

Литература

1. Учебная программа по учебному предмету «Математика» для X класса учреждений образования, реализующих образовательные программы общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания (базовый уровень) [Электронный ресурс] // Национальный образовательный портал. - Режим доступа: https://adu.by/images/2020/08/up-Matematika-X-kl_rus.docx. - Дата доступа 12.02.2022.

2. Лобанок, И.П. О вопросах пропедевтики знаний учащихся при обучении математике / И.П. Лобанок // Веснiк МДУ имя А.А.Куляшова. - 2005. - № 2-3(21). - 172-179 с.

3. Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общегосреднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко. -- Минск : Народная асвета, 2019. - 285 с.

4. Покровский, В.П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия: учеб.-метод. пособие / В. П. Покровский ; Владим. гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых. - Владимир : Изд-во ВлГУ, 2014. - 116-120 с.

5. Мордкович, А.Г. О некоторых проблемах школьного математического образования / А.Г. Мордкович. - Москва, 2012. - 116-120 с.

Размещено на Allbest.ru