Интегрирование дифференциального бинома

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ КОЗЬМЫ МИНИНА»

Факультет естественный, математических и компьютерных наук

Кафедра математики и математического образования

Направление подготовки _050100,62 (44.03.01) Педагогическое образование

Профиль Математика и физика

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Интегрирование дифференциального бинома

СТУДЕНТ Таратынова А.Е.

РУКОВОДИТЕЛЬ Платонова Л.Е.

Нижний Новгород 2017 г.

Содержание

Введение

§ 1. Неопределенный интеграл. Определение и свойства

§ 2. Рациональные дроби

§ 3. Дифференциальный бином

§ 4. Примеры вычисления интегралов от дифференциального бинома

Заключение

Список литературы



Введение

Математический анализ является совокупностью разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления. Во всех высших учебных заведениях изучается данная дисциплина. Интегрирование - это операция обратная дифференцированию, которая изучается по школьной программе.

В данной работе мы затронем некоторые аспекты, касающиеся операции интегрирования, а также раскроем такие понятия, как неопределенный интеграл, интегрирование рациональных дробей. Затем перейдем к определению дифференциального бинома и рассмотрим случаи, когда интеграл от данного типа функции выражается в конечном виде, то есть первообразная представляет собой элементарную функцию. А так же рассмотрим для наглядности на определенных примерах.



§ 1. Неопределенный интеграл. Определение и свойства

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть является конечным или бесконечным промежутком числовой оси. Таким образом, мы понимаем, что он может выступать в роли интервала, полуинтервала или отрезка, и на нем заданы две функции: и .

Определение 1. Функция называется первообразной функцией (или первообразной) функции на промежутке , если дифференцируема на и в каждой точке этого промежутка производная функции равна значению функции :

интеграл дробь дифференциальный бином

Под производной в некотором конце понимается соответствующая односторонняя производная, если некоторый конец промежутка принадлежит этому промежутку. Первообразная функции является непрерывной на данном промежутке, если заданная функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке (односторонне непрерывна, если речь идет об односторонней производной).

Пример.

Функция является первообразной функции на всей числовой оси.

Для любой функции первообразная является непрерывной, так как она имеет производную. Но функция не обязательно должна быть непрерывна, если у нее существует первообразная. Приведем пример для разрывной в нуле функции:

на всей числовой оси существует первообразная

Данная функция не является непрерывной, но она имеет первообразную.

Лемма 1. Для того чтобы две дифференцируемые на некотором промежутке функции были первообразными одной и той же функции, необходимо и достаточно, чтобы они на этом промежутке отличались на постоянную.

Другими словами, функции и являются на промежутке первообразными одной и той же функции, следовательно,

-- константа.

Доказательство.

Пусть даны две первообразные и одной функции .

Если -- первообразная функции на промежутке, т. е. , то функция является первообразной той же функции , так как .

Если и -- первообразные для одной и той же функции , т. е. , то

Чтобы продолжить доказательство рассмотрим теорему следующую теорему и следствие из нее.

Теорема (Лагранж). Если функция непрерывна на отрезке и в каждой точке интервала имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то существует такая точка , что



Следствие. Если функция непрерывна и имеет производную равную нулю, во всех точках некоторого промежутка (конечного или бесконечного), то она на нем постоянна.

Вернемся к доказательству, согласно следствию, из теоремы Лагранжа о конечных приращениях, разность является постоянной на промежутке , что и требовалось доказать.

Из данной леммы следует, что операция интегрирования неоднозначна и все ее первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Определение 2. Пусть функция задана на некотором промежутке . Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается:

.

Если для некоторой функции множество первообразных не является пустым, то говорят, что у нее существует неопределенный интеграл. Таким образом, существование интеграла на промежутке равносильно существованию у функции первообразной на данном промежутке.

Пусть заданна функция и существует первообразная этой функции на рассматриваемом промежутке, тогда справедливо следующее равенство:

,

Иногда под понимается не совокупность всех первообразных функции , а произвольный элемент этого множества, т. е. произвольная первообразная рассматриваемой функции. Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство между множествами.

