Аналитическая геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине Линейная алгебра

Аналитическая геометрия

Студент гр. з-147У-б

Пуртов Владимир

г. Кемерово пр-т Молодёжный 4а-36

1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки M1(?1, 2) и M2(?3,?2).

Найдите значения параметров k и b для этой прямой.

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁).имеет, вид

значит,

или Получаем уравнение прямой

2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x ? 12y ? 65 = 0 и 5x ? 12y + 26 = 0. Вычислите его площадь.

Решение:

Найдем расстояние между прямыми по формуле

Значит a = 7, S = a² , S =49.

3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(?3, 2, 5) на плоскости и

.

Решение:

б:

в:

г - искомая плоскость P (?3, 2, 5) г

n₁= (4;1;-3) - нормаль б, n₂ = (1;-2;1) - нормаль в. Пусть n нормаль г. Тогда

=

Уравнение г найдем по формуле -

.

Ответ:

4. Найдите длину отрезка прямой, параллельной вектору l = (0, 3, 4), между точками пересечения её с плоскостями и .

Решение:

Плоскости параллельны т.к.

Длина искомого отрезка равна длине вектора l.

Ответ: 5

5. Найдите те значения m и n, при которых прямая

пересекает прямые

Решение:

Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.

1)

Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен векторам нормали. заданных плоскостей, то за S примем векторное произведение векторов N₁ и N₂

в качестве точки M₁(x₁,y₁,z₁) через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей. Например, с плоскостью XOZ. Положим y = 0.

находим

Прямые

пересекутся если:

2)

Решим систему

Ответ:

6. Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке (0, 0, z₀),

z₀ > 0, параллельна плоскости, отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси ординат. Найдите абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.

Решение:

Искомая прямая находится в плоскости XOZ и проходит через точки (0,0,z₀) и (x₁,0,0) т.к. она перпендикулярна OY

Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, вычислим его по формуле:

Ответ: 21 или -28

7. Запишите уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2).

Решение:

.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной возьмём вектор CM, где С (2; -4)- центр окружности.

СМ = ( -1; 6)

- искомое уравнение касательной.

8. Дана кривая

8.1. Докажите, что эта кривая -- эллипс.

8.2. Найдите координаты центра его симметрии.

8.3. Найдите его большую и малую полуоси.

8.4. Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную кривую.

Решение: уравнение отрезок прямая окружность

8.1.

8.2. Центр его симметрии находится в точке (1;3)

8.3. Большая полуось a = 5, малая полуось b = 3

8.4. Уравнение фокальной оси y = 3

9. Дана кривая .

9.1. Докажите, что данная кривая -- парабола.

9.2. Найдите координаты её вершины.

9.3. Найдите значение её параметра p.

9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5. Постройте данную параболу.

Решение:

9.1.

9.2. Вершина параболы (5; 0).

9.3. Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим 2p = -2, откуда p = - 1.

9.4. Ось симметрии x = 5.

10. Дана кривая

10.1. Докажите, что эта кривая -- гипербола.

10.2. Найдите координаты её центра симметрии.

10.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

10.4. Запишите общее уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную гиперболу.

Решение:

10.1. Приводим квадратичную форму Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:

Исходное уравнение определяет гиперболу (л₁ > 0; л₂ < 0)

10.2. Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

или

Собственный вектор, отвечающий числу при x₁= 1

x₁ = (1, 2).В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

где -длинна x₁ или

Находим координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу л₂ = 20

x₂= (2,-1).

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i₁,j₁).Переходим к новому базису:

Выносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:

Выделяем полные квадраты:

для x₁:

для y₁:

В итоге получаем:

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

10.3. a = 4 (действительная полуось); b = 2 (мнимая полуось)

10.4.

Размещено на Allbest.ru