Решение задач выбора оптимальных портфелей средствами MS Excel

Размещено на http://www.allbest.ru/

Калужский филиал Финуниверситета

Решение задач выбора оптимальных портфелей средствами MS Excel

Кузина Наталья Владимировна, к. пед. н., доцент кафедры «Высшая математика и статистика»

г. Калуга

Аннотация

В статье рассмотрена двукритериальная задача выбора оптимальных портфелей. Рассмотрены специальные приемы, сводящие многокритериальную оптимизацию к однокритериальной. Показано решение основных однокритериальных трех задач с помощью инструмента «Поиск решений» MS Excel.

Ключевые слова: задачи оптимизации, экономико-математическая модель, задача выбора оптимальных портфелей, инструмент «Поиск решений» MS Excel.

Abstract

The article deals with the two-criteria problem of choosing optimal portfolios. Special techniques that reduce multi-criteria optimization to single-criteria optimization are considered. The solution of the main one- criterion three problems with the help of the tool "Search for solutions" MS Excel is shown.

Keywords: optimization problem mathematical model, the problem of choosing the optimal portfolio, the "Finding solutions" in MS Excel.

При изучении дисциплины «Основы финансовых вычислений» одним из наиболее сложных вопросов является вопрос оптимизации портфелей в плане решения составленных математических моделей задачи выбора оптимальных портфелей. В данной статье рассмотрим решение таких задач средствами MS Excel.

Главная цель формирования любого портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходностью. Другими словами, при формировании портфеля желательно значение доходности сделать как можно большим, а риска - как можно меньшим. Таким образом, задача оптимизации портфелей является двукритериальной, в которой рассматриваются следующие целевые функции:

доходность портфеля Rp определяется как сумма доходностей отдельных акций с выбранными весовыми коэффициентами;

риск ар , связанный с той или иной ценной бумагой (по Г. Марковицу) выражается в виде среднего квадратического отклонения каждой ценной бумаги;

и ограничения:

сумма всех долей ценных бумаг должна составлять 1, это правило нормировки долей;

положительные доли всех ценных бумаг в портфеле (инвестор, вкладывающий свои деньги в покупку различных активов - портфель Марковица).

Также необходимо учесть корреляцию между доходностями ценных бумаг. Далее рассмотрим более простой вариант, когда корреляция для модели Марковица равняется нулю.

Исходя из выше сказанного, экономико-математическая модель задачи имеет вид: Пусть х1... хп - вес каждой ценной бумаги в портфеле, тогда

При решении многокритериальных задач решение оказывается чересчур громоздким и проанализировать все возможные варианты достаточно сложный процесс и иногда невозможный.

В таких ситуациях пользуются некоторыми специальными приемами, сужающими множество решение, в идеале -- до одного решения. В итоге инвестор, решающий проблему выбора оптимального портфеля, должен выбрать только один портфель.

Рассмотрим два специальных приема, сводящих многокритериальную оптимизацию к однокритериальной:

Субоптимизация состоит в том, что выделяется один максимизируемый (минимизируемый) критерий, а для остальных критериев задаются нижние (верхние) границы. Другими словами, двукритериальная задачи выбора оптимального портфеля сводится к задаче с одним критерием. При этом один критерий (риск или доходность) является лидирующим (главным), а второй участвует в так называемом критериальном ограничении.

Сверстка критериев предлагает перейти от частных критериев к обобщенному критерию (суперкритерий), который определяется как некоторая функция исходных критериев. То есть, в постановки задачи выбора оптимального портфеля одновременно участвуют оба критерия. Марковицем был предложен такой критерий, представляющий собой линейную комбинацию доходности и риска. Этот критерий, получивший название функции полезности Марковица, имеет вид ир = Rр - / в * ар, где в > 0 - положительное число, называемое коэффициентом неприятия риска. Чем больше этот коэффициент, тем менее склонен к риску инвестор.

Таким образом, можно сформулировать три основные задачи:

Нахождение портфеля с максимальной доходностью и заданным риском. Инвестор хочет так вложить свой капитал, чтобы риск был не больше заданного, портфеля с максимальной доходностью. Формальная постановка задачи имеет вид:

Нахождение портфеля с минимальным риском и заданной доходностью. Инвестор хочет так вложить свой капитал, чтобы значение риска было минимальным, но при этом ожидаемая доходность была бы не меньше, чем заданное инвестором значение. Формальная постановка задачи имеет вид:

3. Нахождение портфеля с максимальной полезностью. В этом случае предпочтения инвестора определяются заданным коэффициентом неприятия риска в. Поэтому среди всех допустимых портфелей выбирается портфель с наибольшей полезностью. Формальная постановка задачи имеет вид:

Перейдем теперь к решению этих задач. Полученные экономико-математические модели сформулированных выше задач относится к задачам нелинейного программирования. Для нахождения оптимального портфеля по Марковицу воспользуемся средствами Excel и компонентой Поиск решений.