Для удобства, например, для того, чтобы указать, по какой переменной производится поиск первообразной, под знаком интеграла пишут не саму функцию , а ее произведение на дифференциал .

Пример.

,

.

В обоих случаях функция равна , но так как в первом случае она рассматривается как функция от переменной , а во втором -- как функция от , следовательно, ее неопределенные интегралы в первом и втором случаях различны.

Пусть задана функция на промежутке , которая имеет первообразную на этом же промежутке, то согласно формуле под знаком интеграла стоит дифференциал функции :

.

По определению будем считать, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению:

.

2. Свойства неопределенного интеграла

Далее в этом пункте будем понимать, что все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном промежутке . Из определений и леммы 1 вытекают следующие свойства неопределенного интеграла, представленные ниже.

Свойство 1. Если функция дифференцируема на промежутке , то или .

Доказательство следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

Свойство 2. Пусть функция имеет первообразную на промежутке , тогда для всех имеет место равенство:

.

Доказательство.

Заметим, что в этом равенстве под интегралом понимается произвольная первообразная функции . Поэтому можно записать в виде равенства: , справедливость которого следует из того, что -- первообразная (т. е. из ).

Свойство 3. Если функции и имеют первообразные на промежутке , то и функция имеет первообразную на этом промежутке, причем:

.

Доказательство.

Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций. В правой его части стоит арифметическая сумма множеств (по определению арифметической суммы). Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций и является первообразной для функции и что, наоборот, всякая первообразная для функции является суммой некоторых первообразных для функций и .

Пусть и -- первообразные соответственно функций и , т. е. в каждой точке выполняются равенства: , . Тогда неопределенные интегралы и состоят соответственно из функций вида и , где и являются произвольными постоянными. Положим , тогда функция будет первообразной для функции , так как

, .

Следовательно, интеграл состоит из функций , в то время как сумма интегралов -- из функций вида .

Поскольку , , -- произвольные постоянные, то оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства , совпадают, что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если функция имеет первообразную на промежутке и -- действительное число, то функция также имеет на первообразную и при справедливо равенство:

.

Доказательство.

Это равенство так же, как равенство , является равенством множеств. Пусть является первообразной функции , т. е. , . Тогда функция является первообразной функции на промежутке при любом , ибо , . Поэтому интеграл состоит из всевозможных функций вида , а интеграл -- из всевозможных функций . В силу произвольности постоянной и условия обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства , что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если функция , где -- действительное число отличное от нуля, -- действительное число, имеет первообразную на промежутке , то справедливо следующее равенство:

Следствие (линейность интеграла).

Если функции и имеют первообразные на промежутке , a и -- такие числа, что , то функция также имеет первообразную на , причем

.

Это следствие непосредственно следует из свойств 3 и 4.

3. Табличные интегралы

Из всякой формулы для производной некоторой функции , следует формула для неопределенного интеграла .

Иначе говоря, чтобы проверить формулу для конкретных функций, надо проверить для них справедливость равенства во всех точках рассматриваемого промежутка. Таким способом можно доказать справедливость следующих пятнадцати формул, называемых табличными интегралами.



1. , .

2.

3. ,,

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14.

15. , .

16. (если под корнем стоит , то ).

Если знаменатель функции, находящейся в подынтегральном выражении, обращается в нуль в некоторой точке промежутка, то данные формулы будут справедливы, лишь для тех интервалов, в которых не происходит обращение в нуль данного знаменателя.



§ 2 Рациональные дроби

1. Представление рациональной функции в виде суммы простейших дробей

Определение. Функция представимая в виде отношений двух многочленов называется рациональной функцией и обозначается:

, где , ,

-- многочлен, -- const;

-- неправильная рациональная дробь;

-- правильная рациональная дробь.

= + -- такое представление называется выделением целой части, где -- многочлен степени .

Далее будем рассматривать только правильные дроби, но чтобы продолжить, нам необходимо ввести несколько утверждений, которые помогут нам в дальнейшем.

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени в поле комплексных чисел имеет ровно корней (с учетом их кратности).

Теорема Безу. Если -- корень многочлена , то

, где -- многочлен степени .

Лемма о корнях и комплексной сопряженности. Если коэффициенты многочлена принадлежат действительным числам, и , где является корнем многочлена, то сопряженное ему так же корень многочлена.

