Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЗАДАЧИ С НОРМАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

КУНГУРЦЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Казань - 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского государственного университета .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жегалов Валентин Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович

кандидат физико-математических наук,

доцент Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Самарский государственный

университет

Защита состоится “03” декабря 2008 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань ул. Нужина д. 17, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан “ ” 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е. К

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида

, (1)

по граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции . При этом рассматриваемые области образованы характеристиками уравнения (1), а нелинейный оператор содержит лишь производные от , получаемые из путем отбрасывания, по крайней мере, одного дифференцирования, и саму функцию. В частности, при , , (1) является известным уравнением Лиувилля.

Исследование новых задач для уравнений обсуждаемого класса представляет интерес как с точки зрения развития общей теории уравнений с частными производными, так и в связи с возможными приложениями. Частные случаи (1) с линейным оператором встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями уравнения (1).

Различные вопросы теории уравнений (1) с линейным оператором изучали Л. Бианки, О. Никколетти, Е. Лаэ, М. К. Фаге, С. С. Хари-бегашвили, В. И. Жегалов, В. Ф. Волкодавов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, О. М. Джохадзе и целый ряд других авторов. В частности в работах В. И. Жегалова, А. Н. Миронова (от 1992 и 2000г.) были исследованы и задачи с нормальными производными в граничных условиях. Публикаций же по изучению подобных задач для нелинейных уравнений до последнего времени не было. Предлагаемая работа в определенной мере заполняет данный пробел. При этом ее содержание можно рассматривать как естественное развитие только что указанных результатов от 1992 и 2000 годов.

Цель работы. Отыскание условий, достаточных для разрешимости в характеристических областях задач с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений вида (1) и разработка методов исследования различных вариантов этой разрешимости.

Общая методика исследования. В работе используются результаты и методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. Существенную роль играет метод последовательных приближений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. В пространствах различного числа измерений определены условия на правые части уравнений вида (1), позволяющие исследовать вопросы разрешимости рассматриваемых задач.

2. Разработан способ редукции этих задач к задачам Гурса.

3. Построена картина их разрешимости, оказавшаяся многовариантной.

4. Для уравнения Лиувилля построены в явном виде решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением и развитием исследований граничных задач для уравнений данного класса.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета, а также на международных и всероссийских конференциях: Международная молодежная научная школа - конференция “Лобачевские чтения - 2002”, Казань 28.11-01.12.2002; Шестая Казанская международная школа - конференция “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”, Казань 27.06-04.07.2003; Седьмая Казанская международная школа - конференция “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”, Казань 27.06-04.07.2005; Четвертая молодежная научная школа - конференция “Лобачевские чтения - 2005”, Казань 16.12-18.12.2005 посвященная 100-летию со дня рождения профессора Б. Л. Лаптева; Пятая молодежная научная школа - конференция “Лобачевские чтения - 2006”, Казань 28.11-02.12.2006; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 2007г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 2 работы в изданиях из перечня ВАК от 30.11.2006г. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Краткое содержание работы

задача нелинейный гиперболический уравнение

Первая глава, носящая вспомогательный характер, посвящена изложению в удобной для дальнейшего использования форме результатов, относящихся к задаче Гурса для уравнения (1) с нелинейным оператором . Для искомой функции и правой части уравнения (1) в рассуждениях требуется определенная гладкость. В связи с этим через обозначается класс функций с непрерывными производными для всех .

В наиболее простом случае задача Гурса, рассматриваемая в области , заключается в отыскании функции , являющейся в решением уравнения

(2)

и удовлетворяющей условиям

, , . (3)

В силу непрерывности в должно выполняться равенство .

Функция определена в , где . Путем линейной замены переменных можно привести (2) к случаю .

, . (4)

В книге Ф. Трикоми “Лекции по уравнениям в частных производных” (М.: ИЛ, 1957. - 443с.) методом последовательных приближений доказано следующее утверждение: пусть в ячейке

(5)

функция удовлетворяет условию Липшица



A(++), (6)

где , - любые положительные числа, . Тогда решение рассматриваемой задачи существует и единственно в прямоугольнике , определяемом неравенствами

, ,

- верхняя граница в ячейке (5). Как мы видим, решение получается в прямоугольнике, который может совпадать с лишь в случае достаточно больших , но в остальном эти константы остаются неопределенными. Это обстоятельство не позволяет нам применить данный результат к исследованию более сложных задач во второй главе. В § 1 главы 1 доказано , что метод последовательных приближений все же позволяет получить нужный результат, если функция задана на множестве с неограниченными компонентами А именно, имеет место

Теорема 1.1. Если , функция непрерывна в по и ограничена на множестве , где , а также удовлетворяет неравенству (6), то в области существует единственное решение задачи (2),(4).

