Дискретное преобразование Фурье периодических и конечных последовательностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский Технический Университет Связи и Информатики

(МТУСИ)

Кафедра радиотехнических систем

Лабораторная работа

Дискретное преобразование Фурье периодических и конечных последовательностей

Выполнила

студентка группы БРА1101

Тюрина А.В.

Проверила

Мирошникова Н.Е.

Москва 2013



Цели работы

математический дискретный преобразование последовательность

Изучить математическое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) периодических последовательностей и последовательностей конечной длины и овладеть программными средствами его вычисления в MATLAB с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Исходные данные

Переменная	Назначение	Значение	Идентификатор
	Номер бригады		Nb = 12
	Период (длина) последовательности		N = 64
	Частота дискретизации		Fs = 6000
	Период дискретизации		1/Fs = 0,000167
	Амплитуды дискретных гармоник		A1 = 1.12
			A2 = 2.24
	Частоты дискретных гармоник		f1 = 750
			f2 = 1500

Домашнее задание

Вариант 12.

1C. Периодическая последовательность с периодом :

Вывести графики амплитудного и фазового спектра периодической последовательности. Определить амплитуды и частоты дискретных гармоник, используя function-файл fft_e1.



function [ output_args ] = Untitled( input_args )

N = 64;

Fs = 6000;

A1 = 1.12;

A2 = 2.24;

f1 = 750;

f2 = 1500;

n = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ВРЕМЯ

k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА

w1 = 2*pi*f1/Fs; w2 = 2*pi*f2/Fs; % НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК (РАД)

x = A1*cos(w1*n+pi/4)+A2*cos(w2*n+pi/16); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD = (2/N)*abs(X); % АМПЛИТУДНЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD(1) = (1/N)*abs(X(1));

PHASE = angle(X); % ФАЗОВЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

for i = 1:N

if (abs(X(i)) < 1e-4)

PHASE(i)=0;

end

end

figure('Name','Amplitude Spectrum','NumberTitle', 'off')

subplot(2,1,1), stem(k,MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

xlabel('k'), ylabel('1/N|X(k)|')

title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2),grid

xlabel('f (Hz)'), ylabel('1/N|X(f)|')

title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

figure('Name','Phase Spectrum','NumberTitle', 'off')

subplot(2,1,1), stem(k, PHASE,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

xlabel('k'), ylabel('arg{X(k)} (rad)')

title(strcat(['Phase Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),PHASE,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)

grid, xlabel('f (Hz)'), ylabel('arg{X(f)} (rad)')

title(strcat(['Phase Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

disp('% Выходные параметры функции fft_e1')

e1 = 1e-7; % ЗНАЧЕНИЕ ПОРОГА ДЛЯ ПЕРВОГО КРИТЕРИЯ

[MODm,m] = fft_e1(MOD,e1) % ВНЕШНЯЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУД И ЧАСТОТ ГАРМОНИК ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ПО ПЕРВОМУ КРИТЕРИЮ

A1 = MODm(1); A2 = MODm(2); % АМПЛИТУДЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК

k1 = m(1); k2 = m(2); % ДИСКРЕТНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ

f1 = k1*Fs/N; f2 = k2*Fs/N; % ЧАСТОТЫ (Гц) ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК

disp('% Амплитуды и частоты дискретных гармоник')

disp([' A1 = ' num2str(A1) ' A2 = ' num2str(A2)])

disp([' k1 = ' num2str(k1) ' k2 = ' num2str(k2)])

disp([' f1 = ' num2str(f1) ' f2 = ' num2str(f2)])

end



% Выходные параметры функции fft_e1

MODm =

1.1200 2.2400 2.2400 1.1200

m =

8 16 48 56

% Амплитуды и частоты дискретных гармоник

A1 = 1.12 A2 = 2.24

k1 = 8 k2 = 16

f1 = 750 f2 = 1500

2С. Конечная последовательность длины .

