Применение метода бисекций для решения уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

применение метода бисекций для решения уравнений

Гуреев Е.И., Кузин А.Д., Фирсова Е.В.

Коломенский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический университет» Коломна, Россия

бисекция деление функция корень

Для решения уравнений, которые не удается решить аналитическими методами, используются численные методы. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью численного метода состоит из двух этапов: 1) отделение или локализация корня, т. е. установление промежутка [а; b], в котором содержится один корень; 2) уточнение значения корня методом последовательных приближений [4, с. 26].

Для численного решения уравнений f(x)=0 существует множество методов. Среди итерационных методов уточнения корня с заданной точностью наиболее известными являются метод итераций, метод Ньютона, метод хорд, и, конечно, метод бисекций (метод половинного деления). Любой из данных методов является приближенным и уточняющим значение корня вплоть до точности, заданной нами.

Для решения методом бисекций в начале необходимо определить, является ли функция непрерывной и принимает ли значения противоположных знаков на отрезке [a; b]. Если значения функции на данных концах отрезка имеют противоположные знаки, то корень лежит в пределе отрезка [a; b].

Определить знак можно путем умножения значений функции на концах отрезка, сравнения результата умножения с нулём. После этого делим пополам отрезок [a; b] и дальше будем рассматривать ту половину, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Смещаем в середину отрезка ту границу центра [a; b], у которой знак функции совпадает со знаком функции в центральной точке. Продолжаем этот процесс деления и смещения границ до тех пор, пока длина очередного отрезка, на котором находится корень, не будет меньше требуемой величины погрешности.

Алгоритм метода половинного деления:

Найдем середину отрезка [a; b]: x=(a+b)/2; f(x);

Если значение функции f(x)=0, то переходим к пункту 5;

Если произведение значений функций в точках x и a меньше 0, т.е. f(x)*f(a)<0, то теперь точкой b станет x ( b=x); иначе точкой a станет x (a=x);

Вычислим модуль разность b и a: если |b-a| > е, то переходим к пункту 1;

Выводим значение x;

Конец.

Геометрическая иллюстрация метода бисекций представлена на рис. 1.

Рис. 1. Метод бисекций

Уточним методом бисекций с точностью до е =0,01 корень уравнения x2+5x-1=0, принадлежащий отрезку [0,1; 1,5]. Функция y = x2+5x-1 является непрерывной на всей числовой прямой. Определяем половину отрезка x=(a+b)/2 и вычисляем f(x).

Проверяем следующие условия:

Если f(x)f(a)<0, то корень лежит на отрезке [a; x].

Если f(x)f(b)<0, то корень лежит на отрезке [x; b].

Если f(x)=0 или |b-a|<е, то x - корень (е - заданная точность).

Так как f(0,1)*f(1,5)<0, то корень лежит в пределах отрезка [0,1; 1,5].

Итерация 1:

Находим середину отрезка: x = (0,1 + 1,5)/2 = 0,8;

f(x) = 3,64; f(a) = - 0,49;

Так как f(x)*f(a) < 0, то b = 0,8;

|b-a| = 1,4 > е

Поступаем аналогично с другими итерациями:

Итерация 2:

x = (0,1 + 0,8)/2 = 0,45;

f(x) = 1,453; f(a) = - 0,49;

f(x)*f(a) < 0, b = 0,45;

|b-a|=0,7 > е

Итерация 3

x= (0,1 + 0,45)/2 = 0,275;

f(x) = 0,451; f(a) = - 0,49;

f(x)*f(a) < 0, b=0,275;

|b-a|=0,35 > е

Итерация 4

x = (0,1+0,275) / 2 = 0,1875;

f(x) = - 0.0273; f(a) = - 0.49

f(x)*f(a) > 0, a = 0,1875;

|b-a| = 0,175 > е

Итерация 5:

x = (0,1875 + 0,275)/2 = 0,23125;

f(x) = 0,02072; f(a) = - 0,0273;

f(x)*f(a)<0, b = 0,23125;

|b-a| = 0,0875 > е

Итерация 6

x = (0,1875 + 0,23125)/2 = 0,209375;

f(x) = 0,0907; f(a) = - 0,0273

f(x)*f(a) < 0, то b = 0,209375;

|b-a| = 0,04375 > е

Итерация 7

x = (0,1875 + 0.209375)/2 = 0,1984375;

f(x) = 0,0316; f(a)= - 0,0273.

f(x)*f(a) < 0, то b = 0,1984375;

|b-a| = 0,21875 > е

Итерация 8

x = (0,1875 + 0.1984375)/2 = 0,19296875;

f(x) = 0,0316; f(a)= - 0.0273;

f(x)*f(a) < 0, то b = 0,19296875;

|b-a| = 0,0109375 > е

Итерация 9

x=(0,1875 + 0,19296875)/2 = 0,190234375;

f(x)= - 0,0126; f(a)= - 0,0273;

f(x)*f(a) > 0, то a = 0,190234375;

|b-a| = 0,00546875 < е=0,01

Результаты расчетов приведены в таблице 1 в программе Excel.

Таблица 1

Результаты расчетов

В последнем столбце таблицы 1 проверяем значение длины интервала b-a. Если значение меньше 0,01, то в данной строке найдено приближенное значение корня с заданной погрешностью. Так как b-a=0,00546875 < е = 0,01, то в качестве корня можно принять x = (0,1875 + 0,19296875)/2 = 0,190234375.

Потребовалось 9 итераций для достижения требуемой точности. Приближенное значение корня с точностью до 0,01 после округления до трех знаков равно x ? 0,19.

Метод бисекций является достаточно популярным, т.к. вычисления очень простые и цикличные. Он обладает достаточно быстрой сходимостью [3, с.191]. Его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза. Существенным недостатком метода бисекций является то, что он не обобщается на системы нелинейных уравнений.

Список литературы

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П.Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636с.

2. Васильев А. Н. Финансовое моделирование и оптимизация средствами Excel 2007. - СПб.: Питер, 2009. - 320с.

3. Волков Е. А. Численные методы. - СПб.: Лань, 2008. - 256с.

4. Практикум по вычислительной математике / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи, И.М. Пешхоев. - Ростов н/Д : Феникс, 2008. - 342с.

5. Шевченко А.С. Лабораторный практикум по численным методам: Практикум / - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 199с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/966104 (дата обращения 14.12.2018)

Размещено на Allbest.ru