Замечательные пределы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Анализ научной литературы по проблеме исследования

1.1 Первый замечательный предел

1.2 Второй замечательный предел

Глава 2. Решение задач на замечательные пределы

2.1 Задачи и их решение с помощью первого замечательного предела

2.2 Задачи и их решения с помощью второго замечательного предела

2.3 Применение замечательных пределов в финансово-экономических задачах

Заключение

Список литературы

Введение

Понятие замечательного предела - это термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела. Замечательные пределы имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Актуальность данной проблемы бесспорна, так как замечательные пределы являются настоящей теорией, законченной, доступной, ясной и требует особого отношения к себе.

Объект - замечательные пределы.

Предмет - особенности изучения замечательных пределов.

Цель: изучение теории замечательных пределов и возможное её применение в решении задач в курсе математического анализа.

Для достижения поставленной цели решить следующие задачи:

1.Проанализировать литературу по темам «замечательные пределы».

2.Рассмотреть первый и второй замечательный предел.

3.Научиться решать задачи с помощью замечательных пределов.

Методы исследования: теоретический анализ литературы, практическое решение задач с помощью замечательного предела.

Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Во введении доказана актуальность темы, определили объект, предмет, цель и задачи исследования, указаны методы наyчно - педагогического исследования.

В главе 1 «Замечательные пределы» раскрыты понятия первого и второго замечательного предела и их следствия.

В главе 2 «Замечательные пределы» приводятся примеры решения задач с помощью первого и второго замечательного предела, я так же рассматриваются применение замечательного предела в финансово-экономических задачах.

В заключении представлены обобщенные выводы по всей работе.

Глава 1. Анализ научной литературы по проблеме исследования

1.1 Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечной малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю.

Первый замечательный предел имеет вид:

Непосредственное вычисления этого предела приводит к неопределенности вида 0/0.

Доказательство:

Из геометрических соображений имеем . Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим

или

Разделив обе части неравенства на sin x >0, получим при условии что х>0

, или .

Так как функция y=cos x непрерывна, то .

Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно .

Замечание:

Если x<0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними [4].

Следствия из первого замечательного предела:

1.

=

2.

3.

4. [1].

1.2 Второй замечательный предел

Второй замечательный предел призван помогать избавляться от неопределенности вида 1^? и выглядит он так:

Вместо x может стоять целая функция, главное, чтобы она стремилась к бесконечности.

Доказательство:

Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство . В том случае имеем n>? следовательно x>?. По свойству для неравенств имеем .

Прибавим ко всем частям неравенств единицу:

По свойству степеней имеем:

Так как

и

, то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

, что и требовалось доказать. Для отрицательного x доказательство аналогично [4].

Следствия из второго замечательного предела:

1.

Доказательство:

2.

Доказательство:

3.

Доказательство:

4.

Доказательство:

=1

5.

Доказательство:

 [8].

Глава 2. Решение задач на замечательные пределы

2.1 Задачи и их решение с помощью первого замечательного предела

Пример 1.

Вычислить предел:

Решение:

Подставляя в заданное выражение значение x=0, получаем неопределенность [0/0]. Тогда, по следствию из первого замечательного предела:

Получим

Ответ: [6].

Пример 2.

Найти предел

Решение:

Подставляя в исходное выражение значение x=0, получаем неопределенность [0/0]. Преобразуем выражение, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом. Для этого запишем tg x как , получим:

По свойствам пределов константу можно вынести за знак предела, а предел произведения заменить произведением пределов (если последние существуют):

Первый предел в последнем выражении есть первый замечательный предел, и он равен , а во второй подставим значение x=0:

Ответ: [6].

Пример 3.

Найти предел

Решение:

При x=0, данное выражение представляет собой неопределенность [0/0]. Преобразуем знаменатель заданного выражения, используя основное тригонометрическое тождество:

Далее распишем полученную в знаменателе разность квадратов

По свойству пределов, предел произведения заменим произведением пределов:

Первый множитель представляет собой следствие из первого замечательного предела:

А во второй предел подставим значение x=0

Ответ: [12].

Пример 4.

Найти предел

Решение:

Подстановка вместо x нуля приводит к неопределенности:

В знаменателе - синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:

В знаменателе - , а в числителе всего лишь один x, значит, нужно получить, и в числителе, а, когда тройки сократятся, получится первый замечательный предел в чистом виде. Умножаем на три и тут же делим и далее решаем:

Ответ: [12].

Пример 5.

Найти предел

Решение:

Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим:

Ответ: [14].

Пример 6.

Найти предел:

Решение:

Ответ: [14].

Пример 7.

Найти предел:

Решение:

Так как (при и , то мы имеем дело с неопределённостью вида 0/0. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (чтобы потом применить формулу или тангенсам, чтобы применить формулу

)

Сделать это можно таким преобразованием:



Так как , то

Вернёмся к пределу:

.

Рассмотрим дробь :

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Ответ: [17].

Пример 8.

Найти предел:

Решение:

Перед тем, как переходить к ее раскрытию неопределенности 0/0, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю. Проще всего ввести переменную: . Так как , то :

.

Ответ: [17].

Пример 9.

Найти предел

Решение:

Подставим ноль в числитель и знаменатель

.

