Основы теории управления

Теория автоматического управления - это наука об общих принципах построения и расчета систем, выполняющих свои функции без непосредственного участия человека.

Классификация производится по признакам.

1.1 Классификация по принципу управления

1.1.1 Принцип разомкнутого управления

На рисунке 1.1 изображена функциональная схема системы.

Рисунок 1.1 - Функциональная схема системы

На рисунке 1.1 введены следующие обозначения:

ОУ - объект управления;

БЗ - блок задания;

БУП - блок усиления и преобразования;

УМ - усилитель мощности;

Y - выходная регулируемая координата ОУ;

V - входной сигнал;

U - управляющее воздействие.;

Z - возмущающее воздействие.

На рисунке 1.2 изображена упрощенная модель ОУ.

Рисунок 1.2 - Упрошенная модель ОУ

На рисунке 1.2 введены следующие обозначения:

КУ - канал управления, т.е. канал влияния U на Y;

КВ - канал возмущения, т.е. канал, через который Z изменяет Y от заданного, предписанного значения;

ЗС - звено суммирования.

Модель описывается следующим уравнением:

Y = Y1 - Y2 = KUU - KZZ = K1K2KUV - KZZ, (1.1)

где K1, K2, KU, KZ - передаточные коэффициенты.

При Z=0 можно записать предписанное значение выходной координаты как:

Y = K1K2KUV. (1.2)

Достоинство - простота системы.

Недостатком является низкая точность поддержания требуемого значения Y.

1.1.2 Принцип управления по возмущению

На рисунке 1.3 изображена функциональная схема системы .

Рисунок 1.3 - Функциональная схема системы

На рисунке 1.3 введены следующие обозначения:

БИП - блок измерения и преобразования;

Z1 - основное возмущающее воздействие, которое можно измерить;

Z2, Z3 - возмущающие воздействия, которые не поддается измерению.

Пусть ОУ описывается уравнением:

Y = KUU - KZZ1, (1.3)

Пусть требуется найти алгоритм управления, позволяющий исключить влияние Z1 на Y.

На основе формулы 1.2 и 1.3 можно записать:

KUU - KZZ1 = K1K2KUV.

Тогда алгоритм управления можно записать в виде:

U = K1K2V + (KZ / KU)Z1. (1.4)

Достоинство - возможность компенсации влияния на Y измеряемого основного возмущающего сигнала;

Поскольку все возмущающие сигналы измерить невозможно, то требуемое значение Y в системе поддерживается с низкой точностью.

1.1.3 Принцип управления по отклонению с созданием замкнутой системы

На рисунке 1.4 изображена функциональная схема системы.

Рисунок 1.4 - Функциональная схема системы

Достоинство - высокая точность поддержания требуемого значения Y;

Однако появляются проблема устойчивости.

1.1.4 Комбинированный принцип

На рисунке 1.5 изображена функциональная схема системы.

Рисунок 1.5 - Функциональная схема системы

1.2 Классификация по характеру изменения выходной координаты

1) Системы автоматической стабилизации Y (V = const).

2) Системы программного управления (V изменяется программно).

3) Следящие системы (V изменяется случайно).

1.3 Классификация по степени участия человека в управлении

1) Системы автоматического управления (САУ).

2) Системы автоматизированного управления.

Системы автоматизированного управления включают следующие компоненты:

1) АСУП - автоматизированные системы управления производством промышленных продуктов.

2) АСУЦ - автоматизированные системы управления цехом.

3) АСУТП - автоматизированные системы управления технологическими процессами (управления группой оборудования).

2 Математическое описание систем

2.1 Стандартные входные воздействия

1) Единичное ступенчатое воздействие.

(2.1)

График функции приведен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - График функции V=1(t)

Изображение Лапласа функции 1(t):

(2.2)

2) Единичное импульсное воздействие.

(2.3)

(2.4)

Пусть д1 = 100, тогда Дt = 0,01.

Формула (2.4) может использоваться при реализации функции д(t), (см. рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - График функции д(t)

. (2.5)

3) Гармонический сигнал.

