Математические задачи управления системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические задачи управления системами

Основы математической теории управляемых систем закладывались в 50-е года нынешнего столетия. Главным источниками этой теории были прикладные инженерные задачи, возникающие при проектировании и эксплуатации сложных технических объектов и систем, что наложило отпечаток не только на выбор используемого математического аппарата, но и на всю идеологию этого научного направления.

Дальнейшее развитие теории шло по пути расширения используемого математического аппарата. Сначала были привлечены дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, затем - разностные уравнения и уравнения в частных производных, а также различные разделы функционального анализа. Все это инициировалось и сопровождалось новыми прикладными задачами в инженерии, физике, биологии, экономике и т.д.

На основе анализа конкретного объекта или системы задается множество X, которое будем называть множеством состояний, а также множество Y, которое будем называть множеством допустимых правлений. Иногда целесообразно рассматривать еще дополнительно множество Z - множество внешних возмущений. Описание процесса состоит в установлении зависимости между элементами x из X, y из Y и z из Z. В различных конкретных ситуациях реализация этой процедуры приводит к различным математическим моделям управляемых процессов.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Если X представляет собой пространство непрерывных n-мерных векторных функций C (s, T), Y - пространство суммируемых по Лебегу r-мерных векторных функций L (s, T), то зависимость между x(t) из C (s, T) и u(t) из L (s, T) может быть задана соотношениями

=f (t, x, u), x(s)=x, s<t<T. (1)

математический управление вычислительный

Ясно, что соотношения (1) выделяют лишь некоторые множества или подпространства X'C (s, T) и Y' L (s, T), между элементами которых существует зависимость (1). Если элементы x(t) из X' и u(t) из Y' связаны между собой зависимостью (1), то пара (x(t), u(t)) в теории управления обычно называется процессом. В рамках тех же представлений можно рассмотреть и более сложную модель процесса, зависящего от старта и финиша. В этом случае уравнения, описывающие процесс, явно зависят от s и T:

=f (s, T, t, x, u), x(s)=x, s<t<T, (2)

а величины s и T являются переменными [Егоров 1996]. Такие задачи представляют интерес и в теории, и для приложений.

Аналогичным образом можно описать процессы в терминах уравнений в конечных разностях или с помощью краевых задач для уравнений в частных производных.

При анализе конкретной управляемой системы мы ограничены в выборе описаний поскольку таковые определяется реальными законами природы, по которым может развиваться процесс. Если анализируется управляемое движение системы материальных точек или тел, то, видимо, следует учитывать закона Ньютона или иные законы механики. Если речь идет о распространении тепла в твердом теле, то нужно опираться на законы теплопереноса (в частности, закон Фурье) и т.д.

Такие законы, как правило, установлены экспериментально и не могут игнорироваться по прихоти исследователя. Другая их особенность состоит в своеобразной «одномерности» этих законов (зависимость ускорения движущегося тела от действующей на него силы, зависимость плотности теплового потока в теле от перепада температур и т.д.). Можно указать лишь довольно ограниченный круг изучаемых систем, когда подобная одномерность нарушается. Наиболее полно это проявляется, когда системы рассматриваются с позиций общей термодинамики. Однако и здесь приходится ограничиваться сравнительно небольшим количеством взаимодействующих разнородных явлений.

Современная вычислительная техника позволяет сделать значительное продвижение в решении проблем моделирования управляемых процессов и тем самым существенно расширить круг доступных для изучения управляемых систем.

Прежде всего, хорошо известно, что с помощью компьютера, а тем более с помощью вычислительных систем можно достаточно свободно обрабатывать массивы информации, которые фантастически огромные, если сравнивать их с возможностями человеческого организма. Эта информация может быть посвящена одной теме, а может характеризовать множество совершенно различных явлений, объектов и процессов. Иначе говоря, мы можем оперировать базами знаний подобно тому, как в прошлом оперировали числами, функциями и операторами.

Это открывает возможности в экспериментальном изучении взаимодействия систем, основной характеристикой каждой из которых является база знаний. Главной особенностью проводимых экспериментов в таком изучении является то, что они являются компьютерными. Такого типа экспериментальные работы выполняются многими научными коллективами и наиболее важный вопрос для специалистов по теории управления теперь состоит в том, как использовать получаемую информацию в математическом моделировании рассматриваемых систем и каким математическим аппаратом при этом следует пользоваться.

Математическая формализация понятия системы должна быть достаточно общей, чтобы охватить своим описанием максимально широкий круг реальных систем, включая и те из них, которые могут быть описаны лишь в лингвистических терминах, исходя из словесной их характеристики на интуитивном уровне. Вводимое понятие должно быть наделено необходимыми структурами и операциями, позволяющими использовать математический аппарат в тех случаях когда система допускает описание в рамках существующих математических теорий.

В частности, если конкретная система может быть описана в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений, то введенные общие понятия системы, структуры и операции с ними на должны вступать в противоречия с соответствующими понятиями системы, структуры и операций из теории дифференциальных уравнений. Те же требования должны выполняться и по отношению к системам иной математической характеристики (конечные автоматы, логические системы и т.д.).

Исходя из таких требований, представляется целесообразным определять понятие системы на языке теории множеств [Месарович и др. 1978], наделяя эти множества (по мере необходимости) теми или иными свойствами. Определенное таким образом понятие системы и разработанная на этой базе теория систем устанавливает язык для междисциплинарного обмена научными результатами, поскольку используемые в теории методы, достаточно общие и не вносят своих собственных ограничений.

