Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Адамса-Башфорта

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Многие явления в природе в макро- и микромире описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. При этом в большинстве случаев общее решение этих уравнений не выражается в квадратурах, т.е. не имеет аналитического решения. Для подобного класса задач возникает необходимость в применении численных методов, дающих приближенное решение задачи. Среди всевозможных методов важную роль играют разностные методы решения задачи Коши. Их существенным достоинством является простая алгоритмизация и реализация на ЭВМ.

Решение дифференциальных уравнений на ЭВМ играет большую и важную роль при проведении исследований во многих областях знаний как теоретического, так и прикладного характера. Характерной особенностью современных численных методов решения задачи Коши является высокий порядок аппроксимирующих формул. Алгоритмы должны обеспечивать получение большого количества верных значащих цифр с целью уменьшения ошибок округления. Таким образом, разработка методов более высокого порядка, по сравнению с существующими методами, позволяет увеличить точность и эффективность вычислений.

Развитие численных методов решения дифференциальных уравнений достигло в настоящее время такого уровня, когда существует эффективное и удобное для пользователя математическое и программное обеспечение решения многих основных задач и важную роль при проведении исследований во многих областях знаний как теоретического, так и прикладного характера.

1. Общие теоретические сведения

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат одну или несколько производных от искомой функции у=у(х). Их можно записать в виде:

F( x, y, y',…, ) = 0 (1.1)

где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение (1.1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=(x), которая после подстановки ее в уравнение превращает его в тождество. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных переменных С1, С2, ..., Сn, т.е. имеет вид:

y = (x,С1,С2,...,Сn) (1.2)

Частное решение получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Для выделения частного решения из общего в общем случае необходимо задать столько дополнительных условий, каков порядок уравнения. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. В задаче Коши в качестве дополнительных условий задаются значения искомой функции и ее производных в одной точке, эти условия называются начальными, а точка Х=Х0 - начальной точкой. Дополнительные условия в краевой задаче задаются в нескольких точках и называются граничными (краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x=a и x=b, являющихся границами решения дифференциального уравнения.

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка (1.3):

y'=f(x;y) (1.3)

Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши, т.е. найти решение уравнения (1.4):

y = y(x) (1.4)

удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

2. Метод Адамса-Башфорта

2.1 Описание метода

Идея методов Адамса - использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка , а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»). В формуле (2.1):

y(x+ (2.1)

заменим f x, y интерполяционным полиномом Ньютона Px.

2.2 Явные методы Адамса (Адамса-Башфорта).

Возьмем x h , но интеграл будем брать по предыдущему отрезку . Тогда:

(2.2)

Здесь - конечная разность r - го порядка: , , .... Подставляя эти разности, получим:

(2.3)

(k - шаговый явный метод Адамса-Башфорта).

Получен явный экстраполяционный метод Адамса-Башфорта второго порядка (двухшаговый):

(2.4)

Явный экстраполяционный метод Адамса-Башфорта третьего порядка:

(2.5)

Метод трехшаговый, поэтому необходимо сперва найти и методом Эйлера, а после чего? методом Адамса-, … вычисляют по формуле (2.4).

Явный экстраполяционный метод Адамса-Башфорта четвертого порядка:

(2.6)

2.3 Метод Эйлера

Метод Эйлера является простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Он основан на разложении искомой функции у(х) в ряд Тейлора в окрестностях узлов хk.

Для вычислений используется следующая формула:

+ hf() (2.7)

где n=0,1,... .

3. Ручной просчёт

Решить уравнение y'=x+y, где x[0;2] с начальным условием y(0)=1, приняв шаг h=0.2. (Найти решение методом Адамса-Башфорта 3 порядка). Сперва найдем и методом Эйлера, используя формулу (2.6):

=1+0,2*(0+1) =1,2

=1,2+0,2*(0,2+1,2) =1,48

Значения получим, использовав формулу (2.3) вычисляем по формуле (2.4):

= 1,48+(3*1,48-1,2) =1,804

=1,804+*(23*1,804-16*1,48+5*1,2) =2,2009

=2,2009+*(23*2,2009-16*1,804+5*1,48)= 2,6868

=2,6868+*(23*2,6868-16*2,2009+5*1,804)= 3,2802

=3,2802+*(23*3,2802-16*2,6868+5*2,2009)= 4,0045

=3,9885+ *(23*3,9885-16*3,2802+5*2,6868)= 4,8887

=4,8666+*(23*4,8666-16*3,9885+5*3,2802)=5,9682

=6,9386+*(23*6,9386-16*4,8666+5*3,9885)=7,2861

Из полученных результатов, составим таблицу значений .

