О диагонализации некоторых классов матриц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

О диагонализации некоторых классов матриц

Г.В. Гаркавенко

В данной статье авторы рассматривают вопросы, связанные с приведением бесконечны матриц с суммируемыми диагоналями к диагональному или блочно-диагональному виду с помощью преобразования подобия. Выписываются условия, при которых это возможно.

Ключевые слова: матрица, метод подобных операторов, диагонализация матрицы.

In given article authors shine a problem connected with transformation of infinite matrices with summable diagonals to a diagonal or block-diagonal form by means of a similar operator method. The conditions under which this is possible are written out.

Keywords: matrix; the similar operator method; the diagonalization of a matrix.

Пусть - группа целых чисел. Символом обозначено гильбертово пространство двусторонних комплексных последовательностей , суммируемых с квадратом модуля. Скалярное произведение в задается формулой и норма порождается этим скалярным произведением .

Далее мы будем придерживаться терминологии из [1]. Отображение будем называть матрицей с комплексными элементами. Элементы матрицы будем обозначать .

Последовательность , где , назовем - ой диагональю матрицы. Для диагональ назовем главной.

Введем также в рассмотрение последовательность , положив , . Последовательность характеризует поведение элементов матрицы по диагоналям.

Представим матрицу в виде , где матрица диагональная и её элементы, стоящие на главной диагонали совпадают с элементами главной диагонали матрицы и . Матрица определяет линейный оператор, действующий в пространстве суммируемых с квадратом последовательностей , по формуле с областью определения , . Далее матрицу будем считать невозмущенной матрицей, а матрицу - матрицей-возмущением.

Целью настоящей работы является определение условий, при которых матрицу можно привести к диагональному или блочно-диагональному виду.

Наложим на элементы матрицы одно из следующих условий:

а) , ;

б) .

Для элементов матрицы-возмущения должно быть выполнено следующее условие:

.

Такая матрица называется матрицей с суммируемыми диагоналями. Отметим, что согласно [2], множество матриц с суммируемыми диагоналями образует банахову алгебру, обозначаемую далее с нормой .

Частный случай изучаемых в данной работе матриц, когда представляет собой трёхдиагональную матрицу, а для матрицы выполнено условие б), рассматривался в работах [3-6], причем в [6] изучалось расщепление исходной матрицы .

Методом исследования является метод подобных операторов, используемый в спектральном анализе различных возмущенных дифференциальных и разностных операторов [7-10]. Близкая модификация метода подобных операторов рассматривалась в [11].

Проблема диагонализации компактных операторов, заданных своими бесконечными матрицами, исследовалась в [12, 13].

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы удовлетворяют условию а).

Следуя схеме, принятой в методе подобных операторов [7-10], зададим элементы матриц и , для любой матрицы , следующими равенствами:

Отметим, что по построению , для всех и . С учетом условия а) на элементы матрицы внедиагональные элементы матрицы имеют вид , с учетом этого имеем .

Матрицы , , , связаны легко проверяемым соотношением

(1).

Тогда нужно найти такую матрицу , чтобы матрица была подобна диагональной матрице . Через обозначим единичную матрицу, состоящую из элементов , здесь - символ Кронекера. Из равенства

следует , с учетом формулы (1) получаем

(2).

Таким образом, матрицы и подобны, если есть решение матричного уравнения (2). Из уравнения (2) с учетом вида матриц и следует, что . В рассматриваемом случае , поэтому уравнение (2) примет вид

. (3)

При выполнении условия а) на матрицу имеет место

Теорема 1. Пусть выполнено условие , тогда матрица подобна диагональной матрице , где матрица из есть решение нелинейного матричного уравнения (3). Это решение может быть найдено методом простых итераций, положив , , … . Преобразование подобия матрицы в осуществляет обратимая матрица .

Заметим, что оператор , задаваемый правой частью равенства (3), переводит шар в себя и является сжимающим в этом шаре.

Пусть теперь выполнено условие б) на матрицу . Наряду с матрицами и рассмотрим семейство матриц и , где , элементы которых задаются формулами:

Таким образом, заданные матрицы имеют блочный вид. При этом , , , при , , , где , и с учетом условия б) на элементы матрицы получаем, что .

Введем обозначение . Из условия б) следует, что . Следовательно, можно подобрать такое целое число , чтобы величина была мала.

Теорема 2. Существует такое , что матрица подобна блочно-диагональной матрице , где является решением нелинейного матричного уравнения

Это решение может быть найдено методом простых итераций, положив , …

Замечание. В теореме 2 нет условия малости нормы матрицы , а разрешимость нелинейного матричного уравнения достигается за счет малости величины . диагонализация матрица бесконечный

Важно заметить, что следуя принятой в методе подобных операторов схеме [3-12] далее легко асимптотически оценивать собственные значения матрицы , так как они совпадают с собственными значениями диагональной или блочно-диагональной матрицы.

Список литературы

1. Баскаков А. Г. Лекции по алгебре: учебное пособие. Воронежский государственный университет. - Воронеж, 2013, С.159.

2. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков // Известия РАН, серия математическая, 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.

3. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств разностных операторов с растущим потенциалом / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Сибирские электронные математические известия, 2017. Т. 14. С. 673-689.

4. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Асимптотика собственных значений разностного оператора с растущим потенциалом и полугруппы операторов / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Математическая физика и компьютерное моделирование, 2017. Т. 20. № 4. С. 6-17.

5. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств одного класса разностных операторов / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2016. № 3. С. 101-111.

6. Ускова Н.Б., Гаркавенко Г.В. Теорема о расщеплении линейных операторов и асимптотика собственных значений разностных операторов с растущим потенциалом /Н. Б. Ускова, Г. В. Гаркавенко // Сиб. журн. чист. и прикл. матем., 18:1 (2018),C.91-106.

7. Поляков Д.М. Одномерный оператор Шрёдингера с квадратично суммируемым потенциалом / Д.М. Поляков // Сиб. матем. журн., 59:3 (2018),C. 596-615.

8. Баскаков А.Г., Поляков Д.М. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом / А.Г. Баскаков, Д.М. Поляков // Матем. сб., 208:1 (2017), С. 3-47.

9. Ускова Н.Б. Асимптотика собственных значений скалярного дифференциального оператора с инволюцией / Ускова Н.Б. // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. Т. 49. № 27 (276). С. 42-44.

10. Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б., Зголич А. Р. Метод подобных операторов и спектральные свойства разностного оператора с четным потенциалом / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова, А. Р. Зголич // Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2016. Т. 241, вып. 44, № 20. С. 42-49.

11. Ускова Н. Б. К методу подобных операторов в банаховых алгебрах / Н. Б. Ускова // Изв. вузов. Матем., 2005, № 3, 79-85

12. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов / Г.В. Гаркавенко // Изв. вузов. Матем., 1994, №11, C. 14-19.

13. Hinkkannen A. On the diagonalization of a certain class of operators // Michigan Math. J., 1985. V.32., №3. - P.349-359.

Размещено на Allbest.ru