Итак, пусть задана система множеств

{V_i:iI}, (3)

где I - множество индексов. Системой называется множество

S{V_i: iI}, (4)

а все компоненты V_i, i I, декартового произведения Vi называются объектами системы. В рамках этого определения можно рассматривать систему, которая задана соотношениями (1), если положить V1=Eⁿ, V2=Lⁿ(t', T), V3=L^r(t', T). Тогда S представляет ту часть декартового произведения V1V2V3, компоненты x', x(t), u(t) связаны соотношениями (1).

Аналогичным способом в качестве системы можно рассмотреть компьютерный образ конкретного человека, как биологического объекта, представленного данными о всех его органах и их характеристиках (вес, состав, температура, выполняемые функции и т.д.). В этом случае, анализируя компьютерный образ человека, мы будем оперировать базами знаний. При этом некоторые характеристики не могут быть представлены в строгих математических терминах.

Пусть A и B - произвольные множества, A^T и B^T - множества всевоз-можных отображений T на A и B, соответственно, а XA^T и YB^T. Общей временнoй системой на X и Y называется множество SXY. Используя это определение, можно рассматривать динамику системы, независимо от того, в какой конкретной форме она задана (в виде дифференциального уравнения, в форме базы знаний на компьютере или еще каким-либо иным способом).

3. Основные характеристики управляемой системы

Главной особенностью управляемой системы является наличие управляющих воздействий и множества допустимых управлений. Эти понятия первоначально использовались в тех случаях, когда рассматриваемый процесс можно описывать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Переход к анализу систем с распределенными параметрами потребовал новых, дополнительных уточнений понятия управления. При анализе систем более сложной природы понятие управления уточняется и дополняется.

Однако на интуитивном уровне понятно о чем идет речь, когда говорится об управляемых системах и об управляющих воздействиях. Эти понятия легко определяются и в общей теории систем и на них вряд ли следует останавливаться. Несколько сложней вводятся другие характеристики таких систем (устойчивость, наблюдаемость, идентифицируемость, оптимальность и т.д.). Обсудим лишь некоторые из них.

Введенное определение системы не позволяет определить какова ее реакция в ответ на наблюдаемое или предполагаемое входное воздействие, каковым является управление. Для введения необходимых дополнений в определение системы, ее представляем в виде

SXY, (5)

где X - входной объект (множество входов), а Y - выходной объект (множество выходов) системы. Далее предположим, что X=MU и можем определить (выявить), какова будет компонента m из M входного воздействия и в то же время в лучшем случае лишь указать к какому подмножеству U_mU будет принадлежать его вторая компонента при выбранном m.

Таким образом, M представляет собой непосредственно наблюдаемое (используемое) входное множество, а U - входное множество, о котором имеется лишь косвенная, недостаточно полная информация. Система такого типа называется открытой. Для открытой системы легко формулируется задача оптимизации и, если эта система временнaя, то естественно рассматривать и задачу об оптимальном управлении независимо от способа ее описания (задания). Нужно указать оценочную функцию g: XV, где V - частично упорядоченное отношением множество [Месарович и др. 1978].

Чтобы ввести понятие управляемости, систему (5) запишем в виде

SMUY, (6)

считая, что X=MU и система является открытой. Введем также отображение (оценочную функцию) G: XY V. Тогда, очевидно, что для пары (m, u): m из M, u из U будем иметь g (m, u)=G (m, u, S (m, u)) и можно определить следующие понятия.

Множество V'V называется достижимым относительно g тогда и только тогда, когда

.

.

4. О методах решения задач управления

Введенные понятия систем, управляемых систем и их различных характеристик не требуют привычных конкретных описаний (в виде дифференциальных или иных уравнений). Они могут быть заданы базой знаний или в виде пакета программ. Если речь идет о конкретной реальной системе, то, в соответствии с ее реальным содержанием, следует давать полную содержательную характеристику всех ее параметров, включая множества допустимых управлений и критерии оптимальности. Лишь после этого вводить ограничения, обусловленные методом исследования [Егоров 1978, 1986]. В случае сложных систем, представленных базой знаний, практически не существует единый математический аппарат, пригодный для решения всех задач.

Здесь возникает необходимость рассматривать взаимодействие элементов системы (а точнее, ее подсистем), имеющих различную природу, и которые не могут быть представлены в терминах одной или нескольких сходных математических дисциплин. Поэтому приходится использовать максимально общие методы компьютерной обработки информации, чтобы характеризовать состояние системы, а также рассматривать систему в совокупности с пакетом (или пакетами) программ, предназначенных для обработки информации (желательно в реальном масштабе времени), чтобы иметь возможность отслеживать ее поведение. Еще более сложные задачи приходится рассматривать, если изучается задача управления

В решении этой задачи представляется перспективным использование пакетов представляемых Maple V и Mathematica. Указанные системы содержат множество разнообразных эффективно работающих программ, начиная с аналитического вычисления производных и обращения матриц и кончая решением довольно сложных задач из теории групп Ли и математической статистики. Эти программы могут выполнять роль своеобразных операторов в работе с подсистемами. Роль исследователя таких систем состоит в организации базы данных, подходящем подборе операторов и в организации работы всего пакета.

Литература

1. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Изд-во Наука, 1978.

2. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. ДАН УССР, Серия А, №5, 1986.

3. Егоров А.И., Рафатов Р.Р. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии. Фрунзе: Изд-во Илим, 1990.

4. Егоров А.И. Управление системами, зависящими от старта и финиша // Проблемы управления и информатики, №№1, 2, Киев, 1996.

5. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы М.: Изд-во Мир, 1978.

Размещено на Allbest.ru