Приложения определенных интегралов

Размещено на http://allbest.ru

Министерство по развитию информационных

технологий и коммуникаций республики Узбекистан

Ташкентский университет информационных технологий имени МУХАММАДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ

Самостоятельная работа

на тему: “Приложения определенных интегралов”

Выполнил: Шоев С.С., студент 1 курса

факультета Информационных безопасностей

Ташкент-2020

1. Общий подход к приложениям определённого интеграла

Прежде чем использовать определённый интеграл для нахождения неизвестных величин в области геометрии, механики и физики, изложим общий подход к решению прикладных задач с применением определённого интеграла. Отметим, что при этом обобщаются рассуждения, изложенные нами при вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть нужно найти значение некоторой величины G, являющейся функцией промежутка [a,b]. При этом предполагается, что если [a,b] = [a, c]?[c,b] (a < c < b), то значение G для промежутка [a,b] равно сумме значений G для промежутков [a,c] и [c,b]. Для вычисления величины G выполним следующие действия:

1. Выделим внутри отрезка [a,b] элементарный отрезок [x, x + Дx], где Дx - бесконечно малая величина. Пусть ДG - значение величины G для промежутка [x, x + Дx], а dG - значение, удовлетворяющее условию

ДG = dG + o(Дx),

где o(Дx) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем Дx = dx.

2. Исходя из условий задачи, составим формулу для вычисления бесконечно малого элемента dG: dG = g(x)dx, «пожертвовав» величинами более высокого порядка малости, чем dx = Дx.

3. Вычислим величину G, интегрируя равенство на промежутке [a,b].

Тогда:

.

2. Геометрические приложения определённого интеграла

2.1 Вычисление площадей

Площадь F криволинейной трапеции, ограниченной линиями

x = a, x = b, y = 0, y = f (x) (a <b, f (x) ? 0 при x? [a, b]) вычисляется по формуле

. (44)

Она получена так. Выделяем промежуток [x, x + dx]. Ему соответствует элемент площади ДF, заштрихованный на рисунке. В качестве бесконечно малого элемента dF возьмём площадь прямоугольника с шириной dx и высотой f (x). Тогда dF = f (x)dx. (45)

Затем интегрируем равенство (45) на промежутке [a,b] и получаем формулу (44). Заметим здесь, что формула (44) справедлива также в силу геометрического смысла определённого интеграла.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,

y =x, x = 9.

Решение. Данная фигура является криволинейной трапецией.

Её площадь вычисляется по формуле

Откуда

2.2 Вычисление объёма тела через площадь его сечения

Пусть тело в пространстве расположено между плоскостями x=a и x=b. Будем искать объём V этого тела. Рассечём тело на слои в различных точках x (a ? x ? b) плоскостями, перпендикулярными оси Ox. Пусть в каждой точке x известна площадь этого сечения F(x). Она является функцией переменной x. Выделим элемент объёма ДV - объём тела, расположенного между параллельными плоскостями, проходящими через через точки x и x + dx на оси Ox. определённый интеграл геометрия объём

За бесконечно малый элемент искомого объёма dV примем объём бесконечно узкого цилиндра высотой dx и площадью основания F(x). Тогда dV = F(x)dx, и объём тела вычисляется по формуле

2.3 Вычисление объёма тела вращения

На рис. 4 показано тело, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a, x = b, y = 0, y = f (x). Будем искать его объём. Обозначим его через Vx. Рассечём тело плоскостью, перпендикулярной оси Ox, в произвольной точке x?[a,b]. Рассмотрим элемент объёма ДVx, полученный вращением криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [x, x + dx] длиной dx. За бесконечно малый элемент объёма dVx примем объём цилиндра с высотой dx и площадью основания, равной площади круга радиусом f (x):

dVx = f 2 (x)dx.

Тогда

Пример. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды (y = sin x, x = 0, x = р).

Решение:

(x - sin2x) =

2.4 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая описывается уравнением y = f (x).

Рассмотрим дугу этой кривой при x?[a,b]. Обозначим длину этой дуги через S. Предположим, что на промежутке [a,b] существует непрерывная производная f ?(x). Чтобы вычислить длину дуги, выделим на дуге элементарный участок, соответствующий изменению аргумента x на промежутке [x, x + dx]. Обозначим бесконечно малый элемент длины дуги через dS. Вычислим dS, заменив бесконечно малую дугу её хордой, величину Дy - величиной dy и применив теорему Пифагора.

dS= (5) или dS= (6)

Тогда

S=

Замечание. Если дуга кривой описана уравнением, y ?[c,d], то из формулы (56) получим

dS= dy. и S= (7)

Если же дуга описывается параметрически:

t О--(a,b),

То dS= dt. (8)

и S=

Пример. Вычислить длину дуги параболы = 4x от вершины до точки A(4; 4).

Решение. Заданная дуга OA описывается уравнением

где y--О[0; 4].

Бесконечно малый элемент длины этой дуги будем искать по формуле (58). Найдём сначала

Тогда

dS= dy= dy

и S=

При вычислении этого интеграла используем приём интегрирования по частям для того, чтобы свести его к себе самому. Положим

u = , dv = dy .

Найдём du= , v=y.

Тогда

= =.

Получили уравнение относительно искомого интеграла. Решим его и найдём

= .

Окончательно

S = + ln (2 + ).

Размещено на Allbest.ru