Задачи с параметрами и методы их решения

Размещено на http://www.allbest.ru/



Содержание

Введение

1. Задачи с параметрами и методы их решения

1.1 Классификация задач с параметрами, изучаемые в 9 классе

1.1.1 Основные виды уравнений (системы уравнений), содержащих параметр

1.1.2 Основные виды неравенств (системы неравенств), содержащих параметр

1.2 Основные методы решения задач с параметрами

1.2.1 Аналитический метод

1.2.2 Графический метод

1.3 Анализ учебно-методической литературы по теме «Задачи с параметрами»

1.3.1 Анализ современных учебников алгебры и начал математического анализа 9 класса, дополнительных пособий по теме «Задачи с параметрами»

1.3.2 Методические аспекты обучения решению задач с параметрами

1.3.3 Особенности реализации принципов дидактики при обучении решению задач с параметрами

2. Программа спецкурса для учащихся 9-ых классов по теме «задачи с параметрами» и система практических занятий

2.1 Пояснительная записка спецкурсу

2.2 Программа спецкурса

2.3 Апробация

Заключение

Список литературы

алгебра уравнение неравенство параметр



Введение

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляют собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Актуальность:

Задачи с параметрами встречаются на основном и едином государственных экзаменах по математике. И часто выпускники оказываются не по силам, потому что у большинства учащихся такие задачи вызывают чувство неудобства. Как показывает анализ современных школьных учебников по алгебре, программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, но вопрос о решении задач с параметрами все-таки освещается неким образом в рамках школьного курса математики, особенно в курсах углубленного изучения. Если вспомнить школьные уравнения: , то есть не что иное, как параметры. Считается, что задачам с параметрами следовало бы больше внимания. Они представляют математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков, требуют от учащихся умственных и волевых сил, развитого внимания, воспитания таких качеств, как творческая активность.

Цель исследования: изучение методов решения задач с параметрами в 9 классе и разработка программы спецкурса то теме «Задачи с параметрами» и системы практических занятий.

Объектом исследования является процесс обучения решению задач с параметрами в курсе математики в 9 классе.

Предметом исследования являются процесс усвоения материала учащимися и его применение в решении задач параметрами.

Гипотеза исследования: применение разработанной программы спецкурса по теме «Задачи с параметрами» позволит учащимся решать эти задачи на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Задачи:

Получить общее представление о задачах с параметрами и методах их решения;

Овладеть общими приемами организации действий по обучению решении задач с параметрами: планированием, осуществлением плана, анализом и выражением результатов действий;

Систематизировать и углубить знания, закрепить умения, необходимые для решения задач с параметрами.

Организовать и подвести основные итоги апробации в педагогической практике.

Новизна исследования состоит в авторской реализации комплексного подхода к освоению учащимися методов и способов творческой деятельности - от теоретических знаний до практических навыков, содержит много возможностей для получения новых результатов при подготовке к основному государственному экзамену.

Методологической основой спецкурса явились основные положения теории научного познания, дидактики математики и теории деятельностного подхода в обучении. Ведущей идеей для разработки содержания учебных материалов и методики обучения математической деятельности является использование алгоритмического метода как способа построения курса и предмета изучения.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что в работе раскрыты особенности применения методических средств при изучении задач с параметрами, и полученные результаты и выводы могут быть использованы учителем математики.

Структура данной работы включает в себя введение, две главы, заключение и список литературы.

В первой главе исследуются линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства (системы), содержащие параметр. Содержит теоретический материал и примеры. А также приводятся основные методы решения задач, содержащих параметр - аналитический и графический. Здесь же проведен анализ современных учебников алгебры и начал математического анализа, раскрыты методические аспекты обучения решения задач с параметрами и особенности реализации принципов дидактики при обучении решении задач с параметрами.

Во второй главе разработана программа спецкурса для учащихся 9-ых классов по теме «Задачи с параметрами» и система практических занятий. Спецкурс рассчитан на 12 часов. Приведены тематическое планирование и разработки занятий. Первые три занятия в системе посвящены изучению линейных и квадратных уравнений, содержащих параметр, а последнее, четвертое, - задачам с параметрами из ОГЭ. В конце главы подведены итоги апробации в педагогической практике.

Заключение содержит результаты проделанной работы, какие задачи решены для достижения цели данного проекта.



1. Задачи с параметрами и методы их решения

1.1 Классификация задач с параметрами, изучаемые в 9 классе

1.1.1 Основные виды уравнений (системы уравнений), содержащих параметр

Основные определения

Рассмотрим уравнение

где - переменные велеичины.

Любая система значений переменных , при которой левая и правая части уравнения (1) принимают действительные значения, называется системой допустимых значений . Пусть А - множество всех допустимых значений переменной - множество допустимых значений b и т. д., X - множество всех значений x. Если у каждого из множеств A, B, C,…, K выбрать и зафиксировать по одному значению и подставить в уравнение (1), то получим уравнение с одним известным. Переменные считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение - уравнение с параметром.

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одно и те же параметры, называются равносильными, если:

1. Они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

2. Каждое решение первого уравнения является решением второго;

3. Каждое решение второго уравнения является первого (см.[4], [26]).

Линейные и квадратные уравнения с параметрами

Уравнения вида , где k и p - выражения, зависящие только от параметров, а x - неизвестное, называется линейным относительно x.

Оно приводится к виду и при имеет единственное решение при действительных k и p. При и x - любое число, а при решения нет.

Уравнение вида , где x - неизвестное, m, p, q - выражения, зависящие только от параметров и , называется квадратным относительно x. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых m, p, q - действительны.

Линейные и квадратные уравнения с параметрами можно объединить в одну группу - группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:

1.

