Решение нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода
Рассмотрение эллипса как трехмерной функции, все точки которой лежат в одной плоскости под углом к плоскости круга, для нахождения решения эллиптического интеграла. Образование семейства кривых от окружностей в плоскости. Определение длины дуги эллипса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 126,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода
Мазенков Игорь Иванович, ведущий инженер-конструктор ЗАО «Коминвест-АКМТ»
Решение нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода .
В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.
В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R(x,y) не содержит нечетных степеней y.
Для нахождения решения эллиптического интеграла я рассмотрел эллипс как трехмерную функцию, все точки которой лежат в одной плоскости под углом б к плоскости круга (частного случая эллипса, где k=1). В результате получил следующее решение эллиптического интеграла 2-го рода:
(1)
где 0<И<90 (т.е. в пределах ј эллипса), 0?k?1 (коэффициент сжатия эллипса).
Рис. 1.
Доказательство
Для решения эллиптического интеграла рассмотрим эллипс как трехмерную функцию, все точки которой лежат в одной плоскости.
В плоскости XZ строим эллипс с коэффициентом сжатия k (0?k?1) так, как показано на рис. 2.
Через большую ось эллипса проводим плоскость под таким углом б, чтобы получить окружность радиусом R:
(2).
Далее, если условно катить эллипс по плоскости XY вдоль оси Х, то получим развертку эллипса где , одновременно на плоскости XY будет образовываться развертка окружности, где:
;
(4)
- угол касательной в т. М (5)
Рис. 2.
При повороте эллипса на 900 вдоль ось Х развертка эллипса и кривая окружности в плоскости XY сойдутся в т. D' так, что образуют касательную под углом
При различных k (0?k?1) в плоскости ХY образуется семейство кривых от окружностей. При k=1 эллипс является кругом и длина ј развертки на оси Х равна длине ј длины окружности:
.
При k=0 у эллипса один из радиусов стремится к нулю и б=900 . При этом кривая окружности на плоскости полностью совпадает с самой окружностью (радиусом R). Соответственно, длина эллипса при угле ц равна l=Rcosц.
Особый интерес представляют кривые при 0<k<1.
Рассмотрим отдельно эти кривые на плоскости ХY (рис. 3).
Рис. 3.
Длина всех этих кривых одинаковая (для искомого угла ? 0???90). С'M'- известно. BC'- известно.
Осталось определить .
Для этого все кривые сместим влево так, чтобы точки D совпали с началом координат О (рис. 4).
При уменьшении коэффициента сжатия эллипса k кривая окружности на плоскости XY распрямляется. При этом хорда r? начинает увеличиваться на величину и получаем:
(6)
Дальше, по теореме Пифагора определяем искомую длину дуги эллипса lэл при угле ?:
(7)
Рис. 4.
Подставив все найденные параметры в ф-лу (7), окончательно получим:
или
функция плоскость эллипс интеграл
Литература
1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. В 2-х томах. Том 2. Интегралл-Пресс. 2009.
3. Зарубин В.С. Интегральные исчисления функций одного переменного. Том 6. МГТУ им. Баумана. 2006.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.
лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Понятие плоскости и определение ее положения в пространстве. Задание плоскости ее следами на комплексном чертеже. Плоскости и проекции уровня. Свойство проецирующих плоскостей собирать одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.
реферат [69,0 K], добавлен 17.10.2010Оптимальные фигуры многоугольников на плоскости. Соотношение размеров соседних фигур на плоскости на примере соприкасающихся окружностей. Реализация шестигранных ячеек в природе. Характеристика таких категорий: целое и части, дискретное и непрерывное.
статья [290,7 K], добавлен 28.03.2012Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
реферат [197,7 K], добавлен 03.08.2010Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014