Вывести графики модуля и аргумента ДПФ конечной последовательности.

function [ output_args ] = Untitled2( input_args)

A1=1.12;

A2=2.24;

f1=750;

f2=1500;

N=64;

Fs=6000;

n = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ВРЕМЯ

k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА

w1 = 2*pi*f1/Fs; w2 = 2*pi*f2/Fs; % НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК (РАД)

x = A1*cos(w1*n+pi/4)+A2*cos(w2*n+pi/16);

X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD_K = abs(fft(x)); % МОДУЛЬ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD_P = angle(fft(x)); % АРГУМЕНТ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

figure('Name','DFT Modulus and Argument', 'NumberTitle','off')

subplot(2,1,1), stem(k,MOD_K,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(2,1,2), stem(k,MOD_P,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

end



3С. Конечная последовательность длины :

где

Вывести графики конечных последовательностей и и модулей их ДПФ.

function [ output_args ] = Untitled3( input_args)

A1=1.12;

A2=2.24;

N=64;

Fs=6000;

f1=750;

f2=1500;

k=0:(N-1);

n=0:(N-1);

w1=2*pi*f1/Fs;

w2=2*pi*f2/Fs;

u=0:(N/2-1);

c=N/2:(N-1);

x1=A1*cos(w1.*u);

x2=A2*cos(w2.*c);

x=[x1 x2];

Mod_K=abs(fft(x));

Mod_K1=abs(fft(x1));

Mod_K2=abs(fft(x2));

subplot(3,2,5), stem(n,x, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(3,2,6),stem(k,Mod_K, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(3,2,1),stem(u,x1, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(3,2,3),stem(c,x2, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(3,2,2),stem(u,Mod_K1, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(3,2,4),stem(u,Mod_K2, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid



4С. Цифровой единичный импульс на интервале .

Вывести графики цифрового единичного импульса и модуля его ДПФ.

function [ output_args ] = Untitled4(input_args)

N=64;

x = [1 zeros(1,(N-1))];

n = 0:(N-1);

k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА

X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD_K = abs(fft(x)); % МОДУЛЬ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

figure('Name','DFT Modul', 'NumberTitle','off')

subplot(2,1,1), stem(n,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

subplot(2,1,2), stem(k,MOD_K,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

end

5С. Последовательность с однотональной амплитудной модуляцией:

Задать значения , , , , , и период последовательности .

Вывести графики последовательности и ее амплитудного спектра.

function [ output_args ] = Untitled1(input_args)

N=64;

Fs=6000;

n = 0:(2*N);

k = 0:(2*N);

w = (2*pi)/4;

x = 1+0.5*cos((w/4)*n).*cos(w*n); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

X = fft(x);

MOD = (2/N)*abs(X); % АМПЛИТУДНЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

MOD(1) = (1/N)*abs(X(1));

figure('Name','Periodic Sequence','NumberTitle','off')

subplot(3,1,1), stem(n,x, 'MarkerSize',3,'Linewidth',2)

grid, xlabel('n')

ylabel('x(n)'), title(strcat(['Periodic Sequence x(n) N = ',num2str(N)]))

subplot(3,1,2), stem(n/Fs,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)

grid, xlabel('nT')

ylabel('x(nT)'), title(strcat(['Periodic Sequence x(nT) N = ',num2str(N)]))

x = ifft(X); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ПОМОЩЬЮ ОДПФ

subplot(3,1,3), stem(n,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)

grid, xlabel('n')

ylabel('x(n)'), title(strcat(['Periodic Sequence x = ifft(X) N = ',num2str(N)]))

figure('Name','Amplitude Spectrum','NumberTitle', 'off')

subplot(2,1,1), stem(k,MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid

xlabel('k'), ylabel('1/N|X(k)|')

title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2),grid

xlabel('f (Hz)'), ylabel('1/N|X(f)|')

title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))

end



6С. Последовательность :

Задать частоту дискретизации Гц.

Вывести графики последовательности на интервале с шагом и модуля её ДПФ.

function [ output_args ] = Untitled1(input_args)

Fs=2000;

N=64;

K=-15:1/Fs:15;

T=1/Fs;

n=(-500*(N-1)*T):T: (500*(N-1)*T);

f=sin(pi.*n);

x=f./(pi.*n);

Mod_K=abs(fft(x));

subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid

subplot(2,1,2),stem(n,Mod_K, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid

end.

Fs=2000;

N=64;

T=1/Fs;

n=(-500*(N-1)*T):T: (500*(N-1)*T);

k=-500*(N-1):1: 500*(N-1);

f=sin(pi.*n);

x=f./(pi.*n);

y=fft(x);

Mod_K=abs(y);

subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid

subplot(2,1,2),stem(k,Mod_K, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid



7C. Гауссов радиоимпульс:

.

Задать и .