V = cos(щt), (2.6)

где ;

fk, Tk - частота и период колебаний соответственно.

2.2 Линеаризация систем

Процесс преобразования нелинейного уравнения в линейное, называют линеаризацией.

Пусть рассматриваемая система содержит нелинейный элемент, имеющий статическую характеристику вида:

. (2.7)

В точке, соответствующей основному установившемуся рабочему режиму системы, нелинейная характеристика может быть разложена в ряд Тейлора:

(2.8)

Поскольку в системах автоматической стабилизации Дx мало, то в правой части (2.7) можно ограничиться двумя слагаемыми.

Поскольку:

то окончательно можно записать уравнение:

(2.9)

Таким образом, при малых Дx в окрестности рабочей точки нелинейный элемент заменяется линейным с передаточным коэффициентом k. Такую линеаризацию называют линеаризацией методом касательных.

В дальнейшем будет рассматриваться уравнение:

(2.10)

не забывая при этом о проведенной линеаризации.

2.3 Частотные характеристики

Передаточной функцией звена или системы называют отношение изображения Лапласа выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях.

Пусть найдена передаточная функция звена.

(2.11)

На сновании (2.10) можно записать изображение выходного сигнала.

(2.12)

Структурная схема звена приведена на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Структурная схема звена

При можно записать частотную передаточную функцию в виде:

(2.13)

где , - действительная и мнимая части соответственно.

- амплитудочастотная функция;

- фазочастотная функция.

График зависимости называют амплитудофазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Тогда схема звена приведена на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Схема звена

Поскольку:

, (2.14)

то можно сделать вывод, что - это передаточный коэффициент звена, зависящий от частоты щ.

удобно строить в логарифмических координатах. За единицу измерения принят 1 Белл - это единица измерения , где - коэффициент усиления мощности сигнала.

(2.15)

График зависимости называется логарифмической амплитудочастотной характеристикой (ЛЧХ).

График зависимости называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Декадой (дек) называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз.

Структурная схема - это графический способ записи операторных уравнений.

Операторное уравнение - это уравнение, записанное в изображении переменных по Лапласу.

3 Элементарные типовые звенья систем управления

управление разомкнутый координата стабилизация

3.1 Пропорциональное безынерционное звено

1) Уравнение процессов в звене:

, (3.1)

где k - передаточный коэффициент звена, k=const.

2) Операторное уравнение:

. (3.2)

Передаточная функция звена:

. (3.3)

3) Переходная функция - это реакция звена на единичное ступенчатое воздействие.

Переходная функция звена (см. рисунок 3.1) имеет вид:

Рисунок 3.1 - Переходная функция пропорционального безынертного звена

4) АФЧХ звена.

Частотная передаточная функция звена:

, (3.4)

где , , , .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) звена приведена на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 - АФЧХ звена

5) Логарифмические частотные характеристики звена.

, (3.5)

.

Пусть , тогда:

.

Логарифмические частотные характеристики звена приведены на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Логарифмические частотные характеристики звена

3.2 Интегрирующее звено

1) Уравнение процессов в звене:

(3.6)

2) Операторное уравнение процессов звена:

(3.7)

Передаточная функция звена:

(3.8)

3) Переходная функция звена.

(3.9)

Переходная характеристика звена приведена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - Переходная характеристика интегрирующего звена

4) АФЧХ звена.

(3.10)

На рисунке 3.5 приведена ФАЧХ звена.

Рисунок 3.5 - АФЧХ интегрирующего звена

5) Логарифмические частотные характеристики звена.

(3.11)

. (3.12)

Уравнение (3.11) является уравнением прямой линии с наклоном:

(3.13)

Пусть k=10 - координаты точки, через которую пройдет ЛАХ звена.

На рисунке 3.6 приведена логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) интегрирующего звена.

Рисунок 3.6 - ЛЧХ интегрирующего звена

3.3 Пропорциональное инерционное звено первого порядка.