2. , тогда решений нетб

3. , тогда ,

4. , тогда ,

5. , тогда решений нет,

6. , тогда .

Контрольные значения параметра определяются уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежит одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .

3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений.

4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня (см [2],[4],[26]).

Пример: Решить уравнение



Решение. Здесь контрольным будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается 0. Такими значениями являются и . При этих значениях параметра a невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при x. В то же время при значениях параметра и деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) ; 2) ; 3) . Рассмотрим эти случаи.

1) При уравнение (1) принимает вид . Это уравнение не имеет корней.

2) При уравнение (1) принимает вид . Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При уравнение соответствует третьему типу откуда .

Ответ: 1) если , то корней нет;

2) если , то x - любое действительное число;

3) , то .

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным

Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий в нуль. В случае с параметрами эта задача сложная. Здесь, посторонние исключить, требуется значение параметра, общий знаменатель в , то есть соответствующие уравнения параметра (см. [4]).

Пример. уравнение

Решение: является . При уравнение (1) теряет и, следовательно, не имеет . Если , то после уравнение (1) вид:

Найдем дискриминант (2) .

Находим корни (2): . При переходе от уравнения (1) к (2) расширилась определения уравнения (1), что привести к появлению корней. Поэтому проверка.

. Исключим из найденных x такие, что при которых .

, т. е. , то . Таким образом, при - корень (1).

Если , т. е. , то . Таким , при - посторонний корень (1).

Если , т. е. , то . Таким , при - посторонний уравнения (1).

Если , т. е. , то . образом, при - посторонний уравнения (1).

При получаем ; при ; при ; при .

: 1) если , то ;

2) , то

3) если , корней нет;

4) , то ;

5) если , то ;

6) если , то .

уравнений с параметрами

решение линейных уравнений с . Геометрическая интерпретация систем двух уравнений с неизвестными выяснит, как две прямые на плоскости, линейных уравнений с неизвестными - как плоскости.

Общий вид двух линейных с двумя неизвестными:

три случая для двух решений с неизвестными:

1) прямые , множество решений;

2) , параллельны, нет;

3) При система имеет решение.

Для системы линейных уравнений с неизвестными:

1) или , - пересекаются, имеется множество решений ( координат точек пересечения ).

2) - нет решений (плоскости ).

3) - бесконечное множество (тройки координат плоскости, с совпадают две данные ).

Рассмотрим случай, - нелинейные функции. Р уравнения , свести к решению уравнений

которую в случаях удобнее графически. систему (3), мы рассматриваем два кривых . Это не всегда просто, поскольку графиков от не всегда бывает . Тогда можно области определения . В зависимости от точек пересечения a можно судить о решений системы (3) (см. [4], [7]).



1.1.2 Основные виды неравенств (системы неравенств), содержащих параметр

Основные

1. Неравенство

где - параметры, а x - переменная , называется неравенством с неизвестным с параметрами.

2. значений переменных , при функции

смысл в области чисел, называется допустимых значений .

Например, в

допустимой является система действительных m и n, удовлетворяющая условиям . При и при это не имеет .

3. называется допустимым x, если



принимают значения при любой системе параметров.

Множество допустимых значений x областью определения (4).

Например, определения неравенства решение системы , где .

4. число называется решением (4), если неравенство

при любой системе значений параметров.

всех решений неравенства (4) общим решением неравенства. В дальнейшем пол требованием решения неравенства мы понимать требование общее решение.

5. неравенство (4) - указать, при каких параметров существует решение и каково оно.

6. Два

называются , если они имеют общие решения при и том же множестве систем значений .

Линейные неравенства и , приводимые к линейным

из неравенств вида



где A и B - числа или от параметров, а x - действительная , называется линейным с одним неизвестным (x).

, неравенство - .

При оно принимает вид: , что верно при действительном значении x.

При , а при получим [26].

Квадратные

Каждое из вида

где называется относительно x.

- действительные или функции от некоторых . Допустимыми те значения параметров, при - действительны. При решении неравенств мы будем свойством квадратичной функции [26].

неравенств с параметрами

систему неравенств, в виде:

где a - . Чтобы решить неравенств (6), следует точки разрыва , , то есть те параметра a, когда при значениях x функции и не или равны 0. Эти значения a будут контрольными.

Например, одно из неравенств , то - значение параметра а, и рассматривать 3 :

1)

2)

3)

Иногда к системе добавляется еще несколько или условие. Например, значение a, при котором система одно решение, решений, ни одного , и т.д. Это может решение.

1.2 Основные решения задач с

1.2.1 Аналитический метод

решения с параметрами. Метод «»

В самом начале с параметров у учеников психологический , который обусловлен характеристиками параметра. С стороны, параметр в следует величиной известной, а с - он может принимать значения. Получается, что в уравнениях и -- это неизвестная известная, постоянная величина. «каламбур» очень отражает тех сложностей, которые преодолевать ученикам.

этот факт и нам решать с параметром таким («ветвления») [2],[8],[14], [26].

Пример. неравенство .

Решение: случаи:



При обе части на и сохраняем неравенства: .

При одновременно с на изменяем смысл : .

При неравенство не ни при каком .

Ответ: , то множеством решений интервал ;

если , то решений - ;

при решений не имеется.

и количество решений с параметрами

Выделим задач, где за параметра на переменную какие-либо ограничения. Для задач харак следующие :

· «При каком параметра уравнение одно решение, два , бесконечно , ни одного»;

· Решением (неравенства) является подмножество множества вительных и другие [26].

Пример. В зав от значения параметра a число корней

квадрата под внешним корнем.

, мы вплотную подошли к рассмотрения различных для параметра a.

: Наличие сложного наводит на мысль

Если , то уравнение не решения.

, то рассмотрим . Если , то . При , , и очевидно это уравнение только один .