Табл. 1

На данном примере были продемонстрированы основные приемы экстраполяционного метода Адамса-Башфорта 3порядка.

4. Инструкция пользователя

Для демонстрации работы метода Адамса-Башфорта была составлена программа на Java Script.

Для запуска программы необходимо, чтобы компьютер соответствовал следующим условиям:

– ОС: Windows XP или другие версии Windows;

– установленный пакет Edit with Notepad++ или программа Блокнот;

– установить исполнительный файл «Метод Адамса-Башфорта»;

– подключение к сети интернет.

При запуске программы в окне браузера появится кнопка «Запустить». Необходимо подтвердить запуск программы, кликнув на кнопку «Ок». Затем необходимо ввести значение шага и подтвердить кликом, нажав на кнопку «Ок». Программа выведет на экран полученные результаты значений . Нажав «Ок», появится опять кнопка «Запустить». Для окончания работы необходимо закрыть данную вкладку в браузере.

Заключение

уравнение аппроксимирующий экстраполяционный коши

Методы Адамса являются одними из перспективных численных методов интегрирования для решения задачи Коши. Доказано, что при применении многошаговых численных методов Адамса для решения задачи Коши до 12 порядка область устойчивости уменьшается. При дальнейшем увеличении порядка область устойчивости, а также точность метода возрастает. Кроме того, при одинаковой точности для многошаговых методов на одном шаге интегрирования требуется меньше вычислений правых частей дифференциальных уравнений, чем в методах Рунге-Кутты. К достоинствам методов Адамса относится и то обстоятельство, что в них легко меняется шаг интегрирования и порядок метода.

Литература

1. Орлов Ю.К. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине "Численные методы". ? Донецк: ДонНТУ, 2014 ? 28с.

2. Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. Пособие. - Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 2010. ? 170с.

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. ? М.: Высш. шк., 1994. ? 447с.

Приложение 1

Блок-схема программы

Рисунок 1 ? Блок-схема программы

Приложение 2

Программа Java Script

<html>

<head>

<script>

function compute(){

var y=[];

var step=parseFloat(prompt("Введите шаг",0.05));

var x=0;

y[0]=1;

y[1]=y[0]+step*(x+y[0]);

x+=step;

y[2]=y[1]+step*(x+y[1]);

x+=step;

y[3]=y[2]+(step/2)*(3*y[2]-y[1]);

x+=step;

for(var i=4;x<=2;i++){

x+=step;

y[i]=y[i-1]+(step/12)*(23*y[i-1]-16*y[i-2]+5*y[i-3]);

}

var str="";

x=0;

for(var i=0;i<y.length;i++){

str+="X["+i+"]="+x.toFixed(4)+"\n";

str+="Y["+i+"]="+y[i].toFixed(4)+"\n";

str+="Y'["+i+"]="+(x+y[i]).toFixed(4)+"\n\n";

x+=step;

}

//Вывод строки str

alert(str);

}

</script>

</head>

<body>

<!-- По центру -->

<center>

<!-- Кнопка запуска, по клику вызываем getV -->

<button onclick="compute();">Запустить</button>

Приложение 3

Экранные формы

Рисунок 2 ? Запуск прораммы

Рисунок 3 ? Ввод значения шага

Рисунок 4 ? Вывод полученных значений

Рисунок 5 ? Вывод полученных значений(продолжение)

Рисунок 6 ? Новый запуск программы

Рисунок 7 ? Ввод нового значения шага

Рисунок 8 ? Вывод полученных значений

Рисунок 9 ? Вывод полученных значений

Рисунок 10 ? Вывод полученных значений

Рисунок 11 ? Вывод полученных значений

Рисунок 12 ? Вывод полученных значений

Рисунок 13 ? Вывод полученных значений

Размещено на Allbest.ru