1) Уравнение процессов в звене:

, (3.14)

где Т - постоянная времени звена.

2) Передаточная функция звена:

. (3.15)

3) Переходная функция звена.

На основе (3.15) можно записать изображение выходного сигнала:

.

.

Поскольку , то переходная функция звена имеет вид:

. (3.16)

4) АФЧХ звена.

Частотная передаточная функция звена:

;

;

; (3.17)

.

АФЧХ звена приведена на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 - АФЧХ пропорционального интегрирующего звена первого порядка

Частота сопряжения звена:

. (3.18)

5) Логарифмические частотные характеристики звена.

Логарифмическая амплитудочастотная функция звена может быть заменена асимптотической характеристикой вида:

(3.19)

Логарифмическая амплитудочастоная характеристика (ЛАХ) состоит из двух линейных участков.

Расчет наклона характеристики на втором участке:

Пусть k=100; Т=0,1с;

ЛЧХ звена приведена на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8 - ЛЧХ пропорционального инерционного звена первого порядка

3.4 Дифференцирующее звено

1) Уравнение процессов в звене:

(3.20)

2) Операторное уравнение звена:

;

;

. (3.21)

Частотная передаточная функция звена может быть записана в виде:

АФЧХ дифференцированного звена приведена на рисунке 3.9.

Рисунок 3.9 - АФЧХ дифференцирующего звена

3) Логарифмические частотные характеристики звена:

(3.22)

Пусть Т=0,1с, тогда (3.27) соответствует уравнению прямой линии с наклоном:

.

Первая точка имеет координаты:

ЛЧХ дифференцированного звена приведена на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 - ЛЧХ дифференцирующего звена

3.5 Форсирующее звено первого порядка

1) Уравнение процессов в звене:

(3.23)

2) Операторное уравнение звена:

.

.

Передаточная функция звена:

(3.24)

3) Частотная передаточная функция звена:

При частотная передаточная функция звена имеет вид:

(3.25)

4) Логарифмические частотные характеристики звена.

Логарифмические асимптотические амплитудочастотные характеристики звена:

(3.26)

Пусть k=1;

Т=0,1с;

.

ЛЧХ форсирующего звена первого порядка приведена на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11 - ЛЧХ форсирующего звена первого порядка

3.6 Пропорциональное инерционное звено второго порядка

1) Уравнение процессов в звене:

(3.27)

2) Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена имеет вид:

(3.28)

Структурная схема звена приведена на рисунке 3.12.

Рисунок 3.12 - Структурная схема звена

Характеристическое уравнение звена имеет вид:

(3.29)

Уравнение (3.29) имеет действительные корни при условии:

(3.30)

т. е. при .

При выполнении условия (3.30) рассматриваемой звено может быть представлено двумя пропорциональными звеньями первого порядка:

(3.31)

Приравнивая правые части (3.285) и (3.31), можно записать следующие уравнения:

(3.32)

4. Построение и преобразование структурных схем

4.1 Последовательное соединение звеньев

Пусть дана структурная схема системы вида (см. рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 - Структурная схема последовательно соединенных звеньев

Путем структурных преобразований требуется найти общую передаточную функцию схемы .

На основе структурной схемы можно записать следующее уравнение:

(4.1)

Исключая промежуточные переменные, окончательно можно записать изображение выходного сигнала в виде:

Поскольку , то окончательно можно записать:

(4.2)

Если последовательно соединены n элементов, то расчетная формула имеет следующий вид:

(4.3)

4.2 Параллельное соединение звеньев

Пусть на рисунке 4.2 приведена структурная схема трех параллельно соединенных звеньев.

Рисунок 4.2 - Структурная схема параллельно соединенных звеньев

По структурной схеме можно записать изображение выходного сигнала вида:

Тогда передаточная функция определяется по формуле:

. (4.4)

4.3 Звено, охваченное обратной связью

Пусть на рисунке 4.3 приведена структурная схема звена, охваченного обратной связью.

