Геометрические преобразования

Размещено на http://allbest.ru

Содержание

Введение

1. Теоретическая справка

1.1 Преобразования пространства

1.2 Движения

1.3 Свойства движений

1.4 Виды движений

1.4.1 Параллельный перенос.

1.4.2 Осевая симметрия

1.4.3 Центральная симметрия

1.4.4 Поворот

2. Применение движений при решении задач

2.1 Задачи на доказательство

2.2 Задачи на вычисление

2.3 Задачи на построение

2.4 Задачи с практическим содержанием

Список литературы

Введение

Мотивом написания работы послужили впечатления от выставки гравюр Маурица Корнелиуса Эшера. Мне захотелось разобраться, что стоит за столь необычными образами художника. Я знала, что некоторые его рисунки - это двухмерный орнамент.

Прочитав книгу Карла Левитина «Геометрическая рапсодия», я узнала, что такой орнамент создается с помощью симметрии и других движений фигур, которые я рассматриваю в своей работе. Мы много знаем о симметрии в повседневной жизни: симметрично наше отражение в зеркале, и живые существа, и автомобили, дома, кристаллы.

Меня в большей степени заинтересовал вопрос практического применения движения (как в случае описания всех возможных видов орнаментов), то есть цель моей работы - познакомиться с методом движения. Я узнала, что, кроме орнаментов, движение используется в задачах на построение фигур с помощью циркуля и линейки, на доказательство и вычисления, построение графиков с помощью преобразований - все те же движения плоскости.

1. Теоретическая справка

1.1 Преобразования плоскости

Пусть дано некоторое правило, по которому для каждой точки A плоскости можно указать некоторую точку A'.

Рассмотрим на плоскости некоторую фигуру F, например, отрезок, кривую линию, треугольник, окружность и т. д. При заданном преобразовании каждая точка A фигуры F перейдет в новую точку A'. Геометрическое место всех преобразованных точек, получившихся из точек фигуры F в результате данного преобразования, образует некоторую фигуру F' . В этом случае говорят, что фигура F' получена преобразованием фигуры F .

Может случиться, что при рассматриваемом преобразовании некоторые точки и целые фигуры переходят сами в себя, т. е. остаются неизменными. Точки и фигуры, не меняющиеся при данном преобразовании, т. е. преобразующиеся сами в себя, называются неподвижными относительно данного преобразования.

Если при данном преобразовании разным точкам фигуры соответствует разные образы, то преобразование называют взаимно однозначным. В этом случае можно задать преобразование, обратное преобразование f'. Оно определяется так: если при данном преобразовании f точке Х сопоставляется точка Х', то при обратном преобразовании точке Х' сопоставляется точка Х.

1.2 Определение движения

Самыми важными являются такие преобразования фигур, при которых сохраняются все их геометрические свойства: расстояния между точками, углы, площади, параллельность отрезков и т. д.

Оказывается, для этого достаточно потребовать сохранения лишь расстояний между точками данной фигуры. Тогда у полученной фигуры сохраняются и все остальные геометрические свойства, поскольку они зависят только от расстояний.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Подробнее: фигура N получена движением фигуры M, если любым точкам X, Y фигуры M сопоставляются такие точки X', Y' фигуры N, что X'Y'=XY.

1.3 Свойства движений

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник.

Свойство 5. Движение сохраняет величины углов.

Свойство 6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Свойство 7. Движение обратимо. Преобразование, обратное движению, является движением.

1.4 Виды движений

1.4.1 Параллельный перенос

Преобразованием плоскости, при котором каждая точка перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор переноса.

Особые свойства переноса:

- параллельный перенос сохраняет направление;

- у параллельного переноса нет неподвижных точек.

1.4.2 Осевая симметрия

Возьмем на плоскости ось a. Для каждой точки A плоскости построим точку A' так, чтобы отрезок AA' был перпендикулярен к оси a и делился ею пополам. Такая точка A' называется симметричной точке A относительно оси a. Ясно, что если точка A' симметрична A, то A симметрична A' относительно той же оси a.

Преобразование плоскости, при котором каждая точка А преобразуется в симметричную ей относительно оси a точку А', называется преобразованием осевой симметрии или просто осевой симметрией.

Геометрическое место точек, симметричных точкам фигуры F относительно оси a, образует фигуру F', которая называется симметричной фигуре F относительно оси a.

Особые свойства осевой симметрии:

-прямые х и х', симметричные относительно оси а, либо пересекаются в точке, лежащей на оси а, образуя при этом равные угла с а, либо параллельны и равноудалены от оси а

-Множество неподвижных точек при осевой симметрии - прямая(ось симметрии).