Ответ: При - решение,

при - решений нет.

и свойства решений с параметрами

В этом мы рассмотрим , в которых условие , чтобы ответ был наперед заданным или идут на множество значений x [11],[14], [26].

При каких значениях a оба корня уравнения 3?

Решение: данного уравнения



Для условия необходимо системы

Первое системы и будут иметь точки только в том если выражение под равно .

Решим уравнение .

: Ни при каких значениях a оба корня данного не могут больше 3.

«Каркас» функции. Дискриминант, коэффициент

Фактически все свойства функции определяются . Где - конструируют «каркас», на строится теория функции [3], [4], [5], [7], [16], [20], [22], [26].

. При каких значениях a все пары чисел , неравенству , одновременно и ?

Решение. бывает удобно решение задачи с упрощенной модели. Так, в случае поставить задачу: при соотношении m и т все решения одновременно являются неравенства ? на этот вопрос : .

Тогда в этом нужно, чтобы при x

Найдем , . Дискриминант меньший равный нулю искомый параметр.

что системе

.

: .

«Каркас» квадратичной . Вершина параболы

. При каких значениях a значение меньше 4?

Решение.

а) Так как трехчлена явля парабола, то необходимость значения шего 4 обязывает .

б) Наибольшее значение в вершине параболы.

. тоже . Решением этого есть . Учитывая , то .

так как , то будет объединение .

Ответ: .

квадратичной функции. Виета

Рассмотрим уравнение . Найдем этого . По теореме Виета следующая система : где и . Рассмотрим задачу, которой при теоремы Виета упрощается.

Пример. При значении параметра a сумма корней принимает наименьшее ?

Решение. Найдем , . Уравнение имеет два при любом .

теорему Виета, . Таким образом, наименьшее значение на множестве .

: .

1.2.2 Графический метод

метод. Координатная (x0y)

Задачи, содержащие , требуют к своеобразный подход, необходимо грамотное и исследование. Для применения методов умение выполнять построение различных , вести графические , соответствующие значениям параметра. с параметром вызывают трудности логического . Каждое уравнение -- это, по существу, запись семейства . Ясно, что выписать уравнение из семейства невозможно, но, тем не , каждое из них должно решено. Легче это сделать с графического представления ти переменной x от параметра a.

На (x0y) функция задает кривых от параметра a. Нас будет с помощью какого плоскости можно к другим семейства [4], [5], [6], [9], [12], [15], [26].

1.3 учебно-методической литературы по «Задачи с параметрами»

1.3.1 Анализ современных учебников алгебры и начал математического анализа 9 класса, дополнительных пособий по теме «Задачи с параметрами»

С «задачи с параметром» встречаются в основном, углубленный курс . Данная актуальна для профильных . Но задачи могут и в учебниках общеобразовательной , причем не отдельной темой. задачи идут с другими темами , они способны глубину мышления и изучения текущей . Таким образом, сам может в дополнения включать с параметрами в ход урока.

понять, на каком даются с параметрами в учебных , проанализируем типы с параметрами, представленные в по курсу и начал математического для общеобразовательных и профильных .

1. Алгебра. Задачник 9 .

Итак, учебники алгебры для 7, 8, 9 классов общеобразовательных (базовый уровень) под Мордковича А. Г. мы не ни одного параграфа название: «Задачи с » или «Уравнения и неравенства с ».

В учебнике для 9 с повышенным уровнем подготовки в общеобразовательных Мордковича А. Г. в главе 1 « с одной . Системы и совокупности » § 7 также имеет на «Задачи с параметрами» [19], часов имое на изучение 6 [23]. В тексте параграфа 3 примера.

Пример 1 -- на корней уравнения в зависимости от ; пример 2 -- представляет с параметром и модулем; 3 -- система с параметром. В задачнике 76 заданий к этому [10].

В задачнике для 9 класса с параметрами сначала в §1 «Линейные и неравенства», в № 11, 17 - 19.

№ 11. При каких параметра p квадратное

3x² - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два корня;

б) имеет корень;

в) не имеет ?

В § 2 «Рациональные неравенства» с параметром задание № 50: Найдите целое значение p, при котором множество неравенства x(x + 2)(p - x) ? 0 :

а) два целых числа; в) три числа;

б) четыре числа; г) пять чисел.

В § 2 « рациональных неравенств» с параметрами являются № 85 - 87.

№ 86. Укажите все значения p, при которых системы неравенств промежуток: а) (5; +?); б) [3; +?).

Последний раз с параметрами встречаются в «Системы » (№ 117 - 119).

№ 118. При каком параметра p система имеет одно ? [18]

2. Пособие для , абитуриентов и учителей. . Элективные курсы. классы. [25].

Авторы: А. Х. тер, научный : А.В. Семенов.

Анализ : Содержание пособия на 8 основных блоков. В блоке практикум - разбор автором учебника, работа для учащихся и тренировочной . Данное пособие его использование учителям на курсах или, как дополнение к , школьникам при к выпускному экзамену и при поступлении в высшее заведение. Автор предлагает элективного курса для 8-11 классов, заслуженным учителем РФ Е.Б. . Программа на 50 уроков, расписаны заданий для первичного , для повторения и контроля. В урока зачетные карточки, которых есть в .

Анализ теоретической пособия: задания учащиеся решить без дополнительной , такие задания знания , полученные в традиционном обучения математике. , которая представлена в , дается в теорем кратко, , на доступном языке. объем теории тема « неравенств с параметром с условиями». Эта тема важна, так как учащиеся, все возможные и условия их выполнения, в сразу будут теорией, вместо ее .