Вывести графики последовательности на интервале и модуля ее ДПФ.

function [ output_args ] = Untitled1(input_args)

N=64;

n=(-3*(N-1)):(3*(N-1));

a=0.0005;

w0=pi/12;

f1=750;

Fs=6000;

w1 = 2*pi*f1/Fs;

x=exp(-a.*n.^2).*cos(w1.*n);

Mod_K=abs(fft(x));

subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid

subplot(2,1,2),stem(n,Mod_K, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid

end.



Выполнение работы

Вариант 12.

1. Вычисление амплитудного и фазового спектров периодической последовательности (идентификатор x) с периодом :

используя её тождественное представление в виде:



Графики последовательности на периоде N в шкале:

дискретного нормированного времени (идентификатор n);

дискретного времени (идентификатор nT).

Амплитудный спектр последовательности и его гармоники в шкале:

дискретных нормированных частот (идентификатор k);

абсолютных частот (Гц) (идентификатор f).

Фазовый спектр последовательности и его гармоники в шкале:

дискретных нормированных частот (идентификатор k);

абсолютных частот (Гц) (идентификатор f).

2. Вычисление ДПФ конечной последовательности.

Графики в шкале дискретных нормированных частот:

модуля ДПФ (идентификатор MOD_K) конечной последовательности;

амплитудного спектра периодической последовательности (см. п. 1).

3. Определение амплитуд и частот дискретных гармоник.

Выходные параметры function-файла fft_e1:



MODm =

1.1200 2.2400 2.2400 1.1200

m =

8 16 48 56

Значения амплитуд, дискретных нормированных частот и абсолютных частот гармоник:

A1 = 1.12 A2 = 2.24

k1 = 8 k2 = 16

f1 = 750 f2 = 1500

4. Граничные значения порогов для первого и второго критериев выделения полезного сигнала.

Для аддитивной смеси граничное значение порога:

для первого критерия;

e1_low = 0.27847 e1_up = 1

для второго критерия;

e2_low = 1.4591 e2_up = 18.8165

5. Выделение полезного сигнала по первому критерию.

График аддитивной смеси на периоде :



График амплитудного спектра аддитивной смеси в шкале дискретных нормированных частот и график амплитудного спектра аддитивной смеси , нормированного к его максимальному значению):

Значение e1:

e1 = 0.27847

Выходные параметры function-файла fft_e1.



MODm =

1.2696 2.4650 2.4650 1.2696

m =

8 16 48 56

6. Выделение полезного сигнала по второму критерию.

График амплитудного спектра аддитивной смеси в шкале дискретных нормированных частот и график квадрата амплитудного спектра аддитивной смеси , нормированного к ее средней мощности:

Значение e2:

e2 = 1.4591

Выходные параметры function-файла fft_e2.

MODm =

1.2696 2.4650 0.6864 0.6864 2.4650 1.2696

m =

8 16 24 40 48 56

7. Восстановление аналогового сигнала.

Восстановить периодический аналоговый сигнал (идентификатор ха) по отсчетам ДПФ периодической последовательности . Для вычисления значений сигнала использовать формулу , задавая значением времени t (идентификатор t) на интервале с шагом .

В тех же точках вычислить значения исходного аналогового сигнала (идентификатор xt), на основе которого получена последовательность .

Графики периодической последовательности и модуля ее ДПФ; восстановленного аналогового сигнала и его амплитудного спектра (идентификатор MODa); исходного аналогового сигнала .



8. Восстановление спектральной плотности конечной последовательности.

Вычислить значения спектральной плотности конечной последовательности длины в точках на периоде двумя способами:

по формуле - идентификатор xw;

по формуле - идентификатор xz.

Вывести графики модуля ДПФ конечной последовательности в шкале дискретных нормированных частот с помощью функции stem; модулей спектральной плотности, вычисленной первым и вторым способами в шкале частот (идентификатор w) с помощью функции plot.

9. Уменьшение периода дискретизации по частоте при вычислении ДПФ.

Сформировать три конечные последовательности (вектор zx) с длинной (вектор L), дополняя их нулями до длины при .

Вычислить ДПФ данных последовательностей (вектор xz).

Графики исходной последовательности и последовательностей, дополненных нулями; их модулей ДПФ в шкале дискретных нормированных частот (пунктиром - помощью функции stem) и одновременно -- восстановленных спектральных плотностей (с помощью функции plot красным цветом).

Значения периодов ДПФ (вектор L) и соответствующих им периодов крепитации по частоте (вектор Delta_f).

L = [64 128 256]

Delta_f = [93.75 46.875 23.4375]

Размещено на Allbest.ru