1.4.3 Центральная симметрия

Возьмем на плоскости точку O, называемую центром. Для каждой точки A плоскости построим точкуA' - такую, что отрезок AA' проходит через центр O и делится им пополам.

Такая точка A' называется симметричной точке A относительно центра симметрии O.

Очевидно, что если точка A' симметрична точке A, то и наоборот, точка A симметрична точке A' относительно центра O.

Преобразование, переводящее каждую точку A плоскости в точку A', симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Геометрическое место точек, симметричных точкам фигуры F относительно центра O, образует фигуру F', которая называется симметричной фигуре F относительно центра O.

Особые свойства центральной симметрии:

-отрезки AB и A'B', симметричные относительно центра O, либо параллельны, либо лежат на одной прямой;

-прямые a и a', симметричные относительно центра O, либо параллельны, либо совпадают;

-центральная симметрия изменяет направление на противоположное.

1.4.4 Поворот

Пусть дана точка O. На окружности с центром O можно указать два направления обхода - по часовой стрелке и против нее. Этим задаются также два направления отсчета углов от идущих из точки O лучей - по часовой стрелке и против нее.

Поворот фигуры F вокруг центра O на данный угол (0 180) в данном направлении определяется так: каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых, X'OX= и, в-третьих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении.

Точка O называется центром поворота, а угол - углом поворота.

Особые свойства поворота:

-поворот преобразует прямую a в прямую a', образующую с данной прямой a угол, равный углу вращения;

-неподвижная точка поворота - его центр.

2. Применение движений при решении задач

Метод геометрических преобразований применяется при решении задач на доказательство, построение фигур с помощью циркуля и линейки, вычисление длин и углов. В ряде случаев он дает наиболее простые и изящные решения.

2.1 Задачи на доказательство

Рассмотрим задачу на доказательство из курса геометрии 8 класса.

ЗАДАЧА 1. Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Решение. Рассмотрим симметрию с осью СД. При этой симметрии окружность и прямая АВ переходят сами в себя, значит точки их пересечения переходят друг в друга, и отрезок АК переходит в отрезок КВ, следовательно, эти отрезки равны.

Предложенное решение нагляднее решения через равенство треугольников, не требует дополнительного построения.

ЗАДАЧА 2. Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

Решение: 1) Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырехугольнике из противоположных сторон сделать смежные.

2) Отобразим сторону АД относительно серединного перпендикуляра р к диагонали АС. Точка Д перейдет в Д', АД>СД', ДС>АД'.

3) S(АВСД) = S(АВСД') =S(ВАД') + S(ВСД') ? ЅАВ·АД' + ЅВC·СД' = Ѕ(АВ·СД+ВС·АД).

С помощью симметрии дается определение равных фигур и доказываются признаки равенства треугольников ( хотя в 7 классе не рассматривается строгое определение движений). Используя движения и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма.

2.2 Задачи на вычисление

В задачах на вычисление и построение удобно использовать движение для создания новых фигур, элементы которых равны заданным или искомым величинам. В следующей задаче, например, поворот «собирает» из отрезков треугольник.

ЗАДАЧА 3 В равностороннем треугольнике АВС внутри взята точка М так, что АМ=1, ВМ=, СМ=2. Найти сторону треугольника и углы АМВ, ВМС.

Решение. 1) Повернем ДАСМ вокруг точки С на 60° так, чтобы точка а перешла в точку В, тогда С>С, А>В, М>Д, то есть ДАСМ переходит в ДСДВ.

2) По определению поворота СМ=СД и угол МСД равен 60°, значит ДСМД - равносторонний (СМ=СД=ДМ).

3) ДВДМ по обратной теореме Пифагора прямоугольный (), тогда LМВД=90°, L1=30°( ВД=ЅМД), L2=60°.

4) Найдем нужные углы: LСМД=L1+60°, LАМВ=180°-30°=150°.

5) ДВМС - прямоугольный ( LСМВ=90°), тогда по теореме Пифагора найдем ВС:

ВСІ=СМІ+ВМІ=4+3=7, то есть ВС=.

Эту задачу можно решить без помощи поворота, используя, например, теорему косинусов. При этом решение не будет длиннее, но будет алгебраически значительно сложнее приведенного решения.

ЗАДАЧА 4. Диагонали четырехугольника АВСД перпендикулярны и равны. Найдите угол АВС, если АВ=1, ВС=.

Решение:1) Повернем отрезок СД на 90° вокруг точки В.