Анализ : В пособии большое заданий. Эти задания в разбиты на основные : линейные с параметрами, квадратные с параметрами, исследование систем линейных (решение с помощью нахождения ), линейные неравенства с , исследование и решение второй с параметрами, исследование с параметром с начальными , решение более ных неравенств с етрами.

Программа по средней общеобразовательной в явном виде не о содержательно-методической «Задачи с параметрами», упомянутая линия в школьном курсе , а также тся неотъемлемым компонентом ОГЭ ( части 2). Анализ сдачи ОГЭ, относительно линии « с параметрами» позволяет нам ь следующие выводы о том, что [1]:

- неспособны математически и ясно решение соответствующих , проводить необх пояснения и обоснования;

- с трудом с заданиями, в которых применить хорошо им алгоритм в чуть ситуации ( это и является характерным задач с параметрами);

- не умеют проводить рассуждения при рассматриваемых задач (в , при решении квадратных и неравенств с параметром), аргументацию при известных фактов, математические рассуждения, .

В ОГЭ 2016 года по в модуле «» задание 23 части 2 « гиперболы с выколотой . Определение количества уравнения с с использованием графика» выполнили на:

- 0 90,32 % выпускников;

- 1 4,32% ;

- 2 балла 5,36% (см. [1]).

1.3.2 Методические аспекты решению задач с

В школьной прослеживаются содержательно-методические : числовая, функциональная, преобразований, алгоритмическая и др.

из названных проходят через курс школьной , и впоследствии будут продолжение в е высшей математики. «содержательно-методическая линия» обычно обозначают « примеров, , которые опираются на понятия, определяющие , а также присущие ей решения [17].

заметить, что линия с параметром имеет в курсе высшей , являясь девтикой содержательно-методической функций многих . Таким образом, еще в школе начинают изучать многих переменных на посильных для их уровня примерах.

стоит рассмотреть уравнений и неравенств, в может входить . Учащиеся, тот или иной вид уравнения (), приходят к основным его решения. Проводится и систематизация по данной линии. Для глубокого ее освоения, решать задачи с теми же, изученными способами, но при этом ключевые параметра, чтобы семейство (неравенств) по типам .

Сформулируем некоторые изучения задач с в школьном математики [17].

1. Принцип (наследственности).

Каждая с параметром должна связана с основным учебным . Решение данных не должно предполагать неизвестных действий. Сами и способы решения , а условия задачи ( параметр) новым.

2. Принцип от - к сложному.

Главная методики заключается в средств и , с помощью которых на имеющегося содержания основные цели . Для достижения ставится задача: математического теоретического . Ставится вопрос о измерения теоретического развития и повышения этого . Одним из способов этого является обучение задач с параметром и уровня компетенций при решении задач. Таким , решение задачи с является одновременно и и средством .

3. Принцип активизации деятельности.

Учебную можно классифицировать по активности : пассивная учебная или активная. Принцип выводит на первые в учебном задачу, а особенно с , как задачу исследовательского .

4. Принцип естественности.

Для хорошего учащихся к задачам с требуется постепенное таких задач в процессе. В , полезно акцентировать учащихся на том, что происходит с уже известными математическими только на тонком уровне.

5. актуальности (значимости).

показать значимость решения с параметром, возможность или применения результатов в научно-исследовательских работах.

6. перспективности.

о том, что введение параметров в задачах открывает перехода к качественно учебным : разработка и получение или , или совершенно новых ситуаций.

7. Принцип .

Решение с параметром должно опираться на раннее результаты, методы и . Только при изучении можно системный подход.

8. активного усвоения.

В Мирошина В.В. высказывание математика и Д. Пойя, сформулированное им в «Математическое открытие»: « способ что-либо - это открыть » [17]. Задачи с параметром прекрасным средством для этого в обучении математике.

В 70-х годов столетия задачи с твердо из разряда задач, обязательными, хотя бы в развития умения условие, в «нестандартных», предлагаемых на экзаменах. Данные встречаются в школьных , при внутреннем в учебное заведение, а на ОГЭ и ЕГЭ во второй части , как задание повышенного сложности.

1.3.3 реализации принципов при обучении решению с параметрами

Метод , пропагандировавшейся Я.А. , характеризовался стремлением весь педагогический разумно организованным и : содержание, и изучение учебного должны быть , переходящими от простого к , от близкого - к , от краткого - к распространенному [13].

с параметром, как было , должны рассматриваться не за год, а в течение учебного процесса. задачи начинают с 8 класса (по некоторым - с 7 класса): включаются в учебный постепенно, ведь они сквозными, учитель сам составлять или их для урока. Таким , тема «Задачи с » изучается последовательно и с уровня .

Принципы обучения - это руководящие идеи, нормативные требования к учебного , которые учитываются во его компонентах. Они возникают на исторического опыта и в результате исследования учебного в его многообразных проявлениях [21].

принципы обучения, существенные при и преподавании темы « с параметром», а также их реализации.

Принципы процесса общими и обусловлены обучения, поэтому они изменяться в зависимости от условий.

В педагогике в качестве принципов обучения следующие дидактические , сформулированные выдающимися педагогами как Я.А. , К.Д. Ушинским и др. [21].

ѕ Объективности, .

Проанализированной учебной тема « задач с параметром» на научном языке: определения, следствия, примеры; материал соответствует математическим положениям.

ѕ , систематичности.

Тема « задач с » является сквозной, данные задачи параллельно текущей школьной . Таким образом, решают задачи с , исследуя их в рамках темы, а на теоретических знаний о с параметрами выходят . Во многих школьных задачи с отдельной темой не представлены, т.е. предлагаются примеры таких с их подробным , но никакой классификации по задач с параметром или их решения нет.

ѕ Доступности при степени

Задачи с параметром непривычными для учеников так как уравнение, зависящее от , не стабильно: сам обозначает число, но . В этом заключается решения - исследование при изменении параметра.

