(1)

Будем искать асимптотическое бесконечно узкое - солитонное решение уравнений с точностью Для построения решения подставим в (1) гладкий анзац вида

где

являются гладкими аппроксимациями асимптотических распределений и , соответственно.

Здесь функция достаточно быстро убывает при ,

а является приближением функции Хэвисайда.

В решении данной задачи будем использовать метод слабой асимптотики, позволяющий описать динамику солитонов в уравнениях с малой дисперсией.

Запишем дисперсионный член второго уравнения в виде

Возведем в квадрат и в куб (1.2) до тех членов, асимптотика которых имеет порядок

Для определим:

где

Таким образом

Рассуждая подобным образом мы находим

Где

Найдем асимптотику члена

(3)

Продифференцировав (1.2) по имеем

Продолжая находить асимптотику в (1.3), в итоге получим,

Где

Вычислим теперь слабую асимптотику степеней функции

После подстановок в эти выражения мы получим

Полагая выражения равными нулю при коэффициентах , мы получаем необходимые и достаточные условия для правой части уравнения порядка

= 0,

: = 0,

=

= 0,: = 0.

Из второго и третьего уравнения системы вытекает уравнение для скачка амплитуды небольшой ударной волны:

Полагая выражения равными нулю при коэффициентах , мы получаем необходимые и достаточные условия для правой части уравнения порядка

= 0,

= 0,

= 0,

= 0

Функции и являются гладкими, по этой причине, первое и последнее уравнения систем эквиваленты. Из третьих уравнений систем следует, что Данные соотношения подразумевают следующий вывод в виде теоремы, определяющий динамику поведения одного деформированного солитона в уравнении Кортевега-де-Фриза.

Теорема: Предположим, что для существует гладкое решение уравнения Хопфа с гладким начальным условием Тогда уравнение Кортевега-де-Фриза на замкнутом интервале с точностью до имеет бесконечно узкое д-солитонное решение

тогда и только тогда, когда гладкие функции удовлетворяют системе уравнений

2. Построение асимптотического солитонного решения методом уизема

Продемонстрируем еще один метод построения асимптотических солитонообразных решений на примере изложенного ранее уравнения Кортевега-де-Фриза

(2.1)

где - малый параметр, характеризующий величину дисперсии. Асимптотическое решение с точностью уравнения (2.1) имеет следующий вид

 (2.1)

где - подлежащие определению функции.

«Гладккий фон», по которому распространяется волна, описывает регулярное разложение представимое в виде

Перейдем к определению коэффициентов разложения (2.2). Для этого в уравнение Кортевега-де-Фриза подставим (2.2) и сгруппируем при одинаковых степенях Учитывая тождества

в итоге получим соотношение

Здесь в частности,

и дифференцирование проводится так, как будто являются независимыми переменными.

Рассмотрим первое выражение в фигурных скобках

-е слагаемое имеет величину Используя равенство , мы можем последнее соотношение переписать в виде

Здесь и ниже будем использовать соотношение

Проводя аналогичное преобразование выражения перепишем соотношение в виде

(2.3)

Ясно, что для выполнения этого соотношения при всех и необходимо, чтобы выражение, стоящее в первых фигурных скобках, равнялось нулю. Это приводит к уравнению

После интегрирования по получаем

(2.4)

поскольку «постоянная» интегрирования равна нулю в силу условия Теперь, решая обыкновенное уравнение (2.4), находим

где - “постоянная” интегрирования, а амлитуда связана со скоростью волны и величиной фона на фронте соотношением

(2.5)

Так как и экспоненциально убывают вне малой окрестности фронта, то для равномерного по выполнения (2.3) с точностью необходимо Это условие и явный вид (2.3) функции приводит к уравнению

(2.6)

Решение уравнения первого порядка находится с помощью метода характеристик. Для уравнения Хопфа (2.6), дополненного начальным условием

(2.7)

этот метод приводит к характеристическим уравнениям

Отсюда - значение функции на характеристике

где - параметр. Разрешая уравнение

 (2.8)

относительно , получаем решение задачи Коши (2.6), (2.7)

(2.9)

где - решение (2.8). Ясно, что решение (2.9) существует только при условии невырожденности якобиана

(2.10)

Мы будем предполагать, что уравнение Хопфа (2.6) имеет гладкое решение при и

Теперь все слагаемые во второй фигурной скобке (2.3) принадлежат S, и мы можем разложить их по формуле Тейлора в точке

