Эквивалентность понятий "Обобщение производной Шварца и исправленной производной С. Шарипова"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

Эквивалентность понятий «Обобщение производной Шварца и исправленной производной С. Шарипова»

Т.А. Муканов, С.Т. Муканова

В статье доказывается эквивалентность понятий «обобщение производной Шварца и исправленной производной по С. Шарипову».

Пусть дана функция

удовлетворяющая условиям:

Условие (2) означает, что функция С(x) непрерывна в точке t=a, а условие (3) означает, что это функция в точке t=a имеет левые и правые производные, но не дифференцируема по Ньютону. В остальных точках промежутка [t0, T], кроме точки t=a, данная функция дифференцируема по Ньютону. Точку А(а, С(а)) будем называть точкой излома графика функции С(t). Обобщение производной Шварца функции С(х) в точке t=a, как известно [1], определяется равенством:

и находится по формуле:

Исправленная производная функции С(х) по С. Шарипову в точке t=a, как известно [2], определяется равенством:

и находится по формуле:

Точку М0(а, С(а)) С. Шарипов назвал урчуктная точка, а функцию С(х) урчуктная функция. Считаем, что термин урчуктная функция не совсем удачен, так как этот термин звучит и не по-русски и не по-кыргызски.

Введя число из формулы (5) получим формулу:

Докажем, что числа А и r в формулах (7) и (12) равны, т.е. что эти формулы совпадают. Для чего преобразуем предел (8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Бесконечно малые величины, как известно из теории классического анализа [3], всегда представимы в виде:

Учитывая равенства (14), найдём:

Рассмотрим случаи:

1. Пусть p=q, т.е. бесконечно малые величины

являются бесконечно малыми величинами одного порядка. В этом случае имеем:

Поэтому

2. Пусть

Тогда

Поэтому

С другой стороны, в рассматриваемом случае представимы в виде

Отсюда заключаем, что

Таким образом, и в этом случае А=r

3. И, наконец, пусть

В этом случае имеем:

и А=0.

С другой стороны, в рассматриваемом случае

представимы в виде:

Отсюда заключаем, что

Итак, и в этом случае

Объединяя все эти три случая, доказали следующую теорему:

Теорема 1. Пусть функции С(х) удовлетворяют условиям (2), (3) и имеют место определения (4),(5).

Тогда верно равенство

эквивалентность производная шарипов урчуктный

Докажем следующую важную теорему:

Теорема 2. Понятия «обобщение производной Шварца и исправленной производной С. Шарипова» эквивалентны.

Доказательство. Сначала покажем, что из определения (4) следует определение (6). Действительно, введя обозначения в определения (4)

и, учитывая, что

имеем:

Поэтому верно равенство (17).

Обратное следование определения (4) из определения (6) вытекает из доказательства теоремы 1. Между прочим, в том случае, когда бесконечно малые величины одного порядка это доказывается непосредственно. Действительно, в этом случае

и, p=q.

Поэтому из определения (6) получим:

Отсюда получим истинность формулы (17) и доказательство теоремы 2.

Рассмотрим следующий пример.

Пример:

Точка М0(1,1) есть точка излома графика функции, т.к.

Согласно доказанной теоремы и формул (7) и (12) находим:

Так как то, согласно теоремы [3], данная функция в точке имеет максимум:

Литература

1. Муканов Т.А. Следствие формулы нахождения обобщенной производной Щварца //Вестник ИГУ, -№9, -2003.

2. Шарипов С., Шарипов К.С. Об единственности производной урчуктной непрерывной функции //Вестник ИГУ, -№9, -2003.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1, -М.:Наука, 1969.

4. Муканов Т.А., Муканова С.Т. Обобщение производной Шварца и её геометрический смысл //Вестник ИГУ, -№11, -2004.

Размещено на Allbest.ru