2) Получим: С>С', Д>Д', отрезок СД>С'Д', тогда ВД=ВД'(опред. поворота)=АС(усл),

ВД'||АС( как перпендикуляры к прямой ВД). Значит, АВД'С - параллелограмм и СД'=1.

3) Из ?ВС'С найдем угол ВСС'(45°), так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, и СС'=2. Из ДС'Д'С( прямоугольного по обратной теореме Пифагора) найдем угол С'СД'(60°).

4) LАВС=LВСД'=45°+60°=105°.

2.3 Задачи на построение

Воспользуемся методом создания новой фигуры при решении задач на построение. Я не буду приводить полное решение, а только анализ, так как моя цель - продемонстрировать применение движений.

ЗАДАЧА 5. Построить трапецию по четырем сторонам.

Анализ. Предположим, что заданная трапеция построена. Перенесем сторону СД на вектор СВ, тогда СД>ВМ. Теперь видно, что надо построить ?АВМ по трем сторонам: АВ=с, ВМ=d, АМ= в-а, потом полученный треугольник достроить до нужной трапеции.

ЗАДАЧА 6. Построить трапецию по основаниям, одной боковой стороне и углу, который она составляет с основанием.

Анализ. 1) Предположим, что искомая трапеция построена.

2) Перенесем сторону СД на вектор СВ.

3) Построим ?АВМ по двум сторонам и углу между ними.

4) Достроим треугольник до искомой трапеции.

ЗАДАЧА 7. Построить трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.

Анализ. Предположим. что искомая трапеция построена.

1) Перенесем АС на вектор АД

2) Построим треугольник СДХ по трем сторонам: d, с, а+в.

3) Достроим треугольник до искомой трапеции.

В следующей задаче используем такое свойство: в треугольнике при симметрии относительно биссектрисы его угла получается отрезок, равный разности сторон, образующих этот угол, а при симметрии относительно биссектрисы внешнего угла образуется отрезок, равный сумме этих сторон.

ЗАДАЧА 8. Построить прямоугольный треугольник по сумме его катетов и гипотенузе.

Анализ. 1)Предположим, что треугольник построен.

2) При симметрии относительно биссектрисы внешнего угла образуется отрезок В*А=а+в

3) ДВ*СВ - прямоугольный и равнобедренный, значит угол ВВ*С равен 45°

4)Тогда положение точки В можно определить пересечением луча В*В, который составляет с отрезком а+в угол в 45°, и окружности с центром А и радиусом равным с.

ЗАДАЧА 9.Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.

Анализ.1) Пусть искомый треугольник построен.

2)При симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне ВС получается угол АСА*, равный разности углов В и С. Прямая АВ переходит в прямую А*С, по свойству симметрии эти прямые образуют с осью симметрии равные углы, то есть прямая ХО является биссектрисой угла АХА*.

3)Тогда план построения такой: от отрезка АС отложить в одну полуплоскость угол, равный б, а в другую полуплоскость угол, равный г-в. Если сторона одного угла пересечется с продолжением стороны другого в точке Х, то дальше надо построить биссектрису угла АХС. Если пересечения нет, то треугольника с такими данными не существует. Точку В получаем как симметричную к точке С относительно построенной биссектрисы.

Рассмотрим две задачи, где требуется найти на двух фигурах точки , равноудаленные от данной точки. Такие задачи легко решаются, если использовать центральную симметрию. Очевидно, что такие задачи могут иметь практическое применение.

ЗАДАЧА 10. Даны угол С и точка Н внутри него. Требуется построить отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находится в точке Н.

Анализ. 1)Предположим, искомый отрезок АВ построен.

2)Рассмотрим осевую симметрию относительно точки Н

3) Прямая Ca перейдет в прямую Вb параллельную ей ,точка А перейдет в точку В . Это означает, что В - точка пересечения прямой Сy и образа прямой Ca при симметрии относительно точки Н.

5)Искомый отрезок получается, при продолжении ВН за точку Н до прямой Са.

ЗАДАЧА 11. Через данную точку Н требуется провести прямую, так чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения её с данной прямой и данной окружностью, делится точкой Н пополам.

Анализ. 1)Предположим, что отрезок ВС построен.

2) Рассмотрим осевую симметрию относительно точки Н. Точка В перейдет в точку С, прямая а перейдет в прямую y, параллельную ей.

3)Возможны три случая: а) если прямая y не пересекается с окружностью, это означает, что невозможно построить такой отрезок.

б) Если прямая y является касательной к окружности, это означает, что у этой задачи одно решение.

в) Если прямая y пересекает окружность в двух точках, это означает, что у этой задачи два решения.