Воспользовавшись равенством , преобразуем (2.3) к следующему виду

Здесь использовались равенство

обозначение и

Отсюда мы получаем уравнение

Проинтегрировав его с учетом и явного вида функции , получаем

(2.11)

где

где - «постоянная» интегрирования. Нетрудно установить, что одним из решений будет функция , а второе решение

асимптотический деформированный солитон уизем

экспоненциально возрастает при . Необходимым и достаточным условием разрешимости на классе стабилизирующихся функций на , является выполнение следующего равенства

Проводя несложные вычисления можно переписать равенство в виде

(2.12)

Далее вычислим полную производную функции В силу уравнений

имеем

Отсюда следует, что уравнение (2.12) можно легко проинтегрировать

,

где Е - константа.

Вернемся к рассмотрению уравнения

(2.13)

Ясно, что предположения влекут за собой Поэтому, устремляя к , мы находим «постоянную» Далее, рассматривая (1.18) при , получаем равенство

Теперь уравнение (2.11) позволяет найти значение функции на фронте

(2.14)

где - частное решение неоднородного уравнения, которое вычисляется по формуле

(2.15)

- «постоянная» интегрирования.

C помощью формулы (2.15) и явного вида нетрудно найти функцию в явном виде:

(2.16)

где и мы учли выполнение (2.12).

Перепишем в более удобной для нас форме

где ,

(2.17)

и мы использовали равенство

Поскольку и продолжение (2.13) вне фронта естественно искать в виде сглаженной ударной волны

(2.18)

где - подлежащая определению гладкая функция такая, что

(2.19)

Для определения сдвига и функции рассмотрим члены величины в левой части Так как и экспоненциально убывают при для выполнения с точностью необходимо, чтобы при Отсюда и из явного вида функции получаем уравнения

(2.20)

(2.21)

Линеаризованное уравнение Хопфа (2.20) рассматривается нами при всех и . Ясно, что существование гладкого решения уравнения Хопфа (1.11) влечет за собой существование гладкого решения (2.20), если

Далее, формула (2.18) при показывает, что гладкую функцию нам достаточно определить только в области , поскольку в полосе

,

при достаточно малом можно определить бесконечно дифференцируемое продолжение функции , а при слагаемое пренебрежимо мало. Поэтому уравнение (2.21) мы будем рассматривать в области , дополнив его граничным условием (2.19) и начальным условием

(2.22)

Такая задача является корректной, поскольку скорость движения фронта уединенной волны больше, чем скорость движения вдоль характеристик (2.8). Решение этой задачи также можно найти методом характеристик (2.8). Таким образом решение (2.21), (2.22) имеет вид

(2.23)

где - решение уравнения

В области, ограниченной кривыми и решение (2.21), (2.19) вычисляется по формуле

(2.24)

где - решение уравнения

- решение уравнения

Нетрудно убедиться, что условия (1.15) и являются достаточными для разрешимости указанных уравнений.

Теперь для построения продолжения в полосе можно воспользоваться формулой (2.23), выбирая точки лежащие в Легко видеть, что при достаточно малом такая процедура является корректной. Окончательно (2.17) и (2.23), (2.24), а также уравнение (2.20) определяют правую поправку в асимптотическом разложении (2.2) с точностью до «постоянной» интегрирования

Напомним, что сдвиг аргумента искаженной уединенной волны также пока не определен. Перейдем к определению Основной вопрос здесь - возможно ли выписать уравнение на , в которое не входили бы другие неизвестные функции. Другими словами, образуют ли условия типа Гюгонио для уединенных волн системы уравнений треугольного вида, или образуют, как для сглаженных ударных волн, бесконечные цепочки связанных уравнений.

Для ответа на этот вопрос рассмотрим члены величины в левой части После разложения по формуле Тейлора в точке и учета (2.20), (2.21), мы получаем уравнение для

 (2.25)

Где

При вычислении правой части (2.25) мы использовали (2.18), (2.20), (2.21) и равенство

Проинтегрировав по уравнение преобразуется к следующему виду

(2.26)

где

Рассмотрим условие

(2.27)

разрешимости в классе . Для упрощения последующих вычислений воспользуемся вспомогательным тождеством

(2.28)

которое легко можно получить, умножая

на и интегрируя по . C помощью (2.28) условие (2.26) легко может быть переписано в следующем виде

(2.29)

Явная формула для позволяет установить, что

Теперь, вычисляя интегралы от и , мы переписываем равенство (2.29) в виде

Для дальнейших преобразований надо воспользоваться надо воспользоваться условием Гюгонио и равенствами

Учитывая явный вид функции мы перейдем к дифференциальному уравнению

(2.30)

Где

и вычисляется по формуле (2.13).

