Анализ приближенных вычислений логарифмической функции по формуле Маклорена с использованием системы MATHCAD

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФГБОУ ВО «Уральский государственный университет путей сообщения»

Анализ приближенных вычислений логарифмической функции по формуле Маклорена с использованием системы MATHCAD

Костылева М.А.

Куликова О.В.

В статье рассматривается проблема анализа погрешности приближенных вычислений логарифмической функции по формуле Маклорена. Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора и представляет собой разложение некоторой функции бесконечным степенным рядом. При замене бесконечного степенного ряда многочленом какой-либо степени отбрасываемые члены ряда образуют остаточный член, который определяет погрешность вычислений. Использование системы компьютерной математики Mathcad позволяет осуществить построение графических моделей функциональных зависимостей и проведение вычислительного эксперимента. Визуализация особенностей расположения графика логарифмической функции относительно выбранного полинома, составленного по формуле Маклорена, создает условия для наблюдения изменения погрешности приближенных вычислений. Расчет суммы степенного ряда производится в автоматическом режиме встроенной функцией суммирования из библиотеки программ системы Mathcad и определение интервальной оценки значений функции не составляет особого труда. маклорен полином логарифмический погрешность

Введение

В настоящее время развитие вычислительной техники позволяет просто и быстро находить значения различных функций. Достаточно набрать на дисплее калькулятора необходимое выражение или выбрать встроенную функцию и мгновенно программа предоставляет числовой результат. Расчетные формулы скрыты от пользователя, поэтому полученный результат воспринимается как точное значение величины. Применение вычислительных алгоритмов всегда приводит к получению приближенных значений искомых величин. В вузовском курсе математики рассматривается формула Тейлора для нахождения значений функции [4]. Ее частным случаем выступает формула Маклорена [4].

Результаты исследования и их обсуждение

Решение задачи о замене функции бесконечным степенным рядом привело Б. Тейлора в 1715 г. к нахождению формулы, которая в дальнейшем получила его имя. Простой вывод формулы был предложен в 1745 г. К. Маклореном. Формулу для оценки погрешности расчетов, если рассматривается конечное число членов ряда, предложил Ж.Л. Лагранж в 1799 г. [1]. В настоящее время формула Тейлора записывается в виде выражения

где Pn(x) - многочлен n-й степени, Rn(x) - остаточный член.

Коэффициенты многочлена Pn(x) находятся через производные функции f(x). Смысл формулы Тейлора хорошо раскрывается содержанием теоремы: если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a; b) производными до (n + 1) порядка включительно, то , где с - некоторое число, лежащее между a и b [1].

Если величина а рассматривается как постоянная, а b как переменная, то b заменяется на х и получается формула, известная как «формула Тейлора», которая имеет вид

где 

Если величину, а приравнять к нулю, то получается формула, известная как «формула Маклорена». Она имеет вид

В учебнике по курсу высшей математики приводится разложение по формуле (2) экспоненциальной, логарифмической и тригонометрических функций синуса и косинуса [3].

Разложение логарифмической функции по формуле (2) имеет вид:

Формула (3) выполняется, если х принадлежит интервалу . Формула (2) выполняется для экспоненциальной функции и тригонометрических функций синуса и косинуса, если х принадлежит интервалу . Провести исследование поведения логарифмической функции на границах интервала  можно с помощью компьютерного математического пакета Mathcad [2].

Система Mathcad служит удобной программной средой для решения разнообразных задач. В состав этого приложения входят такие компоненты как текстовый и формульный редакторы, вычислительный и символьный процессоры, хранилище справочной информации. Визуально ориентированный язык программирования позволяет быстро и успешно освоить возможности системы Mathcad. Пакет обеспечивает проведение не только научных и инженерных расчетов, но его можно использовать и как учебно-исследовательскую лабораторию при изучении математических понятий. Выполнение команд осуществляется через панели инструментов с лаконичными пиктограммами и комментариями [2].