Рисунок 4.3 - Структурная схема замкнутой системы

На рисунке 4.3 приведены следующие обозначения:

- передаточная функция звеньев прямой цепи;

- передаточная функция звеньев обратной связи;

- изображение ошибки регулирования.

На основе рисунка можно сделать вывести уравнение:

(4.5)

Исключая в системе уравнений (4.5) промежуточную переменную , можно записать уравнение вида:

где верхний знак соответствует «-» ОС, а нижний знак соответствует «+» ОС.

Таким образом, передаточная функция замкнутой системы рассчитывается по формуле:

(4.6)

где - передаточная функция разомкнутой системы:

4.4 Перенос звена суммирования

Пусть на рисунке 4.4 приведена исходная структурная схема системы.

Рисунок 4.4 - Исходная структурная схема системы

На основе рисунка 4.4 можно записать следующие уравнения:

,

Тогда, исключая промежуточный цикл , окончательно можно записать:

(4.7)

На рисунке 4.5 приведена схема переноса ЗС по ходу сигнала.

Рисунок 4.5 - Преобразованная структурная схема (перенос ЗС по ходу сигнала)

На рисунке 4.6 приведена схема переноса ЗС против хода сигнала.

Рисунок 4.6 - Преобразованная структурная схема (перенос ЗС против хода сигнала)

4.5 Перенос узла

Пусть на рисунке 4.7 приведена исходная структурная схема.

Рисунок 4.7 - Исходная структурная схема системы

Пусть сигнал изменить невозможно. Преобразованные структурные схемы приведены на рисунках 4.8 и 4.9

Рисунок 4.8 - Преобразование структурной схемы (перенос узла) по ходу сигнала

Схема переноса узла против хода сигнала приведена на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9 - Преобразование структурной схемы (перенос узла) против хода сигнала

4.5 Передаточная функция системы по управляющему и возмущающему воздействию

Пусть требуется найти реакцию системы на несколько однозначно действующих сигналов (см. рисунок 4.10).

Рисунок 4.10 - Структурная схема системы

При исследовании линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих сигналов равна сумме реакций системы на каждый сигнал в отдельности.

1) При =0 на основе рисунка 4.10 можно записать передаточную функцию системы по управляющему воздействию:

(4.8)

где

Тогда на основе формулы (4.8) можно записать изображение выходного сигнала в виде:

(4.9)

2) При V(p)=0 можно построить структурную схему (см. рисунок 4.11):

Рисунок 4.11 - Преобразования структурной схемы системы

На основе рисунка 4.11 можно записать переходную функции по возмущающему воздействию:

(4.10)

И изображение выходного сигнала:

(4.11)

Используя принцип суперпозиции на основе формул (4.9) и (4.11) можно записать изображение выходного сигнала системы:

(4.12)

5. Расчет системы автоматической стабилизации заданного значения выходной координаты

5.1 Построение структурной схемы системы

Пусть даны уравнения процессов в исходной системе:

(5.1)

где - выходная регулируемая координата системы;

V - входной сигнал, являющийся заданным значением y;

Z - возмущающее воздействие;

, , , - координаты состояния системы;

, - передаточный коэффициенты решающего блока и обратной связи системы;

, , , - передаточные коэффициенты;

, , - постоянные времени, рассчитываемые в секундах.

Первые два уравнения в (5.1) описывают объект управления. Третье уравнение в (5.1) соответствует усилителю мощности. Четверное уравнение описывает решающий блок. Пятое уравнение - уравнение замыкания системы. В задании на контрольную работу, аналогично структуре таблицы 1.1, приведена полная таблица вариантов.

Таблица 1.1 - Параметры звеньев исходной системы

На рисунках 5.1 и 5.2 приведены схема системы во временной форме и детализированная схема исходной системы, построенные на основе уравнений (5.1).