Приведены примеры, показывающие, что при нарушениях условий этой теоремы решение может быть не единственным, или процесс последовательных приближений не сходится.

В §§ 2-3 показывается, каким образом теорема 1.1 может быть распространена на случай любого конечного .

Автор не претендует на новизну сформулированных в первой главе результатов, поскольку нет уверенности в том, что они не были получены ранее: ведь рассматривается очень известная задача. С другой стороны, без этих результатов рассуждения из следующей (второй) главы не могут быть обоснованы.

Во второй главе формулируются и исследуются задачи для уравнений вида (1) с граничными условиями, предусмотренными в названии диссертации. При этом наложенных на в первой главе условий оказывается недостаточно: оператор должен допускать выделение линейной части, а остающееся нелинейное слагаемое имеет заданную структуру по производным от искомой функции. характер разрешимости задач зависит от коэффициентов линейной части, а в схеме рассуждений появляется для каждого случая необходимость в неоднократном применении метода последовательных приближений.

В случае двух независимых переменных вводятся функции , с помощью которых рассматриваемое уравнение должно представляться в виде

, (7)

При этом требуется еще, чтобы выполнялись условия

, (8)

Функция непрерывна в по , определена и ограничена при любых значениях , а также удовлетворяет по условию Липшица.

Задача 2.1 заключается в отыскании решения уравнения (7) по граничным условиям, получающимся путем замены в (4) хотя бы одного из значений искомой функции значением ее нормальной производной из набора

, , . (9)

Если условия типа (3) обозначить через Г, а типа (9) - через N, то в сформулированной задаче содержатся три варианта: ГN, NГ и NN. Поэтому для редукции к задаче Гурса (ГГ) нужно уметь по соотношениям (9) отыскивать функции . Это делается с помощью исследования интегральных уравнений, которые являются нелинейными, и могут быть при соответствующих условиях решены методом последовательных приближений. Указанные условия имеют вид:

(10)

(11)

(12)

(13)

. (14)

Доказана

Теорема 2.1. Варианты ГN и NГ однозначно разрешимы при условиях (10) и (11) соответственно. Вариант NN разрешим с точностью до одной произвольной постоянной при обоих условиях (10), (11). Этот же вариант разрешим однозначно либо при наборе (10), (13), либо при (11), (12), а однозначная разрешимость при дополнительном условии (14) имеет место, если выполняются соотношения (12), (13).

Далее в этой главе рассматриваются случаи, относящиеся к . В случаях аналоги уравнения (7) имеют соответственно вид

. (15)

. (16)

Функции и удовлетворяют условиям, обобщающим (8). Мы не выписываем здесь условия гладкости на и на коэффициенты (в тексте диссертации они имеются).

Для любого конечного аналогом (15) - (16) будет уравнение

= , (17)

=

,

={}, , , , ? непрерывные на функции.

В случае . Если не считать варианты задач, получающиеся переменой ролей независимых переменных, получим три задачи. Например, естественно выбрать NГГ, NNГ и NNN. Это есть (соответственно) задачи с условиями

, (18)

, , (19)

, . (20)

Для отыскания здесь получаются интегральные уравнения на гранях , , . На грани условия, играющие роль (10) - (13) (с добавленными к ним соотношениями, обобщающими (8)), имеют вид

1) , .

2) , , ,

, . (21)

3) , , ,

, .

4) , , ,

, , .

Для , записываются аналоги 1) - 4).

Наиболее простым является вариант NГГ. Здесь достаточно (21) и верна

Теорема 2.2. Если , , , , а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области решение задачи NГГ при всех вариантах условий 1) - 4) определяется однозначно. При этом в случае 1) требуется выполнение условий согласования , .

В варианте NNГ требуется комбинировать варианты 1) - 4) при и . Всего их восемь: 11, 12, 13, 14, 22, 24, 33, 44 (пишем номера вариантов подряд без скобок и отбрасываем комбинации, получающиеся переменой ролей соответствующих случаев на , . Отметим особо, что есть неосуществимые варианты, например, в случае 23 и . Каждый из реализуемых вариантов 11, …, 44 характеризует наличие произвольных функций и условий согласования при редукции к задаче Гурса. Выпишем комбинации, характеризующие случаи 11,…, 44, в виде таблицы.