Из утверждений 1-3 следует, что многочлен с -действительными коэффициентами можно представить в виде:

…

,

где для любого ; ,

Определение. Дроби вида ; , где ; ; , где , -- называются простейшими.

Лемма 1. Если кратный корень многочлена , то рациональная дробь представима в виде:

, (

где - константа, однозначно определенная. -- однозначно определенный многочлен, при этом если -- правильная, то и дробь тоже правильная.

Доказательство.

Равенство ( равносильно следующему выражению:

=

, по условию -- корень многочлена , то получим , следовательно,



(

из следует, что . Из равенства ( получаем, что константа однозначно определена. А из совокупности равенства ( и теоремы Безу получаем, что или , тогда -- однозначно определен и справедливо разложение (.

Если степень многочлена меньше степени многочлена , то степень меньше степени , т.е. если -- правильная, то и дробь правильная.

Лемма 2. Пусть дан многочлен , где , который входит с кратностью в разложение знаменателя дроби , т.е. , где , тогда рациональная дробь представима в виде:

, (

где -- однозначно определены, т.е. являются константами.

-- однозначно определенный многочлен, при этом, если правильная, тоже правильная.

Доказательство.

Для любых действительных и имеем

(

Рассуждая аналогичным образом, как при доказательстве леммы 1, легко убедимся, что

(

правильной дробь и что коэффициенты многочленов являются действительными, которые стоят в числителе и знаменателе. Для того чтобы дробь (имела вид

, (

необходимо и достаточно, чтобы ее можно было сократить на множитель , а это можно сделать тогда и только тогда, когда числитель дроби ( делится на , что согласно теореме Безу равносильно тому, что число является корнем многочлена, стоящего в числителе дроби (, т. е. когда .

Поскольку , то

. (

Пусть . Тогда равенство ( можно записать следующим образом:

.

Приравняв действительные и мнимые части комплексных чисел, стоящих в разных частях этого равенства, получим , . При таком выборе и они, во-первых, являются действительными числами, во-вторых, в этом и только в этом случае число , следовательно, и сопряженное ему число , являются корнями многочлена ( При таком и только таком выборе чисел и дробь ( сократится на . В результате в этом и только в этом случае после сокращения дроби ( получится дробь вида (. Подставив эту дробь в равенство ( вместо дроби (, получим

,

при этом коэффициенты и однозначно определены.

Теорема 1. Всякая правильная дробь представима в виде суммы конечного числа простейших дробей, а именно если знаменатель

, где для любого ; и

Получим, что

.

Доказательство.

, , тогда по лемме 1, применяя ее раз, получим:

,

где -- правильная дробь по лемме 2, и

,

Рассуждая аналогично получим:

, применим раз придем к равенству:

, где -- правильная дробь по лемме 2 и

Аналогично рассуждая по лемме 2, в итоге получим

Пример.

Разложим правильную дробь на сумму простейших дробей:

2. Интегрирование простейших дробей

Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, а всякая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму элементарных рациональных дробей (что было рассмотрено в предыдущем пункте), поэтому задача интегрирования рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов и элементарных рациональных дробей, т. е. функций, от которых мы уже умеем вычислять интегралы. Рассмотрим действия по отысканию интегралов от простейших дробей, которые представлены ниже.

1. ;

2. ;

3. ;

Для рассмотрения интегрирования третьего вида простейших дробей сначала ознакомимся со следующей леммой и докажем ее.

Лемма 1. Пусть задана функция на промежутке и имеет первообразную на этом же промежутке, тогда для всех имеет место равенство:



Доказательство.

Пусть задана функция на промежутке и имеет первообразную на этом же промежутке, которая имеет вид . Найдем производную от первообразной, чтобы получить данную функцию :

= ,

следовательно, (= , а это есть обратная операция от интегрирования, поэтому получим, что , что и требовалось доказать.

Теперь вернемся к получению интеграла от простейшей дроби , где , то есть .

Для начала представим числитель данной дроби в виде: , далее подставим вместо полученное выражение:

.