Встроенные функции и операторы создают условия для наблюдения значений функциональных зависимостей, проведения вычислительного эксперимента, построения двух и трех мерных графиков. График функции y = ln(1 + x) и графики полиномов третьей и четвертой степени, составленные по формуле (3), представлены на рис. 1.

Рис. 1.

График функции y = ln(1 + x) существенно отличается от графиков полиномов за пределами интервала . Это наглядно иллюстрирует условия применения формулы (3). Если х принимает значение 1 на верхней границе интервала, то это позволяет найти значение ln2. Степень полинома, который используется для приближенного вычисления А* какой-либо величины А, определяется абсолютной погрешностью Д [5]. Точное значение величины А принадлежит интервалу (А*- Д; А*+ Д). Пусть, например, требуется установить приближенное значение ln2 с погрешностью 0,001. В этом случае модуль остаточного члена |Rn(x)| должен быть меньше 0,001. Такое условие позволяет его отбросить. Если последнее слагаемое полинома , то, следовательно, степень полинома Pn(x) будет больше 1000. Значение 0,0005 при округлении до тысячных принимает вид 0,001. Это означает, что приближенное вычисление ln2 целесообразно производить с учетом того, что . Расчетная формула для нахождения приближенного значения ln2 с погрешностью 0,001 примет вид

Оператор суммирования системы Mathcad выполняет такую операцию в автоматическом режиме. Точное значение ln2 принадлежит интервалу (0,692; 0,694). Если , то в этом случае оценить значение модуля остаточного члена |Rn(x)| можно с помощью вычислительного эксперимента. Пусть, например, необходимо вычислить ln0,2 и ln1,2 с погрешностью 0,001. Расчет приближенных значений ln0,2 и ln1,2 будет проводиться по формулам

Результаты вычислительного эксперимента остаточных членов для формул (4) и (5) представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Модули остаточных членов |R21(-0,8)| и |R4(0,2)| меньше 0,0005, следовательно, для вычисления ln0,2 используется полином P21(-0,8), а для ln1,2 применяется полином P4(0,2).

Приближенные значения ln0,2 и ln1,2 рассчитываются по следующим формулам

Точные значения ln0,2 и ln1,2 принадлежат интервалам (-1,609; -1,607) и (0,181; 0,183). При нахождении натурального логарифма от числа большего 2, необходимо использовать свойства логарифмов. Например, пусть требуется вычислить ln2,2 и ln5,3 с погрешностью 0,001. Расчет приближенных значений ln2,2 и ln5,3 будет проводиться по формулам

Результаты вычислительного эксперимента остаточных членов для формул (6) и (7) представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Модули остаточных членов |R3(-0,1)| и |R6(0,325)| меньше 0,0005, следовательно, для вычисления ln2,2 используется полином P3(-0,1), а для ln5,3 применяется полином P6(0,325).

Приближенные значения ln2,2 и ln5,3 рассчитываются по следующим формулам

Точные значения ln2,2 и ln5,3 принадлежат интервалам (0,787; 0,789) и (1,666; 1,668).

Заключение

Применение системы компьютерной математики Mathcad позволяет быстро и эффективно проводить различные вычисления. Нахождение конечной суммы степенных рядов в автоматическом режиме создает условия для организации вычислительного эксперимента при изучении приближенных вычислений. Наглядное восприятие характерных особенностей математических моделей успешно осуществляется построением графиков функциональных зависимостей с помощью специальных операторов. Использование системы Mathcad в учебном процессе способствует более глубокому пониманию математических понятий.

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Астрель, 2006. - 991 с.

2. КирьяновД.В. Mathcad 15/ Mathcad Prime 1.0. [Текст] / Д.В Кирьянов. - СПб.: БХП-Петербург, 2012. - 432 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 9-е изд. [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2009. - 608 с.

4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (1). [Текст] / Г.М. Фихтенгольц. - СПб: Изд-во Лань, 2001. - 448 с.

5. Шарый С.П. Курс вычислительных методов. [Текст] / С.П. Шарый. - Новосибирск: НГУ, 2016. - 545 с.

Размещено на Allbest.ru