Но задачи с даются параллельно теме в школьной в тех случаях, хватает знаний и у учащихся для их решения.

ѕ , разнообразия методов.

мало со способами решения с параметром. Самые методы - это аналитический, и аналитико-графический. Но рассмотреть и некоторые конкретные методы, определяются «ключевыми» решения.

наглядности при обучении задач с параметрами , как правило, при объяснении метода таких задач.

Я.А. называл принцип «золотым правилом» , согласно в обучении необходимо все органы чувств [24].

Данный принцип реализовать с проведения практических, работ, использования , схем, таблиц и др.



2. Программ спецкурса для учащихся 9-ых классов по теме «задачи с параметрами» и система практических занятий

2.1 записка

Современному обществу человек, самостоятельно и мыслящий, умеющий и решать проблемы. Общество технологий заинтересовано в том, школьники были активно действовать, принимать , гибко адаптироваться к условиям жизни, использовать .

XXI век называют эпохой и знаний. Математические ме исследования находят всё широкое во множестве областей и практической деятель. Овладение любой ной профессией знаний по мате. На уроках математики ре задача обеспечения овладения системой мате знаний и умений, ых в повседневной жизни и вой деятельности, для изучения смежных . Однако для продолжения этих знаний оказывается но. На выпускных экзаменах по ике предлагаются задания, ющие умения полученные при решении нестандартных .

Навыки решения с параметрами необходимы ученику, хорошо подготовиться и выступить на математиче конкурсах и олимпиадах уровня, основной государ экзамен. Эти задачи наиболее трудными , что они требуют культуры - то, чего не большинству школьников. параметрических задач в том, что, как , в них с изменением меняются не только , но и ряд других, связанных с уравнением или неравенством, ха. Это приводит к , что при разных значениях приходится использовать методы решения.

В учебниках тики рассматривается количество с параметрами, хотя на государственном в работу включается с параметрами. Поэтому необходимость изучения «Задачи с параметрами».

В курсе рассматривается линейных и квадратных с параметрами, часть курса решению задач с из открытого банка для проведения ОГЭ.

2.2 спецкурса

Цели :

1. Восполнить содержательные основного курса по данной .

2. Показать приемы задач с параметрами.

3. качества мышления, для математической и необходимые человеку в обществе.

Задачи :

1. Научить учащихся задачи высокой, по сравнению с уровнем сложности.

2. рядом технических и математических на уровне их применения к сложных задач.

3. знания учащихся по теме.

ориентирована на учащихся 9 . Курс рассчитан на 12 и предполагает изложение вопроса, типовых задач. занятие состоит из частей: задачи, с учителем, и для самостоятельного (или ) решения. Основные занятий: лекция, , практическая .

Обязательные результаты

В соответствии с содержанием учащиеся должны :

1. решать уравнения, содержащие ;

2. решать квадратные , содержащие параметр;

3. графическую при решении задач;

4. полученные знания в ситуации.

Содержание

Линейные с параметрами (3 часа)

Линейное , решение линейного , исследование линейного с параметрами

атные уравнения с (3 часа)

Квадратное уравнение, квадратного уравнения с , разложение трехчлена на множители. интерпретация.

Соотношения корнями квадратного (3 часа)

Теорема , теорема, обратная Виета. Решение с параметрами на применение Виета, между корнями уравнения.

Задачи с на основном государственном (3 часа)

решение некоторых задачи №23 основного экзамена, разме в открытом заданий.

Учебно-методический

№	Наименование тем курса	часов
1.	Линейные с параметрами	3
2.	уравнения с параметрами	3
3.	между корнями уравнения	3
4.	Задачи с на основном экзамене	3
Итого	12

оценивания самостоятельных

Оценка «5» ставится в том , если :

ь выполнил все задания работы без ошибок; S при выполнении работы 1-2 .

Оценка «4» , если ученик:

ь все задания практической , но допустил 1-2 ошибки;

ь при выполнении 3-4 недочёта;

ь показал применять изученный на практике, но делал это ;

Оценка «3» в следующих случаях:

ь верно выполнил 50% работы;

ь выполнил все практической , но допустил 3-4 ошибки;

ь при выполнении работы 5-6 ;

ь показывает навыки на практике с подсказки учителя.

«2» ставится в следующих :

ь выполнено менее 50% ;

ь допущено 4 ошибок;

ь не может теоретические знания на .

II.3. Комплекс занятий по «Задачи с »

Занятие №1

Тема: « уравнения с параметрами»

вида , где а и b - некоторые , называется относительно неизвестного х. а и b - параметры, от которых решение линейного . Возможны три :

1. , b - любое действительное . Уравнение имеет решение .

2. . Уравнение вид , решением является любое число.

3. . Уравнение не решений.

Решать с параметром это :

1. Указать при каких значениях параметра имеет решение, эти решения в от значения параметра.

2. при каких допустимых параметра уравнение бесконечное решений.

3. Указать при допустимых значениях уравнение не имеет .

Пример 1. При каком a имеет корень, 2?

Решение. Подставим в , получим

Ответ:

2. Решите при всех значениях а.

Решение.

1. Если , то имеет единственное .

2. Если , то принимает вид , решений нет.

: , ; , решений нет.

Пример 3. уравнение .

Решение. равносильные :



Если , т.е. , то уравнение единственное решение . , то уравнение принимает вид , удовлетворяет действительное число.

: х - любое число.

4. При каком значении а, уравнение не решения?

Решение. равносильные преобразования

не имеет решения, , т.е. .

Ответ: .

5. При каких а уравнение отрицательное решение?

:

Ответ: .

Пример 6. все а, для каждого из решение уравнения 2.

Решение:

Если , то нет. Если , то . Решим

получим .

: .