Мы знаем, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, поэтому мы можем разбить на два интеграла, а так же вынесем за знак интеграла постоянные: , . В итоге придем к выражению:

4. ; ,

Получение интеграла от данной дроби следует по аналогии, как в рассмотренном третьем случае.

Лемма 2. На промежутке пусть задана функция = , где и имеет первообразную на этом же промежутке, тогда для всех имеет место равенство:

Данное выражение называется рекуррентной формулой.

Введем обозначения для записи данной формулы в более кратком виде:



Получим:

.

Из выше перечисленного можно сделать вывод, что неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, являющиеся линейной комбинацией композиций рациональных дробей, логарифмов и арктангенсов.

Теорема 1. Всякая рациональная функция имеет первообразную.

Доказательство.

,

где -- неправильная дробь, -- правильная дробь, -- многочлен, следовательно, имеет первообразную по теореме 1 из 1 пункта. Рациональная функция представима в виде суммы конечного числа простейших дробей, а простейшие дроби имеют первообразную, следовательно, любая рациональная дробь имеет первообразную, что и требовалось доказать.



§ 3 Дифференциальный бином

1. Рациональные функции от функций

Начиная рассмотрение дифференциального бинома, нам необходимо ввести следующие понятия для дальнейшего интегрирования некоторых иррациональностей.

Функции вида:

называются многочленами, а функции

,

где -- многочлены, называются рациональными дробями (или рациональными функциями) от переменных .

Композиция рациональных дробей с функциями

, ,…, ,

т.е. функции вида

называются рациональными функциями от функций и обозначаются .

Пример.

1. -- рациональная функция от и

2. -- рациональная функция от .

2. Вычисление интеграла от дифференциального бинома

Рассмотрим интеграл вида

;

его подынтегральное выражение называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда , и являются рациональными, а и -- произвольными действительными числами.

Сделаем в интеграле замену переменной

,

тогда и, следовательно,

.

Таким образом, интеграл с помощью подстановки сводится к интегралу вида:

,

где и -- рациональные числа, .

Рассмотрим три случая.

1. -- целое число. Пусть , где и -- целые числа. Согласно результатам параграфа 3 пункта 1 подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

2. -- целое число. Пусть теперь , где и -- целые числа. Тогда согласно тому же пункту 1 данного параграфа интеграл приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки .

3. -- целое число. Пусть, как и выше, , где и -- целые числа. Имеем .

Снова получился интеграл типа, рассмотренного в пункте 1 данного параграфа: подстановка сводит его к интегралу от рациональной функции.

Итак, в трех случаях, когда , или являются целыми числами, интеграл сводится к интегралу от рациональных функции. Из этого следует, что если хотя бы одно из чисел , или в первоначальном интеграле является целым числом, то этот интеграл сводится к интегралу от рациональных функций и, следовательно, выражается через элементарные функции, которые в свою очередь имеют первообразную.

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана русским математиком П. Л. Чебышёвым в 1853 году, который обосновал, что ни в каком другом случае рациональных показателей , и интеграл не выражается через элементарные функции.



§ 4 Примеры вычисления интегралов от дифференциального бинома

1.

, ,

2.

, ,

3.

, ,

4.

, ,

5.

, ,

6.

, ,

7.

, , ,

8.

, ,

,

9.

, ,

10.

, ,

11.

, , ;

,

12.

, ,

,

13.

, ,

,



Заключение

В данной работе мы за рассмотрели некоторые аспекты, касающиеся операции интегрирования, а так же ввели понятия неопределенного интеграла от функции и его свойства, установили связь с первообразной, сформировали знания об интегрирование рациональных дробей и их разложении на простейшие. Определили, что такое дифференциальный бином и рассмотрели все возможные случаи, когда интеграл от данного типа функции выражается в конечном виде, то есть первообразная представляет собой элементарную функцию. В конечном итоге перешли к применению изложенной теории на практике.



Список литературы

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов вузов: рек. М-вом образования РФ: В 3 т. - М.: Дрофа, 2008.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1-2. - СПб.: Издательство «Лань», 2001.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. - М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2007.

4. Барбашова Г.Л. Лекции по курсу математического анализа студентам математического направления второго курса , 2016.

Размещено на Allbest.ru