Получена неопределённость вида 0/0 (косинус нуля равен единице)

Используем тригонометрическую формулу

Постоянные множители вынесем за знак предела



Приводим к первому замечательному пределу

При этом оставшийся синус стремится к нулю.

Ответ: [17].

2.2 Задачи и их решение с помощью второго замечательного предела

Пример 1.

Вычислить предел:

Решение:

Имеем неопределенность 1^? ,значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на x ,и получим:

По следствию из второго замечательного предела, что

подставляя это значение в предел, будем иметь, что

Ответ: [2].

Пример 2.

Найти предел

Решение:

Представим числитель в виде суммы:

затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:



Получили неопределенность и 1^? она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на (x+1):

По следствию из второго замечательного предела выражение

выделим его, в рассматриваем пределе:

Ответ: [2].

Пример 3.

Найти предел

Решение:

Выпишем выражение в круглых скобках и найдем его предел при, то есть .

Выполним преобразования над дробью .

.

Теперь выполним эквивалентные преобразования над функцией, стоящей за знаком предела:

Ответ: [6].

Пример 4.

Вычислить предел

Решение:

Тогда заданный предел будет равен:

Так как есть величина меньшая единицы, в бесконечной степени она не является неопределенностью и её предел равен нулю.

Ответ: [6].

Пример 5.

Вычислить предел

Решение:

Тогда предел всего выражения равен:

Так как , а число большее единицы в бесконечной степени стремится к бесконечности.

Ответ: [6].

Пример 6.

Найти предел

Решение:

Выражение, стоящее в основании степени, то есть , стремится при условии , то есть . Для показателя степени, то есть , получаем . Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида , которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле переменная стремится к бесконечности. Чтобы найти предел введем новую переменную. Проще всего новую переменную ввести так . Так как , то , то есть . Подставляя в рассматриваемый пример, и учитывая , получим:

Применим формулу .(1) Выражение в основании степени в этой формуле, то есть , соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, то есть (выражение играет роль . Формула (1) предполагает, что показатель степени будет иметь вид , то есть в этом случае в показателе степени следует получить . Домножим показатель степени на выражение . Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, то есть на выражение :

Ответ: [6].

Пример 7.

Найти предел

Решение:

Сделаем замену переменной, полагая что . Тогда очевидно, что при . Поэтому

Ответ: [3].

Пример 8.

Найти предел

Решение:

Положим, что . Тогда при и . Следовательно,

Ответ: [3].

Пример 9.

Найти предел

Решение:

Для нахождения предела преобразуем данную дробь .

Но (по 6 примеру). Поэтому

В частности при .

Ответ: [2].

2.3 Применение замечательных пределов в финансово-экономических задачах

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, экономики, физики, биологии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п. [5].

Рассмотрим задачи:

Задача 1.

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Решение:

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину , т. е.

.

На практике значительно чаще применяют сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одно и тоже число раз, т.е

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а раз, то при том же ежегодном приросте процент начисления за -ю часть года составит , а размер вклада за лет при начислениях составит:

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день , каждый час и т.д., непрерывно . Тогда размер вклада за t лет составит

или с учётом второго замечательного предела при

Полученная формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста вкладов (при ) или убывания (при ). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов [14].

Задача 2.

Первоначальный вклад, положенный в банк под годовых, составил 1 тыс. руб. Определить вклад через 20 лет, при начислении процентов: а) ежегодном; б) поквартальном; в) непрерывном.

Решение:

а). Денежный вклад через 20 лет при ежегодном начислении процентов составит:

б). Денежный вклад через 20 лет при поквартальном начислении процентов составит:

в). Денежный вклад через 20 лет при непрерывном начислении процентов составит:

По результатам вычислений можно установить, что при непрерывном начислении процентов на вклад денежный прирост будет больший, чем при других видах начислений [14].

Заключение

В работе мы изучили основные теоретические сведения о замечательных пределах, привели примеры задач на вычисление и применение пределов. Теоретическая часть рассматривается через два определения замечательного предела и их обоснование. В теоретической части также были рассмотрены следствия из первого и второго замечательного предела. Также в данной теме была рассмотрена тема «Решение задач на замечательные пределы».

В практической части применены полученные знания теории замечательных пределов к решению задач. А именно: были решены примеры с использованием тригонометрических и показательных функций, а также финансово-экономические задачи с применением замечательного предела. В данной курсовой работе изyчена очень важная и актуальная на сегодняшний день тема, так как два замечательных предела очень часто помогают в решении задач разного уровня сложности по высшей математике.

Таким образом, цель и задачи данного курсового исследования были достигнуты.

замечательный предел неопределенность экономический

Список литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988. - 431 с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1987.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Высшая математика (задачник). М. Высшая школа, 1993.

4. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.К.: Математический анализ. М. Просвещение, 1973.

5. Выгодский М.Я.: Справочник по высшей математике. М. Просвещение, 2002.

6. Демидович Б.П.: Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Высшая школа, 1986.

7. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 408 с

8. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. - 208 c.

9. И.В. Пивоварова, Л.Я. Дубинина, Л.С. Никулина. Сборник задач по высшей математике - Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002

10.Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 c.

Размещено на Allbest.ru