Задания для самостоятельного .

1. Решите уравнения:

а)

б)

в) ;

г)

:

а) Если ; если , нет.

б) Если , , x - любое число.

в) , если , x - любое .

г) Если ; если , нет.

2. При каких а уравнения

а) ;

б)

имеют много решений?

: а) ; б) .

3. При каких значениях а

а) ;

б)

не имеют ?

Ответы: а) б) .

4. При каком а уравнение имеет , равный 3?

Ответ: .

5. уравнение: .

: если ; если , x - число.

6. При каких a уравнение имеет : а) меньше 3; б) решение?

Ответ: а) ; б) .

№2

Тема: «Квадратные с параметрами»

Уравнение , где a, b, c - некоторые , причем называется уравнением.

Решение уравнения: дискриминант .

1) , то уравнение не корней.

2) Если , то имеет один ( совпадающих) корень .

3) , то уравнение два корня .

Алгоритм уравнения с параметром:

1. уравнение к стандартному и проверить ли коэффициент при старшем от параметра. Если , то рассмотреть случай, он равен .

2. Решить уравнение при , что коэффициент при старшем не равен нулю.

3. ответ, все полученные результаты.

разложения квадратного на множители:

, где и - корни трехчлена.

1. Решить уравнение .

. Уравнение при любом а квадратным. Найдем : .

1) , т.е. , уравнение не корней.

2) , т.е. , уравнение один корень

.

3) , т.е. , имеет два корня

.

: если , то нет; если , то ; если , то .

2. Решите уравнение .

. Коэффициент при зависит от , поэтому два случая:

1) Если`, то примет вид .

2) Если , то является квадратным. , при всех .

3) , уравнение имеет корень . Если и

, то имеет два корня



.

: если , то ; , то ; если и

, то или .

Пример 3. наименьшее целое а, при котором уравнение два различных .

Решение. Уравнение два различных корня, дискриминант положительный

,

,

.

целое а, удовлетворяющее равно 1.

Ответ: 1.

4. Найдите все значения , при каждом из уравнению удовлетворяет значение переменной.

. Уравнение имеет решение, дискриминант уравнения нулю.

,

откуда ,

Ответ: -3 и 4.

Пример 5. все значения , при которых уравнение не решений.

Решение.

1) Если , то принимает вид , уравнение не решений.

2) , то уравнение не имеет , если .

1,

.

Ответ: .

6.

Квадратный трёхчлен на множители: . a.

Решение. 1 способ. квадратное уравнение: .

По разложения квадратного на множители , откуда .

2 способ. . Так как равны, то , откуда .

: .

Пример 7. Известно, что функций и ровно одну точку. Определите этой точки. графики функций.

Решение. функций имеют общую точку, уравнение одно решение. имеет одно , если дискриминант нулю: , . точки пересечения: .

функции - парабола, которой направлены , вершина имеет координаты , пересечения с осью : .

График функции - , проходящая точки с координатами и .

8. Найдите p и постройте функции , если , что прямая с графиком ровно общую точку.

функций имеют общую , если уравнение одно решение. имеет одно , если , это , если . Координаты пересечения: .

График - прямая, проходящая точки с и .

График функции - ось .



Задания для самостоятельного .

1) При каком значении уравнению единственное значение ?

Ответ:

2) Найдите все параметра, при которых имеет два корня.

Ответ:

3) При а уравнение: а) ; б) имеет:

1) решение; 2) два различных ?

Ответ: а) 1. 2. ; б) 1. 2. .

4) трёхчлен разложен на : x²??13x+36=(x?4)(x?a). a. Ответ:

5) Найдите p и график y=x²p, если известно, что y=4x имеет с графиком одну общую . Ответ: р = 0

6) p и постройте график y=x²p, если известно, что y=5x имеет с графиком одну точку. Ответ: р = 0

7) p и постройте график y=x²+p, если известно, что y=?6x имеет с ровно одну точку. Ответ: р = 9

8) p и постройте график y=x²+p, если , что прямая y=?x имеет с ровно одну точку. Ответ: р = 0,25

№3

Тема: « между корнями уравнения»

Теорема .

Если квадратное имеет и , то .

Сама по себе Виета не утверждает корней квадратного , поэтому необходимо проверять дискриминанта.

Теорема, теореме Виета. числа и , что и , то и корни квадратного .

Теорема Виета для исследования знаков квадратного (квадратного трехчлена).

1. Для , чтобы корни уравнения имели знаки, и достаточно выполнения : . При этом оба корня положительны, если выполняется и оба корня отрицательны, .

2. Для того, чтобы квадратного уравнения различные , необходимо и достаточно соотношения .

Пример1. имеет корни ?6; 4. q и р.

Решение. Так как -6 и 4 квадратного уравнения, то , .

2. При каких а сумма корней уравнения 21?

Решение. , при каких а уравнение решение: , .

Если и уравнения, то по теореме , , тогда . . Но , значит, нет таких а, при сумма квадратов равна 21.

Ответ: а не существует.

3. При каких а сумма уравнения

равна ?

Решение. По теореме , по условию , . Проверим, удовлетворяют ли числа заданному :

1) , уравнение решений не .

2) , уравнение корни -2 и 2, сумма равна нулю.

: .

Пример 4. При каких а оба уравнения ?

Решение. Согласно (1) необходимо выполнение : .

Получим систему : , решая , получим .

Ответ: .

5. При каких а уравнение корни разных ?

Решение. утверждению (2) необходимо условия: , т.е. , откуда .

: .

Пример 6. При каких а уравнения и отрицательны?

Решение. утверждению (1) необходимо следующих условий:

, систему, , откуда .

Ответ: .

я для самостоятельного решения.

1) имеет корни ?3; 8. q.

Ответ: -24

2) При а сумма корней равна нулю?

