Пуассоновское распределение на примере функционирования автостоянки

Пуассоновское распределение на примере функционирования автостоянки

Гаврилова Л.И.,

Антонова К.А., студент

Аннотация

Ключевые слова: пуассоновский поток событий, массовое обслуживание, поток заявок, плотность распределения, уравнение баланса.

Key words: Poisson flow of events, queuing, flow of requests, distribution density, balance equation.

Введение

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток отказов элементов, поток вызовов на телефонной станции, поток посетителей в кафе, поток обслуживаемых абонентов и др.). Простейшим (или пуассоновским) потоком называется такой поток событий, обладающий следующими свойствами [1, с.141]:

- свойством стационарности: вероятность того, что за промежуток времени длины т произойдет ровно к событий, не зависящих от начала его отсчета;

- свойством ординарности: событие появляется не группами, а поодиночке;

- свойством отсутствия последствия: вероятность появления к событий за промежуток времени длины т не зависит от того, сколько событий появилось в любой другой не пересекающийся с ним промежуток времени.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид [2, с. 637]:

плотность распределения длительностей обслуживания:

где л - интенсивность поступления заявок в систему, µ- интенсивность обслуживания. Потоки заявок в обслуживании простейшие.

Модель процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом:

1) поступившая в обслуживающую систему, заявка присоединяется к очереди других (ранее поступивших) заявок;

2) канал обслуживания выбирает заявку из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию;

3) после завершения процедуры обслуживания очередной заявки канал обслуживания приступает к обслуживанию следующей заявки, если такая имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования подобных систем массового обслуживания повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередной заявки после завершения обслуживания предыдущей заявки происходит мгновенно, в случайные моменты времени. Случайный характер потока заявок и длительность обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс.

Постановка задачи

математическая модель автостоянка

Пусть автостоянка для посетителей кафе имеет 6 мест. Автомобили пребывают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 10 автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 45 минут. Количество временных мест для ожидания на территории стоянки имеется 4. Если стоянка и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую автостоянку.

Требуется определить следующее: вероятность того, что в системе находится n автомобилей; эффективную интенсивность лэфф поступления автомобилей на стоянку; среднее количество L_s автомобилей на стоянке; среднее время Т_о нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки; среднее количество с занятых мест на автостоянке.

Место для стоянки в рассматриваемой задаче выступает в роли сервиса, поэтому система имеет всего шесть средств обслуживания (с=6). Максимальная вместимость системы равна 6+4=10 автомобилей.

Обозначим:

n - число автомобилей в системе;

л_п - интенсивность поступления в систему автомобилей при условии, что в системе уже находится n автомобилей;

µ_п - интенсивность выходного потока обслуженных автомобилей при условии, что в системе уже находится n автомобилей;

р_п - вероятность того, что в системе находится n автомобилей.

Из условия задачи имеем, что А_п = 10, п = 0,1,2,..., 10, и

В общей системе массового обслуживания установлена зависимость вероятности р_п от интенсивностей л_п и µ_п в виде уравнения баланса [2, с. 645]

Уравнение баланса, соответствующее n -- 0, имеет вид л₀р₀ -- µ₁р₁. Уравнение баланса решаются рекуррентно, последовательно выражая вероятности pi через р₀ следующим образом:

Значение p₀ определяется из уравнения суммы всех вероятностей

Р₀ +P_i + - + Рn =1.

Определим вероятности р_п по выше представленным формулам, подставляя постоянную л_п -- 10 и соответствующие µ_п, получим

Значение p₀ определим из уравнения суммы вероятностей при п = 10, в результате получим р₀ = 0,000406. Далее вычислим р_г = 0,00304, р₂ = 0,01142, р₃ = 0,02852, р₄ = 0,05348, р₅ = 0,08021, р₆ = 0,10027, р₇ = 0,12534, р₈ = 0,15667, р₉ = 0,19584, р₁₀ = 0,24480.

Автомобили поступают на стоянку с интенсивностью Я. Прибывающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью л_эфф или уехать в поисках другой автостоянки с интенсивностью л_потери, т.е. л = л_эфф + л_потери. Автомобиль не может въехать на стоянку, если там уже 10 автомобилей, что означает, часть автомобилей, которые не попадут на стоянку, пропорциональна р₁₀. Получим л_потери = лр₁₀ = 2,448 автомобилей в час,

Среднее количество L_s автомобилей на стоянке определяется через сумму автомобилей.

Автомобиль, ожидающий свободного места для стоянки, находится в очереди. Время его ожидания Т_о вычислим через время пребывания автомобиля на стоянке (в системе) Т₅. Так как

часа, то по

определению

Среднее число с занятых мест на автостоянке определяется по формуле [2, с. 652]

получим с = 6,0416 мест. Можно рассчитать коэффициент использования мест на стоянке - = 1,0069.

Итак, вероятность того, что в системе находится n автомобилей: р₀ = 0,000406, р₁ = 0,00304, р₂ = 0,01142, р₃ = 0,02852, р₄ = 0,05348, р₅ = 0,08021, р₆ = 0,10027, р₇ = 0,12534, p_Q = 0,15667, p₉ = 0,19584, p₁₀ = 0,24480; эффективная интенсивность л_эфф = 7,55 автомобилей, поступивших на стоянку; среднее количество L_s = 7,67 автомобилей на стоянке; среднее время Т_о = 16,2 мин нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки; среднее количество с =6,04 занятых мест на автостоянке, эффективность использования мест на стоянке составляет 101,7%.

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студ. втузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2001. - 208 с.

2. Таха Хемди А. Введение в исследование операций // Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 912 с.

Размещено на Allbest.ru