Рисунок 5.1 - Схема системы во временной форме

Рисунок 5.2 - Структурная схема исходной системы

Поскольку для контура I можно записать;

,

то для участка I окончательно можно записать передаточную функцию:

(5.2)

Для участка II можно записать передаточную функцию:

(5.3)

Аналогично, для участка III можно записать передаточную функцию:

(5.4)

Для определения передаточной функции ОУ необходимо звено суммирования (ЗС) перенести против входа сигнала. На рисунке 5.3 приведена преобразованная структурная схема системы.

Рисунок 5.3 - Преобразованная структурная схема ОУ

При Z(p)=0 передаточная функция объекта управления по управляющему сигналу X3(p) имеет вид:

(5.5)

На основе (5.5) можно записать характеристическое уравнение ОУ:

(5.6)

При исходных данных, приведенный в таблице 1.1 можно записать следующее:

(5.7)

Поскольку уравнение (5.7) имеет действительные корни, то ОУ может быть представлен последовательным соединением двух пропорциональных инерционных звеньев первого порядка (смотри рисунок 5.4).

Рисунок 5.4 - Структурная схема ОУ по управляющему воздействию

Использую рисунок 5.4 можно записать следующую передаточную функцию:

(5.8)

Использую рисунок 5.4 и формулу (5.8) можно записать следующую систему уравнений:

(5.9)

На основе (5.9) с учетом исходных данных таблицы 1.1 можно записать следующее:

(5.10)

Таким образом, окончательно ОУ имеет следующие корни:

На основе рисунка 5.4 можно записать изменение выходного сигнала.

(5.11)

При на основе рисунков 5.3 и 5.4 можно записать передаточную функцию ОУ по возмущающему действию.

(5.12)

где - передаточный коэффициент объекта по возмущающему воздействию.

. (5.13)

С учетом правила суперпозиции на основе 5.11 и 5.12 окончательно можно записать:

Таким образом, можно окончательно построить структурную схему исходной системы (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5 - Структурная схема исходной системы

5.2 Передаточная функция исходной системы по управляющему и возмущающему воздействию

При на основе рисунка 5.5 можно записать передаточную функцию исходной системы по управляющему воздействию:

(5.14)

где .

На основе (5.14) можно записать изображение выходного сигнала исходной системы:

(5.15)

При V(p)=0 передаточная функция исходной системы по возмущающему воздействию имеет вид:

(5.16)

Изображение выходного сигнала полученного на основе (5.16) имеет вид:

(5.17)

С учетом принципа суперпозиции на основе формул (5.15) и (5.17) можно записать изображение выходного сигнала:

(5.18)

5.3 Анализ устойчивости исходной системы по критерию Гурвица

Используя формулы (5.14) и (5.15) можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы:

(5.19)

Используя исходные данные таблицы 1.1, на основе критерия Гурвица можно сделать вывод об устойчивости системы. Поскольку рассмотренная система является неустойчивой, то и выполняется следующее неравенство:

6. Статический расчет системы автоматической стабилизации заданного значения выходной координаты

Исходная система в разомкнутом состоянии:

.

1) При этом .

Используя теорему о предельном значении на основе (5.18) можно записать в установившееся решение:

(6.1)

где - заданное значение выходной координаты разомкнутой системы;

- величина, на которую уменьшается выходная координата разомкнутой системы при действии возмущения.

Пусть

тогда (см. рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 - Статическая характеристика разомкнутой системы

В соответствии с заданием на проектирование, требуемая точность стабилизации выходной координаты составляет величину .

Поскольку выполняется условие:

, (6.2)

то разомкнутая система должна быть заменена замкнутой системой автоматической стабилизации заданного значения выходной координаты.

2) Исходная система в замкнутом состоянии.

На основе (5.18) можно записать уравнение статики замкнутой системы:

(6.3)

где

В соответствии с заданием на проектирование можно записать следующее:

или

(6.4)

Используя знак равенства (6.4) окончательно можно записать расчетную формулу требуемого значения передаточного коэффициента разомкнутой системы:

(6.5)

Поскольку - выполняется, то расчет требуемого значения передаточного коэффициента РБ проводится по следующей формуле:

(6.6)

Размещено на Allbest.ru