: -2

3) При каких значениях а сумма корней уравнения 1?

Ответ: нет таких а.

4) При а разность корней равна 1?

: -3;3

5) Найдите все значения а, при которых сумма уравнения равна .

Ответ: -1; 2

6) При а уравнение имеет два ра отрицательных корня.

: .

Занятие №4

Задания с на ОГЭ.

Пример 1. график функции

и , при каких значениях m имеет с графиком одну точку.

Решение: область определения , . Разложим на множители трехчлены , . дробь: . Построим функции при всех . функции парабола, которой вверх с двумя точками (-1; -6) и (-4; 6). Вершина : , . Точки пересечения с абсцисс: .



имеет с графиком ровно одну точку при .

Ответ: .

для самостоятельного .

1) Постройте график и определите, при каких m прямая имеет с ровно общую точку.

: -9; -5; 7

2) Постройте график и определите, при каких m прямая с графиком ровно общую точку.

: -9; -8; 7

Пример 2. Постройте функции и , при каких значениях k имеет с графиком одну общую

Решение. область определения , . Преобразуем дробь: . график функции при . График гипербола с выколотой .

График функции - , проходящая через координат.



имеет с графиком только одну точку, если проходит точку с координатами . k: .

Ответ: .

Задания для решения.

1) Постройте функции и , при каких значениях k имеет с графиком одну общую . Ответ: 81

2) график функции и , при каких значениях k имеет с графиком одну точку. Ответ:

3. Постройте график и определите, при каких m прямая с графиком ровно две точки.

Решение: функции - часть , расположенной на . Вершина параболы .

функции - открытый луч с в точке (2; -2) и проходящий точку

Прямая имеет с функции ровно две точки при .

Ответ: .

для самостоятельного .

1) Постройте график и определите, при каких m прямая имеет с ровно две точки.

Ответ: .

2) график функции и , при каких значениях m имеет с ровно две общие .

Ответ: .

Пример 4. график функции и , при каких m прямая имеет с ровно две общие .

Решение: график - часть , расположенной на промежутке . параболы . Ветви направлены вниз.

функции - луч с началом в точке (-3; -1) и через точку

Прямая имеет с функции две общие точки при .

: .

Задания для самостоятельного .

1) Постройте график и определите, при значениях m прямая с графиком ровно две точки.

Ответ: .

2) график и определите, при каких m прямая имеет с ровно две общие .

Ответ: .

5. Постройте график и определите, при каких m прямая имеет с одну или две точки

Решение. функции - часть , расположенной на промежутке . параболы . параболы направлены .

График функции при - гиперболы, расположенная во четверти.

имеет с графиком одну или две общие , если .

Ответ:

для самостоятельного .

1) Постройте график и определите, при каких m прямая имеет с одну или две точки.

Ответ:

2) график функции и , при каких значениях m имеет с одну или две общие .

Ответ:

Пример 6. график функции и , при каких k прямая имеет с ровно одну точку.

Решение. область функции: .

Упростим .

Построим график для . .

График функции - , ветви направлены вниз, на выколота точка (1; Вершина параболы (0;-.



Прямая с графиком функции одну общую , если:

1) прямая через (1; -3,25), т.е. ;

2) если является касательной к функции, т.е. уравнение одно . .

Ответ: .

Задания для решения

1) Постройте функции и определите, при значениях k имеет с графиком одну общую .

Ответ: .

2) Постройте функции и , при каких значениях k имеет с графиком одну общую .

Ответ: .

7. Постройте график и определите, при каких m прямая имеет с ровно общую точку.

. Найдем область функции: . Разложим на квадратный . Преобразуем выражение .

график функции для . Вершина параболы (-3; -1), пересечения с абсцисс - (-4; 0), (-2; 0), точка с осью ординат (0; 8); у = 3.

Прямая имеет с функции одну общую при .

Ответ: .

Задания для решения

1) Постройте функции и , при каких значениях m имеет с графиком одну общую

Ответ: .

2) график функции и , при каких значениях m имеет с графиком одну точку.

Ответ: .

8. Постройте график и определите, при каких m прямая с графиком ровно две точки.

Решение. функции , если - параболы, (-4; -6). Точки пересечения с абсцисс - , с осью - (0; 10). .

График функции , - открытый луч с в точке (-5; -5) и проходящий точку (-6; -6).

Прямая с графиком функции две общие при .

Ответ: .

Задания для решения

1) Постройте функции и определите, при значениях m имеет с графиком две общие точки.

: .

2) Постройте график и определите, при значениях m прямая с графиком ровно две точки.

Ответ: .

9. Постройте функции и определите, при значениях m прямая не с графиком ни одной точки.

. Область определения .

Преобразуем выражение .

график функции для .

Прямая не с графиком функции ни общей точки при .

: .

Задания для самостоятельного

1) Постройте функции и определите, при значениях m прямая не с графиком ни одной точки.

Ответ: .

2) график функции и , при каких значениях m не имеет с графиком ни общей .

Ответ: .

Пример 10. график функции и , при каких значениях m имеет с ровно две общие .

Решение. Область функции - .

Преобразуем .

Построим функции для всех .

имеет с графиком ровно две общие при .

Ответ: .

для самостоятельного решения

1) график функции и , при каких значениях m имеет с ровно две общие точки.

: .

2) Постройте график и определите, при каких m прямая с графиком ровно две точки.

Ответ: .

11. Постройте график и определите, при значениях m прямая с графиком ровно две точки.

Решение. функции , - открытый луч с началом в (3; 0) и проходящий через (0; -3).

График функции - с концами в (3; 0) и (4; -1,5).

График - открытый луч с началом в (4; -1,5) и проходящий точку (5; 0).

имеет с графиком ровно две общие при .