задача нелинейный гиперболический уравнение

Комбинации	Произвольные функции	Условия согласования
11		.
12		.
13		.
14		.
22		.
24		Отсутствуют
33	Однозначная редукция
44	Однозначная редукция	Отсутствуют

Следовательно верна,

Теорема 2.3. Если , , , , а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области в случаях 33, 34 решение задачи NNГ определяется однозначно. В варианте 24 решение определяется с точностью до произвольной функции , в остальных случаях с точностью до произвольной функции . Условия согласования отсутствуют в комбинациях 24, 44. Одно такое условие - в 22; по два - 12, 14, 33; три - 11, 13.

Для варианта NNN с помощью кодирования, аналогичного использованному в теореме 2.3 (здесь оно трехзначное), формулируется

Теорема 2.4. Если , , , , а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области в случае 444 решение задачи NNN определяется однозначно. В вариантах 122, 144, 334 решение определяется с точностью до двух произвольных функций ( - в 122, 124; - в 334). В остальных случаях с точностью до трех произвольных функций . Условия согласования отсутствуют в комбинациях 334, 444. Два таких условия - в 122, 134, 144; три - 111, 112, 113, 114, 133.

В пространстве четырех переменных ситуация еще более усложняется, но все можно просчитать подобно тому, как это делается для . При этом появляются еще произвольные функции, зависящие от двух независимых функций ( в различных сочетаниях). В случае конечного излагаются лишь краткие сведения относительно схемы рассуждений и получаемых результатов. Добавим к сказанному, что после редукции каждого варианта рассматриваемых задач к задачам Гурса, эти последние опять, в соответствии с результатами первой главы, приходится сводить к интегральным уравнениям и применять к ним метод последовательных приближений.

К числу основных в математической физике относится еще задача с граничным условием вида (условие третьего рода). Во второй главе при она тоже рассмотрена. Выяснилось, что принципиально новых моментов в схеме рассуждений не возникает. Поэтому в случаях мы на ней не останавливаемся.

Наконец, в третьей главе рассматривается уравнение Лиувилля

, . (22)

При правая часть здесь неограниченна и условие Липшица для нее тоже не выполняется. Следовательно, условиям теорем из предыдущих глав это уравнение не подчиняется. Но мы здесь не используем метод последовательных приближений, а на основе известного представления решений

(23)

строим решение рассматриваемых задач в явном виде. Функции в (23) являются произвольными, но мы еще предполагаем, что

. (24)

В прямоугольнике рассмотрены следующие задачи.

Задача 3.1 (Гурса) с условиями

, , , , . (25)

Задача 3.2 с условиями, получаемыми заменой в (25) по крайней мере одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора

, (26)

Задача 3.3 об отыскании решения уравнения (22) по условию и соотношениям

(27)

Задача 3.4, где решение должно быть получено по условиям, получаемым из (25) заменой по крайней мере одного значения искомой функции значением второй нормальной производной из набора

. (28)

Решение задачи 3.1 построено в виде

, (29)

где . Очевидно, известно из (25). При этом для предполагается выполнение неравенства

. (30)

Для задач 3.2, 3.4 по аналогии с предыдущей главой рассматриваются варианты ГN, NГ, NN и выводятся решения. Например, в случае ГN задачи 3.2 этим решением является

. (31)

При этом выполняется неравенство

, (32)

играющее роль (30).

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю В. И. Жегалову за постановку задач и рекомендации в процессе работы над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кунгурцев А. А. Характеристическая задача с нормальными производными для квазилинейного гиперболического уравнения / Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2002. - Т.18. - с.49-51.

2. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного трехмерного гиперболического уравнения /Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2003.- Т.19. - с.137-138.

3. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного четырехмерного гиперболического уравнения / Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2005. - Т.30. - с.91 - 93.

4. Кунгурцев А. А. Об одном n-мерном варианте задачи Гурса / Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2005. - Т.31. - с.83 - 85.

5. Кунгурцев А. А. Об одном гиперболическом уравнении в трехмерном пространстве / Кунгурцев А. А.// Изв. вузов. Математика. - 2006. - №3. - С. 76-80.

6. Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для квазилинейного аналога уравнения Бианки в четырехмерном пространстве / Кунгурцев А. А. // Казанский ун-т. - Казань, 2007. - 25с. - деп. в ВИНИТИ 27.06.2007, №681-В2007.

7. Жегалов В. И. Построение решения задачи Гурса для уравнения Лиувилля / Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2006. - Т.34. - с.96 - 100.

8. Жегалов В. И. Три задачи для уравнения Лиувилля / Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. // Тез. докл. конф. “Дифференциальные уравнения и их приложения“. - Самара, 2007. - С. 49 - 52.

9. Жегалов В. И. О характеристических граничных задачах для уравнения Лиувилля / Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. // Изв. вузов. Математика. - 2008. - №11. - C.

Размещено на Allbest.ru