Таким образом, условия типа Гюгонио для искаженных уединенных волн расщепляются: для нахождения траектории и амплитуды волны мы имеем уравнения,

а для определения «сдвига» - уравнения (2.30). При этом необходимо найти с точностью «гладкий» фон, т.е. функции и Отметим, что исключая из уравнений

амплитуду, уравнение для фазы может быть переписано в виде

(2.31)

Отсюда видно, что оператор, стоящий в левой части (2.30), является вариацией оператора из (2.31).

Построение следующих членов асимптотического решения (2.2) проводится по изложенной выше схеме: из (2.26), устремляя к находим предельное значение

(2.32)

Затем, с помощью формулы для вычисляем решение (2.26) с точностью до «постоянной» интегрирования , т.e.

и рассматривая члены величины в соотношении получаем уравнения

(2.33)

(2.34)

Уравнение (2.33) должно быть дополнено начальным условием при , а уравнение (2.34) - начальным условием при и граничным условием

Наконец, условие

разрешимости в уравнения

приводит к уравнению вида (1.40) для входящей в «постоянной» интегрирования

Теорема: Предположим, что для существует гладкое решение уравнения Хопфа с гладким начальным условием Тогда уравнение Кортевега-де-Фриза на замкнутом интервале с точностью до имеет бесконечно узкое д-солитонное решение

тогда и только тогда, когда гладкие функции удовлетворяют системе уравнений

3. Вывод уравнения для поправки траектории деформированного солитонного решения

Для построения уточненной системы уравнений включающей в себя поправку к траектории солитона мы модифицируем определение слабого асимптотического солитонного решения из статьи В.Г. Данилова и В.М. Шелковича.

Определение: Слабым асимптотическим беcконечно узким - солитонным решением уравнения КдФ с точностью будем называть функцию удовлетворяющую следующей системе

(3.1)

Как и в прошлой главе будем искать асимптотическое бесконечно узкое - солитонное решение уравнений, но только уже с точностью Для построения решения подставим в (1) гладкий анзац вида

(3.2)

где являются гладкими функциями и

являются гладкими аппроксимациями асимптотических распределений и , соответственно.

Здесь функция достаточно быстро убывает при ,

а является приближением функции Хэвисайда.

Теперь наша задача сведется к нахождению уравнения для первой поправки к траектории солитона.

Возведем в квадрат и в куб (3.2)

Продифференцировав по и по получим следующие выражения:

Будем находить слабую асимптотику функций. Покажем это на нескольких примерах

Выполним замену переменных

С учетом замены интеграл будет иметь следующий вид

Продолжая вычисления найдем слабую асимптотику функций

Выполнив замену переменных как в предыдущем интеграле, получим

Введем следующие обозначения

 =

=

=

=

=

=

Полагая выражения равными нулю при коэффициентах , мы получаем необходимые и достаточные условия для правой части уравнения порядка

= 0,

: = 0,

= 0,

: = 0.

Из второго и третьего уравнения системы вытекает уравнение для скачка амплитуды небольшой ударной волны:

Полагая выражения равными нулю при коэффициентах , мы получаем необходимые и достаточные условия для правой части уравнения порядка

= 0,

= 0,

= 0,

= 0,

: = 0,

= 0,

: = 0.

Теорема: Предположим, что для существует гладкое решение уравнения Хопфа с гладким начальным условием Тогда уравнение Кортевега-де-Фриза на замкнутом интервале с точностью до имеет бесконечно узкое слабое асимптотическое д-солитонное решение

тогда и только тогда, когда гладкие функции удовлетворяют системе уравнений

= 0,

= 0.

Заключение

В нашей работе мы исправили определение слабого асимптотического солитонного решения уравнения КдВ так, чтобы предельная задача включала в себя не только главную часть траектории, но и первую поправку. Как было сказано выше, такая предельная задача в рамках метода Маслова-Уизема была получена ранее. В работе такое уточнение определения слабого решения было дано. На основе этого уточнения была получена предельная задача, включающая в себя уравнения из предыдущей предельной задачи и новое уравнение для первой поправки к траектории солитона.

Список использованных источников