Ответ: .

Задания для решения

1) график функции и , при каких значениях m имеет с графиком две общие .

Ответ: .

2) Постройте функции

и определите, при значениях m прямая с графиком две общие точки.

: .

2.3 Апробация

Данный с проходил апробацию в недели на муниципального бюджетного учреждения гимназии №9 Кызыла Республики . Учащиеся, элективный курс, не отбирались, приходили на по желанию. В процессе часть естественно отсеялась, не дополнительной нагрузки и сложности рассматриваемых . Остались , выбравшие, как правило, основой своей профессии.

Каждое разделила на две . В первой части мы задачи разного , в основном они были из ОГЭ, во части учащимся аналогичные задачи для самостоятельного . Самостоятельные работы в занятия и оценивались мною. заносила в таблицу.

занятие провела 10 мая. весь класса, 25 учащихся. Во лекции ученики интерес, задавали . Но на второй занятия у половины стало рассеиваться , с самостоятельной работой не справлялись, чего сдали работы. Учащиеся в ссылались на то, что на уроках такие детально не рассматривали. я убедилась, насколько проблема обучения задач с , насколько она актуальна в время.

Второе и занятие провела 11 и 13 мая . Учащиеся стали понимать задач, поначалу только по алгоритму, уже могли составлять задачи с . Анай-оол Назын и Хуреш показывали успехи, на все подхватывали, решали без единой помощи . Остальные тоже не работали, различные вопросы.

На занятии, которого я 15 мая, решали некоторые задачи №23 государственного экзамена, щенных в открытом заданий.

№	ФИО учащегося	Сам. раб. №1	Сам. раб. №2	Сам. раб. №3	Сам. раб. №4
1	Анай-оол Виллигтонович	4	4	5	5
2	Кара-Сал Айдысовна	3	4	4	5
3	Кыргыс Александрович	4	4	4	4
4	Ооржак Хеймер-ооловна	4	4	3	5
5	Хуреш Артемович	5	5	5	5

По видно, что после спецкурса у оставшихся есть , хоть и незначительный, но все же . В дальнейшем они успешно ОГЭ, и признались, что не испытывали при решении с параметром. В завершении спецкурса пришла к , что он повысил интерес к , творческую ть и результативность учащихся, учащихся решать с параметрами на сознательной , применять методы решения, и его использовать в наших .

Заключение

Во время данного я взялся за детальное параметра на прим математических . Ведь встречаются гораздо чем мы себе представляем. многих процессов и закономерностей приводит к решению с параметрами. Включая большое количество , пусть и , с параметром, я пришла к что необходимо изучать тему более . Так же непосредственным она развивает логическое и мышление человека, что ему раздвинуть грани возможностей. В работе рассмотрены встречающиеся типы , неравенств и их систем, и, я , что знания, я получила в процессе , помогут мне при дальнейшей учителем математики. Так же, данную , я ставил цель глубокого изучения темы, выявления рационального , быстро приводящего к . На мой взгляд графический является удобным и способом уравнений и неравенств с .

Целью выпускной работы является методов задач с параметрами в 9 и разработка программы то теме «Задачи с » и системы занятий.

Для достижения цели была следующая работа:

ѕ учебно-методическая по теме «Задачи с »;

ѕ Рассмотрены основные решения задач с ;

ѕ Были основные принципы и рассмотрены варианты их для изучения темы « с параметром»;

ѕ содержание спецкурса и авторская программа ;

ѕ Подтверждена гипотеза .

Основной применения нашего является формирование у навыка решения задач с разными методами, а закрепление этого на примерах.

Материалы ОГЭ, во второй , помогут систематизировать и знания для решения с параметрами. То есть, выполнены задачи: получены о параметрах и методах их ; обучены общим организации ; систематизированы знания, умения, необходимые для задач с параметрами.

образом, , разработанной на основе методов решения , содержащих параметры, решения учащимся решать , содержащие параметры, на основе, выбирать рациональный решения, применять методы решения.

«Задачи с параметром» изучаться не на факультативных занятиях, , но и в школьной программе, так как она логическое мышление и культуру у . Учащимся знания по теме помогут ОГЭ.

Эта работа может полезна школ, учителям для к сдаче единого экзамена.



Литература

литература

1. отчет предметной о результатах государственной аттестации выпускников 9 по математике / Н.А. , И.Л. Горновесова - СПб.: ГБУ ДПО «СПб и ИТ», 2016. - 48 с.

2. Горбачев В. И. методы решения и неравенств / В.И. // Математика в школе. - - №6. - с. 60-68.

3. Горбачев В.И. методы решения и неравенств с не выше второй / В.И. Горбачев // Математика в . - 2000. - №2. - с. 61-68.

4. , П.И. Задачи с : учеб. пособие/ П.И. , В.Б. Полонский, М.С. Якир. - , 1992.

5. Дегтяренко В.А. три одной с параметром / В.А. Дегтяренко // в школе. - 2001. - №5. - с.

6. Джиоев Н.Д. Нахождение способом решений уравнений с / Н.Д. Джиоев // Математика в . - 1996.- №2. - с. 54-57.

7. Г.В. Квадратный в задачах / Г.В. Дорофеев. - : Квантор, 1991.

8. , А. И. Уравнения с параметрами / А.И. . - 2003. - №7. - с.

9. Епифанова Т.Н. Графические решения задач с / Т.Н. Епифанова // математика в . - 2003. №7. - с.

10. Звавич Л.И. Алгебра. 9 : задачник для учащихся . учреждений / Л.И. Звавич, А.Р. , П.В. Семенов. - М.: , 2008. - 336 с.

11. Зубов, А.Б. симметрии при анализе с параметрами / А.Б. Зубов // в школе. - - №5. - с. 56-63.