4)Положение точки С определяется пересечением данной окружности с образом прямой а при симметрии с центром в точке Н.

Можно продолжить ряд задач, подобных №10 и 11, выбирая произвольно объекты.

ЗАДАЧА 12. Даны прямая AB и две точки F и G по одну сторону от нее. Требуется построить на прямой АВ точку Х так, чтобы FХA=2BХG.

Анализ. 1) Предположим, что искомая точка Х найдена.



2) Точка С симметрична точке точке G относительно данной прямой. По свойству симметрии уголGXA равен углу АХС. Угол АХС равен углу ОХН( вертикальные). Таким образом прямая СХ будет биссектрисой угла FXB.

3)Точки F и Н, симметричны относительно биссектрисы угла, значит они равноудалены от точки С, принадлежащей биссектрисе.

3) Положение точки Н определяется пересечением прямой АВ и окружности с центром С и радиусом СF. А точка Х - это точка пересечения прямой АВ и серединного перпендикуляра к отрезку FН.

2.4 Задачи с практическим содержанием

При изучении литературы мне встретилось несколько задач практического содержания, которые наглядно демонстрируют, что метод движения может применяться в нашей жизни в строительстве, разметке участка, геодезии, картографии.

Самым важным при решении практических задач является переход от текста к математической модели. В геометрии это обычно сводится к правильному построению чертежа. Решив геометрическую задачу, нужно вернуться к практической стороне.

ЗАДАЧА 13. На площадке, имеющей форму параллелограмма, размещен участок прямоугольной формы. Как провести прямую, которая разобьет одновременно и площадку и участок на две равные части?

Решение. Проведем прямую через центры симметрии прямоугольника и параллелограмма.

Прямая, проходящая через центр симметрии, разбивает фигуру на две равные. геометрический движение симметрия треугольник

ЗАДАЧА 14. На земельном участке прямоугольной формы разбит сад, имеющий форму круга. Как провести прямую, которая разобьет одновременно участок и сад на две равные части?

ЗАДАЧА 15. Для снабжения водой двух поселков, расположенных по одну сторону от реки, требуется построить на ее берегу водонапорную башню. Где нужно построить башню, чтобы общая длина труб от башни до обоих поселков была наименьшей?

Переведем задачу на язык математики: на данной прямой найдите такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до двух данных точек была наименьшей.

Решение. Если точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, очевидно, что искомая точка - это точка пересечения прямой а и отрезка АВ, так как наименьшее расстояние между точками - длина отрезка, их соединяющего.

Если точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, очевидно, что искомая точка - это точка пересечения прямой а и отрезка АВ, так как наименьшее расстояние между точками - длина отрезка, их соединяющего.

Если точки А и В лежат по одну сторону от прямой а, то сначала надо отобразить, например, точку В относительно прямой а. Тогда точка пересечения прямой а и отрезка АС искомая, потому что по свойству симметрии ВМ=СМ.

ЗАДАЧА 16. Между пунктами А и В протекает река (берега ее считаем параллельными).

В каком месте реки следует построить мост, чтобы путь от А до В был кратчайшим?

Решение. Будем считать, что мост перпендикулярен берегам.



Перенесем точку В на вектор d. Найдем точку пересечения отрезка АС и прямой а. Тогда АМ+МН+НВ - наименьшее расстояние. При рассмотрении другого варианта видно, что ширину реки можно не учитывать(она постоянна), а АМ+НВ=АМ+МС<АХ+ХС=АХ+УВ.

Оказалось, что существует огромное количество задач, решаемых с применением движений. Метод преобразований является общим методом, или точнее вспомогательным приемом, который можно использовать при решении задач различного содержания.

Все рассмотренные задачи могут быть решены без применения движений с помощью проведения дополнительного построения. Но знание движений и их свойств помогает лучше представить, как изменить фигуру в соответствии с поставленной целью или для упрощения решения, помогает глубже понять свойства фигур.

В дальнейшем было бы интересно узнать какие движения существуют в пространстве и рассмотреть применение данного метода для пространственных фигур.

Список литературы

1. А.Д. Александров «Геометрия 8/9».М. «Просвещение».1991

2. С.С. Варданян «Задачи по планиметрии с практическим содержанием». М. «Просвещение». 1989

3. Г.И. Саранцев «Решаем задачи на геометрические преобразования». М. «Столетие».1997

4. В.В. Прасолов «Задачи по планиметрии». М. «Наука».1986

5. К. Левитин «Геометрическая рапсодия». М. «Знание». 1984

Размещено на Allbest.ru