Рассмотрим цену акции обыкновенной на конец текущего дня 4-х российских компаний ГАЗПРОМ АО, Роснефть, Сургтнефтегаз и ЛУКОЙЛ с 02.02 19 по 01.02.19 (рис.1).

Для начала рассчитаем дневную доходность по каждой акции с 02.02 19 по 01.02.19. Формула расчета дневной доходности (rj) в виде процентной ставки: двукритериальный задача портфель

где Р_] - цена акции на конец текущего дня;

Ру1 - цена акции за предыдущий день.

В итоге должна получится следующая таблица дневных доходностей каждой из акций (рис.1):

Расчет дневных доходностей акций

Чтобы рассчитать доходность для каждой акции необходимо найти среднюю доходность акции за выбранный период:

Таким образом, среднедневная доходность за весь период составила для ГАЗПРОМ ао гіср =0,30%, Роснефть Г2ср =-0,23%, Сургтнефтегаз Г3ср =0,10% и ЛУКОЙЛ Г4сР =0,30%. Так как средняя доходность Роснефть отрицательная, то эта акция не будет включена в портфель.

Далее рассчитаем риск этих акций, для этого найдем среднеквадратическое отклонение дневных доходностей акций по формуле:

Для ГАЗПРОМ ао с =1,055%, Сургтнфгз сз =0,7754% и ЛУКОЙЛ С4=0,7303%.

Нахождение портфеля с максимальной доходностью и заданным риском.

Экономико-математическая модель задачи с заданным допустимым максимальным уровнем риска в 0,5%.

Определим экранную форму и введем исходные данные (рис.2):

Рисунок. 2 Далее запишем формулы экономико-математической модели на языке Excel (рис.3):

Рис. 3. Формулы на языке Excel.

Далее запустим надстройки «Поиск решений» (рис.4):

Рисунок 4. Параметры поиска решений

После в изменяемых ячейках определятся доли в инвестиционном портфеле для каждой акции (рис. 5):

Таким образом, вес каждой акции в оптимальном портфеле, представлен на диаграмме (рис. 6).

Рисунок 6. Диаграмма распределения веса каждой акции в портфеле

Доходность всего портфеля будет составлять 0,258% при общем установленном заранее риске портфеля в 0,5%.

Нахождение портфеля с минимальным риском и заданной доходностью.

Экономико-математическая модель задачи с заданным допустимым минимальным уровнем доходности в 0,25 %.

Выполняя аналогичные действия, что и для первой задачи, определим доли в инвестиционном портфеле для каждой акции (рис. 7):

Рисунок 7. Результат применения инструмента «Поиск решения»

Таким образом, вес каждой акции в оптимальном портфеле, представлен на диаграмме (рис. 8).

Рис. 8. Диаграмма распределения веса каждой акции в портфеле

Риск всего портфеля будет составлять 0,56% при общей установленной заранее доходности портфеля в 0,25%.

Нахождение портфеля с максимальной полезностью.

Экономико-математическая модель третьей задачи с заданным допустимым коэффициентом неприятия риска равный 10.

После применения тех же этапов решения задачи, что и предыдущих задачах, получим доли в инвестиционном портфеле для каждой акции (рис. 9):

Рисунок 9. Результат применения инструмента «Поискрешения».

Таким образом, вес каждой акции в оптимальном портфеле, представлен на диаграмме (рис. 10).

Рисунок 10. Диаграмма распределения веса каждой акции в портфеле.

Полезность всего портфеля будет составлять 0,101 при общем установленном заранее коэффициенте неприятия риска в 10 единиц.

Таким образом, использование инструмента «Поиск решений» позволяет достаточно просто и быстро решить достаточно сложные математически задачи оптимизации в плане нахождения оптимальных портфелей.

Список литературы

1. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.В. Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений (формулы, факты, примеры, задачи и тесты). Часть

2. Учебное пособие. - М.: Финансовый университет, 2014. - 152 с.

3. Кузина Н.В. Классические задачи прикладной математики в экономике / Калужский экономический вестник. Научный журнал. - Калуга: КФ Финуниверситета, 2016. - №4. - с. 7577

4. Кузина Н.В. Задачи оптимизации в экономике / Калужский экономический вестник. Научный журнал. - Калуга: КФ Финуниверситета, 2017. - №2. - с. 66-68

Размещено на Allbest.ru